土木工程制圖(第四章)

本章導(dǎo)讀由曲面包圍，或者由曲面和平面包圍而成的立體稱為曲面立體。圓柱、圓錐、球和環(huán)是工程上常見的曲面立體。工程中的殼體、屋蓋、隧道的拱頂，以及常見設(shè)備管道等，它們的幾何形狀都是曲面立體。為此，本章主要介紹曲面、曲面立體和曲面立體表面交線的形成方式、投影畫法、曲面上點(diǎn)和線的投影，以及曲面立體的尺寸標(biāo)注和軸測(cè)圖的繪制方法。了解曲面的形成及分類。掌握?qǐng)A柱、圓錐、球體和圓環(huán)等曲面立體的投影特性及其表面上點(diǎn)、線的投影。掌握?qǐng)A柱、圓錐和球體截交線的投影，能夠畫出曲面切割體的三面投影。解相貫線的成形，能夠繪制相貫體的投影。掌握曲面基本體、曲面切割體和曲面相貫體的尺寸標(biāo)法。能夠畫出圓柱和圓錐的正等軸測(cè)圖和斜二等軸測(cè)圖。技能目標(biāo)曲面是由直線或曲線在一定約束條件下運(yùn)動(dòng)形成的。這根運(yùn)動(dòng)的直線或曲線，稱為曲面的母線。母線運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的約束，稱為運(yùn)動(dòng)的約束條件。如圖4-1（a）所示，圓柱面的母線是直線AB，運(yùn)動(dòng)的約束條件是直母線AB繞與它平行的軸線O1O2旋轉(zhuǎn)，即圓柱面是由直母線AB繞與它平行的軸線O1O2旋轉(zhuǎn)形成的。圖4-1（b）所示的圓錐面是由直母線SA繞與它相交于S點(diǎn)的軸線SO旋轉(zhuǎn)形成的，圖4-1（c）所示的球面是由圓母線M繞通過O1圓心的軸線O旋轉(zhuǎn)形成的。由此可見，母線不同，或者約束條件不同，便形成不同的曲面。只有給出曲面的母線和母線的運(yùn)動(dòng)約束條件，才能確定該曲面。一、曲面的形成第一節(jié)曲面的形成和分類（a）（b）（c）圖4-1曲面的形成在約束條件中，把約束母線運(yùn)動(dòng)的直線或曲線稱為導(dǎo)線，母線上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都是垂直于軸線的圓，稱為緯圓，處于曲面上任意位置的母線稱為素線。例如，圖4-1（a）中，當(dāng)母線AB旋轉(zhuǎn)至CD位置時(shí)，該直線CD就是該圓柱面上的一根素線。這樣一來，曲面也可以認(rèn)為是由許多按一定條件緊靠著的素線組成。提示同一個(gè)曲面還可以認(rèn)為是由不同的母線，根據(jù)不同的約束條件運(yùn)動(dòng)而形成的。例如，圓柱面也可以認(rèn)為是由圓母線N沿著與它平行的軸線O1O2移動(dòng)而形成的，還可以認(rèn)為是由圓柱面上的任一曲線（如圓柱面上的螺旋線M），繞著它的軸線旋轉(zhuǎn)而形成的，如圖4-2所示。圖4-2圓柱面的形成方式曲面有規(guī)則曲面和不規(guī)則曲面之分。規(guī)則曲面可以看作是運(yùn)動(dòng)的母線按一定控制條件運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡，如圖4-1（a）所示的圓柱面和圖4-3所示的曲面。曲面上任一位置的母線稱為該曲面的素線，控制母線運(yùn)動(dòng)的線或面，分別稱成導(dǎo)線或?qū)?。本章僅介紹規(guī)則曲面。二、曲面的分類（a）圖4-1曲面的形成（a）（b）圖4-3規(guī)則曲面的形成表面由平面和曲面，或均由曲面圍成的立體稱為曲面立體。圓柱、圓錐、球體和是工程中常見的曲面立體，這些曲面立體多為回轉(zhuǎn)體。回轉(zhuǎn)面的可見部分與不可見部分的分界素線稱為轉(zhuǎn)向輪廓線。畫回轉(zhuǎn)體的投影就是畫回轉(zhuǎn)面的轉(zhuǎn)向輪廓線的投影、底面的投影和軸線的投影。第二節(jié)曲面立體及其表面上點(diǎn)和線的投影圓柱是由圓柱面和上、下兩個(gè)圓形底面圍成的，圓柱面可以看作是由母線繞與其平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成的。圓柱面上任意一條平行于軸線的直線稱為素線。一、圓柱的投影將圓柱體的軸線垂直于H面放置在三投影面體系中，其投影如圖4-4所示，三面投影圖的投影特性如下。H面投影：反映上、下底面實(shí)形的圓。此時(shí)，圓柱體的側(cè)面投影積聚在圓周上。V面投影：為一個(gè)矩形。其中，上、下兩邊線分別是圓柱上、下底面的積聚投影，左、右兩邊線分別是圓柱最左、最右處素線的投影。W面投影：為一個(gè)矩形。其中，上、下兩邊線分別是圓柱上、下底面的積聚投影，左、右兩邊線分別是圓柱最后、最前處素線的投影。（a）立體圖（b）投影圖圖4-4圓柱的三面投影通過上述分析可歸納總結(jié)出圓柱的投影特性，具體為：（1）在與底面平行的投影面中的投影為反映底面實(shí)形的圓；（2）另外兩面投影均為矩形。由圖4-4所示投影圖可以看出，圓柱體的投影特征與棱柱體的投影特征相同，均為“矩矩為柱”。圓錐是由圓錐面和底面圓所圍成的回轉(zhuǎn)體。其中，圓錐面是由母線繞與其相交并且成一定角度的軸線回轉(zhuǎn)而成的。母線與軸線的交點(diǎn)稱為錐頂。圓錐面的所有素線都交于錐頂，并且對(duì)底面的傾角相等。母線上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡形成的圓稱為緯圓。一、圓錐的投影將圓錐的軸線垂直于H面放置在三投影面體系中，其投影如圖4-5所示，三面投影特性如下。H面投影：為水平圓，反映圓錐底面的實(shí)形，同時(shí)也是圓錐面的投影。V面和W面投影：均為等腰三角形，且三角形的底邊為圓錐底面的積聚投影。V面投影中，三角形的左、右兩邊分別是圓錐面最左素線SA和最右素線SB的投影（素線也是轉(zhuǎn)向輪廓線）；W面投影中，三角形的左、右兩邊分別是圓錐面最前素線SC和最后素線SD的投影。（a）立體圖

（b）投影圖圖4-5圓錐的三面投影通過上述分析可總結(jié)出圓錐的投影特性，具體為：（1）在與底面平行的投影面上的投影反映底面圓的實(shí)形；（2）另外兩面投影均為等腰三角形，且符合“三三為錐”的投影特征。圓球是以一圓周為母線繞其自身直徑旋轉(zhuǎn)一周形成的。母線上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都為圓。三、球體的投影球體的三面投影均為與該圓球直徑相等的圓。其中，正面投影圓是可見的前半球面和不可見的后半球面的重影；水平投影圓是可見的上半球面與不可見的下半球面的重影；側(cè)面投影是可見的左半球面和不可見的右半球面的重影，如圖4-6所示。畫圓球的三面投影時(shí)，首先畫出各圓的中心線，然后畫出3個(gè)等直徑的圓即可。（a）立體圖（b）投影圖圖4-6球的三面投影以圓為母線，繞與它共面的圓外某一直線旋轉(zhuǎn)而形成的曲面，稱為環(huán)面，如圖4-7所示。當(dāng)環(huán)面的軸線垂直于H面時(shí)，它的H面投影是兩個(gè)同心圓，環(huán)面的V面和W面投影均為由兩個(gè)圓和與它們上、下相切的兩段水平輪廓線組成。四、圓環(huán)的投影V面投影中的兩個(gè)圓分別是環(huán)面最左素線和最右素線的投影，W面投影中的兩個(gè)圓分別是環(huán)面最后素線和最前素線的投影，它們都反映素線圓的實(shí)形，且都有半個(gè)圓因被環(huán)面擋住而畫成虛線。圖4-7圓環(huán)的三面投影與平面立體相同，求作曲面立體表面上點(diǎn)和直線的投影，也可采用從屬性法、積聚性法和輔助線法。作曲面立體上點(diǎn)的投影，可按如下步驟進(jìn)行：①判斷點(diǎn)所在的位置；②判斷點(diǎn)所在面的投影特性；③在具有積聚性的投影面上標(biāo)出點(diǎn)的投影；④根據(jù)點(diǎn)的兩面投影，求出其第三面投影。五、

曲面立體表面上點(diǎn)和線的投影因?yàn)閳A柱面具有積聚性，因此圓柱表面上點(diǎn)或線的投影可利用從屬性法和積聚性法求出。1．圓柱表面上點(diǎn)和線的投影分析：M點(diǎn)的正面投影可見，且在點(diǎn)畫線的左側(cè)，由此可判定M點(diǎn)在左、前半圓柱面上，其水平投影和側(cè)面投影均可見；N點(diǎn)的正面投影不可見，且在點(diǎn)畫線的右側(cè)，由此可判定N點(diǎn)在右、后半圓柱面上，其水平投影可見，側(cè)面投影不可見。作圖步驟（參見圖4-8（b））：（1）過m′點(diǎn)向下作鉛垂線交圓周的前半部分于一點(diǎn)，則該點(diǎn)為m；由m′點(diǎn)和m點(diǎn)，即可求出m′′點(diǎn)，m′′點(diǎn)為可見點(diǎn)。（2）采用同樣的方法，先求出N點(diǎn)的水平投影n，再求出側(cè)面投影n′′。由于N點(diǎn)所在的圓柱面的側(cè)面投影不可見，故該點(diǎn)的側(cè)面投影為（n′′）。【例4-1】已知圓柱面上點(diǎn)M和點(diǎn)N的正面投影m′和（n′），如圖4-8（a）所示，試求作這兩個(gè)點(diǎn)的另外兩面投影。（a）已知條件（b）作圖方法圖4-8利用“輔助線法”求圓柱表面上點(diǎn)的投影分析：由題意及圖4-9（a）可知，曲線AB位于前半個(gè)圓柱面上，且該段曲線在水平投影面上的投影為一段曲線。由于該圓柱面的側(cè)面投影積聚為圓，故曲線AB的側(cè)面投影為該圓上的一段圓弧。求作曲線的水平投影，需先求出曲線上一系列特殊位置點(diǎn)和中間位置點(diǎn)的投影，然后用曲線順次連接即可?！纠?-2】已知圓柱面上曲線AB的正面投影a′b′，如圖4-9（a）所示，求其另外兩面投影。（a）已知條件圖4-9利用“輔助線法”求圓柱表面上線的投影作圖步驟（參見圖4-9（b））：（1）先在圓柱的正面投影圖上標(biāo)出特殊點(diǎn)a′，b′，c′和一般位置點(diǎn)d′，e′，根據(jù)曲線AB所在圓柱面的積聚性，分別過正面投影中的這5個(gè)點(diǎn)作水平線，并與圓柱的側(cè)面投影交于a′′，b′′，c′′，d′′和e''點(diǎn)。（2）根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等”的投影規(guī)律作出這5個(gè)點(diǎn)的水平投影a，b，c，d，e。（3）用曲線依次光滑連接a，d，c，e，b點(diǎn)并判別其可見性（以C點(diǎn)為界，ADC段在圓柱面的前、上方，故可見，應(yīng)畫成實(shí)線；CEB段在圓柱面的前、下方，故不可見，應(yīng)畫成虛線），即可得曲線AB的水平投影。（b）作圖方法圖4-9利用“輔助線法”求圓柱表面上線的投影圓錐底面具有積聚性，其上的點(diǎn)可以直接求出。圓錐面沒有積聚性，其上的點(diǎn)需要用輔助線法才能求出。按輔助線的類型不同，輔助線法可分為素線法和緯圓法兩種。2．圓錐表面上點(diǎn)的投影分析：根據(jù)a′點(diǎn)可判定A點(diǎn)位于圓錐左前方的圓錐面上。由于圓錐面無(wú)積聚性，因此圓錐面上點(diǎn)的投影可利用素線法或緯圓法求出?！纠?-3】已知圓錐面上點(diǎn)A的正面投影a′，如圖4-10（a）所示，求其另外兩面投影。（a）圖4-10利用“素線法”求圓錐表面上點(diǎn)的投影方法一：素線法素線法就是過已知點(diǎn)和錐頂在錐面上作一條素線，利用點(diǎn)、線的從屬關(guān)系，得出點(diǎn)的三面投影圖的方法。即過A點(diǎn)作輔助素線SB，如圖4-10（b）所示，先求出該素線的投影，再利用線上點(diǎn)的投影關(guān)系求出圓錐表面上點(diǎn)的投影，具體作圖步驟如下。（1）連接s′點(diǎn)與a′點(diǎn)并延長(zhǎng)，使其與底圓的V面投影交于點(diǎn)b′，從而得到素線SB的V面投影s′b′。（2）由s′b′可求出sb。（3）因A點(diǎn)在素線SB上，故過a′點(diǎn)向下作垂線交sb于a點(diǎn)，由a′點(diǎn)和a點(diǎn)可求得A點(diǎn)的側(cè)面投影點(diǎn)a″。（b）

（c）圖4-10利用“素線法”求圓錐表面上點(diǎn)的投影（a）

（b）圖4-11利用“緯圓法”求圓錐表面上點(diǎn)的投影方法二：緯圓法假想過圓錐面上任一點(diǎn)作一個(gè)與圓錐底面平行的平面，該平面與圓錐面的交線為圓，則該點(diǎn)的三面投影必在交線圓的三面投影上。這個(gè)交線圓稱為緯圓，用緯圓作輔助圓來確定曲面上點(diǎn)的投影的方法稱為緯圓法，如圖4-11（a）所示，具體作圖步驟如下（參見圖4-11（b））。（1）過a′點(diǎn)作一條水平線1′2′，1′2′即為過A點(diǎn)的水平緯圓的V面投影。（2）以1′2′為直徑，在H面上畫出緯圓的水平投影。（3）過a′點(diǎn)作垂直投影線交緯圓的左前方于a點(diǎn)，再由a′點(diǎn)和a點(diǎn)求得a″點(diǎn)。球面均無(wú)積聚性，因此，除了轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)可以直接求出外，球面上的其他點(diǎn)均需用緯圓法才能求出。3．球面上點(diǎn)的投影分析：由m′點(diǎn)及該投影點(diǎn)的位置可知，M點(diǎn)位于前半球的左下部位，它的另外兩面投影可利用緯圓法求出。作圖步驟（參見圖4-12（b））：（1）過m′點(diǎn)作水平緯圓的正面投影（為一直線），交圓于b，c兩點(diǎn)。（2）繪制緯圓的水平投影，其直徑為b′c′，則M點(diǎn)的水平投影必在該緯圓的左前側(cè)，且該點(diǎn)的水平投影不可見。（3）根據(jù)m′和（m），求出其側(cè)面投影m′′。【例4-4】已知球面上M點(diǎn)的V面投影m′，如圖4-12（a）所示，求其另外兩面投影。（a）已知條件（b）作圖方法圖4-12利用“緯圓法”求球面上點(diǎn)的投影圓環(huán)表面上的點(diǎn)，可使用緯圓法繪制。例如，已知環(huán)面上K點(diǎn)的正面投影k′，求該點(diǎn)的水平投影的作圖方法如圖4-13所示。4．圓環(huán)面上點(diǎn)的投影圖4-13求環(huán)面上點(diǎn)的投影有些工程形體是由曲面體被平面切割后形成的。與平面切割體相同，平面切割曲面立體時(shí)，其相交處將產(chǎn)生截交線。另外，還有一些工程形體是由曲面立體與曲面立體相交后形成的，參與相交的面處會(huì)形成交線（相貫線）。本節(jié)主要介紹曲面立體截交線和相貫線的畫法。第三節(jié)曲面立體的表面交線用平面切割曲面立體時(shí)，截交線的形狀取決于被截形體的表面形狀及截平面與曲面立體的相對(duì)位置。截交線的形狀一般是封閉的平面曲線，或平面曲線與直線段相連的平面圖形，特殊情況下也可能是平面多邊形。曲面立體截交線上的每一個(gè)點(diǎn)，都是截平面與曲面立體表面的公有點(diǎn)。求出足夠的公有點(diǎn)，然后依次連接起來，即得截交線。求公有點(diǎn)的基本方法有素線法、緯圓法和輔助平面法。求公有點(diǎn)時(shí)，通常先求出特殊點(diǎn)，即求出各極限位置（最左、最右、最前、最后、最上、最下）點(diǎn)和形體各輪廓線與截平面的交點(diǎn)等，必要時(shí)，還需要求出一般位置點(diǎn)。一、曲面立體的截交線根據(jù)截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置不同，圓柱上的截交線有表4-1中的3種情況。（一）圓柱的截交線表4-1圓柱體的截交線分析：由于截平面P與圓柱軸線傾斜，故截交線是橢圓。該橢圓在正面投影中積聚為一條直線，其H面投影落在圓柱面的同面投影上，在側(cè)面投影中為橢圓的類似形，故在確定截交線的正面投影后，只需求出其側(cè)面投影即可?！纠?-5】已知圓柱體被正垂面P所截，如圖4-14（a）所示，求作該切割體的三面投影。（a）圖4-14圓柱截切體的三面投影作圖步驟：（1）根據(jù)圓柱體的投影規(guī)律，先畫出未切割前圓柱體的三面投影，然后畫正面投影中的截交線（一條斜線段）。（2）求特殊點(diǎn)的投影。分別取橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)Ⅰ，Ⅲ和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)Ⅱ，Ⅳ。其中，點(diǎn)Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分別是截交線上的最低、最左、最高和最右點(diǎn)。這些點(diǎn)都是轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，可利用積聚性先在正面投影中標(biāo)出這些點(diǎn)，然后求出它們?cè)趥?cè)面投影圖中的投影1″，2″，3″，4″。（3）求一般點(diǎn)的投影。為了使側(cè)面投影中的曲線更加精確，可在截交線上取一些一般位置點(diǎn)，如水平投影中的點(diǎn)5，6，7，8，然后求出這些點(diǎn)在正面投影中的投影5′，6′，7′，8′，最后求出它們的側(cè)面投影5″，6″，7″，8″，如圖4-14（b）所示。（b）圖4-14圓柱截切體的三面投影（c）圖4-14圓柱截切體的三面投影（4）用光滑的曲線順次連接側(cè)面投影中的各投影點(diǎn)，然后擦去被切割部分的圖線并加深，即可得到該圓柱截?cái)囿w的投影圖，結(jié)果如圖4-14（c）所示。（5）判別可見性。由圖中可知，該截交線的側(cè)面投影均為可見線。從本例題中可以看出，截平面與圓柱軸線間的夾角大小影響到截交線在側(cè)面投影中的形狀。圖4-15中列出了截平面與圓柱軸線夾角大小變化時(shí)，截交線在側(cè)面投影中的形狀變化。其中，夾角為45°時(shí)，橢圓的投影變成了一個(gè)直徑與圓柱底圓相等的圓。

（a）

（b）

（c）圖4-15圓柱截交線在側(cè)面投影中的變化圓錐體被平面切割時(shí)，錐面與截平面的交線可分為表4-2所示的5種情況。（二）圓錐的截交線表4-2圓錐體的截交線作圖步驟（參照?qǐng)D4-16（b））：（1）求特殊點(diǎn)的投影。在水平投影和側(cè)面投影上分別找出截交線的最上點(diǎn)C、最下點(diǎn)A和B的投影，然后求出這3個(gè)特殊點(diǎn)的正面投影c′，a′和b′。（2）利用緯圓法（也可用素線法）求一般點(diǎn)的投影。在正面投影c′與a′，b′之間畫一條與圓錐軸線垂直的水平線（即平面M在正面中的投影m′），該水平線與圓錐最左和最右素線的正面投影交于點(diǎn)3′和點(diǎn)4′；以3′4′為直徑在水平投影中畫一圓，它與截交線的積聚投影交于點(diǎn)1和點(diǎn)2；過點(diǎn)1和點(diǎn)2作垂線，與正面投影中的輔助水平投影線的交點(diǎn)即為1′和2′。（3）依次將點(diǎn)a′，1′，c′，2′，b′連接成光滑的曲線，最后描深該曲線即可?！纠?-6】如圖4-16（a）所示，已知圓錐被正一正平面截切后的水平投影和側(cè)面投影，補(bǔ)畫該投影圖中漏畫的圖線。（a）（b）圖4-16補(bǔ)畫第三面投影球體被平面切割，不論截平面處于什么位置，其空間交線總為圓。當(dāng)截平面與投影面平行時(shí)，截交線在該投影面上的投影為圓；當(dāng)截平面與投影面垂直時(shí)，截交線圓在該投影面上的投影為一條長(zhǎng)度等于截交線圓直徑的直線；當(dāng)截平面傾斜于投影面時(shí)，截交線在該投影面上的投影為橢圓，如表4-3所示。球體與圓柱和圓錐表面上截交線的畫法相同，都是根據(jù)截平面與軸線的相對(duì)位置，先確定截交線的形狀，然后確定截交線在各投影面上的投影，最后作出截交線上的特殊點(diǎn)和一般位置點(diǎn)的投影并連線。（三）圓球的截交線表4-3圓球的截交線分析：從立體圖和正面投影中可以看出，該半球體上的缺口是由平面P和Q組成的。平面P為側(cè)平面，平面Q為水平面。從圖4-17（a）所示的正面投影圖中可以看出，斷面的投影p′′和q反映實(shí)形，p和q′′積聚為直線。作圖步驟（參照?qǐng)D4-17（b））：（1）根據(jù)正面投影畫出未切割前半球的水平投影（圓）和側(cè)面投影（半圓）。（2）作截平面P和Q的水平投影。已知Q的水平投影為圓的一部分，可根據(jù)正面投影確定該圓的半徑，并繪制投影圓。側(cè)平面P在H面中的投影積聚為一條豎直直線，故過V面投影中的點(diǎn)a′（b′）作鉛垂線，得到平面的水平投影。（3）采用同樣的方法，可得到半球體的側(cè)面投影?！纠?-7】如圖4-17（a）所示，已知半球體被切割后的正面投影，畫出其水平投影和側(cè)面投影。

（a）

（b）圖4-17球截交線的畫法兩曲面體表面的相貫線，在一般情況下是閉合的空間曲線，特殊情況下則是平面曲線或直線。組成相貫線的所有點(diǎn)均為兩曲面立體的公共點(diǎn)。因此，求相貫線時(shí)，要先求出一系列公共點(diǎn)，然后用曲線板依次連接所有點(diǎn)，即可得相貫線。二、曲面立體的相貫線求作相貫線投影的一般步驟是：（1）根據(jù)立體圖或給出的投影，分析兩立體的形狀及其軸線的相對(duì)位置，以得出相貫線的大致形狀；（2）依次求出特殊位置點(diǎn)和一般位置點(diǎn)的投影；（3）根據(jù)相貫線投影的形狀，將求出的各點(diǎn)用直線或光滑的曲線順次連接。當(dāng)相交兩形體中的某一形體表面在某一投影面上的投影有積聚性時(shí)，其相貫線在該投影面上的投影一定與該形體的投影重合，根據(jù)這個(gè)已知投影，就可用表面取點(diǎn)法求出相貫線在其他投影面上的投影。1．表面取點(diǎn)法求作相貫線的方法，通常有表面取點(diǎn)法和輔助平面法兩種。分析：由圖4-18（a）所示的立體圖中可以看出，該相貫體為一個(gè)鉛垂圓柱與水平圓柱相貫所得，故相貫線為曲線。相貫線的水平投影與鉛垂圓柱面的水平投影重合，側(cè)面投影與鉛垂圓柱的側(cè)面投影重合，因此只需求作相貫線的正面投影即可?！纠?-8】已知兩圓柱相貫，如圖4-18（a）所示，求作該相貫體的三面投影。圖4-18繪制兩圓柱相貫體的投影（a）作圖步驟：（1）按照投影關(guān)系畫出兩圓柱的投影，正面投影中的相貫線先不畫。（2）求特殊點(diǎn)的投影。在相貫體上取特殊位置點(diǎn)A，B，C，D，其中，A點(diǎn)和B點(diǎn)是兩圓柱正面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線的交點(diǎn)，其投影可在各投影圖上直接找出；C點(diǎn)和D點(diǎn)是鉛垂圓柱側(cè)面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線和水平圓柱表面的交點(diǎn)，其投影可在側(cè)面和水平投影上直接找到，正面投影中的a′，b′，c′，d′點(diǎn)可根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律作出，如圖4-18（b）所示。（3）求一般點(diǎn)的投影。在鉛垂圓柱的水平投影圓上取對(duì)稱的兩點(diǎn)e和f，它們的側(cè)面投影和水平投影都可根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律求出。（4）用光滑的曲線順次連接正面投影上各點(diǎn)的投影，即可得到相貫線的正面投影，如圖4-18（c）所示?！ぃ╞）（c）圖4-18繪制兩圓柱相貫體的投影當(dāng)兩相貫體的投影沒有積聚性時(shí)，通常采用輔助平面法求其相貫線。如圖4-19所示，圓錐體和圓柱體相貫，假想用一輔助平面P在交線范圍內(nèi)截切兩曲面立體，則輔助平面與兩立體表面都產(chǎn)生截交線，這兩條截交線的交點(diǎn)既屬于輔助平面，又屬于兩立體表面，是三面的共有點(diǎn)，即相貫線上的點(diǎn)。2．輔助平面法選擇輔助平面原則選擇特殊位置的輔助平面（一般為投影面平行面），使得截交線的投影為直線或圓。圖4-19輔助平面法求相貫線

分析：由圖4-20可以看出，圓臺(tái)的軸線為鉛垂線，圓柱的軸線為側(cè)垂線，兩軸線正交且都平行于正面，因此相貫線前后對(duì)稱，其正面投影重合。由于圓柱的側(cè)面投影為圓，相貫線的側(cè)面投影積聚在該圓上，因此只需求作相貫線的水平投影和正面投影即可。作圖步驟：（1）求特殊位置點(diǎn)的投影。如圖4-21（a）所示，側(cè)面投影a″，b″是相貫線上最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)B的投影，它們是兩回轉(zhuǎn)體最上和最下位置素線的交點(diǎn)，因此可直接求出其水平投影a，b和正面投影a′，b′；側(cè)面投影c″，d″是相貫線上最前點(diǎn)C和最后點(diǎn)D的側(cè)面投影，過圓柱軸線作水平面P為輔助平面，由此可求出平面P

與圓臺(tái)表面截交圓的水平投影，該圓與圓柱面水平投影的外形輪廓線交于c，d兩點(diǎn)，最后可求出點(diǎn)c′（d′）?！纠?-9】已知圓柱與圓臺(tái)相貫，如圖4-20所示，求作該相貫體的相貫線投影。圖4-20圓柱與圓臺(tái)相貫（a）求特殊位置點(diǎn)的投影圖4-21圓柱與圓臺(tái)相貫線的畫法（2）求一般位置點(diǎn)的投影。如圖4-21（b）所示，分別在正面投影和側(cè)面投影中作水平輔助平面Q的投影線q′和q″，作出投影線q″與圓柱側(cè)面的交點(diǎn)e″，f″；由正面投影中投影線q′與圓臺(tái)表面的交點(diǎn)，可作出水平投影中輔助平面Q與圓臺(tái)截交線的水平投影圓，最后根據(jù)投影關(guān)系，可求出e，f及e′（f′）點(diǎn)。（3）采用同樣的方法作另外一個(gè)一般位置輔助平面R，然后參照?qǐng)D4-21（b）所示求出該平面上G點(diǎn)和H點(diǎn)的投影。（b）求一般位置點(diǎn)的投影圖4-21圓柱與圓臺(tái)相貫線的畫法（4）用光滑曲線依次連接各點(diǎn)。由于正面投影相貫線前后對(duì)稱且重合，因此只需用實(shí)線畫出可見的前半部分曲線；水平投影中，以c，d點(diǎn)為分界，上半圓柱面上的投影曲線可見，故將ceafd段曲線畫成實(shí)線；下半圓柱面上的投影曲線不可見，故畫成虛線，如圖4-21（c）所示。（5）檢查圖形并擦去多余圖線，然后加深其余圖線，結(jié)果如圖4-21（d）所示。（c）用光滑曲線依次連接各點(diǎn)（d）檢查圖形并擦去多余圖線圖4-21圓柱與圓臺(tái)相貫線的畫法對(duì)于曲面立體，可在其非圓投影圖上標(biāo)出直徑方向尺寸和高度方向尺寸。直徑方向尺寸“,”具有雙向尺寸功能，它不僅可以減少一個(gè)方向的尺寸，還可以省略一個(gè)投影圖。球的尺寸標(biāo)注應(yīng)在直徑尺寸數(shù)字前加注“S,”，其半徑尺寸數(shù)字前加注“R,”，如圖4-22所示。第四節(jié)曲面立體的尺寸標(biāo)注

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）圖4-22曲面立體的尺寸標(biāo)注對(duì)于被切割的基本幾何體，除了要標(biāo)注其基本形體的尺寸外，還應(yīng)注出截平面的位置尺寸，但不必注出截交線的尺寸，如圖4-23所示。對(duì)于相貫體，其相貫線是由兩立體相交后自然形成的，因此在標(biāo)注相貫體的尺寸時(shí)，只需標(biāo)注兩相貫體的定形尺寸和相對(duì)位置尺寸等，無(wú)需標(biāo)注相貫線的形狀、大小及其位置尺寸，如圖4-24所示。圖4-23被切割的基本體的尺寸標(biāo)注

圖4-24相貫體的尺寸標(biāo)注第五節(jié)圓柱與圓錐的軸測(cè)圖畫法圓的正等軸測(cè)投影一般為橢圓，3個(gè)投影面上圓的正等軸測(cè)投影（即橢圓）的形狀如圖4-25所示。作圓的正等軸測(cè)投影時(shí)，通常先作出圓的外切正四邊形的軸測(cè)投影，再在其中作出圓的軸測(cè)投影——橢圓。（一）圓的正等軸測(cè)圖畫法圖4-253個(gè)投影面平行面上圓的投影作圖步驟：（1）在已知圓的正投影圖中指定坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，并作圓的外切正方形，如圖4-26（a）所示，然后畫出軸測(cè)軸及圓的外切正方形的軸測(cè)圖（菱形），如圖4-26（b）所示。（2）連接矩形的對(duì)角線。其中，短對(duì)角線的頂點(diǎn)為O5，O4，連C1O4和C1O4，分別交菱形的長(zhǎng)對(duì)角線于O2，O3，如圖4-26（c）所示。（3）分別以O(shè)5和O4為圓心，以R2為半徑作上、下兩段弧線，接著以O(shè)2和O3為圓心，以R1為半徑作左、右兩段弧線，這四段圓弧連成的近似橢圓即為所求，如圖4-26（d）所示?！纠?-10】作圖4-26（a）所示水平圓的正等軸測(cè)圖。（a）

（b）（c）

（d）圖4-26圓的正等軸測(cè)圖的畫法上述這種先求出4個(gè)圓心的位置，然后再分別繪制4段圓弧的方法，稱為四心圓弧法。四心圓弧法常用于繪制圓的正等軸測(cè)圖，即橢圓。掌握了坐標(biāo)平面上圓的正等軸測(cè)圖的畫法，就不難畫出各種軸線垂直于坐標(biāo)平面的圓柱、圓錐及其切割體和相貫體的軸測(cè)圖了。（二）繪制圓柱和圓錐的軸測(cè)圖作圖步驟：先利用四心圓弧法畫出頂圓的軸測(cè)投影（橢圓），然后將該橢圓各段圓弧的圓心沿Z軸向下移動(dòng)一個(gè)圓柱高的距離，即可得到繪制下底面橢圓各段圓弧的圓心位置。判別可見性后，只畫出底圓可見部分的輪廓，最后作兩橢圓的公切線即可，其作圖過程如圖4-27（b）～（d）所示?！纠?-11】繪制圖4-27（a）所示圓柱體的正等軸測(cè)圖。（a）（b）（c）（d）圖4-27圓柱正等軸測(cè)圖的