數(shù)學(xué)八年級(jí)湘教版上冊(cè)第二章三角形電子課件

2.1三角形本章內(nèi)容第2章觀察

觀察下圖，找一找圖中的三角形，并把它們勾畫出來(lái).你還能舉出一些實(shí)例嗎？不在同一直線上的三條線段首尾相接所構(gòu)成的圖形叫作三角形.三角形可用符號(hào)“△”來(lái)表示，如圖中的三角形可記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”.其中，點(diǎn)A，B，C叫作△ABC的頂點(diǎn)；∠A，∠B，∠C叫作△ABC的內(nèi)角（簡(jiǎn)稱△ABC的角）；線段AB，BC，CA叫作△ABC的邊.通?！螦，∠B，∠C的對(duì)邊BC，AC，AB可分別用a，b，c來(lái)表示.ABCabc

三角形中，有的三邊各不相等，有的兩邊相等，有的三邊都相等.

兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形.

在等腰三角形中，相等的兩邊叫作腰，

另外一邊叫作底邊，

兩腰的夾角叫作頂角，

腰和底邊的夾角叫作底角.腰腰底邊頂角底角底角

三邊都相等的三角形叫作等邊三角形（或正三角形）.

等邊三角形是特殊的等腰三角形——腰和底邊相等的等腰三角形.

在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和與第三邊的長(zhǎng)度之間有怎樣的大小關(guān)系？為什么？動(dòng)腦筋

在△ABC中，BC是連接B，C兩點(diǎn)的一條線段，由基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得AB+AC>BC.同理可得AB+BC>AC，AC+BC>AB.結(jié)論三角形的任意兩邊之和大于第三邊.一般地，我們可以得出：做一做

有三根木棒，其長(zhǎng)度分別為2cm，3cm，6cm，它們能否首尾相接構(gòu)成一個(gè)三角形？舉例例1如圖，D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，AD=BD，試判斷AC與BC的大小.解在△BDC中，有BD+DC>BC（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）.又AD=BD，則BD+DC=AD+DC=AC，所以AC>BC.練習(xí)1.（1）如圖，圖中有幾個(gè)三角形？把它們分別表示出來(lái).答：五個(gè)三角形.（2）如圖，在△DBC中，寫出∠D的對(duì)邊，

BD邊的對(duì)角.答：∠D的對(duì)邊是BC，

BD邊的對(duì)角是∠BCD.2.

三根長(zhǎng)分別為2cm，5cm，6cm的小木棒能首尾相接構(gòu)成一個(gè)三角形嗎？答：能.

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫作三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高.

如圖，AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，則線段AH是△ABC的BC邊上的高.如圖，試畫出圖中△ABC的BC邊上的高.做一做D

在三角形中，一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫作三角形的角平分線.

如圖，∠BAD=∠CAD，則線段AD是△ABC的一條角平分線.

在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫作三角形的中線.

如圖，BE=EC，則線段AE是△ABC的BC邊上的中線.

任意畫一個(gè)三角形，畫出三邊上的中線.你發(fā)現(xiàn)了什么？做一做EFDEFD

事實(shí)上，三角形的三條中線相交于一點(diǎn).

我們把這三條中線的交點(diǎn)叫作三角形的重心.

如圖，△ABC的三條中線AD，BE，CF相交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為△ABC的重心.G舉例例2如圖，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高.

（1）圖中共有幾個(gè)三角形？請(qǐng)分別列舉出來(lái).解（1）圖中有6個(gè)三角形，它們分別是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.（2）其中哪些三角形的面積相等？解因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD=DC.因?yàn)锳E是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，所以S△ABD=S△ADC.又練習(xí)1.利用三角尺（或直尺）、量角器任意畫出一個(gè)三角形，并畫出其中一條邊上的中線、高以及這條邊所對(duì)的角的平分線.2.

如圖，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中線，

BF是△EBD的角平分線，根據(jù)已知條件填空：ADC90AEABEBFDBE動(dòng)腦筋

在小學(xué)，我們通過(guò)對(duì)一個(gè)三角形進(jìn)行折疊、剪拼等操作（如圖），知道三角形的內(nèi)角和是180°，你能說(shuō)出這些方法的原理嗎？動(dòng)腦筋

在小學(xué)，我們通過(guò)對(duì)一個(gè)三角形進(jìn)行折疊、剪拼等操作（如圖），知道三角形的內(nèi)角和是180°，你能說(shuō)出這些方法的原理嗎？

上述兩種操作都是將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起構(gòu)成一個(gè)平角.由此受到啟發(fā)：因?yàn)橹本€在平移下的像是與它平行的直線，如圖，將△ABC的邊BC所在的直線平移，使其像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，得到直線.所以

.則

，所以∠B+∠BAC+∠C=180°.又結(jié)論三角形的內(nèi)角和等于180°.舉例例3在△ABC中，∠A的度數(shù)是∠B的度數(shù)的3倍，

∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).解設(shè)∠B為x°，則∠A為(3x)°，∠C為(x+15)°，從而有3x+x+(x+15)=180.解得x=33.所以3x=99，x+15=48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，33°，48°.議一議

一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最多有幾個(gè)直角？最多有幾個(gè)鈍角？

三角形的內(nèi)角和等于180°，因此最多有一個(gè)直角或一個(gè)鈍角.

三角形中，三個(gè)角都是銳角的三角形叫銳角三角形，

有一個(gè)角是直角的三角形叫直角三角形，有一個(gè)角是鈍角的三角形叫鈍角三角形.銳角三角形直角三角形鈍角三角形

直角三角形可用符號(hào)“Rt△”來(lái)表示，例如直角三角形ABC可以記作“Rt△ABC”.

在直角三角形中，夾直角的兩邊叫作直角邊，直角的對(duì)邊叫作斜邊.

兩條直角邊相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.

如圖，把△ABC的一邊BC延長(zhǎng)，得到∠ACD.

像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角，叫作三角形的外角.

對(duì)外角∠ACD來(lái)說(shuō)，∠ACB是與它相鄰的內(nèi)角，∠A，∠B是與它不相鄰的內(nèi)角.D

探究

在圖中，外角∠ACD和與它不相鄰的內(nèi)角∠A，∠B之間有什么大小關(guān)系？

我覺得可以利用“三角形的內(nèi)角和等于180°”的結(jié)論.因?yàn)椤螦CD+∠ACB=180°，

∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD

-∠A

-∠B=0（等量減等量，差相等）于是∠ACD=∠A+∠B.結(jié)論

三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.練習(xí)1.

填空：（1）在△ABC中，∠A=60°，∠B=∠C，則∠B=

；（2）在△ABC中，∠A-∠B=50°，

∠C-∠B=40°，則∠B=

.60°30°2.

如圖，AD是△ABC的角平分線，∠B=36°，

∠C=76°，求∠DAC的度數(shù).答：∠DAC的度數(shù)是34°3.

如圖，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度數(shù).答：∠C的度數(shù)是70°命題與證明本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.2

前面我們學(xué)習(xí)了許多有關(guān)三角形的概念

（如三角形、等腰三角形、等邊三角形以及三角形的高線、中線、角平分線等）如：

三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角叫作三角形的外角.

不在同一直線上的三條線段首尾相接所構(gòu)成的圖形叫作三角形；ABCD

像這樣，對(duì)一個(gè)概念的含義加以描述說(shuō)明或作出明確規(guī)定的語(yǔ)句叫作這個(gè)概念的定義.

例如：“把數(shù)與表示數(shù)的字母用運(yùn)算符號(hào)連接而成的式子叫作代數(shù)式”是“代數(shù)式”的定義.“同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線叫作平行線”是“平行線”的定義.說(shuō)出下列概念的定義：（1）方程；說(shuō)一說(shuō)

在三角形中，一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫作三角形的角平分線.我們把含有未知數(shù)的等式叫做方程.（2）三角形的角平分線.

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常要對(duì)一件事情作出判斷.

數(shù)學(xué)中同樣有許多問(wèn)題需要我們作出判斷.下列敘述事情的語(yǔ)句中，哪些是對(duì)事情作出了判斷？議一議（1）三角形的內(nèi)角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；（4）作一條線段等于已知線段；（5）一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角互補(bǔ)嗎？

一般地，對(duì)某一件事情作出判斷的語(yǔ)句（陳述句）叫作命題.

例如，上述語(yǔ)句（1），（2），（3）都是命題；

語(yǔ)句（4），（5）沒(méi)有對(duì)事情作出判斷，就不是命題.

（1）三角形的內(nèi)角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；

（4）作一條線段等于已知線段；（5）一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角互補(bǔ)嗎？觀察下列命題的表述形式有什么共同點(diǎn)？（1）如果a=b且b=c，那么a=c；（2）如果兩個(gè)角的和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角.

它們的表述形式都是“如果……，那么……”.

命題通常寫成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是條件，“那么”引出的部分就是結(jié)論.

例如，對(duì)于上述命題（2），“兩個(gè)角的和等于90°”就是條件，“這兩個(gè)角互為余角”就是結(jié)論.（2）如果兩個(gè)角的和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角.

有時(shí)為了敘述的簡(jiǎn)便，命題也可以省略關(guān)聯(lián)詞“如果”、“那么”.

如：“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”可以簡(jiǎn)寫成“對(duì)頂角相等”；“如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等”

可以簡(jiǎn)寫成“同角的余角相等”.做一做（1）指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫成“如果……，那么……”的形式：命題條件結(jié)論①能被2整除的數(shù)是偶數(shù).②有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對(duì)頂角.③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.那么這個(gè)數(shù)是偶數(shù)如果一個(gè)數(shù)能被2整除那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)那么它們的同位角相等如果兩條直線平行那么這兩條直線平行如果兩個(gè)同位角相等（2）上述命題③與④的條件與結(jié)論之間有什么聯(lián)系？③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.

命題③與④的條件與結(jié)論互換了位置.

對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，我們把這樣的兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)叫作原命題，另一個(gè)叫作逆命題.

例如，上述命題③與④就是互逆命題.③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.

從上我們可以看出，只要將一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換，就可得到它的逆命題，所以每個(gè)命題都有逆命題.練習(xí)1.

下列語(yǔ)句中，哪些是命題，哪些不是命題？（2）兩點(diǎn)之間線段最短；（4）過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.（3）任意一個(gè)三角形的三條中線都相交于一點(diǎn)嗎？（1）如果x=3，求的值；不是命題是命題不是命題是命題2.

將下列命題改寫成“如果……，那么……”

的形式.（1）兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）個(gè)位數(shù)字是5的整數(shù)一定能被5整除；答：如果兩條直線相交，那么這兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn).答：如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是5，那么這個(gè)數(shù)一定能被5整除.（4）三角形的一個(gè)外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角.（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和等于0；答：如果兩個(gè)數(shù)是互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)之和等于0.答：如果某角是三角形的外角，那么這個(gè)角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角.3.

寫出下列命題的逆命題：（1）若兩數(shù)相等，則它們的絕對(duì)值也相等；（2）如果m是整數(shù)，那么它也是有理數(shù)；（3）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（4）兩邊相等的三角形是等腰三角形.答：絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等答：如果m是有理數(shù)，那么它也是整數(shù)答：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行答：等腰三角形的兩邊相等議一議

下列命題中，哪些正確，哪些錯(cuò)誤？并說(shuō)一說(shuō)你的理由.（1）每一個(gè)月都有31天；（2）如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù).（3）同位角相等；（4）同角的補(bǔ)角相等.錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確

上面四個(gè)命題中，命題（4）是正確的，命題（1），（2），（3）都是錯(cuò)誤的.

我們把正確的命題稱為真命題，把錯(cuò)誤的命題稱為假命題.

（1）每一個(gè)月都有31天；（2）如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù).（3）同位角相等；

（4）同角的補(bǔ)角相等.

要判斷一個(gè)命題是真命題，常常要從命題的條件出發(fā)，通過(guò)講道理（推理），得出其結(jié)論成立，從而判斷這個(gè)命題為真命題，這個(gè)過(guò)程叫證明.

例如，命題“同角的補(bǔ)角相等”通過(guò)推理可以判斷出它是真命題.

由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1.因此∠2=∠3（等量代換）.于是，我們得出：同角（或等角）的補(bǔ)角相等.

要判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)例子（反例），它符合命題的條件，但不滿足命題的結(jié)論，從而就可判斷這個(gè)命題為假命題.

例如，要判斷命題“如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)”是一個(gè)假命題，我們舉出“0.1是有理數(shù)，但是0.1不是整數(shù)”這一例子即可判斷該命題是假命題.

我們通常把這種方法稱為“舉反例”.判斷下列命題為真命題的依據(jù)是什么？說(shuō)一說(shuō)（1）如果a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；（2）如果△ABC是等邊三角形，那么△ABC是等腰三角形.

分別是根據(jù)有理數(shù)、等腰（等邊）三角形的定義作出的判斷.

從上可以看到，在判斷一個(gè)命題是否為真命題時(shí)常常要利用一些概念的定義，但是光用定義只能判斷一些很簡(jiǎn)單的命題是否為真.

事實(shí)上，對(duì)于絕大多數(shù)命題的真假的判斷，光用定義是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，約公元前330—前275年）對(duì)他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)知識(shí)作了系統(tǒng)的總結(jié)，他挑選了一些人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的公認(rèn)的真命題作為證明的原始依據(jù)，稱這些真命題為公理.本書中，我們把少數(shù)真命題作為基本事實(shí).

例如，兩點(diǎn)確定一條直線；兩點(diǎn)之間線段最短等.

人們可以用定義和基本事實(shí)作為推理的出發(fā)點(diǎn)，去判斷其他命題的真假.

例如在七年級(jí)下冊(cè)，我們從基本事實(shí)出發(fā)證明了一些有關(guān)平行線的結(jié)論.基本事實(shí)同位角相等，兩直線平行.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.我們把經(jīng)過(guò)證明為真的命題叫作定理.

例如，“三角形的內(nèi)角和等于180°”稱為“三角形內(nèi)角和定理”.

定理也可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)，由某定理直接得出的真命題叫作這個(gè)定理的推論.

例如，“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”稱為“三角形內(nèi)角和定理的推論”，也可稱為“三角形外角定理”.

當(dāng)一個(gè)命題是真命題時(shí)，它的逆命題不一定是真命題.

例如，“如果∠1和∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2”是真命題，但它的逆命題“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是對(duì)頂角”就是假命題.

如果一個(gè)定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理.

我們前面學(xué)過(guò)的定理中就有互逆的定理.

例如，“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”和“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是互逆的定理.練習(xí)1.下列命題中，哪些是真命題，哪些是假命題？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由.（1）絕對(duì)值最小的數(shù)是0；答：真命題（2）相等的角是對(duì)頂角；（3）一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角；（4）在同一平面內(nèi)，如果直線a⊥l，b⊥l，那么a∥b.答：假命題答：假命題答：真命題2.舉反例說(shuō)明下列命題是假命題：（1）兩個(gè)銳角的和是鈍角；（2）如果數(shù)a，b的積ab＞0，那么a，b都是正數(shù)；（3）兩條直線被第三條直線所截同位角相等.答：直角三角形的兩個(gè)銳角和不是鈍角答：-1和-3的積是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正數(shù).答：兩條相交的直線a、b被第三條直線l所截，它們的同位角不相等3.

試寫出兩個(gè)命題，要求它們不僅是互逆命題，而且都是真命題.答：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是人們認(rèn)識(shí)事物的重要手段，而且人們可以從中猜測(cè)發(fā)現(xiàn)出一些結(jié)論.

采用剪拼或度量的方法，猜測(cè)“三角形的外角和”等于多少度.做一做

從剪拼或度量可以猜測(cè)三角形的三個(gè)外角之和等于360°，但是剪拼時(shí)難以真正拼成一個(gè)周角，只是接近周角；分別度量這三個(gè)角后再相加，結(jié)果可能接近360°，但不能很準(zhǔn)確地都得到360°.

另外，由于不同形狀的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，我們也不可能用剪拼或度量的方法來(lái)一一驗(yàn)證，因此，我們只能猜測(cè)任何一個(gè)三角形的外角和都為360°.

此時(shí)猜測(cè)出的命題僅僅是一種猜想，未必都是真命題.

要確定這個(gè)命題是真命題，還需要通過(guò)推理的方法加以證明.

數(shù)學(xué)上證明一個(gè)命題時(shí)，通常從命題的條件出發(fā)，運(yùn)用定義、基本事實(shí)以及已經(jīng)證明了的定理和推論，通過(guò)一步步的推理，最后證實(shí)這個(gè)命題的結(jié)論成立.

證明的每一步都必須要有根據(jù).

證明命題“三角形的外角和為360°”是真命題.動(dòng)腦筋

在分析出這一命題的條件和結(jié)論后，我們就可以按如下步驟進(jìn)行：

已知：如圖，∠BAF，∠CBD和∠ACE分別是△ABC的三個(gè)外角.求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.證明如圖，∵∠BAF=∠2+∠3，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性質(zhì)).∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.證明與圖形有關(guān)的命題時(shí)，一般有以下步驟：第一步第二步第三步畫出圖形寫出已知、求證寫出證明的過(guò)程根據(jù)題意根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形通過(guò)分析，找出證明的途徑例1

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在線段BA的延長(zhǎng)線上，射線AE平分∠DAC.求證：AE∥BC.舉例證明：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理），∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式的性質(zhì)）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分線的定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）.∴AE∥BC（同位角相等，兩直線平行）例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°.

分析這個(gè)命題的結(jié)論是“至少有一個(gè)”，也就是說(shuō)可能出現(xiàn)“有一個(gè)”、“有兩個(gè)”、“有三個(gè)”這三種情況.如果直接來(lái)證明，將很繁瑣，因此，我們將從另外一個(gè)角度來(lái)證明.證明假設(shè)∠A，∠B，∠C中沒(méi)有一個(gè)角大于或等于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，則∠A+∠B+∠C＜180°.這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”矛盾，所以假設(shè)不正確.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°.

像這樣，當(dāng)直接證明一個(gè)命題為真有困難時(shí)，我們可以先假設(shè)命題不成立，然后利用命題的條件或有關(guān)的結(jié)論，通過(guò)推理導(dǎo)出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，即所證明的命題正確，這種證明方法稱為反證法.

反證法是一種間接證明的方法，其基本的思路可歸結(jié)為“否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，肯定結(jié)論”.練習(xí)1.在括號(hào)內(nèi)填上理由.已知：如圖，∠A+∠B=180°.求證：∠C+∠D=180°.證明：∵∠A+∠B=180°（已知），

∴

AD∥BC（）.

∴∠C+∠D=180°

（

）.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)2.已知：如圖，直線AB，CD被直線MN所截，

∠1=∠2.

求證：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.證明：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）∠3+∠4=180°（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）3.已知：如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E.

求證：∠A+∠C=∠B+∠D.證明：∵

AB與CD相交于點(diǎn)E，∴∠AEC=∠BED（對(duì)頂角相等），又∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.中考試題例

命題①：同位角相等是在兩直線平行的前提下才有，所以它是錯(cuò)的；命題②：相等的角并不一定是對(duì)頂角；命題③和命題④均正確.解下列四個(gè)命題中是真命題的有（）.

①同位角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③直角三角形兩銳角互余；④三個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形.A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)C等腰三角形本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.3

我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的一些性質(zhì)，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性質(zhì)外，還具有哪些特殊的性質(zhì)呢？探究

任意畫一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖.

作△ABC關(guān)于頂角平分線AD所在直線的軸反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：D12射線AB的像是射線AC，射線AC的像是射線

；線段AB的像是線段AC，線段AC的像是線段

；點(diǎn)B的像是點(diǎn)C，點(diǎn)C的像是點(diǎn)

；線段BC的像是線段CB.從而等腰三角形ABC關(guān)于直線

對(duì)稱.ABABBAD由于點(diǎn)D的像是點(diǎn)D，因此線段DB的像是線段

，從而AD是底邊BC上的

.由于射線DB的像是射線DC，射線DA的像是射線

，因此∠BDA

∠CDA=

°，從而AD是底邊BC上的

.由于射線BA的像是射線CA，射線BC的像是射線

，因此∠B

∠C.DC中線DA=90高CB=結(jié)論由此得到等腰三角形的性質(zhì)定理：

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是頂角平分線所在的直線.

等腰三角形的兩底角相等(簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”).

結(jié)論

等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合(簡(jiǎn)稱為“三線合一”).動(dòng)腦筋因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB=BC=AC，從而∠C=∠A=∠B.由三角形內(nèi)角和定理可得：∠A=∠B=∠C=60°.

如圖，△ABC是等邊三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之間有什么關(guān)系呢？由此得到等邊三角形的如下性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，且都等于60°.結(jié)論

由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，分別是三個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線.例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E

在邊BC上，且AD=AE.

求證：BD=CE.舉例證明

作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，則AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底邊上的高，也是底邊上的中線.∴

BF=CF，∴

BF-DF=CF-EF，DF=EF，即

BD=CE.F

如圖的三角測(cè)平架中，AB=AC，在BC的中點(diǎn)D掛一個(gè)重錘，自然下垂，調(diào)整架身，使點(diǎn)A恰好在鉛錘線上.（1）AD與BC是否垂直，試說(shuō)明理由.（2）這時(shí)BC處于水平位置，為什么？議一議練習(xí)1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度數(shù)及DC的長(zhǎng).答：∠BAD=24.5°，

DC=2.2.如圖，點(diǎn)P為等邊三角形ABC的邊BC上一點(diǎn)，且∠APD=80°，AD=AP，求∠DPC

的度數(shù).答：∠DPC=20°.

我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過(guò)來(lái)，兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎？探究

如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關(guān)系嗎？我測(cè)量后發(fā)現(xiàn)AB與AC相等.3cm3cm事實(shí)上，如圖，在△ABC中，∠B=∠C.沿過(guò)點(diǎn)A的直線把∠BAC對(duì)折，得∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，則∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形內(nèi)角和的性質(zhì)得∠ADB=∠ADC.D12沿AD所在直線折疊，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射線DB與射線DC重合，射線AB與射線AC重合.從而點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，于是AB=AC.結(jié)論有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”).結(jié)論三個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形.

由此并且結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，還可以得到等邊三角形的判定定理：例2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E

分別是AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC.

求證：△ADE為等腰三角形.舉例證明∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵

DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.于是△ADE為等腰三角形.

有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？動(dòng)腦筋如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形內(nèi)角和定理得

∠A+∠B+∠C=180°.如果頂角∠A=60°，則∠B+∠C=180°-60°=120°.又AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠B=∠C=∠A=60°.∴△ABC是等邊三角形.由此得到另一條等邊三角形的判定定理：結(jié)論有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E

分別在BA，CA的延長(zhǎng)線上，且AD=AE.

求證：△ADE是等邊三角形.舉例證明∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，又AD=AE，∴△ADE是等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）練習(xí)1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和

∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O.

求證：△OBC為等腰三角形.ABCDEO證明∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠ABD=∠DBC=，

∠ACE=∠ECB=，∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，ABCDEO2.

已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠ACE=60°.

求證：△ACE是等邊三角形.證明∵CD平分∠ACB，∴在△ACE中，∠CAE=180°-

∠E-∠ACE=60°又∵∠ACE=60°，∴∠BCD=∠E=60°，∴∠ACD=∠DCB，∴∠ACD=∠DCB=60°，又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°

∴△ACE是等邊三角形.3.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，

DF∥BA，且DF平分∠CDE.求證：△ABC是等邊三角形.證明∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，中考試題例1

等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別是2cm和5cm，則這個(gè)三角形周長(zhǎng)為（）

A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.14cmB解析

另一邊長(zhǎng)為2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三邊關(guān)系定理，故選5.∴周長(zhǎng)為5+5+2=12cm.中考試題例2

若等腰三角形中有一個(gè)角等于50°，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.65°或50°

D.50°或80°解析

因?yàn)?0°可作為等腰三角形的一頂角或一底角，故選D.D線段的垂直平分線本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.4觀察

如圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于線段CD所在的直線l對(duì)稱，問(wèn)線段CD所在的直線l與線段AA′有什么關(guān)系？我發(fā)現(xiàn)

我們可以把人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡(jiǎn)化得到下圖.

已知點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線l對(duì)稱，如果沿直線l折疊，則點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直線l既平分線段AA′，又垂直線段AA′.●●lAA′D21(A)

我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.

由上可知：線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸.

如圖，在線段AB的垂直平分線l上任取一點(diǎn)P，連接PA，PB，線段PA，PB之間有什么關(guān)系？探究探究

作關(guān)于直線l的軸反射（即沿直線l對(duì)折），由于l是線段AB的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)B重合.從而線段PA與線段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl結(jié)論

線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理：動(dòng)腦筋

我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反過(guò)來(lái)，如果已知一點(diǎn)P到線段AB兩端的距離PA與PB相等，那么點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上嗎？（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，因?yàn)镻A=PB，所以點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí)，如下圖所示.因?yàn)镻A=PB，所以△PAB是等腰三角形.過(guò)頂點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，從而底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.即PC⊥AB，且AC=BC.因此直線PC是線段AB的垂直平分線，此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.結(jié)論

到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：例

已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平

分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC.

求證：點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.舉例證明∵點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，∴

OA=OB.同理OB=OC.∴

OA=OC.∴

點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.練習(xí)1.

如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交

AB，BC于點(diǎn)D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度數(shù).答：∠CAE=50°.2.已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且

AC=BC，AD=BD，AB與CD相交于點(diǎn)O.

求證：AO=BO.證明：∵

AC=BC，AD=BD，∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，∴CD為線段AB的垂直平分線.又

AB與CD相交于點(diǎn)O,∴AO=BO.做一做如圖，已知線段AB，作線段AB的垂直平分線.

根據(jù)“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”，要作線段AB的垂直平分線，關(guān)鍵是找出到線段AB兩端距離相等的兩點(diǎn).

因?yàn)榫€段AB的垂直平分線CD與線段AB的交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn)，所以可以用這種方法作出線段的中點(diǎn).動(dòng)腦筋如何過(guò)一點(diǎn)P作已知直線l的垂線呢？

由于兩點(diǎn)確定一條直線，因此我們可以通過(guò)在已知直線上作線段的垂直平分線來(lái)找出垂線上的另一點(diǎn)，從而確定已知直線的垂線.

用尺規(guī)完成下列作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）.1.如圖，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA=PB.練習(xí)2.如圖，作出△ABC的BC邊上的高.

如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，△BCE的周長(zhǎng)等于18cm，則AC的長(zhǎng)等于（）.A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm中考試題例解析∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等).又∵在△BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，∴BE+CE=10cm.∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故應(yīng)選擇C.C本節(jié)內(nèi)容2.5全等三角形第一課時(shí)同一張底片洗出的照片是能夠完全重合的觀察思考每組的兩個(gè)圖形有什么特點(diǎn)?能夠重合,大小相同,形狀相同能夠完全重合的兩個(gè)

圖形叫做全等形.ABCEDF例如能夠完全重合的兩個(gè)三角形,叫全等三角形.記作:△ABC≌△DEF讀作:△ABC全等于△DEF互相重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊.互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角.全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。全等三角形的性質(zhì)平移思考：兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，三對(duì)角也對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形全等嗎？議一議

如果兩個(gè)圖形全等，它們的形狀大小一定都相同嗎？全等圖形的形狀和大小都相同全等圖形的特征ACODB如圖△AOC≌△BOD1.對(duì)應(yīng)邊是：2.∠AOC的對(duì)應(yīng)角是∠A的對(duì)應(yīng)角是OA與OBOC與OD，AC與BD∠BOD∠BACODB旋轉(zhuǎn)ABCDAABBDC如圖△ABD≌△ABC⑴AD的對(duì)應(yīng)邊是；AB的對(duì)應(yīng)邊是⑵∠DAB的對(duì)應(yīng)角是ACAB∠CABABCD軸反射如圖△ABC≌△ABDABCDABBCDA⑴AC的對(duì)應(yīng)邊是

AB的對(duì)應(yīng)邊是⑵∠ABC的對(duì)應(yīng)角是BDBA∠BADABCD軸反射如圖△ABC≌△BADABCDE⑴△≌△⑵對(duì)應(yīng)邊是⑶對(duì)應(yīng)角是ABCDECAC與DC，AB與DE，BC與EC∠A與∠D、∠B與∠E、∠ACB與∠DCEABCDE旋轉(zhuǎn)有那些辦法可以驗(yàn)證兩個(gè)三角形全等？∵△ABC≌△ADE(已知)∴∠BAC=∠DAE(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)∴∠BAC-∠

DAC=∠DAE-∠

DAC(等式性質(zhì))即∠BAC=∠DAE填一填：如圖，已知△ABC≌△ADE,∠BAD=∠CAE嗎?為什么?ABCDEDABC已知全等表示：△ABC≌△CDA對(duì)應(yīng)頂點(diǎn):對(duì)應(yīng)邊:對(duì)應(yīng)角:思考：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角之間有什么關(guān)系?找全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法Ａ、長(zhǎng)邊對(duì)應(yīng)長(zhǎng)邊，大角對(duì)應(yīng)大角Ｂ、公共邊是對(duì)應(yīng)邊，公共角是對(duì)應(yīng)角Ｃ、對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊一般地：1：請(qǐng)指出下列全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角（1）、△ABE≌△CFA對(duì)應(yīng)角是：∠A和∠A、∠ABE和∠ACF、∠AEB和∠AFC；對(duì)應(yīng)邊是AB和AC、AE和AF、BE和CF。2、△BCE≌△BCF對(duì)應(yīng)角是：∠BCE和∠CBF、∠BEC和∠CFB、∠CBE和∠BCF。對(duì)應(yīng)邊是：CB和BC、CE和BF、CF和BE。3、△BOF≌△COE如何變換？軸反射舉例對(duì)應(yīng)角是：∠BFO和∠CEO、∠BOF和∠COE、∠FBO和∠ECO。對(duì)應(yīng)邊是：BO和CO、OE和OF、BF和CE。舉例2

.如圖,已知△ABC≌△DCB,AB=3,DB=4,∠A=60

°.

(1)寫出△ABC和△DCB的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角;（2）求AC

,DC的長(zhǎng)及∠D的度數(shù).解：(1)AB與DC,AC與DB,BC與CB是對(duì)應(yīng)邊;∠A與∠D,∠ABC與∠DCB,∠ACB與∠DBC是對(duì)應(yīng)角.(2)

∵AC與DB,AB與DC是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊,∴AC=DB=4,DC=AB=3.∵∠A與∠D是全等三角形的對(duì)應(yīng)角,∴∠D=∠A=60°.

≌全等于∠BCFCFBF∠CFB√√XX練習(xí)1.全等用符號(hào)

表示，讀作：.

2.若△BCE≌△CBF，則∠CBE=

,∠BEC=

,BE=

,CE=

.3.判斷題

1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.（）

2）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積也相等.（）

3）面積相等的三角形是全等三角形.（）

4）周長(zhǎng)相等的三角形是全等三角形.（）4.如圖:△ABC≌△DBF,找出圖中的對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角.BDACF答:∠B的對(duì)應(yīng)角是()∠C的對(duì)應(yīng)角是()∠BAC的對(duì)應(yīng)角是()

AB的對(duì)應(yīng)邊是()AC的對(duì)應(yīng)邊是()BC的對(duì)應(yīng)邊是()∠B∠F∠BDF

DB

DF

BF

6.如圖,已知△ADF≌△CBE,AD=4,BE=3,AF=6,∠A=20

°,∠B=120°.

(1)找出它們的所有對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角；（2）求△ADF

的周長(zhǎng)及∠BEC的度數(shù).5.如圖,△ABC≌△AED,AB是△ABC的最大邊，AE是△AED的最大邊,∠BAC與∠EAD對(duì)應(yīng)角,且∠BAC=25°，∠B=35°,AB=3cm,BC=1cm,求出∠E,∠ADE的度數(shù)和線段DE,AE的長(zhǎng)度。BCEDA解:∵△ABC≌△AED,(已知)∴∠E=∠B=35°(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)∠ADE=∠ACB=18O°-25°-35°=1200(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)DE=BC=1cm,AE=AB=3cm(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)7.如圖已知△AOC≌△BOD求證：AC∥BD8.如圖△ABD≌△EBC，AB=2cm,BC=5cm,求DE的長(zhǎng).拓展與延伸下圖是一個(gè)等邊三角形，你能把它分成兩個(gè)全等三角形嗎？你能把它分成三個(gè)全等三角形嗎？四個(gè)呢？這節(jié)課學(xué)了哪些知識(shí)？你有什么收獲？小結(jié)

全等圖形、全等三角形的定義是什么？全等三角形的性質(zhì)是

。找全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法：Ａ.長(zhǎng)邊對(duì)應(yīng)長(zhǎng)邊，大角對(duì)應(yīng)大角Ｂ.公共邊是對(duì)應(yīng)邊，公共角是對(duì)應(yīng)角Ｃ.對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊記住喲！

課后作業(yè)1.如圖，已知△ABD≌△ACD，∠B和∠C是一組對(duì)應(yīng)角，請(qǐng)寫出其他的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.2.如圖，已知△ABC≌△DEF，且A,D,B,E在同一條直線上，（1）試找出圖中能夠互相平行的線段，并說(shuō)明理由.（2）AD=BE嗎？為什么？1題2題3.如圖，將△ABC繞其頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后，得△AEF，（1）△ABC與△AEF的關(guān)系如何？（2）若∠CAB=110°，求∠FAB的度數(shù).4.如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°,D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，若△EAB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)是()（A）15°（B）20°（C）25°（D）30°3題DBCAE4題D本節(jié)內(nèi)容2.5全等三角形第2課時(shí)√√XX練習(xí)2.判斷題

1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.（）

2）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積也相等。（）

3）面積相等的三角形是全等三角形.（）

4）周長(zhǎng)相等的三角形是全等三角形.（）3.如圖:△ABC≌△DBF,找出圖中的對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角.BDACF答:∠B的對(duì)應(yīng)角是()∠C的對(duì)應(yīng)角是()∠BAC的對(duì)應(yīng)角是()

AB的對(duì)應(yīng)邊是()AC的對(duì)應(yīng)邊是()BC的對(duì)應(yīng)邊是()∠B∠F∠BDF

DB

DF

BF

1.若△BCE≌△CBF，則∠CBE=

,∠BEC=

,BE=

,CE=

.4.如圖，已知△ABC≌△DEF，且A,D,B,E在同一條直線上，（1）試找出圖中能夠互相平行的線段，并說(shuō)明理由.（2）AD=BE嗎？為什么？5.如圖，將△ABC繞其頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后，得△AEF，（1）△ABC與△AEF的關(guān)系如何？（2）若∠CAB=110°，求∠FAB的度數(shù).4題5題6.如圖,△ABC≌△AED,∠BAC=25°，∠B=35°,AB=3cm,BC=1cm,求出∠E,∠ADE的度數(shù)和線段DE,AE的長(zhǎng)度.BCEDA6題

兩個(gè)三角形滿足什么條件就能全等呢？下面我們就來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題.復(fù)習(xí)回顧

1.全等圖形、全等三角形的定義是什么？2.全等三角形的性質(zhì)是

。兩個(gè)三角形有六對(duì)元素，能否只考慮三對(duì)元素判斷兩個(gè)三角形全等呢？

每位同學(xué)在紙上的兩個(gè)不同位置分別畫一個(gè)三角形，它的一個(gè)角為50°，夾這個(gè)角的兩邊分別為2cm，2.5cm.將這兩個(gè)三角形疊在一起，它們完全重合嗎？由此你能得到什么結(jié)論？探究50°2cm2.5cm50°2cm2.5cm

我發(fā)現(xiàn)它們完全重合，我猜測(cè)：有兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.

下面，我們從以下這幾種情形來(lái)探討這個(gè)猜測(cè)是否為真.設(shè)在△ABC和中，，（1）△ABC和的位置關(guān)系如圖.

將△ABC作平移，使BC的像與重合，△ABC在平移下的像為.

由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此△ABC≌因?yàn)?，所以線段A″B″與重合，因此點(diǎn)與點(diǎn)重合，那么與重合，所以與重合，因此，從而（2）△ABC和的位置關(guān)系如圖（頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)重合）.因?yàn)?/p>

，將△ABC作繞點(diǎn)B的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于，所以線段BC的像與線段重合.因?yàn)?，所?A)B(C)又因?yàn)?/p>

，所以在上述旋轉(zhuǎn)下，BA的像與重合，從而AC的像就與重合，于是△ABC的像就是由于旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，因此△ABC≌（3）△ABC和的位置關(guān)系如圖.根據(jù)情形（1），（2）的結(jié)論得將△ABC作平移，使頂點(diǎn)B的像和頂點(diǎn)重合，因此（4）△ABC和的位置關(guān)系如圖.將△ABC作關(guān)于直線BC的軸反射，△ABC在軸反射下的像為由于軸反射不改變圖形的形狀和大小，因此△ABC≌根據(jù)情形（3）的結(jié)論得，因此由此得到判定兩個(gè)三角形全等的基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.通?？珊?jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”.結(jié)論在下列圖中找出全等三角形,并把它們用符號(hào)寫出來(lái).Ⅰ?30o8cm9cmⅥ?30o8cm8cmⅣⅣ8cm5cmⅡ30o?8cm5cmⅤ30o8cm?5cmⅧ8cm5cm?30o8cm9cmⅦⅢ?30o8cm8cmⅢ例1已知：如圖，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.求證：△ACO≌△BDO.舉例證明：在△ACO和△BDO中，∴△ACO≌△BDO.（SAS）AO=BO，∠AOC=∠BOD，（對(duì)頂角相等）CO=DO，例2如圖，AD平分∠BAC，AB=AC?！鰽BD與△ACD全等嗎？BD與CD相等嗎？∠B與∠C呢？請(qǐng)說(shuō)明理由.1.如圖，將兩根鋼條AA′和BB′的中點(diǎn)O連在一起，使鋼條可以繞點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就可做成測(cè)量工件內(nèi)槽寬度的工具（卡鉗）.只要量出的長(zhǎng)，就得出工件內(nèi)槽的寬AB.這是根據(jù)什么道理呢？△ABO≌△A′B′O，∴AB=A′B′.隨堂練習(xí)2.

如圖，AD∥BC，AD=BC.

問(wèn)：△ADC和△CBA是全等三角形嗎？為什么？3.

已知：如圖，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn).

求證：BE=CF.小結(jié)1.這節(jié)課學(xué)習(xí)判定兩個(gè)三角形全等的方法？2.這個(gè)判定方法是如何得到的？轉(zhuǎn)化“SAS”用語(yǔ)言敘述：基本事實(shí)3.判定兩個(gè)三角形全等可以幫助我們解決哪些問(wèn)題？證明線段（或角相等）

證明線段（或角）所在的兩個(gè)三角形全等.4.書寫證明過(guò)程時(shí)需注意什么？

(1)證明兩個(gè)三角形全等所需的條件應(yīng)按對(duì)應(yīng)邊、

對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊順序書寫;(2)“邊角邊”中的“角”必須是兩邊的夾角;1.已知:如圖,AC=AD,∠CAB=∠DAB.求證:△ACB≌△ADB.3.若AB=AC，則添加什么條件可得△ABD≌△ACD?4.如圖，∠B＝∠E，AB＝EF,BC＝DE，那么△ABC與△FED全等嗎？為什么？還能證明哪些結(jié)論？2.如圖，已知AB＝AC，AD＝AE。求證：∠B＝∠C課堂作業(yè)ABCD(1題)ABDC(2題)FEDCBA21(3題)BCDEA(4題)全等三角形第3課時(shí)1.已知:如圖,AC=AD,∠CAB=∠DAB.求證:△ACB≌△ADB.2.若AB=FE，BC=ED,AB∥FE,求證：△ABD≌△ACD?ABCD(1題)FEDCBA(2題)復(fù)習(xí)演練復(fù)習(xí)回顧你還記得嗎？全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.如何判斷兩個(gè)三角形是全等三角形?兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角有什么重要性質(zhì)？情境導(dǎo)入

小穎不小心將一塊三角形玻璃打成了三塊，如圖所示，他想拿去到商店配一塊與原來(lái)一模一樣的玻璃，請(qǐng)你幫他想想辦法，帶哪一塊去最省事？（1）（2）（3）探究如圖,在△ABC和△A’B’C’中,BC=B’C’,∠B=∠B′,

∠C=∠C′,你能通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射等變換使△ABC的像與△A’B’C’

重合嗎？△ABC與△A’B’C’全等嗎？我們一起來(lái)探討！B’’C’’A’’兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.(可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”).結(jié)論類似于基本事實(shí)“SAS”的探究，同樣地，我們可以通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和軸反射等變換使△ABC的像與重合，因此△ABC≌角邊角定理：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”.∴△ABC≌△A’B’C’(ASA)∵∠A=∠A’AB=A’B’∠B=∠B’在△ABC與△A’B’C’中，

ABCA’B’C’解決情境的問(wèn)題（1）（2）（3）（3）利用“角邊角”可知,帶第(3)塊去，配到與原來(lái)全等的三角形玻璃。舉例例1

已知：如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，

AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.求證：△ABE≌△CDF.證明∵

AB∥DC，∴∠A=∠C.△在ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF

（ASA）.∠A=∠C，AB=CD，∠B=∠D，例2、如圖：已知△ABC≌△DEF,AM,DN分別是∠BAC和∠EDF的角平分線，求證：AM=DNABCMDEFN從第2題中，你能得出什么結(jié)論？全等三角形對(duì)應(yīng)角平分線相等例3

如圖，為測(cè)量河寬AB，小軍從河岸的A點(diǎn)沿著和AB垂直的方向走到C點(diǎn)，并在AC的中點(diǎn)E處立一根標(biāo)桿，然后從C點(diǎn)沿著與AC垂直的方向走到D點(diǎn)，使D，E，B恰好在一條直線上.于是小軍說(shuō)：“CD的長(zhǎng)就是河的寬.”你能說(shuō)出這個(gè)道理嗎？ABECD解：在△AEB和△CED中，∠A=∠C=90°，AE=CE，∠AEB=∠CED(對(duì)頂角相等)∴△AEB

≌△CED.（ASA）∴

AB=CD.(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)此，CD的長(zhǎng)就是河的寬度.﹛因1、已知：點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE和CD相交于點(diǎn)O，AB=AC，∠B=∠C。求證：△ADC≌△AEB2.如圖，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD嗎？為什么？AD與BC呢？練習(xí)3.如圖，∠1=∠2，∠3=∠4。求證：AC=AD4.如圖，O是AB的中點(diǎn)，∠A=∠B，求證：△AOC≌△BODABCDE1題ABCD2題1234

ABCD3題ABCOD4題7.如圖，已知∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，你添加一個(gè)條件是

.

∠ADB=∠ADC或AB=AC5.如圖，AB⊥BC于B,DC⊥BC于C，AB＝DC,∠A=∠D求證：△ABE≌△DCF.6.已知:如圖，四邊形ABCD中，AC與BD相交于O,∠1=∠2，∠3=∠4，求證：(1)△ABC≌△ADC;

(2)OB=OD.ABCDEF5題ABCDO12346題ABCD127題1.三角形全等的判定定理2：角邊角定理

兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)稱“角邊角”或“ASA”

2.全等三角形對(duì)應(yīng)角平分線相等小結(jié)本節(jié)課你有什么收獲？3.三角形全等可以幫助我們解決哪些問(wèn)題？證明線段（或角相等）

證明線段（或角）所在的兩個(gè)三角形全等.轉(zhuǎn)化4.書寫證明過(guò)程時(shí)需注意對(duì)應(yīng)邊、角的對(duì)應(yīng)順序.

全等三角形第4課時(shí)知識(shí)復(fù)習(xí)★判定兩個(gè)三角形全等方法有哪些?