考研數(shù)學(xué)二分類模擬題94

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題94一、填空題1.

正確答案：．[解析]

2.

設(shè)f(x)連續(xù)，且，則f(7)=______．正確答案：．[解析]等式，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得3x2f(x3-1)=1．令x=2得12f(7)=1，則．

3.

正確答案：-3f(cos3x)sin3x．[解析]由變上限積分求導(dǎo)法可知

4.

設(shè)f(x)連續(xù)，則正確答案：xf(x2)．[解析]令u=x2-t2，du=-2tdt．當(dāng)t=0時(shí)，u=x2，當(dāng)t=x時(shí)，u=0．故

本題屬于要先作換元然后才能求導(dǎo)的類型．

5.

設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，．若φ(1)=1，φ'(1)=5，則f(1)=______．正確答案：2．[解析]改寫，由變限積分求導(dǎo)法得

由

得f(1)=2．

6.

由曲線y=xex與直線y=ex所圍成圖形的面積S=______．正確答案：．[解析]由xex=ex可知x(ex-e)=0．則x=0或x=1．

故

二、選擇題1.

設(shè)，其中f(x)連續(xù)，s＞0，t＞0，則I的值A(chǔ).依賴于s，t．B.依賴于s，t，x．C.依賴于t，x，不依賴于s．D.依賴于s，不依賴于t．正確答案：D[解析]，由此可見，I的值只與s有關(guān)，所以應(yīng)選D．

2.

設(shè)函數(shù)記，0≤x≤2，則

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]當(dāng)0≤x≤1時(shí)，；當(dāng)1＜x≤2時(shí)，．由此可見應(yīng)選B．

f(x)在[0，2]上可積，則在[0，2]上連續(xù)，于是排除A，C，D．

3.

設(shè)f(x)連續(xù)，，則F'(x)等于A.f(x4)．B.x2f(x4)．C.2xf(x4)．D.2xf(x2)．正確答案：C[解析]由知F'(x)=2xf(x4)．故應(yīng)選C．

4.

已知設(shè)，則F(x)為

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]

所以應(yīng)選D．

f(x)在[0，2]上可積，則在[0，2]上連續(xù)，于是排除A，B，C．

5.

設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]設(shè)，則

即F(x)是偶函數(shù)，D是正確的．

類似方法可以證明A，C均為奇函數(shù)．而對(duì)B中的函數(shù)，因?yàn)橛伤o條件不能推出為偶函數(shù)．

6.

設(shè)f(x)是奇函數(shù)，除x=0外處處連續(xù)，x=0是其第一類間斷點(diǎn)，則是A.連續(xù)的奇函數(shù)．B.連續(xù)的偶函數(shù)．C.在x=0間斷的奇函數(shù)．D.在x=0間斷的偶函數(shù)．正確答案：B[解析]解法1

取函數(shù)它滿足題設(shè)條件，則

是一個(gè)連續(xù)的偶函數(shù)，從而排除了選項(xiàng)A，C，D，故選B．

解法2

顯然f(x)在任何有限區(qū)間[a，b]上都可積，于是連續(xù)；又因f(x)是奇函數(shù)，則是偶函數(shù)，故選B．

7.

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1，3]上的圖形如圖所示．則函數(shù)的圖形為

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]根據(jù)題中函數(shù)y=f(x)的圖形，可知函數(shù)在除了x=0，x=2兩點(diǎn)外可導(dǎo)，且F'(x)=f(x)．由此可知：函數(shù)F(x)在(-1，0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，2)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2，3)內(nèi)恒為常數(shù)．由于函數(shù)F(x)連續(xù)，且F(0)=0，所以正確選項(xiàng)只能是D．

8.

設(shè)函數(shù)，則A.x=π是函數(shù)F(x)的跳躍間斷點(diǎn)．B.x=π是函數(shù)F(x)的可去間斷點(diǎn)．C.F(x)在x=π處連續(xù)但不可導(dǎo)．D.F(x)在x=π處可導(dǎo)．正確答案：C

9.

曲線y=x(x-1)(2-x)與x軸所圍圖形面積可表示為

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]y=x(x-1)(2-x)與x軸的交點(diǎn)為x=0，x=1，x=2，因此該曲線與x軸圍成的面積為

所以應(yīng)選C．

10.

由曲線與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]

11.

曲線與x軸所圍成的圖形，繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積為

A．

B．π．

C．

D．π2．正確答案：C[解析]

12.

設(shè)f(x)，g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且g(x)＜f(x)＜m(m為常數(shù))，由曲線y=g(x)，y=f(x)，x=a及x=b所圍平面圖形繞直線y=m旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]先畫草圖如圖所示，對(duì)x積分。體積微元

所以應(yīng)選B．

13.

如圖所示，x軸上的一線密度為常數(shù)μ，長度為l的細(xì)桿，若質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)到桿右端的距離為a，已知引力系數(shù)為k，則質(zhì)點(diǎn)和細(xì)桿之間引力的大小為

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]

三、解答題1.

設(shè)x≥-1，求正確答案：解

當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，原式=

當(dāng)x≥0時(shí)，原式=

2.

設(shè)，其中x＞0，求．正確答案：解

，于是

3.

設(shè)xOy平面上有正方形D{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}及直線l：x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直線l左下方部分的面積(如圖)，試求．

正確答案：解

由題設(shè)知

所以，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，

當(dāng)1＜x≤2時(shí)，

當(dāng)x＞2時(shí)，

因此

4.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)上可導(dǎo)，f(0)=0，且其反函數(shù)為g(x)，若，求f(x)．正確答案：解

等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得g[f(x)]f'(x)=2xex+x2ex，

而g[f(x)]≡x，故xf'(x)=2xex+x2ex．

當(dāng)x≠0時(shí)，f'(x)=2ex+xex，

積分得f(x)=(x+1)ex+C．

由于f(x)在x=0處右連續(xù)，故由

得C=1，因此f(x)=(x+1)ex-1．[解析]部分考生對(duì)g[f(x)]=x這一反函數(shù)的基本性質(zhì)不熟悉，導(dǎo)致后續(xù)無法化簡；積分方程往往都是通過求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為微分方程再去求解，另外本題利用初始條件確定C的值的過程值得體會(huì)．

5.

設(shè)求函數(shù)的表達(dá)式．正確答案：解

當(dāng)x∈[-1，0)時(shí)，

當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，

所以

設(shè)6.

證明f(x)是以π為周期的周期函數(shù)；正確答案：證

設(shè)t=u+π，則有

故f(x)是以π為周期的周期函數(shù)．

7.

求f(x)的值域．正確答案：解

因?yàn)閨sinx|在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，注意到f(x)的周期為π，故只需在[0，π]上討論其值域．

因?yàn)?/p>

令f'(x)=0，得，且

又

因而f(x)的最小值是，最大值是，故f(x)的值域是．[解析]值域?qū)嶋H上就是求最大值與最小值，轉(zhuǎn)化為一元連續(xù)函數(shù)求最值的問題．

8.

設(shè)f(x)是區(qū)間上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且滿足

其中f-1是f的反函數(shù)，求f(x)．正確答案：解

在兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

即

當(dāng)x≠0時(shí)，

故

在題中所給等式中令x=0得，因f(x)是上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，f-1(x)的值域?yàn)椋菃握{(diào)、非負(fù)的，故必有f(0)=0，從而

，

于是[解析](1)本題又一次用到了反函數(shù)的基本性質(zhì)：f-1[f(x)]=x；

(2)

利用待定系數(shù)確定A，B的值．

9.

設(shè)函數(shù)，求f'(x)，并求f(x)的最小值．正確答案：解

當(dāng)0＜x≤1時(shí)，

當(dāng)x＞1時(shí)，

所以

而

故

由f'(x)=0得唯一駐點(diǎn)，從而為f(x)的最小值點(diǎn)，最小值為．

10.

如圖所示，設(shè)曲線方程為，梯形OABC的面積為D，曲邊梯形OABC的面積為D1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，0)，a＞0，證明：

正確答案：證

因?yàn)?/p>

11.

設(shè)D是由曲線y=sinx+1與三條直線x=0，x=π，y=0圍成的曲邊梯形，求D繞Ox軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：解

12.

設(shè)拋物線y=ax2+bx+c過原點(diǎn)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)y≥0，又已知該拋物線與x軸及直線x=1所圍圖形的面積為．試確定a，b，c的值，使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V最?。_答案：解

因?yàn)榍€過原點(diǎn)，所以c=0．

由題設(shè)有，即．則

令，得，代入b的表達(dá)式得．

又因及實(shí)際情況，知當(dāng)時(shí)，體積V最?。?/p>

13.

過點(diǎn)P(1，0)作拋物線的切線，該切線與上述拋物線及x軸圍成一平面圖形，求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：解

設(shè)所作切線與拋物線相切于點(diǎn)，因?yàn)?/p>

故此切線方程為

又因該切線過點(diǎn)P(1，0)，所以，即x0=3．

從而，切線方程為

因此，所求旋轉(zhuǎn)體的體積

14.

曲線y=(x-1)(x-2)和x軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：解

在[1，2]上取積分元，體積元素

dV=2πx|y|dx．

旋轉(zhuǎn)體積的體積

曲線y=y(x)與x=a，x=b(0≤a＜b)及x軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積公式為．

15.

設(shè)平面圖形A由x2+y2≤2x與y≥x所確定，求圖形A繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：解

A的圖形如圖中陰影所示，取y為積分變量，它的變化區(qū)間為[0，1]，A的兩條邊界曲線方程分別為及x=y．

相應(yīng)于[0，1]上任一小區(qū)間[y，y+dy]的薄片的體積元為

于是所求體積為

16.

求曲線y=3-|x2-1|與x軸圍成的封閉圖形繞直線y=3旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積．正確答案：解

作出圖形如圖所示．的方程為y=x2+2(0≤x≤1)，的方程為y=4-x2(1≤x≤2)．

設(shè)旋轉(zhuǎn)體在區(qū)間[0，1]上體積為V1，在區(qū)間[1，2]上的體積為V2，則它們的體積元素分別為

dV1=π{32-[3-(x2+2)]2}dx=π(8+2x2-x4)dx．

dV2=π{32-[3-(4-x2)]2}dx=π(8+2x2-x4)dx．

由對(duì)稱性得

17.

設(shè)有一正橢圓柱體，其底面的長、短軸分別為2a、2b，用過此柱體底面的短軸且與底面成α角的平面截此柱體，得一楔形體(如圖)，求此楔形體的體積V．

正確答案：解法1

底面橢圓的方程為

以垂直于y軸的平行平面截此楔形體所得的截面為直角三角形，兩直角邊長分別為

故截面積,楔形體的體積

解法2

底面橢圓方程為，以垂直于x軸的平行平面截此楔形體所得的截面為矩形，其邊長分別為及xtanα,故截面面積，楔形體的體積

18.

設(shè)曲線y=ax2(a＞0，x≥0)與y=1-x2交于點(diǎn)A，過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A的直線與曲線y=ax2圍成一平面圖形(如圖)．問a為何值時(shí)，該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最大?最大體積是多少?

正確答案：解

當(dāng)x≥0時(shí)，由解得，故直線OA的方程為

旋轉(zhuǎn)體的體積

令，并由a＞0得唯一駐點(diǎn)a=4．