人教版八年級下冊數(shù)學(xué)平行四邊形期末壓軸題訓(xùn)練（含答案）

人教版八年級下冊數(shù)學(xué)平行四邊形期末壓軸題訓(xùn)練

1.如圖，在等邊三角形A8C中，邊長為12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度是3cm/s；

同時(shí)點(diǎn)。由B點(diǎn)出發(fā)，沿84方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s,過點(diǎn)Q的直線QE〃AC,交BC于點(diǎn)E,設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為r（s）（0<r<4）,解答下列問題：

（1）當(dāng)f為何值時(shí)，PQLAC2

（2）當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)，設(shè)四邊形PQEC的面積為yen?,求y與f的關(guān)系式；

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻f,使得以P,Q,E,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存

在，求出/的值；若不存在，求出f的值，若不存在，說明理由

2.如圖，四邊形0A8C為矩形，其中。為原點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)是（4,

7）.點(diǎn)。，E分別在OC,CB邊上，且CE：EB=5：3.將矩形0ABe沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在48邊

上點(diǎn)F處.

（1）求尸點(diǎn)的坐標(biāo)：

（2）點(diǎn)P在第二象限，若四邊形PEFQ是矩形，求尸點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若M是坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸上，若以點(diǎn)M,N,D,尸為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請直接寫出所

有滿足條件的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo).

備用圖

3.如圖1,在△ABC中，ZB=90°,NC=30。，點(diǎn)。從C點(diǎn)出發(fā)沿著CA方向以2個(gè)單位每秒的速度向

終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)。，E的運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為f秒，于F.

(1)求證：AE—DFt

(2)如圖2,連接E凡AC=12.

①是否存在f,使得四邊形AE尸。為菱形？若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由；

②連接OE,當(dāng)△￡>￡尸是直角三角形時(shí)，求f的值.

4.已知正方形A8CD中，點(diǎn)E,尸分別在邊C￡>,8C上，連接AE,DF.

圖1圖2圖3

(1)若E為CD的中點(diǎn)，AELO產(chǎn)于點(diǎn)0.

①如圖1,求證：BF=CF；

An

②如圖2,連接。C,求普的值:

(2)如圖3,若AB=A，DE=BF,則AE+W的最小值為(直接寫出結(jié)果).

5.在正方形A3C。中，連接AC,點(diǎn)E在線段AD上，連接BE交AC于過點(diǎn)M作交CO于

圖①圖②圖③

(1)如圖①，求證：ZABE+ZCMF=ZACD；

(2)如圖②，求證：BM=MF；

(3)如圖③，連接8F,當(dāng)AE:AZ)=1:2,AB=6時(shí)，求B尸的長.

6.如圖，四邊形ABC。是正方形，點(diǎn)P是線段A8的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，連接。0,

以點(diǎn)例為直角頂點(diǎn)作交NC8P的角平分線于N,過點(diǎn)C作CE//MV交AD于E,連接

CN,DN.

MB

(1)求證：DM=MN.

(2)求證：EMHCN.

(3)若AE=1,BN=3近,求。N的長.

7.如圖1,在正方形A8CD和正方形BEFG中，點(diǎn)4、B、E在同一直線上，連接OF,且點(diǎn)M是O廠的中

點(diǎn)，連接MC、MG.

(1)在圖1中，MC與MG的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,將條件“正方形ABC。和正方形BEFG”改為“矩形ABC。和矩形BEFG，，其他條件不變，求

證：MC=MG；

(3)如圖3,若將條件“正方形A2C。和正方形8EFG”改為“菱形ABCZ)和菱形2EFG"，點(diǎn)A、B、E在同

MC

一直線上，連接。凡且點(diǎn)M是OF的中點(diǎn)，連接MC、MG,且所=60。求=的值.

MG

8.如圖，在四邊形ABC。中，NB=60°,AB=DC=4,AD=BC=8,延長BC到E,使CE=4,連接

DE,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC-CD-D4向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f

秒(A0).

(1)當(dāng)f=3時(shí)，BP=；

(2)當(dāng)/=時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的角平分線上；

(3)當(dāng)0Vr<6時(shí)，請用含f的代數(shù)式表示△ABP的面積S；

(4)當(dāng)0</<6時(shí)，直接寫出點(diǎn)尸到四邊形ABEC相鄰兩邊距離相等時(shí)f的值.

9.如圖，在平行四邊形48C。中，對角線AC和8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在8c延長線上，AE平分/BAO

交CD于點(diǎn)F,點(diǎn)G為E尸的中點(diǎn)，連接8G,CG,DG,△ABE的面積為S,△BGD的周長為/.

(1)求證：DF=BC；

(2)若GF=GC,試判斷△。/G與△BCG是否全等，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，若EC=2,S=32,求/.

10.如圖，在以點(diǎn)。為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(a,0),(a,6),點(diǎn)C在y軸

上，且BC//X軸，a,人滿足|“-3|+病4=().點(diǎn)尸從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著0-A

-B-C-0的路線運(yùn)動(dòng)(回到。為止).

(1)直接寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，連接PC,PO,求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并直接寫出/CPO,NBCP,/AOP之間滿

足的數(shù)量關(guān)系；

(3)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)f秒后(#0),是否存在點(diǎn)尸到x軸的距離為個(gè)單位長度的情況.若存在，求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

11.(1)如圖1,8。是正方形A8C。的對角線，P是8。上一點(diǎn)，AMPN=90°,PM±AB,交AB于點(diǎn)

M,PNLBC,交8c于點(diǎn)N,猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系是；

(2)將圖1中的NV/W按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度到圖2的位置，使PM交A3于點(diǎn)M,PN交BC于點(diǎn)N,

猜想P例與PN的的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,將圖2的正方形A3CD換成菱形ABC。，ZABC=60°,P是8。上一點(diǎn)，ZA/AV=120°,使

PM交AB于點(diǎn)、N,PN交BC于前N,且依=6,求四邊形PM8N的面積.

12.如圖，四邊形ABCQ與四邊形AEFG均為正方形，DE與BG交于點(diǎn)、H,BG與AE交于點(diǎn)

(1)求證：BG=DE；

(2)求證：DH2+GH2=DG；

(3)將正方形A8C￡＞繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0。＜/區(qū)4￡：＜180。)，設(shè)AABE的面積為S/,△ACG的面積為

S2,判斷5/與S2大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

13.如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)、E、F分別是邊BC、A8上的點(diǎn)，且CE=8F,連接。E過點(diǎn)E作

(2)如圖2,若點(diǎn)E、F分別是C8、BA延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請寫

出判斷并予以證明；

(3)如圖3,若點(diǎn)E、F分別是BC、延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？如果

成立，直接寫出結(jié)論；如果不成立，說明理由.

14.已知正方形A8C。的邊BC上有兩點(diǎn)E、F,連接AE、力廠相交于點(diǎn)P.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)PF=PE時(shí)，求證：PA=PD^

(2)如圖2,連接BP,8P延長線交CC于點(diǎn)G,當(dāng)AP=AB時(shí)，求NOPG的度數(shù)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，延長BC到M,使CM=CF,以。C、CM為鄰邊作矩形QCMN,延長

BG交MN于點(diǎn)、Q,當(dāng)PE=2,QM=6時(shí)，求4B的長.

15.(1)嘗試探究：

如圖1,E是正方形ABC。的邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CFJLCE,交A8的延長線于F.

圖1圖2

①求證：4CDE出ACBF；

②過點(diǎn)C作/ECf1的平分線交AB于P,連接尸E,請?zhí)骄縋E與PF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)拓展應(yīng)用:

如圖2,E是正方形ABC。的邊AO上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF_LCE,交A8的延長線于F,連接EF交08

于M,連接CM并延長CM交AB于P,已知48=6,DE=2,求PB的長.

16.如圖，在四邊形ABCD中，ADHBC,4=90°,AO=8cm,BC=10cm,4?=6cm,點(diǎn)。從點(diǎn)A

出發(fā)以Icm/s的速度向點(diǎn)￡＞運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).P,。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)

P到達(dá)點(diǎn)C時(shí).兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/(s)

(1)直接寫出：QO=cm,PC=cm.(用含f的式子表示)

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQQC為平行四邊形？試說明理由.

(3)若點(diǎn)尸與點(diǎn)C不重合，且。。當(dāng)f為何值時(shí)，VOPQ是等腰三角形？

17.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN〃BC,設(shè)MN交/BC4的平分線

于點(diǎn)E,交△BCA的外角平分線于點(diǎn)凡

(I)探究OE與。尸的數(shù)量關(guān)系并加以證明;

(2)四邊形8CFE會(huì)是菱形嗎？若是，請加以證明；若不是，則說明理由;

(3)當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？請說明理由;

(4)在(3)間的基礎(chǔ)上，AABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？為什么？

MN

BD

18.在菱形ABC。中，NABC=60。，點(diǎn)P是射線80上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊VAPE,連接

CE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊AO上時(shí)，填空：

①BP與CE的數(shù)量關(guān)系是___________,

②CE與AO的位置關(guān)系是__________;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請予以證明；若不成立，

請說明理由.

(3)如圖3,在點(diǎn)P的移動(dòng)過程中，連接AC,DE,若A8=2,PD==1,請直接寫出四邊形AC0E的面

積值.

A

一

ccC

圖1圖2圖3

19.如圖，四邊形ABC。是邊長為2的正方形，E為線段BC上一動(dòng)點(diǎn),EF1AC,垂足為尸.

(1)如圖1,連接OE交AC于點(diǎn)M,若ZDE尸=15。，求A"的長；

(2)如圖2,點(diǎn)G在BC的延長線上，點(diǎn)E在8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足CG=二BE,

①連接8尸，DG,判斷8尸，OG的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

②如圖3,若2為CG的中點(diǎn)，直接寫出。E+2。。的最小值為_______

4____________D4DAD

BEB-ECGBEO~G

圖1圖2圖3

20.如圖，尸是正方形A8CZ)的邊CD右側(cè)一點(diǎn)，CP=CD,NPC。為銳角，連PB,PD.

(1)如圖1,若PD=PC,則NBPD的度數(shù)為；

(2)如圖2,作CE平分/28交加于E.

①求/BEC的度數(shù)；

②猜想PZ),BE,CE之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,若PB=6,則四邊形PC8D的面積為平方單位

答案

1.

解：(1)?.,A45C是等邊三角形，

.-.ZA=60°,

?/ZPQ1AC,

/.ZAP0=90°,

,ZAeP=90°-60°=30°,

z.AP=^AQf

由題意得：AP=3tcm,QB=tan,則AQ=(12T)O〃，

.-.3r=l(12-r),

解得：，當(dāng)1?，

12

「?當(dāng)才為匕s時(shí)，PQ-LAC；

7

(2)過點(diǎn)。作RV/_LAB于M,過點(diǎn)。作QNJ.8C于N,如圖1所示:

:.ZAMP=ZQNB=900,

???AA8C是等邊三角形，

/.ZA=ZABC=ZC=60°,

:.ZAPM=ZBQN=30Q,

.\AP=2AM,QB=2BN,

31

/.AM=—/,BN=—t

229

在RJAMP中，由勾股定理得：PM=〃尸一A"=J(3r)2_(沙二當(dāng)t,

在RtaQNB中，由勾股定理得：QN=JQB=BM沙_(5)2=今,

2

■-SMPQ=^AQPM=^x(\2-t)x^-t=943t-^-t,

■：OEHAC,

ZQEB=ZC=60°,

???NQ8￡=60。，

?.ABQE是等邊三角形，

:.BE=QB=t,

??.SMe￡=；8E,QN=；xfx爭=?『,

■.■BD1AC,

.-.AD=CD=-AC=6,

2

在RtABCD中，由勾股定理得：BDNBC-CD2=66，

S^BC=~AC.BD=^x12x6G=365/3,

-0*y=S^BC-SWQ-S^=36百=36百-9^3(+與F，

QE

???當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，丁與/的關(guān)系式為：y=36后-9人+日產(chǎn)；

(3)存在，理由如下：

①當(dāng)四邊形PQE。是平行四邊形時(shí)，如圖2所示：

圖2

則/￡>=QE,

vOE/MC,

/.ZgEB=ZC=60o,

vZe^=60°,

????便是等邊三角形,

:.QB=QE=PDf

?/AD=6,

.\PD=6-3t,

=6—3/9

3

t=-!

2

②當(dāng)四邊形PDQE是平行四邊形時(shí)，如圖3所示:

D

Q

圖3

則PD=QE,

同①得：ABQE是等邊三角形，

,QB=QE=PD,

,/AD=6,

..PD=3t-6f

.'.t=3t—6,

z=3；

3

綜上所述，當(dāng)r為9s或3s時(shí)，使得以P,Q,E,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

2

2.

解：（1）:打點(diǎn)的坐標(biāo)是（4,7）.點(diǎn)、D,E分別在OC,C8邊上，且CE：EB=5：3,

，點(diǎn)E坐標(biāo)是（：，7）,

2

:四邊形0ABe為矩形，

：.BC=AO=4,0C=AB^l,CE=~,BE=BC-CE=-,

22

:將矩形沿直線。E折疊，點(diǎn)C落在A8邊上點(diǎn)尸處，

：.EF=CE=~,

2

：.BF=y/EF2-EB2=后=2,

：.AF=l-2=5,

點(diǎn)尸（4,5）；

（2）如圖2中，連接PF交DE于J,過點(diǎn)。作。

B

當(dāng)四邊形PEF。是矩形時(shí)，△POEgZSFQE之△CEQ,

設(shè)OD=x,則CD=DF=7-x,FM=7-2-x=5-x,

在中，42+（5-X）2=（7-X）2,解得：x=2,

：.D(0,2),

，：E(-,7),DJ=JE,

2

59、

—,—)f

42

'：PJ=JF,

：.P(-J4)；

2

（3）①當(dāng)OF為菱形的對角線時(shí)，M、N分別在A8與OC上ND=NF,

37

^-2)2=(4-0)-+(5解得：y=—

o

373725

/.TV(0,—),FM=DN=--2=—

666

：.AM=5--5

6"6,

：.M(4,-)；

6

②當(dāng)OF為菱形的邊時(shí)，M在AB的延長上，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，ND=DF=5,

：.M(4,10),N(0,7)；

③當(dāng)Ob為菱形的邊時(shí)，N在。。的延長上，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，ND=DF=5,

：.025-2=3,

綜上所述：M,N的坐標(biāo)為：（4,5（0,3：7）或（4,10）,（0,7）或（4,0）,（0,-3）.

66

3.

VZDFC=90°,ZC=30°,DC=2t,

:?DF=t,

又

：.AE=DF.

（2）①存在.

理由如下：如圖2①，

圖2①

'：AB±BC,DF±BC,

：.AE//DF,

5L'：AE=DF,

四邊形AEFD為平行四邊形，

；AC=12,

：.AD=-AC-DC=12-2t,

若使平行四邊形AEF。為菱形，則需AE=AO,

."12-It,

解得：t—4,

...當(dāng)f=4時(shí)，四邊形AEF。為菱形.

②如圖2②，

(i)若/E￡>F=90。時(shí)，四邊形EBFC為矩形，

在RQAEZ)中，/AED中，ZADE=ZC=30°,

：.AD=2AE,

即12-2t=2t,

解得：f=3.

(ii)若NOEF=90。時(shí),

???四邊形4EFD是平行四邊形，

J.EF//AD,

：.NADE=NOE'尸=90°,

"?ZA=90°-ZC=60°,

ZAED=90°-60°=30°,

：.AD=^AE,

24

解得：r=y.

(iii)若NOE/=90。時(shí)，此種情況不存在，

24

綜上所述，當(dāng)f=3或，=可時(shí)，△￡＞石b為直角三角形.

4.

(1)①??,四邊形A8CD為正方形，

AAD=CD=BC,Z4DC=NC=90。，

/.NZME+NAED=90。，

?:AErDF9

：.NCOHNAED=90。，

:.NDAE=NCDF,

ZADE=ZC

在△AOE和△OCF中，＜AD=BC,

/DAE=NCDF

**?^ADE^=^DCF9

：.DE=CF,

YE為。。的中點(diǎn)，

??.DE=-CD,

2

：.CF=-BC

2f

：.BF=CF.

②如圖，過點(diǎn)c分別作/于4

VZFCH+ZCFD=9009NEDO+NCFD=9。。,

ZEDO=ZFCHf

/DOE=/CHF

在^CHF和^DOE中,/EDO=NFCH,

DE=CF

???MCHF絲XCGE,

:?CH=OD,

9：AE±DF,CHLDF,

：.AE//CH,

??,點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，

：,OE為公CD"的中位線，

：?OD=OH,DH=2OH,

:?CH=OH,

是等腰直角三角形，

,OC=OCH,

_,\CH=OD

在△AO。和△￡>〃(?中，<",

[AD=CD

:./\ADO^/\DCH,

：.CH=OD=OHfAO=DH=2OH=2CH,

AO2CH仄

(2)如圖，延長。C至UP使CO=CP,連接AP,交BC于F,

AB=AD

在△AOE和AAB尸中，]ZABF=Z.ADE,

BF=DE

：.AADE^AABF,

：.AE=AF,

,/ZBCD=90°,CD=CP,

:?DF=PF,

：.AE+DF=AF+PF=AP,

???點(diǎn)A、F、尸在一條直線上，

???AP的長為AE+DF的最小值，

*.*AB=樂,

AD=CD=>f\5,DP=2AD=2\[l5,

:?AP=ylAD2+Dp2=56即AE+Ob的最小值為56.

故答案為：5A/3

5.

(1)證明：如圖①中,

ED

圖①

在正方形ABC。中，ZBAD=90°,AD=CD,

：.ZDAC=ZACD1

在ABE中，/AEB=90°-/ABE,

?；FM1.BE,

???NBMF=90。,

：.ZCMF+ZCMB=90°9

NCMB=90O-NCMF,

ZAME=ZCMB=90°-ZCMF,

在AAME中，ZEAM+ZAME+ZAEM=180°,

ZEAM+(90°-ZCMF)+(90°-ZA5E)=180°,

I.NABE+/CMF=NEAM,

：.ZABE+ZCMF=ZACD；

(2)證明：如圖②中，作M”〃8C交CO于"，交A8于G.

圖②

?:GH〃BC,

：.ZAGH=Z.ABC=9G°,ZGHD=ZDCB=90°f

JZGBC=ZCHG=ZGBC=90°,

???四邊形BGHC是矩形，

CH=BG,

u

：ZHCM=ZCMH=45°f

:?HM=CH,則

???ZBMF=90°,

AZBMG+ZHMF=90°fNHMF+NMFH=90。,

???/BMG二/MFH,

:,/\BGMW/\MHF(A4S),

：?BM=FM；

(3)解：如圖③中，延長。。到P,使得CP=AE,連接E凡BP.

\9AB=BC,NBAE=NBCP=90。,AE=CP,

：./XABE^^CBP(SAS),

：?BE=BP,NABE=NCBP,

???ZABE+ZEBC=ZABC=90°,

JNCBP+NEBC=90。,即ZEBP=90°,

9：BM=MF,ZBMF=90°,

：.NMBF=45。,

；?NPBF=NEBF=45。,

?；BF二BF,

:?△BEgABPF(SAS),

:,EF=PF,

VAE:AD=1:2,

：.AE=DE=-AD

29

■;BC=AD=CD=AB=6,

：.AE=DE=3f

設(shè)CF=/n,則。F=6-m,PF=3+m.

,:EF=PF,

；?EF=3+m,

在R/ZkQEF中，VE^DE^DF2,

32+(6-m)2=(3+m)2,

解得m=2,B|JCF=2,

在Rt&BCF中，BF=y/cF2+CB2=及+G=2西.

6.

(1)證明：在邊DA上截取線段。尸，使。尸=M3連ME.

C

D

MBQP

???四邊形ABC。是正方形

/.AB=BC=CD=AD;NDAB=ZABC=/BCD=NCDA=90。

NCBP=180°-ZABC=90°

?；BN平分NCBP

/.NCBP=45。

/NBM=ZABC+NCBN=90°+45°=135°

\DF=MB,AD=AB

:.AD-DF=AB-MB

:.AF=AM

在用△EW中,AF=AW,

/.ZAFM=ZAMF=45°

/.MFD=180°-ZAFM=135°

:.NMFD=/NBM

vZDM/V=90°

/.ZNMB+ZDMA=180°-90°=90°

-ZDMA+ZMDF=90°

"NMB=/MDF

在AMD尸和ANMB中

NMFD=/NBA

<DF=MB

NMDF=4NMB

：.AA/DF^AWB(ASA)

:.DM=MN.

(2)如圖，

設(shè)0M與CE的交點(diǎn)為”,

??,四邊形ABCQ是正方形

AD=DC,ADAM=ZCDE=90°

ZDMN^9Q°,CE//MN

NDHC=90°,

ZHDC+NDCH=90°

:.AHDC+ZADM=90°

：.NDCE=AADM,

2CDE=NDAM

在△￡?€：和△M4D中，\AD=DC

NDCE=Z.ADM

△E￡>C^AA￡4Z）（ASA）.

:.EC=DM又DM=MN,

:.EC=MN又ECHMN.

，四邊形EMVC為平行四邊形.

EM//CN.

（3）解：如圖所示，過N作NQLAP垂足為Q.

由（2）知，△￡?（7四△MW

：.DE=MA,

又AO=A8

/.AD-DE=AB-AM^AE=MB=\

BN平分ZCBP所以NNBQ=45°,

三角形NBQ是等腰直角三角形，

在RSNBQ中,

設(shè)8Q=x,則NQ=BQ=x,即工2+/=（3&『,

..x—3.

:.NQ=3,MQ=l+3=4,

在Rf.MQN中,=5，

又：在RrJDMV中，MN=5,DM=5,

.\DN=yj52+52=5y/2-

7.

解：（1）MC_LMG且MC=MG；

理由：如圖1,延長GM交OC于點(diǎn)”,

圖1

?/四邊形ABCD和BEFG是正方形，

：.DC=BC,BG=GF,ZFGB=ZGCD=ZDCB=9Q°,

C.CD//GF,

：.NCDM=NGFM,

,??點(diǎn)M是OF的中點(diǎn)，

：.DM=FM,

在小。40和4FGM中，

ZCDM=ZGFM

<DM=FM,

NDMH=NFMG

：./XDHM^/\FGM(ASA),

:.DH=FG,MH=MG,

：.DC-DH=BC-BG,

即HC=GC,

.?.△”CG是等腰直角三角形，

；MH=MG,

：.MC.LMG且MC=MG；

故答案為：MCLMG,MC=MG；

(2)如圖2,延長GM交OC于點(diǎn)兒

圖2

四邊形ABCD和BEFG是正方形,

ZFGB=ZGCD=ZDCB=90°,

：.CD//GF,

：.ZCDM=ZGFM,

?.?點(diǎn)M是。尸的中點(diǎn),

：.DM=FM,

在△。〃加和4尸GM中，

ACDM=/GFM

DM=FM,

/DMH=/FMG

:.XDHMQAFGM(ASA),

???MH=MG=gHG,

,/ZDCB=90°,

???△”CG是直角三角形，

:?CM*HG,

:?MG=MC；

(3)如圖3,延長GM交QC于點(diǎn)兒

DM=FM,

???四邊形A8CD和比尸G是菱形，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上,

：.DC//GF,

；?NCDM=/GFM,

在40HM和4bGM中，

ZCDM=4GFM

<DM=FM,

NDMH=/FMG

:?△DHMW/XFGM(ASA),

:?HM=GM,DH=FG,

■;CD=CB,FG=GB,

：.CD-DH=CB-FG,

即CH=CG,

是等腰三角形，

???MC_LMG,NHCM=/GCM,

：.NCMG=90。,

???ZABC=60°,

：.ZDCB=nO°f

NGCM=GZDCB=60°,

：.ZCGM=900-ZGCM=30°,

.??△CPG中，CG=2MC,由勾股定理得：MC2+MG2=CG2,

J.MC^+MG2^(2MC)2,

KMC=MG,

.MCx/3

??----=----.

MG3

8.

解：(1)???動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度為2單位/秒，

:,BP=2t,

???當(dāng)，=3時(shí)，

3P=2x3=6,

故答案為：6；

(2),.?A8=C。，AD=BCf

???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.ADHBC,

：.NAFB=NCBF,

如圖1,作NA8C的角平分線交AO于F,

，ZABF=NAFB,

：.AF=AB=4f

Z.DF=8-4=4,

?,?點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到NABC的角平分線上時(shí)，

BC+DC+DF=8+4+4=16,

t=16:2=8,

，當(dāng)f=8時(shí)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到NA8C的角平分線上;

故答案為：8；

(3)VBC+CD=8+4=12

工當(dāng)0V/V6時(shí)，點(diǎn)P在3c上和CD上，

分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)P在8C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0V/W4,

過點(diǎn)4作4時(shí)，82

；NB=60。，

在肋△ABM中，N&4M=30°,

.?.BM=gAB=3,

AM=-JAB2-BM2=V62-32=3>/3，

此時(shí)，S=SAABP=yxBPxAM=1X2/X2G=2豆?0<f44)；

②當(dāng)點(diǎn)尸在CO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4<Z<6,如圖，

△ABP的面積為定值，且等于平行四邊形ABC。面積的一半,

此時(shí)，S=SzABP=qxBCxAM=gx8x26=8g(4<r<6)；

2①(0</<4)

綜上,

8^(4<r<6)

（4）①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到/BAD的角平分線上時(shí),

連接4P,過點(diǎn)尸作PMJ_A8,PN1.AD,

此時(shí)PM=PN,即點(diǎn)尸到四邊形ABED相鄰兩邊AB和AD的距離相等,

,JAD//BC,

：.ZDAP=^APB,

又平分NBA￡>,

：.ZBAP=ZDAP,

:.NBAP=NAPB,

：.BP^2t=BA=4,

解得：f=2,

②當(dāng)點(diǎn)P與運(yùn)動(dòng)到CO邊上時(shí)，過點(diǎn)P作尸M_LA￡>,PNLDE,

???NOCE=N8=60°,

又<CD=CE=4,

???△CQE是等邊三角形，

/.ZCDE=60°,

ZADC=ZCDE,即CO平分/ADE,

.??當(dāng)43V6時(shí)，點(diǎn)尸在NAOC的角平分線上運(yùn)動(dòng)，

此時(shí)，點(diǎn)尸到四邊形A8E。相鄰兩邊A。和OE的距離相等.

綜上：1=2或4</<6時(shí)，點(diǎn)尸到四邊形ABED相鄰兩邊距離相等.

9.

(1)證明：:四邊形ABCD是平行四邊形，

JAD=BCABIIDC,

：?ZBAF=ZDFA.

?/AE平分

J4BAF=4DAF,

NDAF=NDFA,

：.DF=DAf

：.DF=BC.

(2)解：ADFGQ&BCG.

理由：??,點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，GF=GC,

:.GE=GF=GC,

:.NE=ZGCE,4GCF=NGFC,

???ZGCE+ZGCF=-xl80°=90°,

2

NFCE=NDCB=90。,

?.NE+/EFC=9U。.

??,四邊形ABCD是平行四邊形，

???ADUBC,

:.ZE=ZDAF=ZFAB=ZDFA=ZEFC=45°,

：.ZGCB=ZGCF+ZDCB=900+45°=135°,ZDFG=180O-ZGFC=135°,

???ZDFG=ZBCG.

在ADFG和aBCG中，

DF=BC,

NDFG=ZBCG,

GF=GC,

:.△DFGq/\BCG(SAS).

(3)解：由(2)知，ZDCB=90°,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

四邊形A8C。是矩形，

:.ZABC=90°,BD=AC

由(2)知，NE=/網(wǎng)8=NEFC=45°,

.?.△ECF和△ABE是等腰直角三角形，

J.CGA.EF,B|JZCGB+ZBGF=90°

ADFG三ABCG(SAS),

ADGF=ZBGC,DG=BG,

：.NDGF+NBGF=90。,

：.ZBGD=90°

:ZGD是等腰直角三角形.

在等腰直角三角形ABE中;AB-8E=32,

AB=BE=8.

在RdABC中，BC=BE-EC=8-2=6,

AC=y/AB2+BC2=>/82+62=10

在等腰直角三角形BGD中8￡>=4C=10,DG=BG=^=572,

:.l=BD+BG+DG=\Q+5^2+5>/2=]0+]Q-j2

10.

解：(1)?.?|a-3|+"-4=0,

.?.a-3=0力-4=0,

a=3,b=4,

根據(jù)平面直角坐標(biāo)系得，

A(3,0),8(3,4),C(0,4),

(2)如圖1,當(dāng)P運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)了6個(gè)單位長度，

?.?AO=3,

；?點(diǎn)運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，點(diǎn)P在線段AB上，且AP=3,

二點(diǎn)的坐標(biāo)是P(3,3),

過點(diǎn)P作OA的平行線，交OC于點(diǎn)Q,

y

Q

o

圖1

根據(jù)平行線的性質(zhì)，內(nèi)錯(cuò)角相等可得,

NBCP=NQPC,ZAOP=ZQPO,

ZCPO=ZCPQ+ZQPO

Z.CPO=NBCP+ZAOP.

(3)存在，

如圖2,?.1*(),

圖2

；?點(diǎn)可能運(yùn)動(dòng)到AB或BC或0C上，

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上時(shí)，2f47,

7

/.0</<—,P}A=2t-OA=2r-3,

2r-3=-z,

2

解得：t=2,

??.[A=2x2-3=1,

???點(diǎn))的坐標(biāo)為(3,1)；

7

②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到8C上時(shí)，7<2r<10,即：力《5,點(diǎn)乙到x的距離為4,

Z=4,

2

解得：，=8,

?.?不符合題意;

③當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC上時(shí)，10<2r<14,BP5<r<7,

I}O=0A+AB+BC+OC-2t=14-2tf

2

no

解得：

n八c28-14

鳥0——2x----F14—―^~f

14

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,《），

綜上所述，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)f秒后，存在點(diǎn)尸到X軸的距離為卜個(gè)單位長度的情況，點(diǎn)的P坐標(biāo)為：（3,1）或

（0,y）.

11.

解：（1）結(jié)論：PM=PN.

理由：如圖1中，

四邊形ABCD是正方形，

???8。平分NA8C,

???PM_LA8,PN1BC,

：.PM=PN.

故答案為：PM=PN.

（2）結(jié)論：PM=PN.

理由：如圖2中，過點(diǎn)尸作PE_L8C于E,PFLAB^F.

圖2

??,四邊形48co是正方形，

???3。平分NA5C,

VPF1AB,PELBC,

：.PE=PF,

???ZPEB=ZPFB=ZEBF=90°,

JZ￡P(guān)F=90°,

/MPN=/EPF=900,

：./MPF=NNPE,

,/NPFM=/PEN=90。,

:./\PEN沿4PFM(AAS),

:,PM=PN.

(3)如圖3中，過點(diǎn)P作PQ_L8C于Q,PRLAB^R.

圖3

???四邊形A8CO是菱形，

???BQ平分/A8C,即NP8A=NP8C=30。，

VP2±BC,PR上AB,

：?PQ=PR=gPB=3,

:?BR=BQ=36

VZ/4BC=60°,NPQB=NPRB=9。。,

：.ZQPR=360^60°-2x90°=120°,

VZMP^=120°,

:?/MPN=/QPR,

：.ZMPR=/NPQ,

/PRM=NPQN=9。。,

：./\PRM^APQN(AAS)f

:?S/RM=SAPQN,

：.S解形PMBN=S四邊形PRBQ=2x；xPRxBR=9ji.

12.

解：(1)證明：???四邊形A8CO與四邊形AE尸G均為正方形,

???NBAO=NE4G=90。，AG=AE9AB=ADf

：.ZBAD+NBAE=ZEAG+NBAE,

即NE4Q=NG43,

:AEAD*/\GAB(SAS),

：?BG=DE；

(2)證明：由(1)知△E4Dg/\G48,

：.ZBGA=ZDEAf

VZBGA+ZGMA=90°,/AMG=/EMH,

：.ZDEA+ZEMH=90%

:.BGLDE,

：.DH2+GH2=DG2；

(3)當(dāng)正方形ABC。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。時(shí)，Si=S2.

證明如下：①當(dāng)0。＜/84日＜90。時(shí)，如圖1,

圖1

過點(diǎn)D作DPLGA交GA的延長線于P,過點(diǎn)B作8N_LAE交4E的延長線于N.

ZPAN=ZBAD=90°f

：.ZNAB+ZBAP=90°tZBAP+ZPAD=90°f

：.ZNAB=ZPAD1

又/ANB=NAPD=90°,且A3=AO,

???△ANBgAAP。(SAS),

???BN=DP,

又???4E=AG,

???；AE?5M="G?￡W,

?*-S1=S2；

②當(dāng)N84E=90。時(shí)，如圖2,

U

：AE=AG,NBAE=NZMG=90。，AB=ADf

：./\ABE^/\ADG(SAS),

AS/=S2；

③當(dāng)90°VN8AEV180。時(shí),如圖3,

c

圖3

過點(diǎn)8作BN_L直線AE于點(diǎn)N,過點(diǎn)。作￡>P_L直線AG的延長線于點(diǎn)P.

則NANB=NAPC=90。，

由正方形ABC。，得到/BAO=90。，HAB=AD,

?.?NaiN=NBA￡）=90。，

：.ZNAB+ZDAN=^90°,ZDAP+ZDAN=90°,

：.NNAB=4DAP,

：.^ANB^^APD（AAS）,

：.BN=DP,

又：AE=AG,

』AE，BN=3AG，DP,

S1=S2,

綜上所述，在（3）的條件下，總有S/=S2.

13.

解：（1）FG=CE,FG//CE；

理由：如圖1中，設(shè)OE與。尸交于點(diǎn)M.

??,四邊形4BC。是正方形，

:?BC=CD,NA5C=NDC￡=90。,

在^C3/和△OCE中，

BF=CE

<Z.CBF=4ECD,

BC=CD

:,ACBF義ADCE(SAS),

AZBCF=ZCDEfCF=DE,

VZBCF+ZZX：M=90o,

：.ZCDE+ZDCM=90°f

AZCMD=90°,

：.CFLDE,

■:GE1.DE,

：.EG//CFf

■:EG=DE,CF=DE,

:,EG=CF,

???四邊形EGFC是平行四邊形.

:.GF=EC,

:?GF=EC,GF//EC.

(2)結(jié)論仍然成立.

過點(diǎn)G作GHLCB的延長線于點(diǎn)H,

：.NGEH+/DEC=90。,

,/NGEH+/HGE=90。,

：.ZDEC=ZHGEf

在^HGE與ACEO中，

NGHE=/DCE

,/HGE=/DEC,

EG=DE

:?4HGE烏/\CED(A4S),

：.GH=CE,HE=CD,

?；CE=BF,

：.GH=BF,

,:GH〃BF,

???四邊形G”8尸是矩形，

AGF=BHfFG//CH,

：.FG//CEf

四邊形ABCD是正方形，

CD=BC,

?HE=BC,

：.HE+EB=BC+EB,

：?BH=EC,

工FG=EC；

(3)成立.

???四邊形ABC。是正方形，

：.BC=CD,ZFBC=ZECD=90°,

在^CBF與公QCE中，

BF=CE

</FBC=/ECD,

BC=DC

.".△CBF^ADCE(SAS),

:?/BCF=NCDE,CF=DE,

?：EG=DE,

:?CF=EG,

VDEIEG

NDEC+NCEG=90。

???ZCDE+ZDEC=90°

：.ZCDE=ZCEG,

:?/BCF;NCEG,

:,CF〃EG,

???四邊形CEGF平行四邊形，

：.FG//CE,FG=CE,

14.

證明(1)?:PF=PE,

：.NPFE=NPEF,

???四邊形48co是正方形，

：.AD//BC,

：.ZDAP=ZAEFf/ADP=/PFE,

：.ZDAP=ZADP1

：.AP=DP；

t

(2)：AP=AB=ADf

：.ZABP=ZAPB,/APD=ZADP,

??'NBA尸+NO4P=90°,

???ZABP+ZAPB+ZAPD+ZADP=21QQ,

：.ZBPA+ZAPD=135°,

：.ZDPG=45°；

(3)如圖，連接CN交BG于,過點(diǎn)N作NL_LW于L,NKIGQ于K,過點(diǎn)。作C”，C7,交BG于

H,

圖3

,:CM〃DN,CM=CF=DN,

???四邊形DPCN是平行四邊形，

，ZNIK=ZDPQ=Z/7/C=45°,

???AHCI是等腰直角三角形，

：.CH=Ch/HCI=/BCD,

；?/BCH=/DCI,

:.叢BCH空叢DC1(SAS),

；?NDIC=NBHC=135。,

；?NDIH=9U0,

???N/是NO/Q的角平分線，

:?NL=NK,

?//NLI=/NKI=/LIQ=90。,

???四邊形"KN是矩形，

；?NLNK=90。,

:./DNL=NKNQ,

???△ONLdQNK(ASA),

:?DN=NQ,

?；DN=CF,

：.CF=NQ,

:?BF=BC-CF=MN-NQ=MQ=6,

\*AP=AB=ADf

：.NAPD=NADP,

■:AD//BC,

:./ADP=DFE,

:?DFE=/FPE,

:.EF=PE=2,

???B￡；=8,

在心A48E中，由勾股定理得：

AB2+BE2=AE2,

：.AB2+82=(A3+2)2,

解得：AB=\5.

15.

解：(1)如圖1中，

圖1

在正方形48co中，DC=BC,ZD=ZABC=ZDCB=90°t

：.ZCBF=180°-ZABC=90°,

VCF1CE,

.\ZECF=90°,

???NDCB=NECF=90。

:?/DCE=/BCF,

：./\CDE^/\CBF(ASA).

(2)結(jié)論：PE=PF.

理由：如圖1中，?:△CDEWXCBF,

：.CE=CFf

?；PC=PC,/PCE=NPCF,

/.△PCE^APCF(SAS),

：.PE=PF,

(3)如圖2中，作EH_LAD交BD于H,連接

圖2

???四邊形A3。是正方形，

：.AB=AD=6,ZA=90°,NEDH=45。,

\*EH±AD,

：.ZDEH=乙4=90。，

：.EH//AF,DE=EH=2,

VACDE^ACBF,

:,DE=BF=2,

:?EH=BF,

?:/EHM=/MBF,NEMH=NFMB,

:?叢EMH沿叢FMB(4AS),

?：EM=FM,

,:CE=CF,

???PC垂直平分線段E凡

：.PE=PF,igPB=x,貝ijPE=PF=x+2,44=6-x,

在RSAPE中,則有(x+2)2=42+(6-x)2,

.*.x=3,

：.PB=3.

16.

解：(1)由運(yùn)動(dòng)知，AQ=tfBP=2t,

vAD=8,3c=10,

DQ=AD-AQ=(S-,PC=BC-BP=(\0-2t)(cm),

故答案為(8T)(cM,(10-2r)(c/77)；

(2)???四邊形PQDC是平行四邊形，而AD/ABC,

DQ=PC,

由(1)知，DQ=8T,PC=10-2r,

.\8-r=10-2r,

=2,

即：E=2S時(shí)，四邊形尸QQC是平行四邊形；

(3)由(1)知.4Q=f,BP=2t,DQ=(S-t)(cm),PC=(10-20(c/n),

???AOPQ是等腰三角形，且。Q#DP,

①當(dāng)DP=QP時(shí)，

???點(diǎn)P在。。的垂直平分線上，

AQ+^DQ=BP,

Z+—(8—z)=2/,

8

"Z=3，

②當(dāng)。。=22時(shí)，如圖，

I、過點(diǎn)。作。七，8。于E,

/.NBEQ=NOEQ=90。,

?:ADIIBC,4=90。，

/.ZA=ZB=90°,

四邊形A8EQ是矩形，

：.EQ=AB=6fBE=AQ=t,

:.PE=BP-BE=t,

在RtZXPEQ中，PQ=4PE?+EQ2="+36,

,，\+36=8-f，

7

f=一,

4

???點(diǎn)尸在邊3C上，不和C重合，

2r<10,

..O,,r<5,

,此種情況符合題意，

17.

解：(1)OE=OF,

理由：'JMN//BC,

；.NOEC=NBCE,NOFC=NDCF,

又：CE平分NBC。，CF平分NOCO,

；.NOCE=NBCE,ZOCF=ZDCF,

：.ZOCE=ZOEC,ZOCF=ZOFC,

：.EO=CO,FO=CO,

：.OE=OF；

(2)不可能.

如圖所示，連接8凡

；CE平分NACB,CF平分NACQ,

/.ZECF=1ZACB+^ZACD=^（乙4CB+/4CQ）=90°,

若四邊形BCFE是菱形，則BFLEC,

但在AGFC中，不可能存在兩個(gè)角為90。，所以不存在其為菱形.

（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形.

理由如下：

,/當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO,

又,：EO=FO,

四邊形AECF是平行四邊形，

,: