高中數(shù)學(xué) 2.1.1 第2課時(shí)類比推理同步測(cè)試 新人教A版選修2-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.1.1第2課時(shí)類比推理同步測(cè)試新人教A版選修2-2一、選擇題1．下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°③教室內(nèi)有一把椅子壞了，則猜想該教室內(nèi)的所有椅子都?jí)牧刷苋切蝺?nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)A．①② B．①③④C．①②④ D．②④[答案]C[解析]①是類比推理；②④是歸納推理，∴①②④都是合情推理．2．(·華池一中期中)平面幾何中，有邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離之和為定值eq\f(\r(3),2)a，類比上述命題，棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為()A．eq\f(\r(4),3)a B．eq\f(\r(6),3)aC．eq\f(\r(5),4)a D．eq\f(\r(6),4)a[答案]B[解析]將正三角形一邊上的高eq\f(\r(3),2)a類比到正四面體一個(gè)面上的高eq\f(\r(6),3)a，由正三角形“分割成以三條邊為底的三個(gè)三角形面積的和等于正三角形的面積”，方法類比為“將四面體分割成以各面為底的三棱錐體積之和等于四面體的體積”證明．3．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；④垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行，則其中正確的結(jié)論是()A．①② B．②③C．③④ D．①④[答案]B[解析]根據(jù)立體幾何中線面之間的位置關(guān)系知，②③是正確的結(jié)論．4．(·長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)一模)設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P－ABC的體積為V，則r＝()A．eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C．eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)[答案]C[解析]將△ABC的三條邊長(zhǎng)a、b、c類比到四面體P－ABC的四個(gè)面面積S1、S2、S3、S4，將三角形面積公式中系數(shù)eq\f(1,2)，類比到三棱錐體積公式中系數(shù)eq\f(1,3)，從而可知選C.證明如下：以四面體各面為底，內(nèi)切球心O為頂點(diǎn)的各三棱錐體積的和為V，∴V＝eq\f(1,3)S1r＋eq\f(1,3)S2r＋eq\f(1,3)S3r＋eq\f(1,3)S4r，∴r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).5．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：①“若a，b∈R，則a－b>0?a>b”類比推出“若a，b∈C，則a－b>0?a>b”；②“若a，b，c，d∈R，則復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)?a＝c，b＝d”；③若“a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＝0?a＝b”．其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]在實(shí)數(shù)集中，a>b?a－b>0，但在復(fù)數(shù)集中，不全為實(shí)數(shù)的兩個(gè)數(shù)不能比較大小，如a＝2＋i，b＝1＋i，有a－b＝1>0，但a>b不成立；∵a、b、c、d∈Q，∴a－c，b－d∈Q，∵a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)，∴(a－c)＋(b－d)eq\r(2)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c＝0,b－d＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c,b＝d))，故②正確；由復(fù)數(shù)相等的定義知，若a＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，b＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，則由a－b＝(x1－x2)＋(y1－y2)i＝0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x2＝0,y1－y2＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝x2,y1＝y(tǒng)2))，∴a＝b，故③正確．6．由代數(shù)式的乘法法則類比得到向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]由向量的有關(guān)運(yùn)算法則知①②正確，③④⑤⑥都不正確，故應(yīng)選B.二、填空題7．設(shè)f(x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為________．[答案]3eq\r(2)[解析]本題是“方法類比”．因等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么經(jīng)類比不難想到f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]，而當(dāng)x1＋x2＝1時(shí)，有f(x1)＋f(x2)＝eq\f(1,2x1＋\r(2))＋eq\f(1,2x2＋\r(2))＝eq\f(2\r(2)＋2x1＋2x2,\r(2)2x1＋2x2＋2x1＋x2＋2)＝eq\f(2\r(2)＋2x1＋2x2,\r(2)2x1＋2x2＋2\r(2))＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故所求答案為6×eq\f(\r(2),2)＝3eq\r(2).8．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式________成立．[答案]b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)[解析]解法1：從分析所提供的性質(zhì)入手：由a10＝0，可得ak＋a20－k＝0，因而當(dāng)n<19－n時(shí)，有a1＋a2＋…＋a19－n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n，而an＋1＋an＋2＋…＋a19－n＝eq\f(19－2nan＋1＋a19－n,2)＝0，∴等式成立．同理可得n>19－n時(shí)的情形．由此可知：等差數(shù)列{an}之所以有等式成立的性質(zhì)，關(guān)鍵在于在等差數(shù)列中有性質(zhì)：an＋1＋a19－n＝2a10＝0，類似地，在等比數(shù)列{bn}中，也有性質(zhì)：bn＋1·b17－n＝beq\o\al(2,9)＝1，因而得到答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．解法2：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中有“和”的性質(zhì)a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，故在等比數(shù)列{bn}中，由b9＝1，可知應(yīng)有“積”的性質(zhì)b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立.(1)證明如下：當(dāng)n＜8時(shí)，等式(1)為b1b2…bn＝b1b2…bnbn＋1…b17－n，即：bn＋1·bn＋2…b17－n＝1.(2)∵b9＝1，∴bk＋1·b17－k＝beq\o\al(2,9)＝1.∴bn＋1bn＋2…b17－n＝beq\o\al(17－2n,9)＝1.∴(2)式成立，即(1)式成立；當(dāng)n＝8時(shí)，(1)式即：b9＝1顯然成立；當(dāng)8＜n＜17時(shí)，(1)式即：b1b2…b17－n·b18－n·…bn＝b1b2…b17－n，即：b18－n·b19－n…bn＝1(3)∵b9＝1，∴b18－k·bk＝beq\o\al(2,9)＝1，∴b18－nb19－n·…·bn＝beq\o\al(2n－17,9)＝1，∴(3)式成立，即(1)式成立．綜上可知，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{bn}滿足b9＝1時(shí)，有：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立．9．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q，前n項(xiàng)積為Tn，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，填寫等比數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)(m，n，k，w∈N*).等差數(shù)列等比數(shù)列an＝a1＋(n－1)dan＝am＋(n－m)d若m＋n＝k＋w，則am＋an＝ak＋aw若m＋n＝2w，則am＋an＝2awSn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等差數(shù)列[答案]an＝a1qn－1an＝amqn－m若m＋n＝k＋w，則aman＝ak·aw若m＋n＝2w，則am·an＝aeq\o\al(2,w)Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)構(gòu)成等比數(shù)列三、解答題10．先解答(1)，再根據(jù)結(jié)構(gòu)類比解答(2)．(1)已知a、b為實(shí)數(shù)，且|a|<1，|b|<1，求證：ab＋1>a＋b.(2)已知a、b、c均為實(shí)數(shù)，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：abc＋2>a＋b＋c.[解析](1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.(2)∵|a|<1，|b|<1，|c|<1，據(jù)(1)得(ab)·c＋1>ab＋c，∴abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.[點(diǎn)評(píng)](1)與(2)的條件與結(jié)論有著相同的結(jié)構(gòu)，通過分析(1)的推證過程及結(jié)論的構(gòu)成進(jìn)行類比推廣得出：(ab)·c＋1＞ab＋c是關(guān)鍵．用歸納推理可推出更一般的結(jié)論：ai為實(shí)數(shù)，|ai|＜1，i＝1、2、…、n，則有：a1a2…an＋(n－1)＞a1＋a2＋…＋an一、選擇題11．下列類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A．把a(bǔ)(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(bǔ)(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把(ab)n與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bnD．把a(bǔ)(b＋c)與a·(b＋c)類比，則有a·(b＋c)＝a·b＋a·c[答案]D[解析]選項(xiàng)A，B，C沒有從本質(zhì)屬性上類比，是簡(jiǎn)單類比，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤．12．如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時(shí)，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于()A．eq\f(\r(5)＋1,2) B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\r(5)－1 D．eq\r(5)＋1[答案]A[解析]如圖所示，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，∴eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)，又∵eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝b2－ac＝0，∴c2－a2－ac＝0，∴e2－e－1＝0，∴e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)，故應(yīng)選A.13．(·遼師大附中期中)類比三角形中的性質(zhì)：(1)兩邊之和大于第三邊(2)中位線長(zhǎng)等于底邊長(zhǎng)的一半(3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)可得四面體的對(duì)應(yīng)性質(zhì)：(1)任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積(2)過四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于該頂點(diǎn)所對(duì)的面面積的eq\f(1,4)(3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)其中類比推理方法正確的有()A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不對(duì)[答案]C[解析]以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確結(jié)論也不一定正確．二、填空題14．(·阜陽(yáng)一中模擬)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2n－1＝(2n－1)an.由類比推理可得：在等比數(shù)列{bn}中，若其前n項(xiàng)的積為Pn，則P2n－1＝________.[答案]beq\o\al(2n－1,n)[解析]將等差數(shù)列前n項(xiàng)和類比到等比數(shù)列前n項(xiàng)的積，將等差中項(xiàng)的“倍數(shù)”類比到等比中項(xiàng)的“乘方”．因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2n－1＝(2n－1)an.所以類比可得：在等比數(shù)列{bn}中，若其前n項(xiàng)的積為Pn，則P2n－1＝beq\o\al(2n－1,n).15．(·湖南長(zhǎng)沙實(shí)驗(yàn)中學(xué)、沙城一中聯(lián)考)在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點(diǎn)在BC上的射影，則AB2＝BD·BC.拓展到空間，在四面體A－BCD中，DA⊥平面ABC，點(diǎn)O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系為________．[答案]Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC[解析]將直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長(zhǎng)，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC.16．在以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓上有一點(diǎn)P(x0，y0)，則圓的面積S圓＝πr2，過點(diǎn)P的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，當(dāng)離心率e趨近于0時(shí)，短半軸b就趨近于長(zhǎng)半軸a，此時(shí)橢圓就趨近于圓．類比圓的面積公式得橢圓面積S橢圓＝________.類比過圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程，則過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x1，y1)的橢圓的切線方程為________．[答案]πabeq\f(x1,a2)·x＋eq\f(y1,b2)·y＝1[解析]當(dāng)橢圓的離心率e趨近于0時(shí)，橢圓趨近于圓，此時(shí)a，b都趨近于圓的半徑r，故由圓的面積S＝πr2＝π·r·r，猜想橢圓面積S橢＝π·a·b，其嚴(yán)格證明可用定積分處理．而由切線方程x0·x＋y0·y＝r2變形得eq\f(x0,r2)·x＋eq\f(y0,r2)·y＝1，則過橢圓上一點(diǎn)P(x1，y1)的橢圓的切線方程為eq\f(x1,a2)·x＋eq\f(y1,b2)·y＝1，其嚴(yán)格證明可用導(dǎo)數(shù)求切線處理．三、解答題17．點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))在圓C：x2＋y2＝1上，經(jīng)過點(diǎn)P的圓的切線方程為eq\f(\r(2),2)x＋eq\f(\r(2),2)y＝1，又點(diǎn)Q(2,1)在圓C外部，容易證明直線2x＋y＝1與圓相交，點(diǎn)Req\b\lc\(\rc\)(\a\v