北京市石景山區(qū)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

石景山區(qū)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期初三期末試卷

數(shù)學(xué)

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

X

1.如果2x=5y（y?0）,那么了的值是（）

,2757

A.—B.一C.-D,一

5522

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：：2x=5y,

?_x__5

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在中，ZC=90°.若sinA=-BC=4,則A3的長(zhǎng)為（）

B

A.2B.26c.2A/13D.6

【答案】D

【解析】

【分析】利用銳角三角函數(shù)定義列式得出答案.

2

【詳解】解：：sinA=—,6c=4,

3

AB=6,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用正弦三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，掌握正弦三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵.

3.如圖，點(diǎn)AB,。在:「。上，若405=140。，則/ACB的度數(shù)為（）

B.50°C.70°D.140°

【答案】C

【解析】

【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出答案.

【詳解】解：ZAOB=140°,

:.ZACB=10°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

Ap

4.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE與對(duì)角線5。交于點(diǎn)?若AB=5,BE=3,則一

EF

545

A.-B.-C.一D.-

5433

【答案】D

【解析】

【分析】由菱形的性質(zhì)證明AO〃BC,可得再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：???菱形ABC。，AB=5,

：.AD=AB=BC=5,AD//BC,

：./\AFT^/\F.FB,而BE=3,

AFAD5

EF~BE~3

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△AFCK-AEFB是解本題的關(guān)鍵.

5.將拋物線y=(x-1?+3向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的拋物線的表達(dá)式為()

y=+5y=+1

y=(x+l)2+3D.y=(x-3)2+3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：把拋物線y=(x—+3向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線解析式為：y=(x—1,+3+2,

即y=(x-l)2+5；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.

6.若圓的半徑為9,則120。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為()

A.3B.6C.3兀D.6兀

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式計(jì)算即可.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了求弧長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)的公式，在代入圓心角度數(shù)時(shí)，力的值一定不要帶度

數(shù).

7.若二次函數(shù)y=爐+2工-根的圖象與x軸有交點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是()

A.m>-1B.m>-lC.m<lD.m￡1

【答案】B

【解析】

【分析】拋物線與x軸有交點(diǎn)，說(shuō)明A=ZJ2—4acN0，由此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得八=廿一4ac=4—4xlx(—m)=4+4機(jī)20,

解得加之一1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與X軸的交點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)丁=以2+法+。（a,b,C是常數(shù)，

a/0）,A=^—4ac決定拋物線與天軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：A=/—4ac>0時(shí)，拋物線與天軸有2個(gè)交點(diǎn)；

△=/—4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；A=b?—4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

8.如圖，線段AB=10cm,點(diǎn)尸在線段A5上（不與點(diǎn)A6重合），以"為邊作正方形APCD,設(shè)

AP=xcm,BP=ycm,正方形APCD的面積為Sen?，則>與x,S與了滿足的函數(shù)關(guān)系分別為

（）

Di--------iC

4PB

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系B.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系D.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

【答案】A

【解析】

【分析】通過(guò)=尸=10cm,可得到>與x的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)正方形APCD的面積可得到S與尤

的函數(shù)關(guān)系.

【詳解】解：AB=AP+BP=1O,

x+y=10,

y——x+10,

所以y與％是一次函數(shù)關(guān)系；

S正方形APCD=4P=*，

S—x2>

所以S與X是二次函數(shù)關(guān)系；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是通過(guò)題意準(zhǔn)確找出關(guān)系式.

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每題2分）

9.如圖，在JLBC中，D、E分別是邊A3、AC的中點(diǎn)，若VADE的面積是1,則一ABC的面積是

A

【答案】4

【解析】

【分析】據(jù)三角形中位線定理得到。E〃8C,DE=^BC,得到△AOESAABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)

算即可.

【詳解】解：E分別是邊48、AC的中點(diǎn)，

：.DE//BC,DE=^BC,

：.AADEsLABC,

.DE,1

,,SAADE：SAABC=(-------)——

BC4

VADE的面積是1,

_ABC的面積是4

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握相似三角形的面積比等于相似

比的平方是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在.ABC中，A6>AC,點(diǎn)。在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上且人石.只需添加一個(gè)條

件即可證明△ABCS/VIED,這個(gè)條件可以是（寫出一個(gè)即可）.

【答案】Z1=ZC

【解析】

【分析】由相似三角形的判定定理可求解.

【詳解】解：添加Nl=/C,

又：NA=NA，

/\ABCs/vLED,

故答案為：Z1=ZC（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵.

11.如圖，PA,PB分別與「。相切于A,8兩點(diǎn).若NAP3=60°，0A=2,則PB的長(zhǎng)為

【答案】273

【解析】

【分析】連接0P，由切線長(zhǎng)定理可得NAPO=5PO=30°，從而可得出OP=2Q4=4,最后由勾股定理

得出PB.

【詳解】解：連接。P,如圖，

PA,PB分別與；。相切于A,3兩點(diǎn).且NAP3=60°，

ZAPO=BPO=-ZAPB=-x60°=30°,OA±PA,OBLPB,

22

...OP^2OA=4,

在RtaPOB中，OP=4,OB=OA=2,

由勾股定理得，PB=y/PO2-OB2=25/3-

故答案為：2也■

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)是本題的

關(guān)鍵.

12.拋物線y=犬—6x+5的對(duì)稱軸為直線.

【答案】x=3

【解析】

【分析】把解析式化頂點(diǎn)式即可求得答案.

【詳解】解：y=%2—6x+5=（x—3）2—4,

對(duì)稱軸是直線x=3,

故答案為：x=3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵.

13.在平面直角坐標(biāo)系宜為中，若點(diǎn)（l，x）,（4,%）在反比例函數(shù)y=&（左＞0）的圖象上，則”

X-

乃（填“＞"，“=”或）?

【答案】＞

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)左＞0,在每個(gè)象限內(nèi)，y隨尤的增大而減小，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：；左＞0,在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，

/.0＜1＜4,

X＞%?

故答案為：＞.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

14.如圖，線段A3,CD分別表示甲、乙建筑物的高，ABJLMN于點(diǎn)8,CD：LMN于點(diǎn)D,兩座建

筑物間的距離BD為35m.若甲建筑物的高AB為20m,在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C的仰角。為45°，則乙建筑

物的高CD為__________m.

【答案】55

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AELCD于點(diǎn)E,可得4￡=5￡）=35111,瓦）=45=20111,再求出?！?從而可求出結(jié)

論.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E,如圖,

AE—BD-35m,ED—AB=20m,

：NC4E=45°

CE=AE-tan45°=35m

CD=CE+ED=35+20=55m

故答案為：55

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，考查了特殊角的三角函數(shù)值，本題中求得CE的長(zhǎng)是

解題的關(guān)鍵.

15.如圖，點(diǎn)A,B,C在（。上，ZABC=100°.若點(diǎn)。為。。上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合），則

ZADC的度數(shù)為.

【答案】80?；?00。

【解析】

【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)。在優(yōu)弧AC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)O在劣弧AC上時(shí)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可

得出答案.

【詳解】解:

分兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)。在優(yōu)弧AC上時(shí)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可知NADC=180?！猌A5C=80。，

當(dāng)點(diǎn)。在劣弧AC上時(shí)，ZADC=100°,

故答案為：80?；?00。.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，二次函數(shù)丁=口^+陵+4。/。）的圖象與％軸交于4（一2,0）,B

兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x=l,下面四個(gè)結(jié)論中，

①。<0

②當(dāng)x>-2時(shí)，y隨x的增大而增大

③點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）

④若點(diǎn)〃（一1,%），N（5,%）在函數(shù)的圖象上，則為>為

所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①④

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】解：：二次函數(shù)的圖象開口向下，

Aa<0,故①正確；

由圖象可得，當(dāng)x<l時(shí)，y隨x的增大而增大，故②錯(cuò)誤；

:二次函數(shù)y=a^+Z?x+c（awO）的圖象與x軸交于4（一2,0）,B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線》=1,

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,0）,故③錯(cuò)誤；

?.?點(diǎn)1,%），N（5,%）在函數(shù)的圖象上，

%>0,%<0

%>%，故④正確

正確的結(jié)論是①④

故答案為：①④

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象性質(zhì).

三、解答題(共68分，第17-21題，每題5分，第22題6分，第23題5分，第24-26題，

每題6分，第27-28題，每題7分)解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

17.計(jì)算：2sin600_g+(_l)2°23+卜_力|.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的混合運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】解：2sin600-712+(-1)2023+11-731

=2X^-2A/3-1+(73-1)

=V3-2A/3-1+V3-1

=—2?

【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的混合運(yùn)算，正確計(jì)算是解題的關(guān)

鍵.

18.如圖，A是直線上一點(diǎn)，ABAC=9Q°,過(guò)點(diǎn)^作加,皿于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE_L肱V于點(diǎn)

E.

(2)若AB=亞,AD=AE=2,求CE的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析(2)CE=4

【解析】

【分析】(1)分別證明/加8=/后。1,/3。4=/?！?=90°,即可得出結(jié)論;

(2)先由勾股定理求出瓦＞=1，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再代入相關(guān)數(shù)值即可得出結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

,：ZBAC=90°,

???ZBAD+ZCAE^9()，

?：BDLMN,CELMN

；?NBDA=NCEA=90°，

NCAE+NACE=90°，

:./BAD=ZACE,

在△45。和_?！?中，

ZBAD=ZCEA=90°

ZDAB=ZCEA

tADB_CEA

【小問(wèn)2詳解】

在RtAAB。中，AD=2,AB=5

由勾股定理得，BD=y]AB2-BD2=1-

■:ADBCEA,

.AEBD

''~CE~~AD，

,21

,,CE-2

/.C￡=4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，證明/54￡>=NACE是解答本題的關(guān)鍵.

19.已知：如圖1,P為。。上一點(diǎn).

求作：直線尸。，使得PQ與,。相切.

作法：如圖2,

PP/

①連接。P;

②以點(diǎn)尸為圓心，。尸長(zhǎng)為半徑作弧，與一。的一個(gè)交點(diǎn)為A,作射線Q4；

③以點(diǎn)A為圓心，。尸長(zhǎng)為半徑作圓，交射線Q4于點(diǎn)。（不與點(diǎn)。重合）；

④作直線R2.

直線就是所求作的直線.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接

由作法可知AP=AO=AQ,

...點(diǎn)尸在以O(shè)Q為直徑的/上.

ZOPQ=°（）（填推理的依據(jù)）.

：.OP±PQ.

又是C。的半徑，

???尸。是。的切線（）（填推理的依據(jù)）.

【答案】（1）見解析（2）90,直徑所對(duì)的圓周角是直角；過(guò)半徑的外端與半徑垂直的直線是圓的切線

【解析】

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可;

（2）利用圓周角定理解決問(wèn)題即可.

【小問(wèn)1詳解】

如圖,

【小問(wèn)2詳解】

證明：連接

由作法可知AP=AO=AQ,

.??點(diǎn)P在以。。為直徑的.,A±.

...NOPQ=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）.（填推理的依據(jù)）

：.OP±PQ.

又；OP是。的半徑,

，尸。是:-）。的切線（過(guò)半徑的外端與半徑垂直的直線是圓的切線）（填推理的依據(jù)）.

故答案為：90,直徑所對(duì)的圓周角是直角；過(guò)半徑的外端與半徑垂直的直線是圓的切線

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖，圓周角定理，切線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解

決問(wèn)題.

20.《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.其中第九卷《勾

股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一

尺，問(wèn)徑幾何？”

用現(xiàn)代的語(yǔ)言表述如下，請(qǐng)解答:

如圖，A3是。。的直徑，弦于點(diǎn)E,EB=1寸,CD=10寸，求直徑A3的長(zhǎng).

【答案】直徑A3的長(zhǎng)為26寸

【解析】

【分析】連接OC,由直徑A3與弦CD垂直，根據(jù)垂徑定理得到E為CD的中點(diǎn)，由的長(zhǎng)求出CE

的長(zhǎng)，設(shè)OC=Q4=x寸，則A5=2x寸，OE=（x-l）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半徑，即

可得出直徑A3的長(zhǎng).

【詳解】解：連接OC,

?..弦A3為圓。的直徑,

為CD的中點(diǎn)，

又,:CD=10寸，

/.CE=DE」a)=5寸，

2

設(shè)OC=Q4=x寸，則AB=2x寸，OE=(x-l)寸，

由勾股定理得：OE~+CE~=OC2.

即(x—I)?+5?=f,

解得：％=13,

AB=26寸，

即直徑A3的長(zhǎng)為26寸.

【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理；解答此類題常常利用垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一

半，弦心距及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOx中，二次函數(shù)y=%2—4%+3的圖象與X軸交于點(diǎn)A，8(點(diǎn)A在點(diǎn)2的左

側(cè))，頂點(diǎn)為C.

(1)直接寫出點(diǎn)8,點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；

⑶若點(diǎn)P(O，n),Q(〃〃)在此二次函數(shù)的圖象上，則機(jī)的值為.

【答案】⑴點(diǎn)3(3,0),點(diǎn)CQ,-1)

(2)見解析(3)4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以求得該函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)，將題目中的函數(shù)解析式化為

頂點(diǎn)式即可直接寫出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)根據(jù)(1)中求得的各點(diǎn)的坐標(biāo)，可以畫出該函數(shù)的圖象；

⑶判斷出直線尸。x軸，且點(diǎn)P(0,n),。(相，力關(guān)于直線x=2對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性可得結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

:二次函數(shù)y=4x+3=(x—2>—l=(x—l)(x—3),

.?.當(dāng)y=。時(shí)，石=3,X2=l；當(dāng)x=0時(shí)，y=3；該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,T),

:二次函數(shù)y=f—4%+3的圖象與無(wú)軸交于點(diǎn)A,8(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，頂點(diǎn)為C,

...點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,。)，點(diǎn)3(3,0),點(diǎn)C(2,-1)；

【小問(wèn)2詳解】

如圖所示.

【小問(wèn)3詳解】

:點(diǎn)P(O,n),

直線PDx軸,

.?.點(diǎn)P(O,n),關(guān)于直線x=2對(duì)稱,

m+0八e/Dq

-------=2，解得m=4,

2

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的

性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

22.如圖，在ABC中，ZC=60°,tanB=—,BC=10,求AC的長(zhǎng).

4

【解析】

【分析】過(guò)A作AOSBC于￡>,在RtZVLBD和Rt.ACD中，根據(jù)角度和三角函數(shù)值可將3D、CD用

AD表示出來(lái)，再根據(jù)3￡>+。>=5。，即可求得的長(zhǎng)，最后利用三角函數(shù)即可求得AC的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖所示：過(guò)A作ADIBC于。,

D

AD

tanB----——，

BD4

4J3

:.BD=-^—AD，

3

ZC=60°,AD1BC,

ADr

「.tanC-....-tan60°=<3,

CD

:.CD^—AD,

3

BD+CD=BC,

:.^-AD+—AD=BC=10>

33

AD=2也，

CD=—AD=—x2A/3=2，

33

AC=A/A02+C￡>2=J（273）2+22=4，

...AC的長(zhǎng)為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、勾股定理，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握正切的定義.

23.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，反比例函數(shù)％=竺（加/0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（—1,—6）,一次函數(shù)

X

y2=丘一1（左片0）的圖象與〉軸交于點(diǎn)艮

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式并直接寫出點(diǎn)5的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)%>2時(shí)，對(duì)于尤的每一個(gè)值，都有％<%,直接寫出左的取值范圍.

【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=9；5（0,-1）

（2）k>2

【解析】

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，對(duì)于直線%=履一M左w°）令％=0,得y=-1，求得點(diǎn)8的坐標(biāo);

（2）令y=9中，x=2,解得：y=3,結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：依題意，把點(diǎn)人（一1,一6）,代入％='（mwO）

x

得m=（T）x（-6）=6，

...反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-；

由為=辰一1（左W。）的圖象與y軸交于點(diǎn)B,

令x=0,得y=-l,

???3（0,-1）；

【小問(wèn)2詳解】

解：如圖，令丁=9中，x=2,解得：y=3,

x

當(dāng)直線必="—1（左/0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3）時(shí)，

3=21

解得：k=2,

根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)左22時(shí)，

當(dāng)x>2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，都有％<為，

：.k>2

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

24.為了在校運(yùn)動(dòng)會(huì)的推鉛球項(xiàng)目中取得更好的成績(jī)，小石積極訓(xùn)練，鉛球被推出后的飛行路線可以看作

是拋物線的一部分.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從鉛球出手（點(diǎn)A處）到落地的過(guò)程中，鉛球的豎

直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（x—〃了+左（a<0）.

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出滿足函數(shù)關(guān)系,=。（l-丸）2+左（4<0）,并直接寫出小石此次訓(xùn)練的成績(jī)（鉛球落

地點(diǎn)的水平距離）；

（2）第二次訓(xùn)練時(shí)，小石推出的鉛球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系

y=-0.09（x—3.1）?+2.55.記小石第一次訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)?,第二次訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)?，則4

d2（填“>”,“="或）.

【答案】（1）y=-0.1（x—3y+2.5；小石此次訓(xùn)練的成績(jī)8m

（2）<

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出/八人的值，訓(xùn)練高度的最大值；將表格中除頂

點(diǎn)坐標(biāo)之外的一組數(shù)據(jù)代入函數(shù)關(guān)系式即可求出。的值即可得出函數(shù)解析式；

（2）設(shè)著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0,分別代入第一次和第二次的函數(shù)關(guān)系式，求出鉛球落地點(diǎn)的水平距離4和

d2,然后進(jìn)行比較即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（3,2.5）,

:.h=3,k—2.5,

即該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為2.5,

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=L6,代入y=a(x—3『+2.5得：

a(O-3『+2.5=1.6,

解得：a——0.1,

二函數(shù)關(guān)系式為：y=-0.1(x-3)2+2.5,

由表格數(shù)據(jù)可知：第一次訓(xùn)練時(shí)的水平距離為8m；

【小問(wèn)2詳解】

解：根據(jù)表格可知，第一次訓(xùn)練時(shí)的水平距離4=8,

第二次訓(xùn)練時(shí)，當(dāng)y=。時(shí)，-O.O9(x-3.1)2+2.55=0,解得

x=立亙+3.L423，(舍x=—立亙+3.1)

33

水平距離d2=8.423,

??d1d2，

故答案為：＜.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，得出4和4是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，AB是的直徑，C,。是上的點(diǎn)且=0C，過(guò)點(diǎn)。作。石工AC交AC的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)E.

(1)求證：OE是「〉。的切線；

(2)連接。。，若cosNECD=昱,AB=15,求CD的長(zhǎng).

5

【答案】(1)見解析(2)3近

【解析】

【分析】(1)如圖：連接00.根據(jù)圓周角定理可得"40=/D45,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

NDAB=NODA,進(jìn)而得到，C4￡>=/OZM可得AE//0D,再由平行的性質(zhì)可得。E_L0。，最后

由切線的性質(zhì)即可證明結(jié)論；

(2)連接BD,根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角，利用三角函數(shù)可以求出3。，再利用05=0。得到

8=6。解題即可.

【小問(wèn)1詳解】

證明：如圖，連接0D.

7BD=CD，

：.ZCAD=ZDAB,

OA=OD，

:.NDAB=NODA.

：.ZCAD=ZODA,

：.AEOD.

?/DELAE,

：.DELOD,

,：OD為。。的半徑，

ED是《。的切線.

E

解：如圖，連接3￡),

E

NB+ZACD=180。，/ACD+NECD=180°,

:.NB=NECD,

:AB是直徑，

.?./ADC=90。，

5。=A3xcos/3=15x立=3"

5

BD=CD，

???CD=BD=3A/7，

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理，解決本題掌握切線的判定與性質(zhì)和圓周角定理

是解答本題的關(guān)鍵.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOv中，點(diǎn)4（-2,772）在拋物線丁=依2+o（。>0）上，拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)

5a,0）,。（％，°），其中%<%2.

（1）當(dāng)。=1,m=-3c時(shí)，求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)。（％+3,〃）在拋物線上，若根>〃>0,求X］的取值范圍.

【答案】（1）丁=爐—1,（0,-1）

3

（2）——<%,<-1

2f

【解析】

【分析】（1）直接將a=l,〃z=-3c,A（—2,〃。代入拋物線解析式求解即可；

（2）利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可；

【小問(wèn)1詳解】

解：當(dāng)a=l,〃z=—3c,將點(diǎn)4（一2,加）代入得:

-3c=4+c，

解得：c=-1,

故拋物線的解析式為：y^x2-l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-1）；

【小問(wèn)2詳解】

解：：磯％,0）,。（兀2，°）是拋物線丁=依2+。（。>°）與無(wú)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，X<々，

axf+c=0,石=-x2,

?.?點(diǎn)4（—2,m）在拋物線上，A'（2,在拋物線上

?.?點(diǎn)。（％+3M在拋物線上，

a（x+3『+c=〃，

axy+6ax1+9〃+c=〃，

n=6axx+9a,

*.*n>0,

6axI+9〃>0,”0,

.3

..Xy>----，

12

又；x>0時(shí)，y隨x增大而增大，m>n>Q,

/.xt+3<2,

為<—1,

,3?

?.—<x,<—1.

21

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.如圖，四邊形ABCD是正方形，以點(diǎn)A為中心，將線段A3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)i（0°<a<90。），得到線段

AE,連接￡)￡,BE.

（1）求”￡?的度數(shù)；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BFLDE于點(diǎn)F,連接CF,依題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段OE與CF的數(shù)量關(guān)系,

并證明.

【答案】（1）45°

（2）ED=V2FC-見詳解

【解析】

【分析】（1）求出NAEBNAED的度數(shù)，即可求出“E3；

（2）依題意補(bǔ)全圖形，連接2,證△EBCS/\JEB￡）即可求出OE與的數(shù)量關(guān)系.

【小問(wèn)1詳解】

解：在正方形ABC。中，AB=AD=BC,ZBAD=ZABC=90°,

/EAB=%AE=AB,

ZAED=ZADE=45°--a,ZAEB=ZABE=90°a,

22

:.ZDEB=ZAEB—ZAED=45。

【小問(wèn)2詳解】

解：ED=6FC，

理由：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，連接BD

BFA.ED,

:.ZEFB=ZDFB=90。,

由（1）知ND￡B=45°,

:.NFBE=NFEB=45。,

EF=FB,EB=yjEF2+BF2=^2BF，

在小一ABD中，BD=VAS2+AD2=y[2AB=J2BC>

EB41BFBF

"BD~叵BC-BC'

又?NEBF=ZABD=45。,

：.ZEBD=ZEBF+ZABD+ZABF=90°+ZABF,

ZCBF=ZABC+ZABF=90°+ZABF,

:.ZEBD=ZFBC,

.?.△EBD^AFBC,

EDEBs/2FB歷

"~FC~~FB~FB'

ED=yJlFC

AD

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等

知識(shí)，連接20,證是解本題的關(guān)鍵.

28.在平面直角坐標(biāo)系中，圖形W上任意兩點(diǎn)間的距離若有最大值，將這個(gè)最大值記為d.對(duì)于點(diǎn)

P和圖形W給出如下定義：點(diǎn)。是圖形W上任意一點(diǎn)，若尸，。兩點(diǎn)間的距離有最小值，且最小值恰好

為d,則稱點(diǎn)尸為圖形W的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

y.yi

77

66

55

44

33

22

-7-6-5-4-3-201234567x-7-6-5-4-3-2-1234567x

-1

-2

-4