2021-2022學(xué)年湖南省部分校高二下學(xué)期基礎(chǔ)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽數(shù)學(xué)試題解析版

2021-2022學(xué)年湖南省部分校高二下學(xué)期基礎(chǔ)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集與補(bǔ)集的定義求解.【詳解】，，，故選：C.2．若為純虛數(shù)，則a的值為（

）A． B． C．2 D．0【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】解：為純虛數(shù)，則.故選：D.3．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B．2048 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開通項(xiàng)賦值求解即可.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，令，得，故含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：A.4．已知三條不同的直線l，m，n，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)線與線的位置關(guān)系，結(jié)合充要條件的定義即可求解.【詳解】解：若，又，則，故充分性成立，反之，若，又，則，故必要性成立.故“”是“”的充要條件.故選：C.5．已知平面向量，，若與共線，則（

）A．6 B．-6 C． D．【答案】B【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示即可得出答案.【詳解】若與共線，則，解得.故選：B.6．已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，5），則a的值為（

）A． B．e C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在處的切線方程，再由點(diǎn)在直線上求參數(shù)a即可.【詳解】由題意，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)(3,5)，得，解得.故選：A.7．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到在上單調(diào)遞增，.把原不等式轉(zhuǎn)化為或即可解得.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，且，又，所以.由，得或所以或解得或.故x的取值范圍是.故選：D.8．某工廠專業(yè)生產(chǎn)水稻收割機(jī)，它有三個(gè)等級(jí)：一級(jí)品?二級(jí)品和三級(jí)品.現(xiàn)A車間中有4個(gè)一級(jí)品，4個(gè)二級(jí)品和2個(gè)三級(jí)品，B車間中有5個(gè)一級(jí)品，3個(gè)二級(jí)品和2個(gè)三級(jí)品，先從B車間中隨機(jī)取出兩個(gè)水稻收割機(jī)放入A車間，再?gòu)腁車間中隨機(jī)取出一個(gè)水稻收割機(jī)，則從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用排列組合的方法結(jié)合古典概型的概率公式來(lái)求古典概型的概率.【詳解】記事件M為“從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品”，記表示從B車間中隨機(jī)取出兩個(gè)一級(jí)品，從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品，記表示從B車間中隨機(jī)取出兩個(gè)二級(jí)品，從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品，記表示從B車間中隨機(jī)取出兩個(gè)三級(jí)品，從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品，記表示從B車間中隨機(jī)取出1個(gè)一級(jí)品1個(gè)二級(jí)品，從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品，記表示從B車間中隨機(jī)取出1個(gè)一級(jí)品1個(gè)三級(jí)品，從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品，記表示從B車間中隨機(jī)取出1個(gè)二級(jí)品1個(gè)三級(jí)品，從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品.從B車間中隨機(jī)取出兩個(gè)一級(jí)品的概率為，從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品的概率為，所以；從B車間中隨機(jī)取出兩個(gè)二級(jí)品的概率為，從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品的概率為，所以；從B車間中隨機(jī)取出兩個(gè)三級(jí)品的概率為，從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品的概率為，所以；從B車間中隨機(jī)取出1個(gè)一級(jí)品1個(gè)二級(jí)品的概率為，從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品的概率為，所以；從B車間中隨機(jī)取出1個(gè)一級(jí)品1個(gè)三級(jí)品的概率為，從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品的概率為，所以；從B車間中隨機(jī)取出1個(gè)二級(jí)品1個(gè)三級(jí)品的概率為，從A車間中取出的水稻收割機(jī)為三級(jí)品的概率為，所以.所以.故選：C.二、多選題9．若拋物線C：上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可能為（

）A．（4，4） B． C． D．（4，-4）【答案】BC【分析】設(shè)焦點(diǎn)為F，.由條件及拋物線的定義知，，代入即可求出，又因?yàn)樵趻佄锞€上，代入即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】設(shè)焦點(diǎn)為F，.由條件及拋物線的定義知，，又，所以，所以，所以.故點(diǎn)P的坐標(biāo)可能為或.故選：BC.10．要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（

）A．每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變）D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變）【答案】BC【分析】利用三角函數(shù)圖象變化規(guī)律，即可判斷選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A，將函數(shù)的圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變）得函數(shù)，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，故A不正確；對(duì)于B，將函數(shù)的圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得函數(shù)，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，再將所得圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得函數(shù)，，故C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，再將所得圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得函數(shù)，，故D不正確；故選：BC.11．任意拋擲一次骰子，把它在地面最上方的面上的數(shù)字記為X，則，定義事件：，事件：，事件：，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．，，兩兩相互獨(dú)立【答案】AB【分析】根據(jù)古典概型求解概率即可.【詳解】由題意，，，，所以，同理，，由，則，故A正確；由，則，故B正確；由，則，而，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，所以事件，，不兩兩相互?dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12．下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷AB選項(xiàng)；利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于AB選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，則，即，即，故，A對(duì)，因?yàn)?，則，即，即，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故，C對(duì)；構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，則，即，所以，，D錯(cuò).故選：ABC.三、填空題13．已知等差數(shù)列滿足，則___________.【答案】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得：.故答案為：.14．已知雙曲線C的離心率為，寫出雙曲線C的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：_______．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)離心率確定，每取一個(gè)大于零的a值，就得到一個(gè)滿足題意的答案.【詳解】由題意雙曲線的離心率為，即，可令，則，則可寫答案為（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.15．已知，，則___________.【答案】【分析】根據(jù)題意得，兩邊平方得，再分析求出，再分別求出和即可求解.【詳解】由，得①，將①式等號(hào)兩邊同時(shí)平方，得，所以，而，所以，，所以，又，所以②.由①②得，，所以.故答案為：.16．如圖，三棱錐中，，，的面積為8，則三棱錐外接球的表面積的最小值為___________.【答案】【分析】取BD的中點(diǎn)O，連接，說(shuō)明O是三棱錐外接球的球心，再根據(jù)的面積可得，再根據(jù)勾股定理結(jié)合基本不等式求出的最小值，從而可求得三棱錐外接球半徑的最小值，即可得解.【詳解】解：取BD的中點(diǎn)O，連接，因?yàn)椋?，則，則O是三棱錐外接球的球心，因?yàn)榈拿娣e為8，所以，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，則，即，所以三棱錐外接球的表面積的最小值為.故答案為：.四、解答題17．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若的外接圓半徑為，且.(1)求及；(2)若，求，.【答案】(1)，(2)，或，【分析】（1）根據(jù)題意得，所以，再由求解即可；（2）根據(jù)余弦定理公式求解即可.【詳解】(1)由及正弦定理，得，又在中，，則，可得，即得，又，則.又的外接圓的半徑，由正弦定理，則.(2)由（1）知，，又，則由余弦定理得，解得，由，解得，或，.18．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）通過(guò)數(shù)列和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的公式計(jì)算即可；（2）利用（1）的結(jié)論求，再分組求和和公式法進(jìn)行求和即可.【詳解】(1)由，可得，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以其公比為；又，所以.(2)由（1）可得，，所以.19．道德與法律的聯(lián)系：法律?道德都是行為規(guī)范，都是為規(guī)范人們的行為而規(guī)定的行動(dòng)準(zhǔn)則.1.法律需要道德的奠基和撐持；2.道德的實(shí)施需要法律的強(qiáng)制保障.某校進(jìn)行了一次道德與法律的相關(guān)測(cè)試（滿分：100分），并隨機(jī)抽取了50個(gè)統(tǒng)計(jì)其分?jǐn)?shù)，得到的結(jié)果如下表所示：成績(jī)/分人數(shù)/個(gè)44102210(1)若同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作代表，試估計(jì)這次測(cè)試的平均分和中位數(shù)（所得結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；(2)假設(shè)處于的4個(gè)人的成績(jī)分別為20，26，35，38，求表中成績(jī)的10%分位數(shù)；(3)以頻率估計(jì)概率，若在這個(gè)學(xué)校中，隨機(jī)挑選3人，記3人的成績(jī)?cè)陂g的數(shù)量為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，(2)(3)分布列見解析，【分析】（1）利用平均數(shù)公式與中位數(shù)計(jì)算方法求解；（2）根據(jù)百分位數(shù)的定義求解；（3）利用二項(xiàng)分布計(jì)算概率，列分布列并求解期望.【詳解】(1)估計(jì)這次測(cè)試的平均分為（分）；設(shè)這次測(cè)試的中位數(shù)為，顯然，則，解得（分）.即估計(jì)這次測(cè)試的中位數(shù)為.(2)由于，所以表中成績(jī)的10%分位數(shù)為.(3)X所有可能取值為0，1，2，3.由表中數(shù)據(jù)可知，任意挑選一人，成績(jī)?cè)陂g的概率為.所以，，，，故X的分布列為X0123P故X的數(shù)學(xué)期望.20．如圖，在三棱柱中，底面，的中點(diǎn)為，四面體的體積為，四邊形的面積為.(1)求到平面的距離；(2)設(shè)與交于點(diǎn)O，是以為直角的等腰直角三角形且.求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由為的中點(diǎn)可得，而，利用等體積法即可求解點(diǎn)面距離；（2）以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，利用空間向量求解線面角即可.【詳解】(1)解：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，設(shè)到平面的距離為h，則到平面的距離為，因?yàn)椋?，即，得，即到平面的距離.(2)因?yàn)槭且詾橹苯堑牡妊苯侨切?，由?）知，所以，如圖，以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)，，，，.則，，.設(shè)平面的法向量為，則由解得.令，則，于是平面的一個(gè)法向量為.所以直線與平面所成角的正弦值為.故直線與平面所成角的正弦值為.21．已知橢圓C：的上頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)分別為M，F(xiàn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形.(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，，若，求k的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）又是底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形，可得，，即可求解的值，進(jìn)而得到橢圓C的方程；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓C的方程，消去，利用韋達(dá)定理得的值，由，得到，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的方程，代入的值，求解方程即可.【詳解】(1)解：設(shè)橢圓C的半焦距為c.因?yàn)槭堑走呴L(zhǎng)為2的等腰三角形，所以且，又，所以由勾股定理得，所以.所以，，所以橢圓C的方程為.(2)解：聯(lián)立，消去得，則，解得或.設(shè)，，則則，，由，得，即，得，得，整理得，代入得，化簡(jiǎn)得，所以，解得，都滿足或.綜上，k的值為或.22．已知.(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求與的圖象在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)見解析(2)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解（2）轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判斷的