高中數(shù)學(xué) 2.1 第1課時(shí) 合情推理練習(xí) 新人教B版選修1-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.1第1課時(shí)合情推理練習(xí)新人教B版選修1-2一、選擇題1．關(guān)于合情推理，下列說法正確的是()A．歸納推理是一般到一般的推理B．類比推理是一般到特殊的推理C．類比推理的結(jié)論一定是正確的D．歸納推理的結(jié)論不一定成立[答案]D[解析]歸納推理是由特殊到一般的推理，其結(jié)論不一定正確．2．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199[答案]C[解析]利用歸納法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，規(guī)律為從第三組開始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和．3．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2an－1＋1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的一個(gè)表達(dá)式是()A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案]C[解析]a2＝2a1a3＝2a2a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用歸納推理，猜想an＝2n4．下列哪個(gè)平面圖形與空間的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形[答案]C[解析]只有平行四邊形與平行六面體較為接近，故選C.5．已知數(shù)列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，則數(shù)列的第k項(xiàng)是()A．a(chǎn)k＋ak＋1＋…＋a2k B．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－1C．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k D．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－2[答案]D[解析]利用歸納推理可知，第k項(xiàng)中第一個(gè)數(shù)為ak－1，且第k項(xiàng)中有k項(xiàng)，且次數(shù)連續(xù)，故第k項(xiàng)為ak－1＋ak＋…＋a2k－2，故選D.6．圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應(yīng)是什么顏色()A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大[答案]A[解析]由圖知：三白二黑周而復(fù)始相繼排列，∵36÷5＝7余1，∴第36顆珠子的顏色是白色．二、填空題7．觀察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，由上可得出一般的結(jié)論為________．[答案]1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1)[解析]因?yàn)?＝2×2－1,5＝2×3－1,7＝2×4－1，…，所以1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1).8．觀察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為______________________．[答案]5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析]本題考查學(xué)生的推理能力．依據(jù)前4個(gè)等式的規(guī)律，第n個(gè)等式左側(cè)是從n開始的2n－1個(gè)自然數(shù)的和，右側(cè)是(2n－1)2，所以第五個(gè)等式是5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.三、解答題9．在平面內(nèi)觀察，凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，凸六邊形有9條對(duì)角線，….由此猜想凸n邊形有幾條對(duì)角線？[解析]由題意知，f(5)－f(4)＝3，f(6)－f(5)＝4，……f(n)－f(n－1)＝n－2，將上面各式相加得：f(n)－f(4)＝3＋4＋…＋(n－2)，f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－2)＝eq\f(1,2)n(n－3).一、選擇題1．類比三角形中的性質(zhì)：(1)兩邊之和大于第三邊；(2)中位線長等于第三邊的一半；(3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)．可得四面體的對(duì)應(yīng)性質(zhì)：(1)任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；(2)中位面(以任意三條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)的面積等于第四個(gè)面的面積的eq\f(1,4)；(3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)．其中類比推理方法正確的有()A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不對(duì)[答案]C[解析]以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確，結(jié)論也不一定正確．2．觀察下列事實(shí)：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4,|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8,|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為()A．76 B．80C．86 D．92[答案]B[解析]本題考查了不完全歸納．由已知條件知|x|＋|y|＝n的不同整數(shù)解(x，y)個(gè)數(shù)為4n，所以|x|＋|y|＝20不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4×20＝80.歸納體現(xiàn)了由特殊到一般的思維過程．3．三角形的面積為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a、b、c為三邊的邊長，r為三角形內(nèi)切圓半徑，利用類比推理可以得到四面體的體積為()A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分別為4個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h[答案]C[解析]∵三角形的面積S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a，b，c為三邊的邊長，r為三角形內(nèi)切圓半徑，∴四面體的體積V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r.S1、S2、S3、S4分別為4個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑．4．定義A*B、B*C、C*D、D*B分別對(duì)應(yīng)下列圖形那么下列圖形中，可以表示A*D、A*C的分別是()A．(1)、(2) B．(2)、(3)C．(2)、(4) D．(1)、(4)[答案]C[解析]由A*B、B*C、C*D、D*B的定義圖形知A為，B為，C為——，D為eq\x().二、填空題5．(～學(xué)年度北京高二檢測)觀察下列不等式：①eq\f(1,\r(2))<1；②eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))<eq\r(2)；③eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))<eq\r(3)；…請(qǐng)寫出第n個(gè)不等式________．[答案]eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))＋…＋eq\f(1,\r(nn＋1))<eq\r(n)[解析]由①eq\f(1,\r(2))<1，即eq\f(1,\r(1×2))<1，由②eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))<eq\r(2)，即eq\f(1,\r(1×2))＋eq\f(1,\r(2×3))<eq\r(2)，由③eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))<eq\r(3)，即eq\f(1,\r(1×2))＋eq\f(1,\r(2×3))＋eq\f(1,\r(3×4))<eq\r(3)，故第n個(gè)式子為eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))＋…＋eq\f(1,\r(nn＋1))<eq\r(n).6．現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖所示，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為eq\f(a2,4)，類比到空間，有兩個(gè)棱長均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為________．[答案]eq\f(a3,8)[解析]兩個(gè)正方形重疊部分的面積為(eq\f(a,2))2＝eq\f(a2,4)，類比到空間后，兩個(gè)正方體重疊部分的體積為(eq\f(a,2))3＝eq\f(a3,8).三、解答題7．(～學(xué)年度聊城高二檢測)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．[解析](1)選擇②式計(jì)算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(3,4).(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).8．已知{an}滿足a1＝1,4an＋1－an·an＋1＋2an＝9，寫出a1、a2、a3、a4，試猜想出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．[解析]由4an＋1－anan＋1＋2an＝9得an＋1＝2－eq\f(1,an－4)，∴a2＝2－eq\f(1,a1－4)＝2＋eq\f(1,3)，a3＝2－eq\f(1,a2－4)＝2＋eq\f(3,5)，a4＝2－eq\f(1,a3－4)＝2＋eq\f(5,7)，猜想：an＝2＋eq\f(2n－3,2n－1).9．若a1、a2∈R＋，則有不等式eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2),2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2)))2成立，此不等式能推廣嗎？請(qǐng)你至少寫出兩個(gè)不同類型的推廣．[解析]本例可以從a1，a2的個(gè)數(shù)以及指數(shù)上進(jìn)行推廣．第一類型：eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3),3)≥(eq\f(a1＋a2＋a3,3))2，eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)＋a\o\al(2,4),4)≥(eq\f(a1＋a2＋a3＋a4,4))2，…，eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋…＋a\o\al(2,n),n)≥(eq\f(a1＋a2＋…＋an,n))2；第二類型：eq\f(a\o\al(3,1)＋a\o\al(3,2),2)≥(eq\f(a1＋a2,2))3，eq\f(a\o\al(4,1)＋