《傳感器與測(cè)試技術(shù)》課件-第六章

傳感器與測(cè)試技術(shù)第6章信號(hào)分析與處理6.1概述6.2周期信號(hào)及其頻譜6.3非周期信號(hào)及其頻譜6.4數(shù)字信號(hào)分析與處理6.5隨機(jī)信號(hào)分析與處理6.1概

述6.1.1信號(hào)的概念和分類(lèi)1．電橋的工作原理信號(hào)是信息的載體，是信息的表現(xiàn)形式。信息與信號(hào)是互相聯(lián)系的兩個(gè)不同概念。信號(hào)不等于信息，但信息則是信號(hào)所承載的內(nèi)容。測(cè)試系統(tǒng)是通過(guò)某種技術(shù)手段，從被測(cè)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中提取所需的信息。這個(gè)信息從物理的角度講，是以某種信號(hào)的形式反映出來(lái)的。在工程實(shí)際中，測(cè)試系統(tǒng)的測(cè)試過(guò)程包括信號(hào)的獲取、加工、處理、顯示、反饋、計(jì)算等，因此測(cè)試系統(tǒng)對(duì)被測(cè)參量測(cè)試的整個(gè)過(guò)程都是信號(hào)的流程。1．信號(hào)的基本概念信號(hào)一般可用單個(gè)或多個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)或圖形表示。信號(hào)可以描述極為廣泛的物理現(xiàn)象，可以計(jì)算、合成及分解。一般信號(hào)具有以下性質(zhì)：（1）信號(hào)具有特定的意義，即含有特定的信息；（2）信號(hào)具有一定的能量；（3）信號(hào)易于被測(cè)得或感知；（4）信號(hào)易于被傳輸。信息本身不具有能量及物質(zhì)，故信息的傳遞必須借助于某種中間媒介，而這個(gè)包含有特定信息的媒介即為信號(hào)。信號(hào)一般表現(xiàn)為聲、光、電、磁等物理量。2．信號(hào)的分類(lèi)（1）按信號(hào)的規(guī)律分類(lèi)確定性信號(hào)：可以用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述或可由實(shí)驗(yàn)多次復(fù)現(xiàn)的信號(hào)。非確定性信號(hào)：不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述，而且其幅值、相位、頻率不可

預(yù)知。這類(lèi)信號(hào)只能用概率統(tǒng)計(jì)的規(guī)律加以描述。（2）按信號(hào)的函數(shù)性質(zhì)分類(lèi)按函數(shù)性質(zhì)分類(lèi)連續(xù)時(shí)間信號(hào)：是指在某一指定時(shí)間內(nèi)，除若干個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)外，該函數(shù)都可給出確定的函數(shù)值的信號(hào)。離散時(shí)間信號(hào)：離散時(shí)間信號(hào)：是指僅在某些不連續(xù)的時(shí)刻有定義的信號(hào)。信號(hào)除了在時(shí)間上有連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)之分外，還可依據(jù)幅值取值將信號(hào)分為連續(xù)幅值信號(hào)和離散幅值信號(hào)。時(shí)間和幅值均連續(xù)的信號(hào)稱(chēng)為模擬信號(hào)。時(shí)間和幅值均離散且幅值被量化的信號(hào)稱(chēng)為數(shù)字信號(hào)。（3）按信號(hào)的能量分類(lèi)按信號(hào)的能量分類(lèi)能量信號(hào)功率信號(hào)在所分析的區(qū)間，能量為有限值的信號(hào)。功率信號(hào)是指具有有限平均功率的信號(hào)。一個(gè)能量信號(hào)具有零平均功率，而一個(gè)功率信號(hào)具有無(wú)限大能量。6.1.2

信號(hào)的時(shí)域分析和頻域分析將頻率作為自變量，把信號(hào)看作是頻率

的函數(shù)

。在相應(yīng)的圖形表示中，作為自變量出現(xiàn)在橫坐標(biāo)上的是頻率。信號(hào)的這種描述方法就是信號(hào)的頻域描述。信號(hào)在頻域中的圖形表示又稱(chēng)作信號(hào)的頻譜，包括幅頻譜和相頻譜等。幅頻譜以頻率為橫坐標(biāo)并以幅度為縱坐標(biāo)，相頻譜以頻率為橫坐標(biāo)并以相位為縱坐標(biāo)。基于傅里葉變換理論，在頻域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析的方法稱(chēng)為信號(hào)的頻域分析。通常，信號(hào)可以被看作是一個(gè)隨時(shí)間變化的量，是時(shí)間t的函數(shù)

。在相應(yīng)的圖形表示中，作為自變量出現(xiàn)在橫坐標(biāo)上的是時(shí)間t。信號(hào)的這種描述方法就是信號(hào)的時(shí)域描述?；谖⒎址匠毯筒罘址匠痰戎R(shí)，在時(shí)域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析的方法稱(chēng)為信號(hào)的時(shí)域分析。信號(hào)分析的主要任務(wù)就是要從盡可能少的信號(hào)中取得盡可能多的有用信息。時(shí)域分析和頻域分析是從兩個(gè)不同角度去觀(guān)察同一現(xiàn)象。時(shí)域分析比較直觀(guān)，能一目了然地看出信號(hào)隨時(shí)間的變化過(guò)程，但看不出信號(hào)的頻率成分，而頻域分析正好與此相反。

在工程實(shí)際中應(yīng)根據(jù)不同的要求和不同的信號(hào)特征選擇合適的分析方法，或?qū)煞N分析方法結(jié)合起來(lái)，從同一測(cè)試信號(hào)中取得需要的信息。6.2周期信號(hào)及其頻譜6.2.1周期信號(hào)的定義如果信號(hào)x(t)在所有時(shí)間t內(nèi)均能滿(mǎn)足則x(t)是周期信號(hào)，

T稱(chēng)為周期。顯然，周期信號(hào)是幅值按一定周期不斷重復(fù)的信號(hào)。1．電橋的工作原理周期信號(hào)又分為正弦信號(hào)（包括余弦信號(hào)）和復(fù)雜的周期信號(hào)。正弦信號(hào)是最簡(jiǎn)單的周期信號(hào)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為可見(jiàn)，正弦信號(hào)的周期T=2π/ω

，ω

稱(chēng)為角頻率或圓頻率，周期的倒數(shù)稱(chēng)為頻率，即

f=1/T，

ω=2πf，

x0為常數(shù)。

復(fù)雜的非正弦周期信號(hào)又可稱(chēng)之為非正弦周期函數(shù)，如圖所示。非正弦周期信號(hào)6.2.2傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開(kāi)式

周期函數(shù)的一個(gè)重要特征是可以表示成無(wú)窮個(gè)正弦及余弦函數(shù)之和的形式。這個(gè)正弦和余弦函數(shù)的系列稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)。若周期函數(shù)x(t)

的周期為T(mén)，滿(mǎn)足狄里赫利條件，即：（1）在一個(gè)周期內(nèi)，只存在有限數(shù)目的極大值和極小值；（2）只存在有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)；（3）在不連續(xù)點(diǎn)取值有界，即函數(shù)絕對(duì)可積。

則此周期函數(shù)可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)形式

在工程測(cè)試中常見(jiàn)的周期信號(hào)（即周期函數(shù)）一般都滿(mǎn)足狄里赫利條件。為了顯示出傅里葉級(jí)數(shù)在工程應(yīng)用中所具有的物理意義，可將傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)寫(xiě)成只包含正弦項(xiàng)或只包含余弦項(xiàng)的形式。如果令傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)可簡(jiǎn)化為6.2.3

周期信號(hào)的頻譜

由可以看出，周期信號(hào)是由無(wú)限個(gè)不同頻率的諧波分量疊加而成的。各次諧波的幅值和初相位分別由An和φn

決定。當(dāng)n=1時(shí)，A1cos(ω0t+

φ1)

稱(chēng)為信號(hào)的一次諧波（基波）分量，

φ0稱(chēng)為基波角頻率。其余各次統(tǒng)稱(chēng)為高次諧波。n=2，稱(chēng)為二次諧波；n=3，稱(chēng)為三次諧波，依此類(lèi)推。由于幅值A(chǔ)n和初相位φn均為角頻率ω=nω0

的函數(shù)，以角頻率為橫坐標(biāo)，以幅值A(chǔ)n

或初相位

φn為縱坐標(biāo)所作的圖形統(tǒng)稱(chēng)為頻譜，An－ω圖稱(chēng)為幅頻譜，

φn－ω圖稱(chēng)為相頻譜。An

表示信號(hào)所具有的諧波分量的幅值；

φn是各次諧波分量在時(shí)間原點(diǎn)處所具有的相位。幅值譜和相位譜結(jié)合起來(lái)便確定了信號(hào)各次諧波的波形。

下圖所示是從一個(gè)裝有兩個(gè)偏心轉(zhuǎn)子的軸上測(cè)取的加速度信號(hào)

x(t)。在其頻譜圖上清楚地顯示了每個(gè)轉(zhuǎn)子引起的振動(dòng)強(qiáng)度。（a）周期信號(hào)的時(shí)間歷程

（b）周期信號(hào)的頻譜

例6-1求下（a）圖所示的周期性矩形波的傅里葉級(jí)數(shù)表示，并畫(huà)出其幅頻譜。

解

：該波形在一個(gè)周期內(nèi)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為根據(jù)式可知，a0=0，an=0，bn=代入傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)可得傅里葉級(jí)數(shù)幅頻譜6.2.4復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉級(jí)數(shù)也可以表示成復(fù)指數(shù)形式的展開(kāi)式。根據(jù)歐拉公式則傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)可轉(zhuǎn)換為

Cn表示周期信號(hào)的復(fù)振幅，稱(chēng)為傅里葉系數(shù)。根據(jù)

，

φn－nφ0(n=0，±1，±2…)的函數(shù)關(guān)系，可畫(huà)出復(fù)數(shù)形式的傅里葉頻譜圖，不過(guò)它同三角形式的傅里葉頻譜圖在形式上有所不同，這是由于描述諧波分量的數(shù)學(xué)方法不同而造成的，沒(méi)有什么本質(zhì)差別。

例如，一個(gè)余弦信號(hào)它在三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)中僅有一項(xiàng)，即

n=1，故其譜線(xiàn)只有一條，如圖(a)所示，而用復(fù)數(shù)表示同一信號(hào)時(shí)，有故它有兩條譜線(xiàn)：n=±1，如(b)圖所示。（a）

（b）

特別需要指出的是，將一個(gè)周期信號(hào)展開(kāi)成復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)后，其頻譜圖上出現(xiàn)了負(fù)頻率。頻率表示每秒鐘的變化次數(shù)，它不可能是負(fù)值。由于用復(fù)數(shù)表示可以得到簡(jiǎn)練的復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，此時(shí)允許n取負(fù)整數(shù)，于是出現(xiàn)了所謂的負(fù)頻率。

在這種形式下，n單獨(dú)取正數(shù)或單獨(dú)取負(fù)數(shù)都不能構(gòu)成一個(gè)諧波分量，只有n=k

和n=－k兩項(xiàng)之和才能表示第

k項(xiàng)。由此可見(jiàn)，負(fù)頻率的引入僅僅是在將正余弦函數(shù)變成一對(duì)指數(shù)函數(shù)的過(guò)程中為縮短式子長(zhǎng)度而采取的一種數(shù)學(xué)手段。

復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)除了可用幅頻圖和相頻圖表示外，也可以分別以

的實(shí)部和虛部與頻率的關(guān)系作圖表示。（a）

（b）

由式可知，單邊譜線(xiàn)的高度為雙邊譜線(xiàn)的兩倍，在數(shù)據(jù)處理中常按此關(guān)系將它們相互轉(zhuǎn)化。(a)圖中的頻譜僅在

的一邊有譜線(xiàn)，稱(chēng)作單邊譜。(b)圖中的頻譜兩邊都有譜線(xiàn)，稱(chēng)作雙邊譜。由于

與

是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，其模相等，所以雙邊譜對(duì)稱(chēng)于

軸。

例6-2求右圖所示的周期性三角波的幅頻譜。周期三角波

解

：x(t)在一個(gè)周期中可表達(dá)為因

x(-t)=x(t)，故

x(t)是偶函數(shù)，bn=0

。其幅頻譜（單邊譜）如圖(a)所示。（a）若用復(fù)數(shù)形式表示，則根據(jù)可求得如圖(b)所示的幅頻譜（雙邊譜）。（b）（a）通過(guò)以上例題可以看出，周期信號(hào)有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）周期信號(hào)的頻譜是由無(wú)限多條離散譜線(xiàn)組成的，每一條譜線(xiàn)（單邊譜）代表一個(gè)諧波分量。（2）各次諧波的頻率只能是基波頻率的整數(shù)倍。（3）譜線(xiàn)的高度表示了相應(yīng)諧波分量的幅值大小。對(duì)于工程中常見(jiàn)的周期信號(hào)，其諧波幅值的總趨勢(shì)是隨著諧波次數(shù)的增高而減小。當(dāng)諧波次數(shù)無(wú)限增高時(shí)，其幅值就趨于零。以上三個(gè)特點(diǎn)分別稱(chēng)為周期信號(hào)頻譜的離散性、諧波性和收斂性。進(jìn)一步分析還可發(fā)現(xiàn)，信號(hào)波形越接近于正弦波，其譜線(xiàn)越稀。信號(hào)波形與正弦波相差越大，特別是當(dāng)信號(hào)含有脈沖性突變時(shí)，其諧波成分就越豐富。另外，信號(hào)波形越接近于正弦波，幅值下降越快。例如，諧波幅值大于基波幅值的2%的諧波分量，矩形波有25個(gè)，全波整流信號(hào)有6個(gè)，三角波僅有4個(gè)。由此可知，對(duì)于工程中遇到的大多數(shù)周期信號(hào)，可以忽略那些次數(shù)過(guò)高的諧波分量，用有限個(gè)諧波之和來(lái)代替傅里葉級(jí)數(shù)中的無(wú)限多項(xiàng)，而不會(huì)引起太大的誤差。從基波開(kāi)始，到還需要考慮的最高諧波分量的頻率間的頻段，稱(chēng)為信號(hào)的頻帶寬度，這在選用儀器時(shí)要格外注意。6.3非周期信號(hào)及其頻譜6.3.1傅里葉積分非周期信號(hào)是指在時(shí)域上不按周期重復(fù)出現(xiàn)，但仍可用準(zhǔn)確的解析數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)的信號(hào)。非周期信號(hào)包括準(zhǔn)周期信號(hào)和瞬變非周期信號(hào)兩種。復(fù)雜周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成多項(xiàng)以至無(wú)限項(xiàng)正（余）弦諧波信號(hào)之和，其頻譜具有離散性。反之，幾個(gè)正（余）弦信號(hào)疊加是否一定是周期函數(shù)，這主要取決于組成此信號(hào)的各正（余）弦信號(hào)的頻率之比。如果組成信號(hào)的各正（余）弦信號(hào)的頻率比是有理數(shù)，那么就可以找到它們之間的公共周期，這些正（余）弦信號(hào)合成后仍為周期信號(hào)，因?yàn)榻?jīng)過(guò)公共周期后又會(huì)重演原來(lái)信號(hào)。1．準(zhǔn)周期信號(hào)但若各正（余）弦信號(hào)的頻率比不是有理數(shù)，例如

x(t)=sinω0t+sin2πω0t，各正（余）弦信號(hào)間找不到公共的周期，它們?cè)诤铣珊蟛豢赡芙?jīng)過(guò)某一周期重復(fù)，所以合成后不可能是一個(gè)周期信號(hào)。但是這樣的一種信號(hào)在頻域表達(dá)上卻是離散頻譜，這種信號(hào)稱(chēng)為準(zhǔn)周期信號(hào)。在工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，不同的相互獨(dú)立振源對(duì)某對(duì)象的激振而形成的振動(dòng)往往是屬于這一類(lèi)的信號(hào)。2．瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜

瞬變非周期信號(hào)是指除準(zhǔn)周期信號(hào)以外的非周期信號(hào)。通常所說(shuō)的非周期信號(hào)就是指這種信號(hào)。常見(jiàn)的瞬變非周期信號(hào)如下圖所示。根據(jù)定義，非周期信號(hào)不能按傅里葉級(jí)數(shù)分解成許多正（余）弦諧波之和。但為了了解其頻域描述，可以通過(guò)援引周期信號(hào)的方法加以解決，即將一非周期信號(hào)仍當(dāng)作周期信號(hào)處理，認(rèn)為其周期趨于無(wú)窮大。如設(shè)

x(t)為周期信號(hào)，其頻譜應(yīng)為離散的。當(dāng)認(rèn)為

x(t)的周期趨于無(wú)窮大時(shí)，則該信號(hào)即成為非周期信號(hào)。從頻譜圖可以看出，周期信號(hào)頻譜譜線(xiàn)的頻率間隔Δω=ω0=2π/T，當(dāng)周期

T趨于無(wú)窮大時(shí)，其頻率間隔趨于無(wú)窮小，所以非周期信號(hào)的頻譜應(yīng)該是連續(xù)的。如周期信號(hào)

x(t)在

(-

T/2，T/2)區(qū)間內(nèi)，傅里葉展開(kāi)式為其中將

Cn

代入上式，得

式中，n取整數(shù)0，±1，±2，…，因而各諧波頻率

nω0只能取離散值；相鄰諧波譜線(xiàn)間的頻率增量

Δω=(n+1)ω0－nω0=ω0=2π/T，于是上式可寫(xiě)成當(dāng)信號(hào)的周期

T不斷增大時(shí)，譜線(xiàn)間的頻率增量

Δω不斷減小，即譜線(xiàn)變得愈來(lái)愈密。若

T→∞，則

Δω→0，原來(lái)只能取離散值的諧波頻率

nω0變?yōu)榭蛇B續(xù)取值的連續(xù)變量

ω0。不僅如此，而且原來(lái)在頻譜圖上代表諧波幅值的譜線(xiàn)高度的含義也發(fā)生了本質(zhì)的變化。

在數(shù)學(xué)上，

T→∞就意味著上式中

∑→∫，Δω→dω

，

，于是將

ω=2πf代入上式得這樣就避免了在傅里葉變換中出現(xiàn)

的常數(shù)因子，使公式簡(jiǎn)化。式

稱(chēng)為傅里葉積分，其存在條件為：（1）

在有限區(qū)間上滿(mǎn)足狄里赫條件；（2）積分

收斂，即

在無(wú)限區(qū)間上絕對(duì)可積。

周期信號(hào)可以通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)分解成為無(wú)限多項(xiàng)諧波的代數(shù)和。與此類(lèi)似，非周期信號(hào)則可通過(guò)傅里葉積分“分解”成“無(wú)限多項(xiàng)諧波”的積分和。從所起的作用看，傅里葉積分與傅里葉級(jí)數(shù)類(lèi)似。6.3.2傅里葉變換與非周期信號(hào)的頻譜在式

括號(hào)里的積分中，t是積分變量，因此積分的結(jié)果是一個(gè)以頻率f為自變量的函數(shù)，記作

此式稱(chēng)為函數(shù)

x(t)的傅里葉變換（FT）。傅里葉變換是把時(shí)域函數(shù)

x(t)變換為頻域函數(shù)

X(f)的橋梁，其功能與式

類(lèi)似，只是

中的自變量

只能跳變?nèi)‰x散值，而

中

可連續(xù)取值。

傅里葉級(jí)數(shù)是離散的疊加，其諧波中存在著一個(gè)基本頻率

ω0，其余頻率是

ω0的整數(shù)倍，所以疊加的結(jié)果是一個(gè)周期為T(mén)(T=2π/ω0)

的信號(hào)。而傅里葉變換則是“連續(xù)的疊加”，雖然疊加的每一項(xiàng)

X(f)ej2πftdf都可看作周期函數(shù)（周期為1/f），但不存在什么基本頻率，因而疊加的結(jié)果必然是非周期信號(hào)。傅里葉反變換（IFT）公式為它把經(jīng)過(guò)傅里葉變換后得到的頻域

再變成時(shí)域函數(shù)。由此可知，傅里葉變換與傅里葉反變換構(gòu)成一對(duì)傅里葉變換對(duì)，即更為重要的是，

X(f)ej2πftdf是一個(gè)無(wú)窮小量，它表示非周期信號(hào)

x(t)在頻率等于f處的諧波分量的幅值趨近于零。只有在一定的頻帶內(nèi)，該諧波分量才具有一定的大小。由此可知，非周期信號(hào)

x(t)的傅里葉變換

X(f)本身并不能代表諧波分量的幅值，只有在一定頻帶內(nèi)對(duì)頻率f積分后才含有幅值意義。從量綱上看，

X(f)df具有幅值的量綱，而

則具有幅值/頻率的量綱，或稱(chēng)單位頻率上的幅值，即有分布密度的含義，故稱(chēng)

X(f)為信號(hào)

x(t)的頻譜密度。由此看來(lái)，非周期信號(hào)的頻譜具有兩大特點(diǎn)：連續(xù)性和密度性。因此，非周期信號(hào)的頻譜應(yīng)叫頻譜密度，不過(guò)習(xí)慣上仍稱(chēng)頻譜。周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)。非周期信號(hào)

x(t)的傅里葉變換

X(f)是一個(gè)以實(shí)變量f為自變量的復(fù)變函數(shù)，它可表示為由于所以

X(f)與X(-f)是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，其模相等。因此

X(f)–f曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)于縱軸，如圖(a)所示，并稱(chēng)為雙邊譜。為了在工程上應(yīng)用方便，把負(fù)頻率半邊的譜圖折算到正頻率半邊而得到單邊譜，如圖(b)所示，此時(shí)的譜圖高度為雙邊譜的2倍。

（a）雙邊譜（b）單邊譜圖(b)中的陰影面積（即幅值譜密度在Δf

區(qū)間上的積分）表示非周期信號(hào)的Δf

頻帶上的諧波分量的幅值，而頻率恰好等于

fn

的諧波分量幅值為零。可見(jiàn)非周期信號(hào)的諧波分量是依一定密度分散在0~∞的連續(xù)頻帶內(nèi)的，而周期信號(hào)的諧波分量則是依一定規(guī)律集中在一些離散的頻率上。

例6-3求下圖所示的單個(gè)矩形脈沖的頻譜，其中單個(gè)矩形脈沖

解

：u(t)設(shè)

的傅里葉變換為U(f)

，由傅里葉變換的定義得相應(yīng)的頻譜如右圖所示。頻譜6.3.3傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換是信號(hào)分析及處理中進(jìn)行時(shí)間域和頻率域之間變換的一種基本數(shù)學(xué)工具。當(dāng)信號(hào)在時(shí)間域中的變化規(guī)律改變后，其在頻率域中的變化規(guī)律也會(huì)對(duì)應(yīng)改變；同樣，當(dāng)信號(hào)在頻率域中的變化規(guī)律改變后，其在時(shí)間域中的變化規(guī)律也會(huì)對(duì)應(yīng)改變。這種改變的對(duì)應(yīng)關(guān)系體現(xiàn)在傅里葉變換的性質(zhì)中。

傅里葉變換的主要性質(zhì)有：奇偶虛實(shí)性、線(xiàn)性疊加性、對(duì)稱(chēng)性、時(shí)移性、頻移性、尺度改變性、卷積定理、微分特性和積分特性等。性質(zhì)時(shí)域頻域奇偶虛實(shí)性實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)實(shí)奇函數(shù)虛實(shí)函數(shù)虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)虛奇函數(shù)實(shí)奇函數(shù)線(xiàn)性疊加對(duì)稱(chēng)尺度改變時(shí)移頻移翻轉(zhuǎn)共軛時(shí)域卷積頻域卷積時(shí)域微分頻域微分積分傅里葉變換的主要性質(zhì)6.3.4幾種特殊信號(hào)的頻譜1．矩形窗函數(shù)及頻譜一個(gè)在時(shí)域有限區(qū)間有值的信號(hào)，其頻譜卻延伸至無(wú)限頻率。在時(shí)域中，若截取信號(hào)的一段記錄長(zhǎng)度，則相當(dāng)于原信號(hào)和矩形窗函數(shù)乘積，根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積特性，所得信號(hào)的頻譜將是原信號(hào)頻譜函數(shù)和

函數(shù)的卷積，它將是連續(xù)的且頻率無(wú)限延伸的頻譜。2．單位脈沖函數(shù)（

δ

函數(shù)）及頻譜（1）

δ

函數(shù)的定義在數(shù)學(xué)上，如果函數(shù)sε(t)

僅在區(qū)間[0，ε]上具有脈沖樣圖形（矩形脈沖、三角形脈沖等），并且此圖形與t軸圍成的面積為1，如右圖所示，那么當(dāng)脈沖寬度

ε→0時(shí)，函數(shù)sε(t)

的極限稱(chēng)為δ

函數(shù)。根據(jù)函數(shù)的定義不難看出

δ函數(shù)有如下特點(diǎn)：在工程上，常將

δ函數(shù)用一個(gè)高度等于1的有向線(xiàn)段來(lái)表示，如下圖所示，這個(gè)線(xiàn)段的高度表示

δ函數(shù)的積分，亦稱(chēng)

δ函數(shù)的強(qiáng)度（并非幅度值）。用這種方法表示的

δ函數(shù)稱(chēng)為單位脈沖函數(shù)。（2）δ

函數(shù)的采樣性質(zhì)若

x(t)為一時(shí)域連續(xù)信號(hào)，則乘積

δ(t)x(t)僅在

t=0處得到

δ(t)x(0)，其余均為零，于是可見(jiàn)

δ(t)與

x(t)相乘后積分，其作用就是取出了信號(hào)

x(t)在t=0時(shí)刻的一個(gè)值，

x(0)為一個(gè)采樣點(diǎn)。同樣，對(duì)有延時(shí)的

δ函數(shù)δ(t-t0)

，其值僅在

t=t0時(shí)刻才不為零，于是此時(shí)，得到了

x(t)在

t=t0時(shí)刻的一個(gè)采樣點(diǎn)

x(t0)。在工程上，利用單位脈沖函數(shù)的概念，可將采樣過(guò)程看成是信號(hào)與單位脈沖函數(shù)的簡(jiǎn)單乘積。（3）δ

函數(shù)的頻譜可見(jiàn)，時(shí)域的脈沖信號(hào)具有無(wú)限寬廣的頻譜，而且各頻率上的信號(hào)強(qiáng)度都相等。在信號(hào)的檢測(cè)中，一般爆發(fā)電火花的地方（如雷電、火花塞等）都會(huì)對(duì)測(cè)試系統(tǒng)產(chǎn)生嚴(yán)重干擾，這是因?yàn)榧饷}沖（類(lèi)似

函數(shù)，能量均勻地分布在

的頻帶內(nèi)）的高頻部分以射頻形式發(fā)射出來(lái)，對(duì)測(cè)試系統(tǒng)形成干擾的緣故。凡是頻譜為常數(shù)的信號(hào)俗稱(chēng)白噪聲?！鞍住笔怯砂咨庖甓鴣?lái)，意即白色的光譜頻率豐富。

脈沖就是一種理想的白噪聲。將

δ函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換，即可得到其頻譜函數(shù)，即

根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱(chēng)性、時(shí)移性和頻移性等，可得到下列傅里葉變換對(duì):（4）δ

函數(shù)與其他函數(shù)的卷積在函數(shù)卷積運(yùn)算中，若其中有一個(gè)函數(shù)是δ

函數(shù)，則運(yùn)算極為簡(jiǎn)便。例如，若U(f)

為右圖所示矩形函數(shù)，(f)=

△(f-fs)+△(f+fs)為在頻率軸上的兩個(gè)單位脈沖函數(shù)，則其卷積根據(jù)

δ函數(shù)的采樣性質(zhì):所以由此得出一個(gè)重要結(jié)論：任意函數(shù)和

δ函數(shù)的卷積，就是簡(jiǎn)單地將該函數(shù)在自己的橫軸上平移到

δ函數(shù)所對(duì)應(yīng)的位置。此結(jié)論對(duì)時(shí)域函數(shù)同樣適用。3．周期性單位脈沖序列及頻譜等間隔周期性單位脈沖序列的周期為

Ts，如右圖所示。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

周期單位脈沖序列若用傅里葉級(jí)數(shù)表示，則所以由下圖所示的頻譜圖可以看出，時(shí)域中周期為T(mén)s

的脈沖序列在頻域中仍是周期為1/Ts的脈沖序列，其幅值為時(shí)域中脈沖幅值的1/Ts倍。

根據(jù)傅里葉變換對(duì)并對(duì)兩端取傅里葉變換，即得

δn(t)的頻譜頻譜用計(jì)算機(jī)進(jìn)行信號(hào)分析時(shí)，首先要將連續(xù)的模擬信號(hào)x(t)

變?yōu)橐贿B串離散的時(shí)間序列。以數(shù)字量的形式存入到一個(gè)個(gè)內(nèi)存單元中，然后進(jìn)行各種計(jì)算。為了實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程，可先用

δn(t)與連續(xù)信號(hào)

x(t)相乘。根據(jù)

δ函數(shù)的采樣性質(zhì)可知，相乘后便得到一離散的時(shí)間序列。由此看來(lái)，周期性單位脈沖序列δn(t)

在數(shù)學(xué)上具有采樣功能，因此又稱(chēng)采樣函數(shù)。相應(yīng)地，

Ts

稱(chēng)采樣間隔，也稱(chēng)采樣周期，其倒數(shù)1/Ts=fs

稱(chēng)采樣頻率。4．正（余）弦函數(shù)及頻譜由于正（余）弦函數(shù)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，因此不能直接應(yīng)用傅里葉積分變換式，而需在傅里葉變換時(shí)引入

δ

函數(shù)。根據(jù)歐拉公式，正（余）弦函數(shù)可寫(xiě)成由傅里葉變換對(duì)即可求得正、余弦函數(shù)的傅里葉變換，如下圖所示。6.4數(shù)字信號(hào)分析與處理6.2.1信號(hào)的數(shù)字化數(shù)字處理的特點(diǎn)是處理離散數(shù)據(jù)，因此首先要把連續(xù)信號(hào)采樣成離散的時(shí)間序列。由于傳感器所測(cè)試的大多數(shù)物理過(guò)程本質(zhì)上仍是連續(xù)的，所以總是有一個(gè)采樣過(guò)程。這一過(guò)程把連續(xù)信號(hào)改變成等間隔的離散時(shí)間序列，其幅值也經(jīng)過(guò)量化。

此外，數(shù)字計(jì)算機(jī)不管怎樣快速，其容量和計(jì)算速度畢竟有限，因而處理的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度是有限的，信號(hào)必須要經(jīng)過(guò)截?cái)?，這樣數(shù)字信號(hào)處理就必然引入一些誤差。大部分傳感器的輸出信號(hào)都是隨時(shí)間連續(xù)變化的模擬電量，若要采用數(shù)字式處理，則需要將連續(xù)模擬量轉(zhuǎn)換成離散數(shù)字量，這可利用模/數(shù)轉(zhuǎn)換裝置（A/D轉(zhuǎn)換器）來(lái)實(shí)現(xiàn)。

數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的簡(jiǎn)單框圖，如下圖所示。

A/D轉(zhuǎn)換器的輸入量為模擬信號(hào)A和模擬參考信號(hào)R，而輸出量是數(shù)字編碼信號(hào)D（一般是按二進(jìn)制編碼）。A、R和D之間的關(guān)系可表示為式中的恒等式和中括號(hào)的含義是：在數(shù)字能夠表示的最精確的范圍內(nèi)，D是最接近A/R的值。A/D轉(zhuǎn)換的實(shí)現(xiàn)要經(jīng)過(guò)采樣、量化和編碼三個(gè)過(guò)程。1．采樣采樣就是將連續(xù)變化的模擬信號(hào)離散化的過(guò)程。若將一個(gè)模擬信號(hào)x(t)和一個(gè)等間隔的脈沖序列

（

Ts是采樣間隔）相乘，由于

δ

函數(shù)的采樣性質(zhì)，相乘以后只有在

t=nTs

處有值。因此，采樣后得到如圖（c）所示的一系列在時(shí)間上離散的信號(hào)序列

x(nTs

)，

n=0，1，2…模擬信號(hào)采樣脈沖離散信號(hào)信號(hào)的量化信號(hào)的編碼采樣定理指出：一個(gè)連續(xù)的摸擬波形，若它的最高頻率分量為fm

，則當(dāng)采樣頻率

fs≥2fm時(shí)，采樣后的信號(hào)可以無(wú)失真地恢復(fù)成原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。2．量化量化過(guò)程就是把采樣取得的各點(diǎn)上的幅值與一組離散電平值比較，以最接近于采樣幅值的電平值代替該幅值，并使每一個(gè)離散電平值對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)字量，如圖（d）所示。若兩相鄰量化電平之間的增量為

，則量化誤差最大為

，由此可見(jiàn)，在量化過(guò)程中相鄰量化電平之間的增量越?。ü┍容^的離散電平值的數(shù)量越多），誤差越小。數(shù)字信號(hào)只能以有限的字長(zhǎng)表示其幅值，對(duì)于小于末位數(shù)字所代表的幅值部分只能采取“舍”或“入”的方法。模擬信號(hào)采樣脈沖離散信號(hào)信號(hào)的量化信號(hào)的編碼3．編碼編碼過(guò)程是把已量化的數(shù)字量用一定的代碼表示并輸出，通常采用二進(jìn)制代碼。經(jīng)過(guò)編碼之后，信號(hào)的每個(gè)采樣值對(duì)應(yīng)一組代碼，如圖（e）所示。模擬信號(hào)采樣脈沖離散信號(hào)信號(hào)的量化信號(hào)的編碼6.4.2離散傅里葉變換（DFT）

數(shù)字計(jì)算機(jī)不能對(duì)一個(gè)連續(xù)的模擬信號(hào)進(jìn)行處理。其原因是：第一，數(shù)字計(jì)算機(jī)僅能處理離散數(shù)據(jù)；第二，計(jì)算機(jī)的內(nèi)存容量總是有限的，它不能存放無(wú)限多的采樣數(shù)據(jù)。因此“數(shù)值離散”和“點(diǎn)數(shù)有限”是使用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換的兩大特點(diǎn)，為了區(qū)別常見(jiàn)的傅里葉變換，我們稱(chēng)之為離散傅里葉變換。圖（a）所示的是某一連續(xù)信號(hào)

x(t)及其傅里葉變換X(f)。將

x(t)乘以圖（b）所示的采樣函數(shù)

δn(t)，得到一無(wú)限的離散函數(shù)

x1(t)=x(t)δn(t)（見(jiàn)（c）圖）。根據(jù)卷積定理（時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)于頻域的卷積）可知，x1(t)的傅里葉變換

X1(f)=X(f)*

△n(f)。而函數(shù)與

δ

函數(shù)的卷積就是把該函數(shù)簡(jiǎn)單地平移到

δ函數(shù)所對(duì)應(yīng)的位置，于是得到圖（c），比較

X1(f)與X(f)可知，時(shí)域函數(shù)的離散導(dǎo)致頻域圖形的周期化。這是離散傅里葉變換引入的第一次誤差。（a）模擬信號(hào)及其傅里葉變換（b）采樣信號(hào)及其傅里葉變換

（c）離散信號(hào)及其傅里葉變換至此，采樣后的函數(shù)

x1(t)仍有無(wú)限個(gè)離散點(diǎn)，而計(jì)算機(jī)只能接受有限個(gè)點(diǎn)，因此要對(duì)

x1(t)進(jìn)行時(shí)域截?cái)?，取出N個(gè)有限點(diǎn)。這在數(shù)學(xué)上可理解為用一高度為1的矩形函數(shù)

u(t)（見(jiàn)（d）圖）乘以x1(t)，由于u(t)的作用相當(dāng)于一個(gè)窗戶(hù)，故稱(chēng)窗函數(shù)。T為截?cái)嚅L(zhǎng)度，即采樣時(shí)間。截?cái)嗪蟮男盘?hào)為x2(t)=x1(t)*u(t)

（見(jiàn)（e）圖），其傅里葉變換

X2(f)仍利用頻域的卷積

X1(f)*U(f)進(jìn)行計(jì)算。卷積的結(jié)果使得在

X1(f)的基礎(chǔ)上出現(xiàn)許多皺波（Ripple），即與截?cái)嗲靶盘?hào)的頻譜不同了，這說(shuō)明信號(hào)所包含的能量也發(fā)生了變化，我們稱(chēng)此種現(xiàn)象為泄漏。（d）矩形函數(shù)及其傅里葉變換（e）矩形函數(shù)采樣信號(hào)及其傅里葉變換泄漏是由于窗函數(shù)

u(t)的頻譜

U(f)有許多旁瓣而引起的（見(jiàn)圖(d)），中間的主峰叫做主瓣，在主峰兩側(cè)出現(xiàn)的一系列小峰叫旁瓣，所以把窗函數(shù)的頻譜出現(xiàn)旁瓣的現(xiàn)象稱(chēng)為泄漏。如果增加采樣時(shí)間T，則

U(f)將變窄變高，泄漏就隨之減小。當(dāng)

T→∞（即不施行時(shí)域截?cái)啵r(shí)，U(f)變?yōu)?/p>

δ

函數(shù)，皺波便完全消失?？梢?jiàn)時(shí)域函數(shù)的截?cái)嗫蓪?dǎo)致頻域函數(shù)出現(xiàn)皺波，這是離散傅里葉變換引入的第二次誤差。圖（e）中的傅里葉變換對(duì)、頻域函數(shù)

X2(f)仍不是計(jì)算機(jī)能接受的離散函數(shù)，因此還須乘以頻域采樣函數(shù)

△k(f)（見(jiàn)圖（f）

），得到

X3(f)=X2(f)△k(f)（見(jiàn)圖（g））。根據(jù)卷積定理，X3(f)的傅里葉逆變換為

x3(t)=x2(t)*δk(t)。至此，得到了如圖（g）所示的離散傅里葉變換對(duì)，它在時(shí)域和頻域都是用離散值表示的。（e）矩形函數(shù)采樣信號(hào)及其傅里葉變換

（f）頻域采樣函數(shù)及其傅里葉逆變換

（g）離散信號(hào)傅里葉變換在理解離散傅里葉變換時(shí)，特別要注意的是，時(shí)域上采樣的結(jié)果將得到頻率的周期函數(shù)；而頻域上采樣的結(jié)果將得到時(shí)間的周期函數(shù)。由此可知，離散傅里葉變換需要將原時(shí)間函數(shù)和頻率函數(shù)都修改成周期函數(shù)。不過(guò)在計(jì)算機(jī)中僅存儲(chǔ)了N個(gè)時(shí)域采樣值和N個(gè)頻域采樣值，它們分別表示時(shí)域波形和頻域波形的一個(gè)周期，并且近似于原來(lái)的連續(xù)傅里葉變換對(duì)。按照上述推演離散傅里葉變換的思路，可從理論上導(dǎo)出離散傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式

例6-3求序列x(n)

={1，2，1，0}當(dāng)N=4

時(shí)的離散傅里葉變換X(k)。

解：由式

知因此可得

x(t)的4點(diǎn)DFT：X(k)={4，-j2，0，j2}

。6.4.3數(shù)字化分析處理中的若干問(wèn)題1．頻率混淆時(shí)域的采樣引起了頻域的周期化。這時(shí)如果采樣頻率

fs

選得足夠高，則頻域各周期的圖形不會(huì)發(fā)生重疊。與此同時(shí)，在應(yīng)用中僅取[-fs

/2，fs

/2]（雙邊譜）或僅取[0，fs/2]（單邊譜）進(jìn)行分析，其余各周期不予理會(huì)，則頻域周期化所帶來(lái)的誤差就可能完全避免。在工程上，稱(chēng)采樣頻率的一半

fn=fs

/2為奈奎斯特頻率或截止頻率。如果由于原信號(hào)頻帶很寬或采樣頻率

fs

選得太低，則頻域中相鄰周期的波形就會(huì)發(fā)生重疊，從而引起誤差，如下圖所示。這種現(xiàn)象稱(chēng)頻率混淆，簡(jiǎn)稱(chēng)頻混?；殳B現(xiàn)象2．采樣頻率及頻率分辨力

由采樣定理可知：對(duì)于一個(gè)頻率為

0~fm的有限帶寬連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，只有當(dāng)采樣頻率fs

≥2fm

時(shí)，其離散傅里葉變換才不發(fā)生頻率混淆，因而只有用這樣采樣的點(diǎn)才能得到離散信號(hào)的頻譜，同時(shí)也只有用這樣采樣的點(diǎn)才能夠完全恢復(fù)原時(shí)域信號(hào)的連續(xù)波形

x(t)，不過(guò)此時(shí)要借助插值公式來(lái)求出采樣點(diǎn)以外的其他點(diǎn)。采樣定理要求

fs

≥2fm

，但采樣頻率

fs并非選得越高越好。由N個(gè)時(shí)域采樣點(diǎn)進(jìn)行離散傅里葉變換，得到N個(gè)頻域點(diǎn)，通常稱(chēng)為N條譜線(xiàn)，對(duì)應(yīng)的頻率范圍為[-fs/2，fs/2]，因此相鄰譜線(xiàn)的頻率增量為可見(jiàn)當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N

一定時(shí)，采樣頻率

fs

越高，頻率增量越大，頻率分辨力越低。因此，在滿(mǎn)足采樣定理的前提下，采樣頻率不應(yīng)選得過(guò)高，一般取

fs=(2~3)fm就夠了。由上式可以看出，采樣頻率

fs選定后，要想提高頻率分辨力，就要增加采樣點(diǎn)數(shù)N，這就意味著要增加采樣時(shí)間，多占計(jì)算機(jī)內(nèi)存容量和延長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間。為解決此矛盾，可采用小波變換等現(xiàn)代信號(hào)分析處理方法。小波變換具有多分辨率的特點(diǎn)，可以按粗細(xì)不同的尺度觀(guān)察信號(hào)，對(duì)頻率信號(hào)的分析采用不同的分辨率，彌補(bǔ)了常規(guī)分析方法的不足。3．頻率混淆

FFT算法要求采樣點(diǎn)數(shù)N必須是2的正整數(shù)次冪，因此采樣點(diǎn)數(shù)N必須選用為

N=2P（P為正整數(shù)），還常取

P=9~11，采樣點(diǎn)數(shù)取得過(guò)多則計(jì)算時(shí)間太長(zhǎng)。

FFT算法將DFT算法的計(jì)算速度提高到原來(lái)的

N/log2N

倍，使傅里葉變換可以在很短的時(shí)間內(nèi)完成。目前已有很多關(guān)于離散傅里葉變換的硬件、軟件及專(zhuān)用機(jī)可供使用。4．窗函數(shù)、截?cái)嗪托孤┙財(cái)嗑褪菍o(wú)限長(zhǎng)的信號(hào)乘以有限寬的窗函數(shù)。“窗”的意思是指透過(guò)窗口能夠“看到‘外景（信號(hào)）’”的一部分。最簡(jiǎn)單的窗是矩形窗，如下圖所示，其函數(shù)為函數(shù)式矩形窗矩形窗的頻譜函數(shù)為

對(duì)信號(hào)截取一段(-T，T)，就相當(dāng)于在時(shí)域中

x(t)乘以矩形窗函數(shù)

ω(t)，于是有由于

ω(t)是一個(gè)頻帶無(wú)限的函數(shù)，所以即使x(t)是限帶信號(hào)，而在截?cái)嘁院笠脖仨毘蔀闊o(wú)限帶寬的函數(shù)，這說(shuō)明信號(hào)的能量分布擴(kuò)展了。又從上面的討論可知，無(wú)論采樣頻率多高，只要信號(hào)一經(jīng)截?cái)嗑筒豢杀苊獾貙?dǎo)致一些誤差，這一現(xiàn)象稱(chēng)為泄漏。如果增大截?cái)嚅L(zhǎng)度，則

W(f)圖形將壓縮變窄，雖然在理論上其頻譜范圍仍為無(wú)窮寬，但實(shí)際上中心頻率以外的頻率分量衰減較快，因而泄漏誤差將減小。當(dāng)T趨于無(wú)限大時(shí)，則

W(f)將變?yōu)?/p>

△(f)函數(shù)，而

△(f)函數(shù)與

X(f)的卷積仍為

X(f)。這就說(shuō)明如果不截?cái)?，就沒(méi)有泄漏誤差。一個(gè)時(shí)域信號(hào)愈是變化劇烈（即愈含有脈沖性突變或階躍性突變），其頻率成分越豐富。泄漏與窗函數(shù)頻譜的旁瓣有關(guān)。矩形窗函數(shù)頻域中的旁瓣就是由于窗兩端的階躍性突變所致。因此，只要選擇兩端比較平滑的窗函數(shù)，便能減少泄漏誤差。根據(jù)這一原理，人們提出了許多實(shí)用的窗函數(shù)，如漢寧窗、哈明窗、高斯窗、三角窗等，如下圖所示。（a）漢寧窗

（b）哈明窗

（c）高斯窗

（d）三角窗

①如果要分析信號(hào)中那些幅值很小的頻率成分（即次要的頻率成分），則不能用矩形窗，應(yīng)該用泄漏最小的高斯窗。②如果僅僅分析信號(hào)的主要頻率成份，而不考查頻譜的細(xì)微結(jié)構(gòu)，則可用計(jì)算最為簡(jiǎn)單的矩形窗。③如果要兩者兼顧，則可用漢寧窗或哈明窗，而哈明窗的應(yīng)用最為廣泛。比較這五種窗，矩形窗旁瓣最高但主瓣最窄，高斯窗旁瓣最低但主瓣卻最寬，最理想的窗函數(shù)應(yīng)該是主瓣窗窄而旁瓣低。因此在處理數(shù)據(jù)時(shí)，要根據(jù)具體要求來(lái)選擇窗函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

注意：一需要指出的是，除了矩形窗外，其他窗在對(duì)時(shí)域函數(shù)截?cái)嗟耐瑫r(shí)，還對(duì)時(shí)域函數(shù)的幅值有影響，導(dǎo)致頻域函數(shù)幅值下降，因而要乘以一個(gè)修正系數(shù)進(jìn)行修正，這點(diǎn)在計(jì)算時(shí)要特別注意。5．平均化處理離散傅里葉變換是連續(xù)傅里葉變換的一種近似。對(duì)信號(hào)進(jìn)行截?cái)喾治?，用?shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是抽出總體信號(hào)的一個(gè)樣本進(jìn)行分析。如果多抽出一些樣本進(jìn)行離散傅里葉變換，最后取其平均值，必然會(huì)抵消一些隨機(jī)誤差而獲得較高精度，這種方法稱(chēng)為平均化。平均化處理在數(shù)據(jù)處理中得到了廣泛的應(yīng)用，具體做法是先把足夠多的點(diǎn)數(shù)采入計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)器，然后一段接一段地進(jìn)行分析，最后取平均。若總點(diǎn)數(shù)不夠，取用時(shí)可在各段之間交叉，使同一數(shù)據(jù)能夠多段重復(fù)使用。6.4.4快速傅里葉變換（FFT）快速傅里葉變換（FFT）是離散傅里葉變換（DFT）的快速算法，它在確定DFT的系數(shù)時(shí)使所要求的乘法及加法次數(shù)減少。FFT的算法有很多種，其中大多數(shù)已編制了程序，從而使應(yīng)用于數(shù)字頻譜分析、濾波器模擬及相關(guān)領(lǐng)域的計(jì)算技術(shù)產(chǎn)生了較大的發(fā)展。

FFT算法的實(shí)質(zhì)就是把一個(gè)長(zhǎng)數(shù)據(jù)序列

x(n)經(jīng)多次分選抽取，最終分割成

n/2個(gè)，每個(gè)有兩個(gè)數(shù)據(jù)的序列作DFT計(jì)算，分別算出分割后比較短的子序列的頻譜，然后按一定的規(guī)則組合，即可得到整個(gè)序列

x(n)的頻譜。例如，有一數(shù)據(jù)序列

｛x(n)｝，n=0，1，2，…，N-1

，如下圖所示（N=8）。將序列｛x(n)｝按偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)經(jīng)一次抽取，組合成兩個(gè)較短的半序列｛y(n)｝和｛z(n)｝，

其中（a）原始序列

｛x(n)｝

（b）半序列｛y(n)｝

（c）半序列｛z(n)｝

如果原序列｛x(n)｝的總項(xiàng)數(shù)N=2P，則可以把它分割成兩個(gè)半序列，半序列｛y(n)｝和｛z(n)｝又可以分成4個(gè)1/4序列，然后再分成8個(gè)1/8

序列，直到最后每個(gè)序列只剩下兩項(xiàng)為止。這樣，只需對(duì)只有兩項(xiàng)的“序列”求DFT，然后應(yīng)用上式逐步“合并”，最終可求得原序列

的DFT。按FFT算法邏輯步驟，編好程序用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。6.5

隨機(jī)信號(hào)分析與處理6.5.1基本概念隨機(jī)信號(hào)的描述必須用概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法。對(duì)隨機(jī)信號(hào)按時(shí)間歷程所作的各次長(zhǎng)時(shí)間觀(guān)測(cè)記錄稱(chēng)為樣本函數(shù)，記作

x(t)，如右圖所示。

隨機(jī)信號(hào)是非確定性信號(hào)，它不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式來(lái)描述，不能預(yù)測(cè)它未來(lái)任何瞬時(shí)的精確值，任一次觀(guān)測(cè)值只代表在其變動(dòng)范圍內(nèi)可能產(chǎn)生的結(jié)果之一，但其值的變動(dòng)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。1．隨機(jī)過(guò)程在有限時(shí)間區(qū)間上的樣本函數(shù)稱(chēng)為樣本記錄。在同一試驗(yàn)條件下，全部樣本函數(shù)的集合（總體）就是隨機(jī)過(guò)程，以

x(t)表示，即隨機(jī)過(guò)程的基本特性可以從幅值域、時(shí)差域和頻率域進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，主要的統(tǒng)計(jì)參數(shù)有均值、方差、均方值、概率密度函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)、功率譜密度函數(shù)和互譜密度函數(shù)等。其中有些統(tǒng)計(jì)參數(shù)用于描述單個(gè)隨機(jī)信號(hào)的數(shù)據(jù)特性，有些統(tǒng)計(jì)參數(shù)用于描述兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)信號(hào)的聯(lián)合特性。隨機(jī)過(guò)程的各種平均值（均值、方差、均方值和均方根值等）是按集合平均來(lái)計(jì)算的。集合平均的計(jì)算不是沿某單個(gè)樣本的時(shí)間軸進(jìn)行，而是在集合中的某時(shí)刻

對(duì)所有樣本函數(shù)的觀(guān)測(cè)值取平均。為了與集合平均相區(qū)別，稱(chēng)按單個(gè)樣本的時(shí)間歷程進(jìn)行平均的計(jì)算為時(shí)間平均。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程2．平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程就是統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)不隨時(shí)間變化而改變的隨機(jī)過(guò)程。例如，對(duì)某一隨機(jī)過(guò)程的全部樣本函數(shù)的集合選取不同的時(shí)間t進(jìn)行計(jì)算，得出的統(tǒng)計(jì)參數(shù)都相同，則稱(chēng)這樣的隨機(jī)過(guò)程為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，否則就是非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。3．平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程若從平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中任取一樣本函數(shù)，如果該單一樣本在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的平均統(tǒng)計(jì)參數(shù)（時(shí)間平均）和所有樣本函數(shù)在某一時(shí)刻的平均統(tǒng)計(jì)參數(shù)（集合平均）是一致的，則稱(chēng)這樣的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程為各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程。顯然，各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，但是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。大量事實(shí)證明，一般工程上遇到的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程大多數(shù)是各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程。雖然有的不一定是嚴(yán)格的各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，但在精度許可的范圍內(nèi)，也可以當(dāng)作各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程來(lái)處理。事實(shí)上，一般的隨機(jī)過(guò)程需要足夠多的樣本（理論上應(yīng)為無(wú)限多）才能描述它，而要進(jìn)行大量的觀(guān)測(cè)來(lái)獲取足夠多的樣本函數(shù)是非常困難或做不到的。在測(cè)試工作中常以一個(gè)或幾個(gè)有限長(zhǎng)度的樣本記錄來(lái)推斷整個(gè)隨機(jī)過(guò)程，以其時(shí)間平均來(lái)估計(jì)集合平均。

各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)過(guò)程中比較重要的一種，因?yàn)楦鶕?jù)單個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均可以描述整個(gè)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，從而簡(jiǎn)化了信號(hào)的分析和處理，但是要判斷隨機(jī)過(guò)程是否各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程是相當(dāng)困難的。一般的做法是，先假定平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程是各態(tài)歷經(jīng)的，然后再根據(jù)測(cè)定的特性返回到實(shí)際中分析和檢驗(yàn)原假定是否合理。6.5.2各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)參數(shù)1．均值、方差、均方值在實(shí)際的測(cè)試工作中，要獲取觀(guān)測(cè)時(shí)間T為無(wú)限長(zhǎng)的樣本函數(shù)是不可能的，常用有限的長(zhǎng)度樣本記錄來(lái)代替，這樣計(jì)算的均值稱(chēng)為估計(jì)值，以加注“∧”來(lái)區(qū)分。

（1）均值。均值是樣本記錄所有值的簡(jiǎn)單平均，反映了隨機(jī)信號(hào)的靜態(tài)分量（直流分量），即

（2）方差。方差用以描述隨機(jī)信號(hào)的動(dòng)態(tài)分量，其定義為

方差的大小反映了隨機(jī)變量對(duì)均值的離散程度，即代表了信號(hào)的動(dòng)態(tài)分量（交流分量），其正平方根稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差。

（3）均方值。均方值描述了隨機(jī)信號(hào)的強(qiáng)度或平均功率，其正平方根稱(chēng)為均方根值（或稱(chēng)有效值）。均方值估計(jì)值為均值、方差和均方值之間有如下關(guān)系：2．概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)是表示信號(hào)瞬時(shí)值落在某指定區(qū)間內(nèi)的概率。如下圖所示信號(hào)x(t)，其值落在區(qū)間(x，x＋△x)內(nèi)的時(shí)間為

（a）隨機(jī)信號(hào)

x(t)的時(shí)域波形（b）有隨機(jī)信號(hào)x(t)的概

率密度函數(shù)圖形

當(dāng)樣本記錄時(shí)間T趨于無(wú)限大時(shí)，

Tx/T的比值就是幅值落在區(qū)間(x，x＋△x)內(nèi)的概率，即而概率密度函數(shù)定義為其估計(jì)值為

概率密度函數(shù)反映了隨機(jī)信號(hào)幅值分布的規(guī)律。由于不同的隨機(jī)信號(hào)具有不同的概率密度函數(shù)圖形，故可根據(jù)它識(shí)別信號(hào)。下圖所示為4種典型信號(hào)（均值為零）及其概率密度函數(shù)圖形。6.5.3相關(guān)分析1．相關(guān)所謂“相關(guān)”是指變量之間的線(xiàn)性關(guān)系。對(duì)于確定性的信號(hào)來(lái)說(shuō)，兩個(gè)變量之間可用函數(shù)關(guān)系來(lái)描述，兩者一一對(duì)應(yīng)并為確定的數(shù)值。兩個(gè)隨機(jī)變量之間就不具有這樣確定的關(guān)系，但如果這兩個(gè)變量之間具有某種內(nèi)涵的物理聯(lián)系，那么通過(guò)大量統(tǒng)計(jì)就能發(fā)現(xiàn)它們之間還是存在著某種雖不精確但卻具有相應(yīng)的表征其特征的近似關(guān)系。例如，樹(shù)高與直徑之間不能用確定性函數(shù)表述，但是通過(guò)大量的統(tǒng)計(jì)可以發(fā)現(xiàn)，同種樹(shù)木樹(shù)高的直徑也常常大些，這兩個(gè)變量之間有一定的線(xiàn)性關(guān)系。又例如，機(jī)器上某個(gè)回轉(zhuǎn)部件的動(dòng)不平衡會(huì)引起該機(jī)器的振動(dòng)，但是從所測(cè)得的機(jī)座振動(dòng)卻是各種振源的綜合。對(duì)于一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)，由于回轉(zhuǎn)部件動(dòng)不平衡引起的強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率總是和其轉(zhuǎn)速相對(duì)應(yīng)的，此頻率和其他振動(dòng)源引起的強(qiáng)迫振動(dòng)頻率不一樣。因此，可以認(rèn)為和該部件轉(zhuǎn)速不一致的振動(dòng)與其動(dòng)不平衡無(wú)關(guān)。圖(a)中各點(diǎn)分布很散，可以說(shuō)變量x和變量y之間是無(wú)關(guān)的。

圖(b)中x和y雖無(wú)確定關(guān)系，但從統(tǒng)計(jì)結(jié)果、總體上看，具有某種程度的線(xiàn)性關(guān)系，因此說(shuō)它們之間有一定的相關(guān)關(guān)系。

（a）

（b）隨機(jī)變量x和y組成的數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布情況對(duì)于能量型變量

x(t)和

y(t)之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)

ρxy表示:通常，

≤1。當(dāng)=1時(shí)，說(shuō)明

x(t)和

y(t)兩變量是理想的線(xiàn)性相關(guān)。表示

x(t)和

y(t)兩變量之間完全無(wú)關(guān)。2．自相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)

Rx(τ)定義為乘積

x(t)x(t+τ)的平均值，即自相關(guān)函數(shù)描述了信號(hào)的某時(shí)刻值與延時(shí)一定時(shí)間后的值之間的相互關(guān)系，它定量地描述了一個(gè)信號(hào)在時(shí)間軸上平移

τ后所得波形與原波形相似的程度。若

x(t)

是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的樣本記錄，則自相關(guān)函數(shù)

Rx(τ)的估計(jì)值自相關(guān)函數(shù)具有以下主要性質(zhì)：（1）自相關(guān)函數(shù)為實(shí)偶函數(shù)。（2）在

τ=0時(shí)，Rx(0)=ψ2x

，取極大值即

（3）均值為零的隨機(jī)信號(hào)，隨著時(shí)移量

τ的增加，自相關(guān)函數(shù)趨近于零，即（4）周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍是與信號(hào)的時(shí)域周期相同的周期函數(shù)。（a）正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)

（b）正弦函數(shù)加隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)（c）窄帶隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)（d）寬帶隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)3．互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)圖

若有兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)

x(t)和y(t)，它們之間的互相關(guān)函數(shù)定義為其估計(jì)值為此互相關(guān)函數(shù)描述了兩信號(hào)之間一般的依賴(lài)關(guān)系?；ハ嚓P(guān)函數(shù)既非偶函數(shù)，也非奇函數(shù)，是可正可負(fù)的實(shí)函數(shù)?；ハ嚓P(guān)函數(shù)在

τ=0處不一定具有最大值，但可能在

τ=τ0達(dá)到最大值。右圖表示兩信號(hào)在

τ0處相關(guān)程度最高。如果兩隨機(jī)信號(hào)中具有頻率相同的周期成分，則其互相關(guān)函數(shù)即使

τ→∞也會(huì)出現(xiàn)該頻率的周期成分?；ハ嚓P(guān)函數(shù)中還包含有相位信息。如果兩個(gè)周期信號(hào)的頻率不相同，則其互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)=0即兩個(gè)頻率不同的周期信號(hào)是不相關(guān)的。如果

x(t)和

y(t)是兩個(gè)完全獨(dú)立無(wú)關(guān)的信號(hào)（即所謂統(tǒng)計(jì)獨(dú)立），且其均值μx

和μy

中至少有一個(gè)為零，則對(duì)所有時(shí)移量

τ，互相關(guān)函數(shù)

Rxy(τ)=0都成立。①測(cè)量運(yùn)動(dòng)速度。互相關(guān)函數(shù)可用來(lái)測(cè)定汽車(chē)、炮彈、軋制鋼帶的速度，以及導(dǎo)管內(nèi)和風(fēng)洞內(nèi)氣流的速度等。例如，要測(cè)定炮彈的速度，可在相距l(xiāng)m的兩處設(shè)置兩個(gè)光電式傳感器，如右圖所示，炮彈通過(guò)時(shí)拾取反射光的信號(hào)做出互相關(guān)函數(shù)圖，根據(jù)峰值出現(xiàn)的時(shí)間

，即可求得速度v=1/τ0。（1）滯后時(shí)間的測(cè)量

互相關(guān)函數(shù)在工程中的應(yīng)用主要有以下幾方面。運(yùn)動(dòng)速度的測(cè)量②確定深埋在地下的輸油管裂損的位置。如下圖所示，