考研數(shù)學(xué)二模擬414

考研數(shù)學(xué)二模擬414一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.

下列反常積分收斂的是______．

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]因為且α=1≥1，所以發(fā)散．

因為且α=1≤1，所以發(fā)散；

對任意的ε＞0，，由得發(fā)散．

選B．

2.

設(shè)f(x)連續(xù)，且，則下列結(jié)論正確的是______．A.f(1)是f(x)的極大值B.f(1)是f(x)的極小值C.(1，f(1))不是曲線y=f(x)的拐點D.f(1)不是f(x)的極值，但(1，f(1))是曲線y=f(x)的拐點正確答案：B[解析]因為，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜|x-1|＜δ時，有，即當(dāng)x∈(1-δ，1)時，f'(x)＜0；當(dāng)x∈(1，1+δ)時，f'(x)＞0．

根據(jù)極值的定義，f(1)為f(x)的極小值，選B.

3.

設(shè)f(x)在[a，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=A＞0，f'(a)＜0，f"(x)≤0(x＞a)，則f(x)在[a，+∞)內(nèi)______．A.無根B.有兩個根C.有無窮多個根D.有且僅有一個根正確答案：D[解析]，其中ξ介于a與x之間．

因為f(a)=A＞0，，所以f(x)在[a，+∞)上至少有一個根．

由單調(diào)不增，所以當(dāng)x＞a時，在[a，+∞)為單調(diào)減函數(shù)，所以根是唯一的，選D.

4.

下列結(jié)論正確的是______．A.若f(x)可導(dǎo)且單調(diào)增加，則f'(x)＞0B.若f(x)，g(x)皆可導(dǎo)且f'(x)＞g'(x)，則f(x)＞g(x)C.若f(x)，g(x)皆可導(dǎo)且f(x)＞g(x)，則f'(x)＞g'(x)D.若f'(x)＞0，則f(x)單調(diào)增加正確答案：D[解析]f(x)=x3為單調(diào)增加的函數(shù)，f'(x)=3x2，因為f'(0)=0，所以f'(x)≥0，A不對；

令f(x)=x，g(x)=2(x＜1)，顯然f'(x)＞g'(x)，但f(x)＜g(x)，B不對；

令f(x)=2，g(x)=x(x＜2)，顯然f(x)＞g(x)，但f'(x)＜g'(x)，C不對；

由微分中值定理得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)，因為f'(x)＞0，所以x2-x1與f(x2)-f(x1)同號，即f(x)單調(diào)增加，選D.

5.

設(shè)t＞0，則當(dāng)t→0時，是t的n階無窮小量，則n為______．A.2B.4C.6D.8正確答案：C[解析]

因為

所以，即n=6，選C．

6.

設(shè)y1(x)，y2(x)是微分方程y"+py'+qy=0的解，則由y1(x)，y2(x)能構(gòu)成方程通解的充分條件是______．A.y'1y2-y1y'2=0B.y'1y2-y1y'2≠0C.y'1y2+y1y'2=0D.y'1y2+y1y'2≠0正確答案：B[解析]y1(x)，y2(x)能構(gòu)成微分方程y"+py'+qy=0通解的充分必要條件是不是常數(shù)，即，選B．

7.

設(shè)A為三階矩陣，為非齊次線性方程組的解，則______A.當(dāng)t≠2時，r(A)=1B.當(dāng)t≠2時，r(A)=2C.當(dāng)t=2時，r(A)=1D.當(dāng)t=2時，r(A)=2．正確答案：A[解析]方法一：

當(dāng)t≠2時，為AX=0的兩個線性無關(guān)的解，

從而3-r(A)≥2，r(A)≤1，又由A≠0得r(A)≥1，即r(A)=1，選A．

方法二：

令，由已知條件得，r(AB)=1，

當(dāng)t≠2時，B為可逆矩陣，從而r(AB)=r(A)=1，選A．

8.

設(shè)n階矩陣A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，

令向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量(Ⅲ)線性相關(guān)，則______．A.向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)都線性相關(guān)B.向量組(Ⅰ)線性相關(guān)C.向量組(Ⅱ)線性相關(guān)D.向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)至少有一個線性相關(guān)正確答案：D[解析]當(dāng)向量組(Ⅰ)線性相關(guān)時，r(A)＜n，由r(AB)≤r(A)得r(AB)＜n，即向量組(Ⅲ)線性相關(guān)；

同理，當(dāng)向量組(Ⅱ)線性相關(guān)時，r(B)＜n，由r(AB)≤r(B)得r(AB)＜n，即向量組(Ⅲ)線性相關(guān)，選D．

二、填空題1.

設(shè)D：(x2+y2)2≤4(x2-y2)，則正確答案：[解析]由對稱性得

令則

于是

2.

設(shè)t＞0，Dt={(x，y)|0≤x≤y，t≤y≤1}，則正確答案：[解析]由得

3.

正確答案：[解析]

4.

設(shè)z=f(x，y)連續(xù)，且，則dz|(1，2)=______．正確答案：2dx-dy[解析]令，由f(x，y)連續(xù)得f(1，2)=3，

由得f(x，y)-2x+y-f(1，2)=o(ρ)，

即Δz=f(x，y)-f(1，2)=2(x-1)-(y-2)+o(p)，

故dz|(1，2)=2dx-dy.

5.

正確答案：[解析]令

于是

故

6.

設(shè)A為三階實對稱矩陣，為方程組AX=0的解，為方程組(2E-A)X=0的一個解，|E+A|=0，則A=______．正確答案：[解析]顯然為A的特征向量，其對應(yīng)的特征值分別為λ1=0，λ2=2，因為A為實對稱陣，所以，解得k=1，

于是

又因為|E+A|=0，所以λ3=-1為A的特征值，令λ3=-1對應(yīng)的特征向量為，

由即得

令，由

三、解答題共94分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

計算極限正確答案：[解]當(dāng)x→0時，，則

2.

設(shè)u=f(x+y，x-y，z)由確定z為x，y的函數(shù)，又f連續(xù)可偏導(dǎo)，p可導(dǎo)，且p(y+z)-p(x+z)-1≠0，求．正確答案：[解]將u=f(x+y，x-y，z)及兩邊對x求偏導(dǎo)得

解得

故

3.

設(shè)f(x)在[0，2]上二階可導(dǎo)，且f"(x)＜0，f'(0)=1，f'(2)=-1，f(0)=f(2)=1．證明：

正確答案：[解]首先f"(x)＜0，所以f(x)在(0，2)內(nèi)不可能取到最小值，從而f(0)=f(2)=1為最小值，故f(x)≥1(x∈[0，2])，從而．

又

因為f"(x)＜0，所以有

所以

設(shè)拋物線y=x2與它的兩條相互垂直的切線所圍成的平面圖形的面積為S，其中一條切線與拋物線相切于點A(a，a2)(a＞0)．4.

求S=S(a)的表達(dá)式；正確答案：[解]設(shè)另一個切點為，則拋物線y=x2的兩條切線分別為

因為L1⊥L2，所以，兩條切線L1，L2的交點為y1=ax0，L1，L2及拋物線y=x2所圍成的面積為

5.

當(dāng)a取何值時，面積S(a)最小?正確答案：[解]

因為當(dāng)時，S'(a)＜0，

當(dāng)時，S'(a)＞0，

所以當(dāng)時，面積S(a)取最小值．

6.

計算，其中D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}．正確答案：[解]

7.

設(shè)曲線y=y(x)位于第一卦限且在原點處的切線與x軸相切，P(x，y)為曲線上任一點，該點與原點之間的弧長為l1，點P處的切線與y軸交于點A，點A，P之間的距離為l2，又滿足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲線y=y(x)．正確答案：[解]由已知條件得y(0)=0，y'(0)=0，

P(x，y)處的切線為Y-y=y'(X-x)，

令X=0，則Y=y-xy'，A的坐標(biāo)為(0，y-xy')，

由x(3l1+2)=2(x+1)l2得

兩邊對x求導(dǎo)整理得1+y'2=2(x+1)y'y"，

令y'=p，，代入得

變量分離得

積分得ln(1+p2)=ln(x+1)+lnC1，即1+p2=C1(x+1)，

由初始條件得C1=1，即，從而，

再由y(0)=0得C2=0，故所求的曲線為．

設(shè)曲線y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y'-y=(4-6x)e-x的一個特解，此曲線經(jīng)過原點且在原點處的切線平行于x軸．8.

求曲線y=y(x)的表達(dá)式；正確答案：[解]微分方程的特征方程為

2λ2+λ-1=0，

特征值為λ1=-1，，則微分方程2y"+y'-y=0的通解為

令非齊次線性微分方程2y"+y'-y=(4-6x)e-x的特解為y0(x)=x(ax+b)e-x，代入原方程得a=1，b=0，故原方程的特解為y0(x)=x2e-x，原方程的通解為

由初始條件y(0)=y'(0)=0得C1=C2=0，故y=x2e-x．

9.

求曲線y=y(x)到x軸的最大距離；正確答案：[解]曲線y=x2e-x到x軸的距離為d=x2e-x，

令d'=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x=0，得x=2．

當(dāng)x∈(0，2)時，d'＞0；

當(dāng)x＞2時，d'＜0，

則x=2為d=x2e-x的最大值點，最大距離為

10.

計算積分正確答案：[解]

設(shè)非齊次線性方程組

有三個線性無關(guān)解α1，α2，α3．11.

證明系數(shù)矩陣的秩r(A)=2；正確答案：[解]令r(A)=r，因為系數(shù)矩陣至少有兩行不成比例，所以r(A)≥2．α1-α2，α1-α3為對應(yīng)的齊次線性方程組的兩個解．

令k1(α1-α2)+k2(α1-α3)=0，即(k1+k2)α1-k1α2-k2α3=0．

因為α1，α2，α3線性無關(guān)，所以k1=k2=0，即α1-α2，α1-α3線性無關(guān)，于是對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系至少含兩個線性無關(guān)解向量，即4-r≥2或r≤2，故r(A)=2．

12.

求常數(shù)a，b的值及通解．正確答案：[解]

因為，所以

解得a=2，b=-3，于是

通解為

13.

設(shè)，其中AT=A．又