8.6.2直線與平面垂直課件高一下學期數(shù)學人教A版

第八章立體幾何初步8.6.2直線與平面垂直人教A版

數(shù)學

必修第二冊課程標準1.理解并掌握直線與平面垂直的定義,明確定義中“任意”兩字的重要性.2.掌握直線與平面垂直的判定定理和性質定理,能證明性質定理,并能解決有關線面垂直的問題.3.了解直線和平面所成的角的含義,并知道其求法.4.了解點到平面距離、直線到平面距離、平面到平面距離的含義,并能求解空間距離.基礎落實·必備知識全過關知識點1

直線與平面垂直的定義

定義一般地,如果直線l與平面α內的

直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直

定義可表示為?a?α,l⊥a?l⊥α

記法l⊥α有關概念直線l叫做平面α的

,平面α叫做直線l的

.直線與平面垂直時,它們唯一的公共點P叫做

圖示

畫法畫直線與平面垂直時,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直任意一條

垂線

垂面垂足名師點睛1.定義中的“任意一條”與“任何直線”“所有直線”意義相同,但與“無數(shù)條直線”不同,即定義是說這條直線和平面內所有直線都垂直.2.直線和平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況.3.由定義可知,若直線垂直于平面,則直線垂直于平面內任意一條直線,這是證明線線垂直的一種重要方法.過關自診1.直線l與平面α內的無數(shù)條直線垂直,則(

)A.l和α相互平行 B.l和α相互垂直C.l在平面α內 D.l和α的位置關系不能確定D解析

直線l和α相互平行或直線l和α相互垂直或直線l在平面α內都有可能,如圖所示.2.[蘇教版教材習題]如果直線a與平面α不垂直,那么在平面α內與直線a垂直的直線(

)A.只有一條B.有無數(shù)條C.是平面α內的所有直線D.不存在B知識點2

直線與平面垂直的判定定理

文字語言如果一條直線與一個平面內的兩條

直線垂直,那么該直線與此平面垂直

圖形語言

符號語言l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,

?l⊥α

作用判斷直線與平面

相交a∩b=P垂直

名師點睛1.“兩條相交直線”是關鍵詞語,是不可忽視的條件.2.要證一條直線與一個平面垂直,只需在平面內找到兩條相交的直線都和該直線垂直即可,不需要找到所有直線,而且這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關緊要的.3.定理體現(xiàn)了相互轉化的數(shù)學思想,即由要證線面垂直轉化為證線線垂直.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)一條直線垂直于三角形的兩邊,那么這條直線就垂直于三角形所在的平面.(

)(2)一條直線垂直于圓的兩條直徑,那么這條直線就垂直于圓所在的平面.(

)2.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于(

)A.平面OAB

B.平面OACC.平面OBC

D.平面ABC√√C知識點3

直線與平面所成的角

一條直線l與一個平面α相交,但不與這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線,斜線和平面的交點A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的角.名師點睛1.斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段.2.直線與平面所成的角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°.特別地,當θ=90°時,直線與平面垂直.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)直線l垂直于平面α,則l與平面α內的任意一條直線所成的角均為90°.(

)(2)如果直線l與平面α所成的角為0°,那么l∥α.(

)√××2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB1與平面ABCD所成的角等于

;AB1與平面ADD1A1所成的角等于

;AB1與平面DCC1D1所成的角等于

.

45°45°

0°解析

∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角,即45°;∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1與平面DCC1D1平行,即所成的角為0°.知識點4

空間距離

這樣的直線有且只有一條1.過一點作

于已知平面的直線,則該點與

間的線段,叫做這個點到該平面的垂線段,

叫做這個點到該平面的距離.

2.一條直線與一個平面

時,這條直線上任意一點到這個平面的距離,叫做這條直線到這個平面的距離.

3.如果兩個平面

,那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都

,我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.

垂直

垂足垂線段的長度平行平行相等名師點睛1.求空間距離最終轉化為求垂線段的長,先要找垂線,歸結為線面垂直問題.2.空間距離可應用于求幾何體的高.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)直線到平面的距離以及兩平面之間的距離都要轉化為點到平面的距離.(

)(2)如果直線l上有兩個點到平面α的距離相等,那么l∥α.(

)√×2.已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,則點C到平面BDD1B1的距離為(

)B解析

如圖,連接AC,與DB交于點O,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,∵DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B,BB1,DB?平面BDD1B1,∴AC⊥平面BDD1B1.∴點C到平面BDD1B1的距離為CO.知識點5

直線與平面垂直的性質定理

文字語言垂直于同一個平面的兩條直線

符號語言圖形語言

作用證明兩條直線

平行

a∥b平行

過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)如果l∥m,l⊥α,那么m⊥α.(

)(2)如果l⊥α且l⊥β,平面α∥平面β.(

)2.在長方體ABCD-A'B'C'D'中,棱AA',BB'所在直線與平面ABCD位置關系如何?這兩條直線又有什么樣的位置關系?√√提示

棱AA',BB'所在直線都與平面ABCD垂直;這兩條直線互相平行.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一證明直線與平面垂直【例1】

[北師大版教材例題]如圖,長桿l與地面α相交于點O,在桿子上距地面2m的點P處掛一根長2.5m的繩子,拉緊繩子并把它的下端放在地面上的點A或點B(A,B,O三點不在同一條直線上).如果A,B兩點和點O的距離都是1.5m,那么長桿l和地面是否垂直?為什么?解

在△POA和△POB中,因為PO=2

m,AO=BO=1.5

m,PA=PB=2.5

m,所以PO2+AO2=22+1.52=2.52=PA2,PO2+BO2=22+1.52=2.52=PB2.根據(jù)勾股定理的逆定理得PO⊥AO,PO⊥BO.又A,B,O三點不共線,因此PO⊥平面α,即長桿與地面垂直.規(guī)律方法

直線與平面垂直的判定方法判定直線與平面垂直,可以用定義,就是證明這條直線與平面內的任一直線垂直,但這種方法一般不用.最常用也最好用的是直線與平面垂直的判定定理,根據(jù)定理,只需證明這條直線與平面內的兩條相交直線垂直即可.變式訓練1設四邊形ABCD是空間四邊形,AB=AD,CB=CD,求證:AC⊥BD.證明

取BD的中點E,連接AE,CE.由已知,在等腰三角形ABD和等腰三角形CBD中,有AE⊥BD,CE⊥BD.∵AE∩CE=E,AE,CE?平面AEC,∴BD⊥平面AEC.又AC?平面AEC,∴AC⊥BD.探究點二證明兩直線垂直【例2】

如圖,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直徑,C是☉O上任意一點,求證:BC⊥PC.證明

∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直徑,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.∵PC?平面PAC,∴BC⊥PC.變式探究1若本例中其他條件不變,作AE⊥PC交PC于點E,求證:AE⊥PB.證明

由例2知BC⊥平面PAC,∵AE?平面PAC,∴BC⊥AE.∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,PC?平面PBC,BC?平面PBC,∴AE⊥平面PBC.∵PB?平面PBC,∴AE⊥PB.變式探究2本題中的三棱錐P-ABC中有幾個三角形為直角三角形?解

4個,分別為△PAB,△PAC,△PCB,△ABC.規(guī)律方法

1.直線和平面垂直的定義具有雙重作用:判定和性質.判定是指,如果一條直線和平面內的任意一條直線都垂直,那么直線就與平面垂直;性質是指,如果一條直線垂直于一個平面,那么這條直線就垂直于平面內的任意一條直線,即a⊥α,b?α?a⊥b.2.由直線與平面垂直的定義及判定定理,就可以由線線垂直得到線面垂直,再由線面垂直得到線線垂直,即得到線線垂直與線面垂直的相互轉化.因此,要證明兩條直線垂直(無論它們是異面還是共面),通常是證明其中的一條直線垂直于另一條直線所在的一個平面.探究點三求直線與平面所成的角【例3】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中.(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角;(2)求A1B與平面BB1D1D所成的角.解

(1)∵AB⊥平面AA1D1D,∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角,在Rt△AA1B中,∠BAA1=90°,AB=AA1,∴∠AA1B=45°,∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.(2)連接A1C1交B1D1于點O,連接BO.∵A1O⊥B1D1,BB1⊥A1O,BB1∩B1D1=B1,BB1,B1D1?平面BB1D1D,∴A1O⊥平面BB1D1D,∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角.設正方體的棱長為1,則又0°≤∠A1BO≤90°,∴∠A1BO=30°,∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.規(guī)律方法

1.求斜線與平面所成的角的步驟:2.在上述步驟中,作角是關鍵,而確定斜線在平面內的射影是作角的關鍵,幾何圖形的特征是找射影的依據(jù),圖形中的特殊點是突破口.變式訓練2[北師大版教材習題]如圖,AB是☉O的直徑,點C為該圓上的一點,∠AOC=120°,SA⊥☉O所在的平面,SA=AB,求SC與☉O所在的平面所成的角的正切值.解

連接AC,BC.因為SA⊥☉O所在的平面,所以∠SCA是直線SC與☉O所在平面的夾角.設☉O的半徑為R,則SA=AB=2R.因為∠AOC=120°,所以∠BOC=60°.所以△BOC為等邊三角形,所以BC=R.又因為AB為☉O的直徑,所以∠ACB=90°,探究點四空間距離的求法【例4】

如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分別是AB,AD的中點,求點B到平面GEF的距離.解

連接BD,AC,EF和BD分別交AC于H,O,連接GH,作OK⊥GH于點K.∵四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AB,AD的中點,∴EF∥BD,H為AO的中點.∵BD∥EF,BD?平面GFE,∴BD∥平面GFE.∴點B與平面GEF的距離就是點O到平面GEF的距離.∵BD⊥AC,∴EF⊥AC.∵GC⊥平面ABCD,∴GC⊥EF.∵GC∩AC=C,∴EF⊥平面GCH.∵OK?平面GCH,∴EF⊥OK.∵OK⊥GH,GH∩EF=H,∴OK⊥平面GEF,即OK的長就是點B到平面GEF的距離.∵正方形ABCD的邊長為4,CG=2,變式探究本題條件不變,如果求直線BD到平面GEF的距離呢?提示

先證明BD∥平面GEF,將直線到平面的距離轉化為求點O到平面的距離,過程和答案與例題一致.規(guī)律方法

求點到平面的距離一般有兩種方法(1)構造法:根據(jù)定義構造垂直于面的直線,確定垂足位置,將所求線段化歸到三角形中求解.(2)等積變換法:將所求距離看作某個幾何體(多為棱錐)的高,利用體積相等建立方程求解.變式訓練3已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為,平面AB1D1到平面BC1D的距離為(

)C本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)直線與平面垂直的定義.(2)直線與平面垂直的判定定理.(3)直線與平面所成的角.(4)空間距離.(5)直線與平面垂直的性質定理.2.方法歸納:化歸,數(shù)形結合.3.常見誤區(qū):易忽略直線與平面垂直的判定定理中“兩條相交直線”這一關鍵條件.成果驗收·課堂達標檢測123456789101112131415161718A級必備知識基礎練1.[探究點二]若空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩對角線AC,BD的關系是(

)A.垂直且相交

B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交C解析

取BD的中點O,連接AO,CO,則BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC異面,故選C.1234567891011121314151617182.[探究點一、二·2023江蘇淮安清江浦期中]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M,N分別為AC,A1B的中點,下列說法中不正確的是(

)A.MN∥平面ADD1A1B.MN⊥ABC.MN與CC1所成角為45°D.MN⊥平面ACD1D1234567891011121314151617183.[探究點三]在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,則PC與平面ABCD所成角的大小為(

)A.30° B.45° C.60° D.90°C解析

如圖,連接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC與平面ABCD所成的角.1234567891011121314151617184.[探究點一]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱AB,BC的中點,O是底面ABCD的中心,則EF與平面BB1O的位置關系是

.(填“平行”或“垂直”)

垂直1234567891011121314151617185.[探究點三]如圖,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,則直線BC'與平面ABB'A'所成角的正弦值為

.

1234567891011121314151617186.[探究點二]在三棱錐V-ABC中,當三條側棱VA,VB,VC之間滿足條件

時,有VC⊥AB.(注:填上你認為正確的一種條件即可)

VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保證VC⊥AB即可)

解析

只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.1234567891011121314151617187.[探究點三、四·2023江西九江德安期末]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,AP=AD=2,∠ABC=60°.點E,F分別在棱PA,PB上,且EF∥AB.(1)求證:EF∥CD;(2)若直線PD與平面CEF所成的角的正弦值為,求點P到平面CEF的距離.(1)證明

因為底面ABCD為菱形,所以CD∥AB,又因為EF∥AB,所以EF∥CD.(2)解

因為EF∥CD,所以C,D,E,F四點共面.設點P到平面CEF的距離為h.因為PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,所以PA⊥AB.1234567891011121314151617181234567891011121314151617188.[探究點二]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分別是AD,PC的中點.證明:PC⊥BE.123456789101112131415161718證明

如圖,連接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又因為F是PC的中點,所以EF⊥PC.F是PC的中點,所以BF⊥PC.又因為BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.因為BE?平面BEF,所以PC⊥BE.1234567891011121314151617189.[探究點一、三]如圖,在棱長均為1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點.(1)求證:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值.123456789101112131415161718(1)證明

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中點,∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解

連接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,則∠AC1D即為直線AC1與平面BCC1B1所成角.123456789101112131415161718B級關鍵能力提升練10.(多選題)如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結論正確的是(

)A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60°ABC12345678910111213141516171811.(多選題)在正三棱錐A-BCD中,側棱長為3,底面邊長為2,E,F分別為棱AB,CD的中點,則下列結論中正確的是(

)BC12345678910111213141516171812.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB邊上的一動點,則PM的最小值為(

)A12345678910111213141516171813.(多選題)如圖,等邊三角形ABC的邊長為1,BC邊上的高為AD,沿AD把三角形ABC折起來,則(

)ABCD12345678910111213141516171812345678910111213141516171814.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列結論:①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1與底面ABCD所成角的正切值是;④AD1與BD為異面直線.其中正確結論的序號是

.

②③④

12345678910111213141516171815.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=,AB=AA1=2,E是棱CC1的中點.(1)求證:AE⊥BC;(2)求點A1到平面ABE的距離.(1)證明

因為AC=BC=,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.因為直棱柱ABC-A1B1C1,所以AA1⊥底面ABC,BC?平面ABC,所以AA1⊥BC,又AA1∩AC=A,AA1?平面ACC1A1,AC?平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1.又因為AE?平面ACC1A1,所以AE⊥BC.12345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171816.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分別是AB,PC的中點.求證:(1)MN∥平面PAD;(2)AB⊥MN.證明

(1)取PD的中點Q,連接AQ,NQ.∵N是PC的中點,∴NQ=CD,NQ∥CD.∵M是AB的中點,∴AM=AB=CD.又AM∥CD,∴AM∥NQ,AM=NQ.∴四邊形AQNM是平行四邊形,∴MN∥AQ.∵MN?平面PAD,AQ?平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵底面