2024-2025學年山東省泰安市泰山區(qū)第六中學魯教版九年級數(shù)學專題復習學案專題七 圓

泰安市泰山區(qū)2024-2025學年第六中學魯教版九年級數(shù)學專題復習學案專題七圓【課標要求】1.理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索并掌握點與圓的位置關系。2.探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧。3.探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，知道同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角相等。了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半；直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對角互補。4.了解三角形的內(nèi)心與外心。5.了解直線與圓的位置關系，掌握切線的概念。6.能用尺規(guī)作圖：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形。7.會計算圓的弧長、扇形的面積；8.了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系.【考點梳理】一、圓的有關概念和性質(1)圓的有關概念①圓：平面上到定點的距離等于定長的組成的圖形叫做圓，其中為圓心，為半徑．②?。簣A上任意叫做圓弧，簡稱弧，半圓的弧稱為優(yōu)弧，半圓的弧稱為劣?。巯遥哼B接圓上任意兩點的叫做弦，經(jīng)過圓心的叫做直徑．（2）圓的有關性質①圓是軸對稱圖形；其對稱軸是任意一條過的直線；圓是中心對稱圖形，對稱中心為．②垂徑定理：垂直于弦的直徑這條弦，并且平分弦所對的．推論：平分弦（不是）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧．③弧、弦、圓心角的關系：在或中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別．推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角；所對的圓周角是直角；的圓周角所對的弦是直徑．④三角形的內(nèi)心和外心?：確定圓的條件：不在同一直線上的個點確定一個圓．?：三角形的外心：三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的，外接圓的圓心就是三角形三邊的垂直平分線的交點，叫做三角形的．?：三角形的內(nèi)心：和三角形的三邊都相切的圓叫做三角形的，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的。二、與圓有關的角（1）圓心角：在圓心的角叫圓心角。圓心角的等于它所對的弧的度數(shù)．（2）圓周角：頂點在，兩邊分別和圓的角，叫圓周角。圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的．（3）圓心角與圓周角的關系：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的等于它所對的圓心角的一半．三、與圓有關的位置關系（1）點與圓的位置關系=1\*GB3①點在圓內(nèi)點在圓；=2\*GB3②點在圓上點在圓；=3\*GB3③點在圓外點在圓；（2）直線與圓的位置關系=1\*GB3①直線與圓相離有個交點；=2\*GB3②直線與圓相切有個交點；=3\*GB3③直線與圓相交有個交點；四、與圓有關的定理1.垂徑定理垂徑定理：于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。2.弦弧角等量轉換定理：或中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等，所對的圓周角相等。此定理也稱1推4定理，即上述四個結論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，即：①；②；③；④eq\o(BA,\s\up5(⌒))=eq\o(BD,\s\up5(⌒))3.圓周角定理（1）圓周角定理：弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。（2）半圓或直徑所對的圓周角是；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是.（3）若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.即：在△中，∵∴△是直角三角形或注意：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理.4.圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角，外角等于它的.5.切線的性質與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可（2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點；推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心.以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個.即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線五、與圓有關的計算1.圓內(nèi)正多邊形的計算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有關計算在中進行；半徑r（內(nèi)心到頂點的線段）、邊心距d（內(nèi)心和邊的中點的線段或）、邊長a的一半知一推三.其中半徑和邊心距的夾角α為定值.關系式為：.2.扇形、圓錐的相關計算公式扇形：（1）弧長公式：.（2）扇形面積公式：.圓錐側面展開圖：（1）；（2）=.圓錐的體積：3.內(nèi)切圓及有關計算（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，它到的距離相等；（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=；（3）S△ABC=，其中a，b，c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑.【典型例題】例1.如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線DC是⊙O的切線，切點為C，AE⊥DC，垂足為E．連接AC．（1）求證：AC平分∠BAE；（2）若AC＝5，tan∠ACE＝，求⊙O的半徑．跟蹤訓練1．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點O為AB的中點，連接CO交⊙O于點E，⊙O與AC相切于點D．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）延長CO交⊙O于點G，連接AG交⊙O于點F，若AC＝4，求FG的長．例2．如圖，在△ABC中，AB＝BC，以BC為直徑作⊙O與AC交于點D，過點D作DE⊥AB，交CB延長線于點F，垂足為點E．（1）求證：DF為⊙O的切線；（2）若BE＝3，cosC＝，求BF的長．跟蹤訓練2．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）過點C作CF∥AD交AB的延長線于點F，若AC＝AD，BF＝2，求此圓半徑的長．例3.已知：射線OP平分∠MON，A為OP上一點，⊙A交射線OM于點B，C，交射線ON于點D，E，連接AB，AC，AD．（1）如圖1，若AD∥OM，試判斷四邊形OBAD的形狀，并說明理由；（2）如圖2，過點C作CF⊥OM，交OP于點F；過點D作DG⊥ON，交OP于點G．求證：AG＝AF．跟蹤訓練3．【感知】如圖①，點A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，則銳角∠APB的大小為度．【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點P在AC上（點P不與點A、C重合），連接PA、PB、PC．求證：PB＝PA+PC．小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE，通過證明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等邊三角形，進而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE．∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．請你補全余下的證明過程．【應用】如圖③，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P在⊙O上，且點P與點B在AC的兩側，連接PA、PB、PC，若，則的值為．例4．如圖，AB為⊙O的直徑，D，E是⊙O上的兩點，延長AB至點C，連接CD，∠BDC＝∠A．（1）求證：△ACD∽△DCB；（2）求證：CD是⊙O的切線；（3）若，AC＝10，求⊙O的半徑．跟蹤訓練4．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是上一點，P是AB延長線上一點，連接AD，DC，CP．（1）求證：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（請用兩種證法解答）（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半徑為3，CP＝4，求AP的長．【達標訓練】一．選擇題1．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是BC邊上一動點（點P不與B，C重合），連接AP，作點B關于直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．2．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝OD，則∠ABD的度數(shù)為（）A．90° B．95° C．100° D．105°3．如圖，拋物線y＝x2﹣4與x軸交于A、B兩點，P是以點C（0，3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，Q是線段PA的中點，連接OQ，則線段OQ的最大值是（）A．3 B． C． D．4第1題圖第2題圖第3題圖4．在△ABC中，若O為BC邊的中點，則必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依據(jù)以上結論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，點P在以DE為直徑的半圓上運動，則PF2+PG2的最小值為（）A． B． C．34 D．105．如圖，在網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1）中選取9個格點（格線的交點稱為格點），如果以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi)，則r的取值范圍為（）A．2＜r＜ B．＜r≤3 C．＜r＜5 D．5＜r＜6．如圖，⊙O的半徑為1，分別以⊙O的直徑AB上的兩個四等分點O1，O2為圓心，為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為（）A．π B．π C．π D．2π第4題圖第5題圖第6題圖7．如圖，A、B、C、D四點在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若在上取一點P，在上取一點Q，使得∠APQ＝130°，則下列敘述何者正確？（）A．Q點在上，且＞ B．Q點在上，且＜ C．Q點在上，且＞ D．Q點在上，且＜8．點A、C為半徑是3的圓周上兩點，點B為的中點，以線段BA、BC為鄰邊作菱形ABCD，頂點D恰在該圓直徑的三等分點上，則該菱形的邊長為（）A．或2 B．或2 C．或2 D．或29．工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，則這種鐵球的直徑為（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm10．如圖，A，B，C為⊙O上的三個點，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．20° B．18° C．15° D．12°第7題圖第9題圖第10題圖11．如圖所示，AD是⊙O的直徑，弦BC交AD于點E，連接AB，AC，若∠BAD＝30°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．50° B．40° C．70° D．60°12．如圖，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半徑，點P為OB上任意一點（點P不與點B重合），連接CP．若∠BAC＝70°，則∠BPC的度數(shù)可能是（）A．70° B．105° C．125° D．155°13．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝105°，連接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．則∠CBD的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°第11題圖第12題圖第13題圖14．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長分別為（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，15．如圖，點A，B，C，D均在直線l上，點P在直線l外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個第14題圖第15題圖16．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列說法錯誤的是（）A．1＜AB＜7 B．S△ABC≤6 C．△ABC內(nèi)切圓的半徑r＜1 D．當AB＝時，△ABC是直角三角形17．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點為E，若，則sinC的值是（）A． B． C． D．18．如圖，點O是△ABC外接圓的圓心，點I是△ABC的內(nèi)心，連接OB，IA．若∠CAI＝35°，則∠OBC的度數(shù)為（）A．15° B．17.5° C．20° D．25°19．如圖，AB切⊙O于點B，連結OA交⊙O于點C，BD∥OA交⊙O于點D，連結CD，若∠OCD＝25°，則∠A的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．40° D．45°第17題圖第18題圖第19題圖20．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在斜邊AB上，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點E，與AC相交于點F，連接DE．若AC＝8，BC＝6，則DE的長是（）A． B． C． D．21．蜂巢結構精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標系中，點P，Q，M均為正六邊形的頂點．若點P，Q的坐標分別為，（0，﹣3），則點M的坐標為（）A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）第20題圖第21題圖22．我國魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416．如圖，⊙O的半徑為1，運用“割圓術”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計⊙O的面積，可得π的估計值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得π的估計值為（）A． B．2 C．3 D．223．將一個正六邊形繞其中心旋轉后仍與原圖形重合，旋轉角的大小不可能是（）A．60° B．90° C．180° D．360°24．第29屆自貢國際恐龍燈會“輝煌新時代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對角線的夾角∠ACB＝15°，算出這個正多邊形的邊數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．12第22題圖第24題圖25．如圖，某小區(qū)要綠化一扇形OAB空地，準備在小扇形OCD內(nèi)種花，在其余區(qū)域內(nèi)（陰影部分）種草，測得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，則種草區(qū)域的面積為（）A． B． C． D．26．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為3，∠D＝120°，則的長是（）A．π B．π C．2π D．4π第25題圖第26題圖27．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，點O為BC的中點，以O為圓心，OB長為半徑作半圓，交AC于點D，則圖中陰影部分的面積是（）A．5π B．5﹣4π C．5﹣2π D．10﹣2π28．如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側面展開圖中的長為（）A．4π B．6π C．8π D．16π29．“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊△ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊△ABC的邊長為3，則該“萊洛三角形”的周長等于（）A．π B．3π C．2π D．2π﹣30．如圖，已知點C為圓錐母線SB的中點，AB為底面圓的直徑，SB＝6，AB＝4，一只螞蟻沿著圓錐的側面從A點爬到C點，則螞蟻爬行的最短路程為（）A．5 B． C． D．第27題圖第28題圖第29題圖第30題圖二．填空題31．為傳承非遺文化，講好中國故事，某地準備在一個場館進行川劇演出．該場館底面為一個圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿AB的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納名觀眾同時觀看演出．（π取3.14，取1.73）32．如圖，點A，B，C在半徑為2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點D，連接OA，則OE的長度為．33．如圖，在⊙O中，AB為直徑，C為圓上一點，∠BAC的角平分線與⊙O交于點D，若∠ADC＝20°，則∠BAD＝°．第31題圖第32題圖第33題圖如圖，某博覽會上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點P處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是55°，為了監(jiān)控整個展區(qū)，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器臺．35．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長AD至點E，已知∠AOC＝140°那么∠CDE＝°．36．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點D是⊙O上一點，∠CDB＝55°，則∠ABC＝°．第34題圖第35題圖第36題圖37．如圖，OA是⊙O的半徑，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于點D，AE是⊙O的切線，AE交OC的延長線于點E．若∠AOC＝45°，BC＝2，則線段AE的長為．38．如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD交于點E．＝2，連接AD，過點B的切線與AD的延長線交于點F．若∠AFB＝68°，則∠DEB＝°．40．如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是．第37題圖第38題圖第39題圖39．將三個相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長為2且各有一個頂點在直線l上．兩側螺母不動，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過兩側正六邊形的一個頂點．則圖2中：（1）∠α＝度；（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為（結果保留根號）．?41．如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，設正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則＝．42．如圖，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC，BD相交于點O，以點B為圓心，對角線BD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E，則圖中陰影部分的面積為．43．如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm，母線長為50cm，則煙囪帽的側面積為cm2．（結果保留π）第41題圖第42題圖第43題圖44．一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．將它們疊合在一起，邊BC與EF重合，CD與AB相交于點G（如圖1），此時線段CG的長是．現(xiàn)將△DEF繞點C（F）按順時針方向旋轉（如圖2），邊EF與AB相交于點H，連結DH，在旋轉0°到60°的過程中，線段DH掃過的面積是．45．如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角器的外弧分別交于點A，B，C，D，連接AB，則∠BAD的度數(shù)為．第44題圖第45題圖專題七圓參考答案例1.（1）證明：連接OC，∵直線DC是⊙O的切線，切點為C，∴OC⊥DC，又∵AE⊥DC，垂足為E，∴OC∥AE，∴∠EAC＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAE；（2）解：連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，又∵AE⊥DC，由（1）得：∠EAC＝∠OAC，∴∠ABC＝∠ACE，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan∠ACE＝，∴＝＝，∴BC＝，在Rt△ABC中，AB＝＝，∴OA＝．跟蹤訓練1.（1）證明：連接OD，作OM⊥BC于M，∵AC＝BC，O是AB中點，∴CO平分∠ACB，CO⊥AB，∵AC切圓于D，∴OD⊥AC，∴OD＝OM，∴BC是⊙O的切線；（2）作OH⊥AG于H，∴FG＝2GH，∵△OAC是等腰直角三角形，∴OA＝AC＝×4＝4，∵△AOD是等腰直角三角形，∴OD＝AO＝2，∴OG＝2，∴AG＝＝2，∵cosF＝，∴＝，∴GH＝，∴FG＝．例2.（1）證明：如圖，連接BD，OD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD，∵AB＝BC，∴AD＝CD，又∵OB＝OC，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AB，∵FD⊥AB，∴FD⊥OD，∵OD是半徑，∴DF是⊙O的切線；（2）解：由于cosC＝＝，可設CD＝4x，則BC＝5x，∴BD＝＝3x，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴∠DBE＝∠CBD，∵∠BED＝∠BDC＝90°，∴△BED∽△BDC，∴＝，即，解得x＝，經(jīng)檢驗，x＝是原方程的解，∴BC＝5x＝，∴OD＝BC＝，∵OD∥BE，∴△FEB∽△FDO，∴＝，即＝，解得FB＝．跟蹤訓練2.（1）證明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD是圓的直徑，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AC＝AD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ADC＝60°∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD＝90°，∴∠F＝90°，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠FBC+∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC＝BD，∵BD是圓的直徑，∴圓的半徑長是4．例3.（1）解：四邊形OBAD是菱形，理由如下：如下圖，作AS⊥DE于點S，作AT⊥BC于點T，∵OP平分∠MON，∴AS＝AT，∠AOD＝∠AOB，在Rt△ASD與Rt△ATB中，，∴Rt△ASD≌Rt△ATB（HL），∴SD＝TB，在Rt△ASO與Rt△ATO中，，∴Rt△ASO≌Rt△ATO（HL），∴SO＝TO，∴SO﹣SD＝TO﹣TB，即OD＝OB，∵AD∥OM，∴∠AOB＝∠OAD，∵∠AOD＝∠AOB，∴∠AOD＝∠OAD，∴AD＝OB，∴四邊形OBAD是平行四邊形，∵AD＝AB，∴四邊形OBAD是菱形；（2）證明：如下圖，連接FE，∵AS⊥DE，AT⊥BC，∴SD＝SE＝DE，TB＝TC＝BC，∵SD＝TB，∴DE＝BC，∵OD＝OB，∴OD+DE＝OB+BC，即OE＝OC，在△OEF與△OCF中，，∴△OEF≌△OCF（SAS），∴∠OEF＝∠OCF，∵CF⊥OM，∴∠OEF＝∠OCF＝90°，∵AS⊥DE，DG⊥ON，∴∠ODG＝∠OSA＝∠OEF＝90°，∴DG∥SA∥EF，∴＝＝1，∴AG＝AF．跟蹤訓練3.【感知】解：∵∠AOB＝90°，∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圓中，同弧所對的圓周角是圓心角的一半），故答案為：45；【探究】證明：延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE．∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS），∴PB＝EB，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠APB＝60°，∴△PBE為等邊三角形，∴PB＝