角基礎(chǔ)知識(shí)講解

...wd......wd......wd...角〔根基〕知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)展角度的互換；2.借助三角尺畫(huà)一些特殊角，掌握角大小的對(duì)比方法；3．會(huì)利用角平分線的意義進(jìn)展有關(guān)表示或計(jì)算；4.掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)展有關(guān)計(jì)算；5.掌握互為余角和互為補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，會(huì)用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)展有關(guān)計(jì)算；6．了解方位角的概念，并會(huì)用方位角解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：角397364角的概念】要點(diǎn)一、角的概念角的定義：〔1〕定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1〔2〕定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面局部是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．要點(diǎn)詮釋?zhuān)骸?〕兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)．〔2〕平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“∠〞表示，角的表示法通常有以下四種：要點(diǎn)詮釋?zhuān)河脭?shù)字或小寫(xiě)希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)希臘字母．3.角的畫(huà)法〔1〕用三角板可以畫(huà)出30°、45°、60°、90°等特殊角．〔2〕用量角器可以畫(huà)出任意給定度數(shù)的角．〔3〕利用尺規(guī)作圖可以畫(huà)一個(gè)角等于角．要點(diǎn)二、角的對(duì)比與運(yùn)算1.角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′〞，1′的為1秒，記作“1″〞．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸谶M(jìn)展有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)展，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)展運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于等于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．2.角的對(duì)比：角的大小對(duì)比與線段的大小對(duì)比相類(lèi)似，方法有兩種．方法1：度量對(duì)比法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后對(duì)比它們的大?。椒?：疊合對(duì)比法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作對(duì)比．如對(duì)比∠AOB和∠A′O′B′的大小：如以以以下圖，由圖〔1〕可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差關(guān)系如以以下圖，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)用量角器量角和畫(huà)角的一般步驟：①對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫(huà)出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如以以下圖，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．要點(diǎn)詮釋?zhuān)河山瞧椒志€的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．要點(diǎn)三、余角和補(bǔ)角1.定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．類(lèi)似地，如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．2．性質(zhì)：〔1〕同角〔等角〕的余角相等．〔2〕同角〔等角〕的補(bǔ)角相等．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無(wú)關(guān)．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°-α)，一個(gè)角α的補(bǔ)角可以表示為(180°-α)．顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°。要點(diǎn)四、方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°〞和“南偏西30°〞表示方向的角，就叫做方位角．要點(diǎn)詮釋?zhuān)骸?〕正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示；〔2〕方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)〞，“北偏東60°〞一般不說(shuō)成“東偏北30°〞；〔3〕在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫(huà)出表示方向的“十字線〞，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；〔4〕圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．要點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題．【典型例題】類(lèi)型一、角的概念及表示1.以下語(yǔ)句正確的選項(xiàng)是()．A．兩條直線相交，組成的圖形叫做角．B．兩條具有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形叫做角．C．兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角．D．過(guò)同一點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角．【答案】C【解析】根據(jù)角的定義判斷【總結(jié)升華】角不能僅僅看作是有公共端點(diǎn)的兩條射線，角的兩種描述中都隱含了組成角的一個(gè)重要元素，即兩條射線間的相對(duì)位置關(guān)系，這是角與“有公共端點(diǎn)的兩條射線〞的重要區(qū)別．舉一反三：【變式】判斷以下說(shuō)法是否正確(1)兩條射線組成的圖形叫做角()(2)平角是一條直線()(3)周角是一條射線()【答案】(1)×(2)×(3)×2.寫(xiě)出圖中(1)能用一個(gè)字母表示的角；(2)以B為頂點(diǎn)的角；(3)圖中共有幾個(gè)角(小于180°).【答案與解析】解：(1)能用一個(gè)字母表示的角∠A、∠C．(2)以B為頂點(diǎn)的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．(3)圖中共有7個(gè)角．【總結(jié)升華】(1)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，才可以用一個(gè)字母表示；(2)一般數(shù)角時(shí)不包括平角和大于平角的角．類(lèi)型二、角度制的換算3.(1)把25.72°用度、分、秒表示；(2)把45°12′30″化成度〔準(zhǔn)確到百分位〕．【思路點(diǎn)撥】第(1)題中25.72°中含有兩局部25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)題中，45°12′30″含有三局部45°，12′和30″，其中45°已經(jīng)是度，只要把12′和30″化成度即可．【答案與解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″．(2)，所以45°12′30″≈45.21°．【總結(jié)升華】無(wú)論由高級(jí)單位向低級(jí)化還是由低級(jí)單位向高級(jí)化，都必須逐級(jí)進(jìn)展，“越級(jí)〞化單位容易出錯(cuò)．舉一反三：【變式】(1)把26.29°轉(zhuǎn)化為度、分、秒表示的形式；(2)把33°24′36″轉(zhuǎn)化成度表示的形式．【答案】解：(1)26.29°＝26°+0.29°＝26°+0.29×60′＝26°+17.4′＝26°+17′+0.4×60″＝26°17′+24″＝26°17′24″(2)33°24′36″＝33°+24′+36×＝33°+24′+0.6′＝33°+24.6′＝33°+24.6×＝33.41°提示：在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后再進(jìn)展計(jì)算。類(lèi)型三、角的對(duì)比與運(yùn)算4.不用量角器，對(duì)比圖1和圖2中角的大小．(用“＞〞連接)【思路點(diǎn)撥】圖1中兩角∠α、∠β均為銳角，因此，在不能測(cè)量的情形下，我們可以將圖中的∠α向∠β平移，讓∠α與∠β始邊重合，觀察終邊的位置來(lái)對(duì)比角的大?。畧D2中的三個(gè)角按角的分類(lèi)，∠1為銳角，∠2為直角，∠3為鈍角，因此按照各自的范圍就可以將它們的大小對(duì)比出來(lái)．【答案與解析】解：(1)如以以下圖，將∠α平移使∠α的始邊與∠β的始邊重合，發(fā)現(xiàn)∠α落在∠β內(nèi)部，因此∠β＞∠α．(2)由圖可知∠1是銳角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是鈍角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．【總結(jié)升華】本例給出的兩題是在不用量角器測(cè)量角的情況下對(duì)比角的大小，一種方法是疊合對(duì)比法，另外一種方法則是根據(jù)角的分類(lèi)，由圖形觀察角的不同分類(lèi)，按照常見(jiàn)的銳角＜直角＜鈍角＜平角＜周角來(lái)對(duì)比大小．舉一反三：【變式】∠AOB(如以以下圖)，畫(huà)一個(gè)角等于這個(gè)角．【答案】作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D；(2)畫(huà)一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧l，交O′A′于點(diǎn)C′；(3)以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交弧l于點(diǎn)D′；(4)過(guò)點(diǎn)D′畫(huà)射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．5.如以以下圖，OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分線，求∠AOD的度數(shù)．【答案與解析】解：因?yàn)镺C平分∠BOD，且∠BOC＝20°，所以∠BOD＝2∠BOC=2×20°＝40°．又OB是∠AOD的平分線，所以∠AOD＝2∠BOD＝2×40°＝80°．【總結(jié)升華】應(yīng)用角的平分線的定義時(shí)根據(jù)兩點(diǎn)：假設(shè)OB是∠AOC的平分線，則①∠AOB＝∠BOC＝∠AOC；②∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用．【高清課堂：角397364角的有關(guān)計(jì)算例3】舉一反三：【變式】：如圖，OM是∠AOB的平分線，ON是∠BOC的平分線，∠AOC=80，求：∠MON.【答案】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOC.(角平分線的定義)∴∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOC=(∠AOB+∠BOC)=∠AOC=×80=40.即∠MON=40.類(lèi)型四、余角和補(bǔ)角【高清課堂：角397364角的有關(guān)計(jì)算例1】6.角的余角比角的補(bǔ)角的還少20，求角的余角.【答案與解析】解:由題意可得：角的余角為(90-),補(bǔ)角為(180-)，于是得：

90-=〔180-〕-20，解得：=75

90-=90-75=15答：角的余角為15.【總結(jié)升華】此題的關(guān)鍵是掌握互為余角、補(bǔ)角的定義，然后根據(jù)題中的關(guān)鍵語(yǔ)句列出方程或代數(shù)式，求出相應(yīng)角的度數(shù).類(lèi)型五、方位角7.A看B的方向是北偏東30°，那么B看A的方向是()．A．南偏東60°B．南偏西60°C．南偏東30°D．南偏西30°【答案】D【解析】依題意畫(huà)出示意圖．由圖可知，圖中∠1即表示從A看B的北偏東30°，∠2是從B看A的方位角．由此可確定從B看A是南偏西30°．【總結(jié)升華】從本例的分析與結(jié)果來(lái)看，從A看B與從B看A正好是一對(duì)對(duì)立的觀察過(guò)程，其方向是一種“相反〞的對(duì)應(yīng)關(guān)系．方位角確實(shí)定首先以什么點(diǎn)為基點(diǎn)〔即人站在此處觀察〕要弄清楚，再由正南或正北到視線夾角測(cè)量出來(lái)．舉一反三：【變式】小王從家出發(fā)向南偏東30°的方向走了1000米到達(dá)小軍家，此時(shí)小王家在小軍家的________方向．【答案】北偏西30°類(lèi)型六、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題8.計(jì)算：4時(shí)15分時(shí)針與分針的夾角.【答案與解析】解法一：如圖〔1〕，設(shè)4時(shí)15分時(shí)針與分針的夾角為∠α(注：夾角指小于180°的角)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：30°×4+0.5°×15，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：6°×15，所以∠α＝30°×4+0.5°×15-6°×15＝37.5°．解法二：如圖〔1〕，∠AOC＝30°×1＝30°，∠BOC＝0.5°×15＝7.5°．所以∠AOB＝37.5°．即4時(shí)15分時(shí)針與分針的夾角為37.5°【總結(jié)升華】求鐘表中時(shí)針與分針的夾角有兩種方法：第一