考研數(shù)學(xué)二分類模擬205

考研數(shù)學(xué)二分類模擬205一、選擇題1.

二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微的一個(gè)充分條件是______

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]按可微性定義，f(x，y)在(0，0)處可微，因此

從而其中A，B是與x，y無(wú)關(guān)的常數(shù)。

題中的C項(xiàng)即A=B=0的情形。故選C。

2.

設(shè)函數(shù)z(x，y)由方程確定，其中F為可微函數(shù)，且F'2≠0，則A.xB.zC.-xD.-z正確答案：B[解析]對(duì)已知的等式兩邊求全微分可得

所以

整理可得

因此

故選B。

3.

已知函數(shù)則______A.f'x-f'y=0B.f'x+f'y=0C.f'x-f'y=fD.f'x+f'y=f正確答案：D[解析]由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

故f'x+f'y=f。

4.

設(shè)其中函數(shù)f可微，則

A．2yf'(xy)

B．-2yf'(xy)

C．

D．正確答案：A[解析]先根據(jù)函數(shù)求出偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，再將結(jié)果代入

故選A。

5.

設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是______A.f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零B.f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于零C.f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零D.f(x0，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在正確答案：B[解析]因可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)取得極小值，故有f'x(x0，y0)=0，f'y(x0，y0)=0。又由故選B。

6.

設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，且對(duì)任意x，y都有則使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一個(gè)充分條件是______A.x1＞x2，y1＜y2B.x1＞x2，y1＞y2C.x1＜x2，y1＜y2D.x1＜x2，y1＞y2正確答案：D[解析]由需對(duì)x和y分開(kāi)考慮，則已知的兩個(gè)不等式分別表示函數(shù)f(x，y)關(guān)于變量x是單調(diào)遞增的，關(guān)于變量y是單調(diào)遞減的。

因此，當(dāng)x1＜x2，y1＞y2時(shí)，必有f(x1，y1)＜f(x2，y1)＜f(x2，y2)。故選D。

7.

設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0，則函數(shù)z=f(x)g(y)在點(diǎn)(0，0)處取得極小值的一個(gè)充分條件是______。A.f"(0)＜0，g"(0)＞0B.f"(O)＜0，g"(0)＜0C.f"(0)＞0，g"(0)＞0D.f"(0)＞0，g"(0)＜0正確答案：A[解析]由z=f(x)g(y)，得

而且=f(0)g'(0)=0，f(0)＞0，g(0)＜0。

當(dāng)f"(0)＜0，g"(0)＞0時(shí)，B2-AC＜0，且A＞0，此時(shí)z=f(x)g(y)在點(diǎn)(0，0)處取得極小值。故選A。

二、填空題1.

設(shè)其中函數(shù)f(u)可微，則正確答案：0[解析]因?yàn)?/p>

所以

2.

設(shè)z=(x+ey)x，則正確答案：2ln2+1[解析]由z=(x+ey)x，故z(x，0)=(x+1)x，則

將x=1代入得

3.

設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程z=e2x-3z+2y確定，則正確答案：2[解析]方法一：偏導(dǎo)數(shù)法。在z=e2x-3z+2y的兩邊分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)，z為x，y的函數(shù)。

從而

所以

方法二：全微分法。利用全微分公式，得

dz=e2x-3z(2dx-3dz)+2dy=2e2x-3zdx+2dy-3e2x-3z=dz，

所以

(1+3e2x-3z)dz=2e2x-3zdx+2dy，

因此

從而

4.

若函數(shù)z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1確定，則dz|(0,0)=______。正確答案：[解析]直接在方程兩端對(duì)x，y求偏導(dǎo)數(shù)有

則

5.

正確答案：[解析]設(shè)則z=uv，所以

因此

這類具體的二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算實(shí)質(zhì)上與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算沒(méi)有任何區(qū)別，對(duì)一個(gè)變量求導(dǎo)時(shí)，只需要把另一個(gè)變量看成常數(shù)，其余的計(jì)算公式就和一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)完全一樣了。

6.

設(shè)函數(shù)z=f(x，y)(xy≠0)滿足則dz=______。正確答案：(2x-y)dx-xdy[解析]利用變量替換，設(shè)xy=u，則有

即f(x，y)=x2-xy，因此dz=(2x-y)dx-xdy。

7.

設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程(z+y)x=xy確定，則正確答案：2-2ln2[解析]把點(diǎn)(1，2)代入(z+y)x=xy，得到z(1，2)=0。在(z+y)x=xy兩邊同時(shí)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，有

將x=1，y=2，z(1，2)=0代入上式得

8.

設(shè)z=z(x，y)是由方程確定的隱函數(shù)，則在點(diǎn)(0，-1，1)的全微分dz=______。正確答案：2dx+dy[解析]方程兩邊微分，有

將x=0，y=-1，z=1代入上式，得即有dz=2dx+dy。

三、解答題1.

設(shè)z=f[xy，yg(x)]，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)，且在x=1處取得極值g(1)=1，求正確答案：解：由題意

由g(x)在x=1處取得極值g(1)=1，可知g'(1)=0。

故有

2.

設(shè)z=z(x，y)是由方程x2+y2-z=φ(x+y+z)所確定的函數(shù)，其中φ具有二階導(dǎo)數(shù)且φ'≠-1。

(Ⅰ)求dz；

(Ⅱ)正確答案：解：(Ⅰ)對(duì)方程兩端同時(shí)求導(dǎo)得2xdx+2ydy-dz=φ'(x+y+z)·(dx+dy+dz)，

整理得

(φ'+1)dz=(-φ'+2x)dx+(-φ'+2y)dy，

因此

(Ⅱ)由第(Ⅰ)問(wèn)可知，所以

3.

設(shè)對(duì)任意的x和y，有用變量代換將f(x，y)變換成g(u，v)，試求滿足的常數(shù)a和b。正確答案：解：由題意

因此，有

利用(f'1)2+(f'2)2=4，即(f'2)2=4-(f'1)2，得

(a+b)(v2-u2)(f'1)2+2(a+b)uvf'1f'2+4au2-4bv2=u2+v2，

因此

a+b=0，4a=1，-4b=1，

所以

4.

設(shè)函數(shù)u=f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式，確定a，b的值，使等式通過(guò)變換ξ=x+ay，η=x+by可化簡(jiǎn)為正確答案：解：根據(jù)已知有

將相關(guān)表達(dá)式分別代入等式，可得

根據(jù)題意，令解方程組得

根據(jù)10ab+12(a+b)+8≠0，舍去

因此可知a=-2，，b=-2。

5.

設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f(exsiny)滿足方程求f(u)。正確答案：解：由題意

代入方程中，得到f"(u)-f(u)=0，解得

f(u)=C1eu+C2e-u，

其中C1，C2為任意常數(shù)。

6.

設(shè)函數(shù)f(u)在(0，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式

(Ⅰ)

(Ⅱ)若f(1)=0，f'(1)=1，求函數(shù)f(u)的表達(dá)式。正確答案：解：(Ⅰ)設(shè)則

因此

將得

(Ⅱ)令f'(u)=p，則分離變量得兩邊積分得

lnp=-lnu+lnC1，

解得

由f'(1)=1可得C1=1。對(duì)等式兩邊積分得

f(u)=lnu+C2，

由f(1)=0可得C2=0，故f(u)=lnu。

7.

求函數(shù)的極值。正確答案：解：對(duì)于函數(shù)先求函數(shù)的駐點(diǎn)：令

解得駐點(diǎn)為(1，0)，(-1，0)。又

對(duì)點(diǎn)(1，0)，有

所以，，A1＜0，故f(x，y)在點(diǎn)(1，0)處取得極大值對(duì)點(diǎn)(-1，0)，有

所以，A2＞0，故f(x，y)在點(diǎn)(-1，0)處取得極小值[解析]求二元函數(shù)無(wú)條件極值的基本步驟：先求出函數(shù)所有的駐點(diǎn)；對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)，分別算出它的三個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)，確定A，B，C的取值，再通過(guò)充分條件判斷該點(diǎn)是否取極值。

8.

已知函數(shù)f(x，y)滿足f"xy(x，y)=2(y+1)ex，f'x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的極值。正確答案：解：先求出f(x，y)。

在函數(shù)f"xy(x，y)兩端對(duì)y求不定積分，可得

f'x(x，y)=(y2+2y)ex+φ1(x)。

由于f'x(x，0)=(x+1)ex，所以有

φ1(x)=(x+1)ex，f'x(x，y)=(y2+2y)ex+(x+1)ex。

再對(duì)函數(shù)f'x(x，y)兩端對(duì)x求不定積分，可得

f(x，y)=(y2+2y)ex+xex+φ2(y)。

由于f(0，y)=y2+2y，所以有φ2(y)=0，f(x，y)=(y2+2y)ex+xex。

下面求f(x，y)的極值。

解得x=0，y=-1，而

A=f"xx(0，-1)=1，B=f"xy(0，-1)=0，C=f"yy(0，-1)=2。

由于AC-B2＞0，A＞0，所以取得極小值f(0，-1)=-1。

9.

已知函數(shù)z=z(x，y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0確定，求z=z(x，y)的極值。正確答案：解：在已知方程兩邊分別同時(shí)對(duì)x和y求偏導(dǎo)得

令代入方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0可得，

解得z=1，故x=y=-1。

方程(1)(2)兩邊再分別同時(shí)對(duì)x，y求導(dǎo)，得

將x=-1，y=-1，z=1，代入，可得

由AC-B2＞0，A＜0可知，z(-1，-1)=1為極大值。

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