第15屆WMO世界數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競賽九年級B卷復(fù)賽含答案

姓名年級學(xué)校準(zhǔn)考證號考場姓名年級學(xué)校準(zhǔn)考證號考場賽區(qū)_________父母姓名、聯(lián)系電話_、---------------------------------------裝-----------------------------訂---------------------------線----------------------------------第15屆WMO世界奧林匹克數(shù)學(xué)競賽（中國區(qū)）選拔賽---------------------------------------------------------------------------------考生須知：每位考生將獲得一份試卷?？荚嚻陂g，不得使用計算工具或手機(jī)。本卷共120分，選擇題每小題4分，填空題每小題5分，解答題共5小題，共50分。3.請將答案寫在本卷上?？荚囃戤厱r，考卷及草稿紙會被收回。4.若計算結(jié)果是分?jǐn)?shù)，請化至最簡。九年級地方晉級賽復(fù)賽B卷（本試卷滿分120分，考試時間90分鐘）選擇題（每小題4分，共40分）將4.31×10-5寫成小數(shù)的形式，則其小數(shù)點(diǎn)后第四位數(shù)字是（）A．0B．1C．3D．4如圖，在方格紙中選擇標(biāo)有序號①②③④的一個小正方形涂黑，使它與圖中陰影部分組成的新圖形為中心對稱圖形，該小正方形的序號是（）A．① B．② C．③ D．④如圖，△ABC中，A，B兩個頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（－1，0）．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍．設(shè)點(diǎn)A′的對應(yīng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是1.5，則點(diǎn)A′的縱坐標(biāo)是（）A．3 B．－3 C．－4 D．4第2題圖第3題圖第4題圖第5題圖如圖，已知∠MON=60°，OP是∠MON的角平分線，點(diǎn)A是OP上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作ON的平行線交OM于點(diǎn)B，AB=4．則直線AB與ON之間的距離是（）A．B．2 C． D．4如圖，圓O為△ABC的外接圓，其中點(diǎn)D在弧AC上，且OD⊥AC，若∠A=36°，∠C=60°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．132°B．144°C．156°D．162°6．已知，其中A、B為常數(shù)，則4A－B的值為（）A．7 B．9 C．13 D．5如圖，直線y1=kx+b過點(diǎn)A（0，2），且與直線y2=mx交于點(diǎn)P（1，m），則不等式組mx＞kx+b＞mx－2的解集是（）A．x＞1 B．0＜x＜2 C．0＜x＜1 D．1＜x＜28．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O為AC中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動，連接OE，則在點(diǎn)D運(yùn)動過程中，線段OE的最小值是為（）A． B．C．1 D．第7題圖第8題圖第9題圖9．如圖，已知AD∥BC，AB⊥AD，點(diǎn)E、F分別在射線AD、BC上，若點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對稱，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對稱，AB=1，則cos∠AGB等于（）A． B． C． D．10．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是函數(shù)y=（x＜0）圖象上一點(diǎn)，AO的延長線交函數(shù)y=（x＞0，k是不等于0的常數(shù)）的圖象于點(diǎn)C，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A′，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C′，CC′交x軸于點(diǎn)B，連接AB、AA′、A′C′．若△ABC的面積等于6，則由線段AC，CC′，C′A′，A′A所圍成的圖形的面積等于（）A．8 B．10 C．3 D．4填空題（每小題5分，共30分）11．若2m=3，4n=8，則2m-2n的值是____________．12．如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿直線l按順時針方向翻滾，當(dāng)正方形翻滾一周時，正方形的中心O所經(jīng)過的路徑長為____________．第12題圖第13題圖如圖，拋物線y=ax2－4和y=－ax2+4都經(jīng)過x軸上的A、B兩點(diǎn)，兩條拋物線的頂點(diǎn)分別為C、D．當(dāng)四邊形ACBD的面積為40時，a的值為_____________．m、n是兩個連續(xù)自然數(shù)，且q=mn，p=，則p的值是．（填“奇數(shù)”、“偶數(shù)”或“奇偶都可以”）甲、乙、丙三個箱子原本各裝有相同數(shù)量的小球，已知甲箱內(nèi)的紅球占甲箱內(nèi)小球總數(shù)的，乙箱內(nèi)沒有紅球，丙箱內(nèi)的紅球占丙箱內(nèi)小球總數(shù)的．小榮將乙、丙兩箱內(nèi)的球全部倒入甲箱后，要從甲箱內(nèi)取出一球，若甲箱內(nèi)每個球被取出的機(jī)會相等，則小榮取出的球是紅球的概率為_____________．如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，O是EG的中點(diǎn)，∠EGC的平分線GH過點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)H，連接OH，F(xiàn)H，EG與FH交于點(diǎn)M，對于下面三個結(jié)論：①GH⊥BE；②S正方形ABCD：S正方形ECGF=1：；③EM：MG=1：（1+），其中正確結(jié)論的序號為．解答題（共5小題，共50分）請分別用配方法和因式分解法解方程：6x2+7x－3=0．（8分）配方法：因式分解法：已知a，b，c，d四個數(shù)成比例，且a，d為外項(xiàng)．試說明點(diǎn)（a，b），（c，d）和坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）在同一條直線上．（9分）如果有理數(shù)m可以表示成2x2－6xy+5y2（其中x、y是任意有理數(shù)）的形式，我們就稱m為“世博數(shù)”．證明：兩個“世博數(shù)”a、b（b≠0）之商也是“世博數(shù)”．（10分）如圖，△ABC中，BD為AC邊上的中線，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分別交BC、BE、BD于F、G、H．（1）求證：CF=2DH；（4分）（2）若AB=BC，cos∠BCA=，DE=4，求HD的長．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，以D（－4，）為圓心的⊙D與y軸相切于點(diǎn)Q，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（－1，0）．以CD為對稱軸的拋物線與⊙D交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（－4，9），CD與x軸交于點(diǎn)H．（1）求拋物線和直線AC的解析式；（3分）（2）P為直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)S△APC=S△AHC時，求點(diǎn)P坐標(biāo)；（4分）（3）PM⊥AC于點(diǎn)M，PE⊥x軸于點(diǎn)E且與AC交于點(diǎn)N，△PMN的周長為l，求l的最大值．（6分）

九年級B卷答案選擇題（每小題4分，共40分）1.A2.B3.B4.C5.C6.C7.D8.B9.B10.B7.由于直線y1=kx+b過點(diǎn)A（0，2），P（1，m），則有，解得∴y1=（m－2）x+2．故所求不等式組可化為：mx＞（m－2）x+2＞mx－2，不等號兩邊同時減去mx得，0＞－2x+2＞－2，解得：1＜x＜2．8.設(shè)Q是AB的中點(diǎn)，連接DQ，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∵AB=AC=2，O為AC中點(diǎn)，∴AQ=AO，∴△AQD≌△AOE（SAS），∴QD=OE，∵點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動，∴當(dāng)QD⊥BC時，QD最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵QD⊥BC，∴△QBD是等腰直角三角形，∴QD=QB，∵QB=AB=1，∴QD=，∴線段OE的最小值是為．9.如圖，連接CE，設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)O，由對稱性可得，AB=AE=1，則BE=，∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對稱，∴DE=BF=BE=，∴AD=1+，∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，∴四邊形ABCE是正方形，∴BC=AB=1，∴tan∠ADB=，在Rt△OED中，可設(shè)OD=x，OE=，∴（）2=x2+[]2，解得x=，∴OE=，∵∠EBG+∠AGB=90°，∠EBG+∠BEF=90°，∴∠AGB=∠BEF，又∵∠BEF=∠DEF，∴cos∠AGB==．過A作AD⊥x軸于D，連接OA′，∵點(diǎn)A是函數(shù)y=（x＜0）圖象上一點(diǎn)，∴設(shè)A（a，），∵點(diǎn)C在函數(shù)y=（x＞0，k是不等于0的常數(shù)）的圖象上，∴設(shè)C（b，），∵AD⊥BD，BC⊥BD，∴△OAD∽△OCB，∴，∵S△ADO=，S△BOC=，∴k2=，∴k=－，∵S△ABC=S△AOB+S△BOC=×（－）?b+=6，∴k2－=12，∴k2+k－12=0，解得：k=3，k=－4（不合題意舍去），∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A′，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C′，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，∴OA′，OC′在同一條直線上，∴S△OBC′=S△OBC==，∵S△OAA′=2S△OAD=1，∴由線段AC，CC′，C′A′，A′A所圍成的圖形的面積=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10．填空題（每小題5分，共30分）11.12.π13.0.1614.奇數(shù)15.16.①③13.∵拋物線y=ax2－4和y=－ax2+4都經(jīng)過x軸上的A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（－，0）、（，0）；又∵拋物線y=ax2－4和y=－ax2+4的頂點(diǎn)分別為C、D．∴點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是（0，－4）、（0，4）；∴CD=8，AB=，∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△ABC=AB?OD+AB?OC=AB?CD=×8×=40，即×8×=40，解得a=0.16．14.因?yàn)閙、n是兩個連續(xù)自然數(shù)，設(shè)m＜n，則n=m+1，且q=mn，代入得：p===m+1+m=2m+1；因?yàn)閙為自然數(shù)，所以2m為偶數(shù)，即2m+1為奇數(shù)．設(shè)甲、乙、丙三箱子內(nèi)原本都裝有x個小球，則甲有個紅球，丙有個紅球，則一共有+=（個）紅球，甲箱內(nèi)最后共有3x個小球，因此取出紅球的概率為．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°，同理可得CE=CG，∠DCG=90°，∴△BCE≌△DCG，∴∠BEC=∠DGC，∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，∴∠EDH+∠BEC=90°，∴∠EHD=90°，∴HG⊥BE，故①正確；易證得△BGH≌△EGH，∴BH=EH，又∵O是EG的中點(diǎn)，∴HOBG，設(shè)EC和OH相交于點(diǎn)N．設(shè)HN=a，則BC=2a，設(shè)正方形ECGF的邊長是2b，則NC=b，CD=2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴，即，即a2+2ab－b2=0，解得：a=b=（－1+）b，或a=（－1－）b（舍去），則=－1；則S正方形ABCD：S正方形ECGF=（－1）2=3－2，故②錯誤；∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴，∴，，∴，故③正確．因此正確的結(jié)論是①③．解答題（共5小題，共50分）解：配方法：6x2+7x－3=0，x2+x=，（x+）2=+=，故x+=±，解得：x1=－，x2=．因式分解法：6x2+7x－3=0，6x2+9x－2x－3=0，3x（2x+3）－（2x+3）=0，(2x+3)(3x－1)=0，解得x1=－，x2=．（只寫了一種正確方法的得4分）解：設(shè)經(jīng)過（0，0）和（a，b）的直線是y=kx，則b=ak，則k=，設(shè)經(jīng)過（0，0）和（c，d）的直線的解析式是：y=mx，則d=cm，解得：m=，∵a，b，c，d四個數(shù)成比例，∴=，∴k=m，則直線y=kx和直線y=mx是同一直線，即點(diǎn)（a，b），（c，d）和坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）在同一條直線上．19.證明：∵m=2x2－6xy+5y2=（x－2y）2+（x－y）2，其中x、y是有理數(shù)，∴“世博數(shù)”m=p2+q2（其中p、q是任意有理數(shù)），只須p=x－2y，q=x－y即可．∴對于任意的兩個“世博數(shù)”a、b，不妨設(shè)a=j2+k2，b=r2+s2，其中j、k、r、s為任意給定的有理數(shù)，因此有：==+也是“世博數(shù)”．（1）證明：取AF的中點(diǎn)M，連接MD，∵AD=DC，∴CF=2MD，且MD∥BC，∴∠DMH=∠BFH，又∵∠BGH=∠BGF=90°，∠HBG=∠FBG，∴∠BHG=∠BFH，而∠DMH=∠BFH，∠DHM=∠BHG，∴∠DMH=∠DHM，∴DH=DM．而CF=2MD，∴CF=2DH；（2）解：過E作EN⊥BC于N，∵AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，而BE平分∠CBD，EN⊥BC，∴EN=DE=4，在Rt△CEN中，cos∠BCA=，∴設(shè)CN=3k，則CE=5k，得EN=4k=4．∴k=