考研數(shù)學(xué)二分類模擬208

考研數(shù)學(xué)二分類模擬208一、選擇題1.

累次積分可以寫成______

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]由累次積分可知，積分區(qū)域D為

由r=cosθ為圓心在x軸上，直徑為1的圓可作出D的圖形如圖所示。該圓的直角坐標(biāo)方程為。故用直角坐標(biāo)表示區(qū)域D為

或者

可見選項A、B、C均不正確，故選D。

2.

則積分區(qū)域為______A.x2+y2≤a2B.x2+y2≤a2(x≥0)C.x2+y2≤axD.x2+y2≤ax(y≥0)正確答案：C[解析]由r=acosθ知r2=a2cos2θ，即x2+y2=ax(a＞0)。故選C。

3.

設(shè)函數(shù)f(t)連續(xù)，則二重積分

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]因為曲線r=2在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=2x，即(x-1)2+y2=1，因此根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間二重積分的轉(zhuǎn)化可得

故選B。

4.

設(shè)有平面閉區(qū)域，D={(x，y)|-a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，則

A．

B．

C．

D．0正確答案：A[解析]將閉區(qū)間D={(x，y)|-a≤x≤a，x≤y≤a}用直線y=-x將其分成兩部分D2和D3，如圖所示，其中D2關(guān)于x軸對稱，D3關(guān)于y軸對稱，xy關(guān)于x和y均為奇函數(shù)，所以在D2和D3上，均有

而cosxsiny是關(guān)于x的偶函數(shù)，關(guān)于y的奇函數(shù)，在D3積分值不為零，在D2積分值為零，因此

其中D1是D3在第一象限的部分，所以

故選A。

5.

設(shè)區(qū)域D由曲線y=sinx，圍成，則A.πB.2C.-2D.-π正確答案：D[解析]區(qū)域D如圖中陰影部分所示，引入曲線y=-sinx將區(qū)域分為D1，D2，D3，D4四部分。

由于D1∪D2關(guān)于y軸對稱，可知在D1∪D2上關(guān)于x的奇函數(shù)積分為零，故

又由于D3∪D4關(guān)于x軸對稱，可知在D3∪D4上關(guān)于y的奇函數(shù)為零，故

因此

故選D。

6.

設(shè)f(x，y)連續(xù)，且其中D是由y=0，y=x2，x=1所圍區(qū)域，則f(x，y)=______

A．xy

B．2xy

C．

D．xy+1正確答案：C[解析]等式兩端積分得

則有

故選C。

7.

設(shè)f(x，y)連續(xù)，且其中D表示區(qū)域0≤x≤1，0≤y≤1，則

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]令有

f(x，y)=ex2+y2+Axy，xyf(x，y)=xyex2+y2+Ax2y2，

于是

即有

可見

故有

故選C。

8.

設(shè)區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0，y≥0}、f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a，b為常數(shù)，則

A．a(chǎn)bπ

B．

C．(a+b)π

D．正確答案：D[解析]根據(jù)輪換對稱性可得

故選D。

二、填空題1.

設(shè)平面區(qū)域D由直線y=x，圓x2+y2=2y及y軸所圍成，則二重積分=______。正確答案：[解析]方法一：本題可以利用極坐標(biāo)變換，0≤r≤2sinθ。因此

方法二：通過直角坐標(biāo)變換求解，已知直線和圓的交點為(1，1)，上半圓周的方程為

因此直角坐標(biāo)區(qū)域為

所以可得

2.

設(shè)D={(x，y)|x2+y2≤1}，則正確答案：[解析]利用函數(shù)奇偶性及輪換對稱性

3.

D是頂點分別為(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形閉區(qū)域，則=______。正確答案：[解析]積分區(qū)域可以表示為D={(x，y)|0≤y≤1+x，0≤x≤1}，則

利用換元法，令1+x=t，x∈[0，1]時，t∈[1，2]，則

4.

設(shè)f(x，y)連續(xù)，且其中D是由，x=1，y=2所圍成的區(qū)域，則f(x，y)=______。正確答案：[解析]首先令則A為常數(shù)，此時f(x，y)=x+Ay。

即因此可得

5.

D是圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域，則正確答案：[解析]圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域用極坐標(biāo)表示為

因此

6.

設(shè)D為不等式0≤x≤3，0≤y≤1所確定的區(qū)域，則=______。正確答案：[解析]由題干可知

7.

其中D由y軸，，y=arctanx圍成。正確答案：[解析]

三、解答題1.

設(shè)D={(x，y)|x2+y2≤，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超過1+x2+y2的最大整數(shù)。計算二重積分正確答案：解：設(shè)有

D1={(x，y)|0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，

D2={(x，y)|1≤x2+y2≤，x≥0，y≥0}。

則有

2.

設(shè)二元函數(shù)

計算二重積分其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}。正確答案：解：因為被積函數(shù)關(guān)于x，y均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于x，y軸均對稱，所以，其中D1為D在第一象限內(nèi)的部分。

所以可得

3.

計算二重積分其中D由曲線與直線及圍成。正確答案：解：積分區(qū)域如圖所示，D=D1∪D2，其中

且區(qū)域D關(guān)于x軸是對稱的，被積函數(shù)3x2y+y3是y的奇函數(shù)，所以

因此

4.

求其中D是由圓x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所圍成的平面區(qū)域(如圖)。

正確答案：解：令D1={(x，y)|x2+y2≤4}，D2={(x，y)|(x+1)2+y2≤1}(如圖所示)。

根據(jù)圖形的對稱性，

因此

5.

設(shè)平面區(qū)域D由曲線與x軸圍成，計算二重積分正確答案：解：積分區(qū)域如圖所示，則原積分可化為

令x=t-sint，y=1-cost，換元可得，

[考點]本題考查二重積分的計算。[解析]由曲線方程可以得到積分區(qū)域的圖形，圖形的邊界曲線為參數(shù)方程?？忌诮獯疬^程中可以先將二重積分化為累次積分，從而計算出內(nèi)層積分，然后計算外層積分時將參數(shù)方程代入，從而可以得到一個關(guān)于變量t的定積分。

6.

正確答案：解：設(shè)二重積分區(qū)域為D，D1是D的第一象限部分，由對稱性，得

7.

設(shè)區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，計算二重積分正確答案：解：積分區(qū)域D如圖所示。因為區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，函數(shù)是變量y的偶函數(shù)，函數(shù)是變量y的奇函數(shù)。

取D1=D∩{y≥0}，則有

[解析]只要積分區(qū)域關(guān)于某一個坐標(biāo)軸是對稱的，計算積分時就可以先利用奇偶性簡化計算。

8.

設(shè)平面區(qū)域D={(x，y)|1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，計算正確答案：解：D關(guān)于y=x對稱，滿足輪換對稱性，則

所以有

9.

正確答案：解：

10.

已知函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，計算二重積分I=正確答案：解：將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分可得

首先考慮注意這里把變量y看作常數(shù)，故有

由f(1，y)=f(x，1)=0易知，f'