11.4.1直線與平面垂直課件高一數(shù)學(xué)人教B版

第十一章立體幾何初步直線與平面垂直人教B版

數(shù)學(xué)

必修第四冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解異面直線所成角的含義,結(jié)合實(shí)例概括出直線與平面垂直的定義,理解直線與平面垂直的性質(zhì).2.理解線面垂直的判定定理,能運(yùn)用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言對(duì)該定理加以表述,初步學(xué)習(xí)運(yùn)用該定理判定或論證直線與平面垂直問(wèn)題.3.理解線面垂直的有關(guān)性質(zhì),并能運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行論證.4.知道點(diǎn)到平面的距離的定義.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1直線與直線所成角一般地,如果a,b是空間中的兩條異面直線,過(guò)空間中任意一點(diǎn),分別作與a,b平行或重合的直線a',b',則a'與b'所成角的大小,稱為

.

為了方便起見(jiàn),規(guī)定空間中兩條平行直線所成角的大小為0°,這樣一來(lái),空間中任意兩條直線所成角的大小都是確定的.兩條直線所成的角也稱為這兩條直線的夾角.特別地,空間中兩條直線l,m所成角的大小為90°時(shí),稱l與m

,記作l⊥m.

此時(shí),兩條直線的位置關(guān)系可能相交,可能異面

顯然,若a∥b且b⊥c,則一定有a⊥c.異面直線a與b所成角的大小

垂直

過(guò)關(guān)自診1.[人教A版教材習(xí)題]判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)如果兩條平行直線中的一條與已知直線垂直,那么另一條也與已知直線垂直.(

)(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行.(

)√×2.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'的各條棱所在直線中,(1)與直線AB垂直的直線有

條;

(2)與直線AB異面且垂直的直線有

條;

(3)與直線AB和A'D'都垂直的直線有

條;

(4)與直線AB和A'D'都垂直且相交的直線是直線

.

844AA'3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為C1D1的中點(diǎn),則異面直線AE與A1B1所成角的余弦值為

.

解析

設(shè)棱長(zhǎng)為1,因?yàn)锳1B1∥C1D1,所以∠AED1就是異面直線AE與A1B1所成的角.知識(shí)點(diǎn)2直線與平面垂直1.直線l與平面α垂直,指的是直線l與平面α內(nèi)

都垂直.

2.充要條件:由空間中兩條直線相互垂直的定義可知,直線l與平面α垂直的充要條件是

.這可以用符號(hào)表示為l⊥α??m?α,l⊥m.

3.畫法:通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直,如圖所示.過(guò)它們公共點(diǎn)的所有直線

直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直

名師點(diǎn)睛對(duì)線面垂直定義的理解(1)定義中的“任何一條直線”的含義是所有,而不是無(wú)數(shù),這里要避免兩個(gè)錯(cuò)誤:①一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線,它就垂直于這個(gè)平面;②一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,它就垂直于這個(gè)平面.(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形,類似于平面內(nèi)兩條相交直線垂直是兩直線相交的特殊情形.(3)由線面垂直的定義知,若直線垂直于平面,那么這條直線垂直于平面內(nèi)的任一條直線,這是證明線線垂直的重要方法.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若直線l垂直于平面α內(nèi)任意直線,則有l(wèi)⊥α.(

)(2)若直線l垂直于平面α內(nèi)的一條直線,則l⊥α.(

)(3)若直線l垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,則l⊥α.(

)(4)若直線l垂直于平面α,則l垂直于平面α內(nèi)的每一條直線.(

)√××√2.直線l⊥平面α,直線m?α,則l與m不可能(

)

A.平行 B.相交 C.異面 D.垂直A解析

∵直線l⊥平面α,∴l(xiāng)與α相交,又m?α,∴l(xiāng)與m相交或異面,由直線與平面垂直的定義,可知l⊥m.故l與m不可能平行.知識(shí)點(diǎn)3直線與平面垂直的判定定理與推論1.判定定理

文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的

直線垂直,則這條直線與這個(gè)平面垂直

圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言若m?α,n?α,m∩n≠?,l⊥m,l⊥n,則l⊥α兩條相交

2.結(jié)論

體會(huì)平行關(guān)系中平移的應(yīng)用

文字語(yǔ)言如果在兩條平行直線中,有一條直線垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線

這個(gè)平面

圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言若l∥m,l⊥α,則m⊥α也垂直于

3.性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線

圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言若l⊥α,m⊥α,則l∥m平行

名師點(diǎn)睛1.判定定理中三個(gè)條件:兩個(gè)線線垂直和一個(gè)線線相交,缺一不可.此定理可簡(jiǎn)記為線線垂直?線面垂直.2.結(jié)論及性質(zhì)定理將線線平行和線面垂直融合在一起,完成了平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.過(guò)關(guān)自診1.一條直線分別垂直于一個(gè)平面內(nèi)的:①三角形的兩條邊;②梯形的兩條邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊.其中不能保證該直線與平面垂直的是(

)

A.①③

B.②C.②④

D.①②④C解析

因?yàn)榫€面垂直的判定定理中平面內(nèi)的兩條直線必須相交,而②④中不能確定兩條邊是否相交,故不能保證該直線與平面垂直,故選C.2.[北師大版教材習(xí)題]判斷下列說(shuō)法是否正確,并說(shuō)明理由:(1)兩條異面直線不能垂直于同一平面;(2)如果一條直線上有兩點(diǎn)到一個(gè)已知平面的距離相等,那么這條直線必與這個(gè)平面平行;(3)同一平面的兩條垂線一定共面.解(1)正確.由線面垂直的性質(zhì)定理可知,垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行,所以不可能異面.(2)不正確.當(dāng)這兩點(diǎn)在平面的同側(cè)時(shí),可以得到直線和平面平行;當(dāng)這兩點(diǎn)在平面的不同側(cè)時(shí),直線和平面必定相交.不可能平行.(3)正確.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理,同一平面的兩條垂線平行,由基本事實(shí)的推論3,這兩條平行的垂線一定共面.3.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求證:EF∥AA1.證明∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,∴AA1⊥平面ABCD.又EF⊥平面ABCD,∴EF∥AA1.知識(shí)點(diǎn)4直線與平面所成的角定義:如果A是平面α外一點(diǎn),B是平面α內(nèi)一點(diǎn),則AB⊥α?xí)r,AB是平面α的垂線段.類似地,如果C是平面α內(nèi)一點(diǎn),且AC與α不垂直,則稱AC是平面α的

(相應(yīng)地,直線AC稱為平面α的

,稱C為

).

因?yàn)锽為A在平面α內(nèi)的射影,所以直線BC稱為直線AC在平面α內(nèi)的射影.特別地,

稱為直線AC與平面α所成的角.

結(jié)論:平面內(nèi)垂直于射影的直線也垂直于

.

斜線段

斜線

斜足

∠ACB斜線

過(guò)關(guān)自診1.如圖所示,若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,則直線AB與平面α所成的角是(

)

A.60°

B.45°C.30°

D.120°A解析

∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=,即∠ABO=60°.2.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,則直線PB與平面ABC所成的角等于

.45°解析

因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以斜線PB在平面ABC上的射影為AB,所以∠PBA即為直線PB與平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直線PB與平面ABC所成的角等于45°.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一直線與直線所成角【例1】

[人教A版教材例題]如圖,已知正方體ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直線與直線AA'垂直?(2)求直線BA'與CC'所成的角的大小.(3)求直線BA'與AC所成的角的大小.解(1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'所在直線分別與直線AA'垂直.(2)因?yàn)锳BCD-A'B'C'D'是正方體,所以BB'∥CC',因此∠A'BB'為直線BA'與CC'所成的角.又因?yàn)椤螦'BB'=45°,所以直線BA'與CC'所成的角等于45°.(3)如圖,連接A'C'.因?yàn)锳BCD-A'B'C'D'是正方體,所以AA'CC'.從而四邊形AA'C'C是平行四邊形,所以AC∥A'C'.于是∠BA'C'為異面直線BA'與AC所成的角.連接BC',易知△A'BC'是等邊三角形,所以∠BA'C'=60°.從而異面直線BA'與AC所成的角等于60°.規(guī)律方法

求異面直線所成的角的一般步驟(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法,遇題設(shè)中有中點(diǎn),?？紤]中位線;若異面直線依附于某幾何體,且對(duì)異面直線平移有困難時(shí),可利用該幾何體的特殊點(diǎn),使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線.(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角,通過(guò)解三角形,求出所找的角.(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°,則θ為所求;若90°<θ<180°,則180°-θ為所求.變式訓(xùn)練1(1)[2023浙江高一專題練習(xí)]如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長(zhǎng)都相等,D為棱AB的中點(diǎn),則CD與AC1所成角的正弦值為(

)B解析

如圖,取A1B1的中點(diǎn)E,連接AE,C1E,DE.設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長(zhǎng)為2,因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B為平行四邊形,所以AB∥A1B1,且AB=A1B1.因?yàn)镈,E分別為AB,A1B1的中點(diǎn),所以AD∥A1E,且AD=A1E,所以四邊形AA1ED為平行四邊形,則AA1∥DE,且AA1=DE.因?yàn)锳A1∥CC1,且AA1=CC1,所以DE∥CC1,且DE=CC1,所以四邊形CC1ED為平行四邊形,所以CD∥C1E,所以直線CD與直線AC1所成的角即為直線C1E與直線AC1所成的角,∠AC1E即為所求.在△AC1E中,(2)在四面體A-BCD中,AB=CD,AB與CD成30°角,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),求直線EF和AB所成的角.解如圖,取BD的中點(diǎn)G,連接EG,FG.∵E,F,G分別是BC,AD,BD的中點(diǎn),∴

,∴∠EGF(或∠EGF的補(bǔ)角)為AB與CD所成的角.又直線AB與CD成30°角,∴∠EGF=30°或150°.∵AB=CD,∴EG=GF,故由等腰三角形EGF知∠GFE=75°或15°.而由FG∥AB知,∠GFE就是直線EF和AB所成的角.從而直線EF和AB所成的角為75°或15°.探究點(diǎn)二線面垂直的判定【例2】

[人教A版教材習(xí)題]如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,求證:AC⊥平面SDB.證明因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,所以AC⊥BD.因?yàn)镾D⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以SD⊥AC.又因?yàn)锽D∩SD=D,BD?平面SDB,SD?平面SDB,所以AC⊥平面SDB.規(guī)律方法

利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧證明線面垂直時(shí)要注意分析幾何圖形,尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系,進(jìn)而證明線面垂直.三角形全等、等腰三角形、菱形或正方形的對(duì)角線、直角三角形中的勾股定理及其逆定理、線面垂直的定義等都是找線線垂直的方法.變式訓(xùn)練2如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,DD1=2,P為DD1的中點(diǎn).求證:直線PB1⊥平面PAC.

探究點(diǎn)三線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例3】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF與異面直線AC,A1D都垂直相交,垂足分別為F,E.求證:EF∥BD1.證明如圖所示,連接AB1,B1C,BD.因?yàn)镈D1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D,所以AC⊥平面BDD1.又BD1?平面BDD1,所以AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C.又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C.因?yàn)镋F⊥AC,EF⊥A1D,A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.又AC∩B1C=C,所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.變式訓(xùn)練3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一點(diǎn),N是A1C的中點(diǎn),MN⊥平面A1DC.求證:(1)MN∥AD1;(2)M是AB的中點(diǎn).證明(1)因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1為正方形,所以AD1⊥A1D.又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因?yàn)锳1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因?yàn)镸N⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.(2)如圖,設(shè)AD1與A1D的交點(diǎn)為O,連接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC,所以

.所以O(shè)N∥AM.又因?yàn)镸N∥OA,所以四邊形AMNO為平行四邊形.所以O(shè)N=AM.因?yàn)镺N=,所以AM=.所以M是AB的中點(diǎn).探究點(diǎn)四線面角【例4】

[北師大版教材例題]如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1.(1)求D1A與底面ABCD所成的角;(2)設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,求D1B與底面ABCD所成的角的余弦值.解(1)因?yàn)镈D1⊥底面ABCD,所以∠D1AD是D1A與底面ABCD所成的角.因?yàn)閭?cè)面A1ADD1是正方形,所以∠D1AD=45°,即D1A與底面ABCD所成的角為45°.規(guī)律方法

求線面角的方法求直線和平面所成角的步驟:(1)尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線;(2)連接垂足和斜足間得到斜線在平面上的射影,斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角;(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中,通過(guò)解三角形,求出該角.變式訓(xùn)練4在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角.解(1)∵直線A1A⊥平面ABCD,∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角.(2)連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O,連接OB,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1?平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1.又BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足為點(diǎn)O.∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角,∴∠A1BO=30°,即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)1234567891011121314151617181920212223A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)二·2023北京東城校級(jí)模擬]已知直線m,n和平面α,如果n?α,那么“m⊥n”是“m⊥α”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B解析

若n?α,m⊥n,則m⊥α或m?α,若m⊥α,n?α,則m⊥n,故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分條件.故選B.12345678910111213141516171819202122232.(多選題)[探究點(diǎn)二·2023江蘇高一專題練習(xí)]下列條件中能推出l⊥α的有(

)A.直線l與平面α內(nèi)一個(gè)三角形的兩邊垂直B.直線l與平面α內(nèi)一個(gè)梯形的兩邊垂直C.直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直D.直線l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直AD解析

由線面垂直的判定定理知A,D正確;對(duì)于B,當(dāng)梯形的兩邊平行時(shí),不能推出l⊥α;對(duì)于C,當(dāng)無(wú)數(shù)條直線相互平行時(shí),不能推出l⊥α.故選AD.12345678910111213141516171819202122233.[探究點(diǎn)二·2023遼寧高一專題練習(xí)]設(shè)α是空間中的一個(gè)平面,l,m,n是三條不同的直線,則(

)A.若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,則l⊥αB.若l∥m,m∥n,l⊥α,則n⊥αC.若l∥m,m⊥α,n⊥α,則l⊥nD.若m?α,n⊥α,l⊥n,則l∥mB12345678910111213141516171819202122234.[探究點(diǎn)三]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線l與直線BB1不重合,且l⊥平面ABCD,則有(

)A.BB1⊥lB.BB1∥lC.BB1與l異面D.BB1與l相交B解析

因?yàn)閘⊥平面ABCD,且BB1⊥平面ABCD,直線l與直線BB1不重合,所以BB1∥l.故選B.12345678910111213141516171819202122235.[探究點(diǎn)一·2023安徽高一課時(shí)練習(xí)]空間四邊形ABCD的兩對(duì)邊AB=CD=3,E,F分別是AD,BC上的點(diǎn),且EF=,AE∶ED=BF∶FC=1∶2,則直線AB與CD所成角大小為(

)A.30°

B.45° C.60°

D.90°C解析

作EG∥AB交BD于點(diǎn)G,如圖,連接FG,1234567891011121314151617181920212223因?yàn)椤螮GF是三角形內(nèi)角,所以∠EGF=120°,所以直線AB與CD所成的角是60°.故選C.12345678910111213141516171819202122236.(多選題)[探究點(diǎn)二]如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下列結(jié)論正確的是(

)A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60°ABC12345678910111213141516171819202122237.[探究點(diǎn)一]如圖所示,M,N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中點(diǎn).則(1)MN與CD1所成的角為

.

(2)MN與AD所成的角為

.

60°45°解析

(1)由圖易知MN∥AD1,∵△ACD1構(gòu)成正三角形,∴AD1與CD1成60°角,∴MN與CD1成60°角.(2)AD1與AD成45°角,而MN∥AD1,∴MN與AD成45°角.12345678910111213141516171819202122238.[探究點(diǎn)四·2023天津高一專題練習(xí)]正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線A1B與平面ABC1D1所成角大小為

.

30°解析

如右圖,由正方體性質(zhì)知,AD1⊥A1D,且AD1∩A1D=O,即AD1⊥A1O.又AB⊥平面ADD1A1,A1O?平面ADD1A1,故AB⊥A1O.由AD1∩AB=A,AD1,AB?平面ABC1D1,故A1O⊥平面ABC1D1,所以∠A1BO為直線A1B與平面ABC1D1所成角的平面角,又0°≤∠A1BO≤90°,故∠A1BO=30°.12345678910111213141516171819202122239.[探究點(diǎn)二]如圖,在三棱錐A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BE⊥CD于點(diǎn)E,作AH⊥BE于點(diǎn)H.求證:AH⊥平面BCD.1234567891011121314151617181920212223證明取AB的中點(diǎn)F,連接CF,DF(圖略).∵CA=CB,DA=DB,∴CF⊥AB,DF⊥AB.∵CF∩DF=F,∴AB⊥平面CDF.∵CD?平面CDF,∴AB⊥CD.又CD⊥BE,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE.∵AH?平面ABE,∴CD⊥AH.∵AH⊥BE,BE∩CD=E,∴AH⊥平面BCD.123456789101112131415161718192021222310.[探究點(diǎn)三·2023湖南高一專題練習(xí)]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中點(diǎn),M,N分別在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.證明:AE∥MN.1234567891011121314151617181920212223證明因?yàn)锳B⊥平面PAD,AE?平面PAD,所以AE⊥AB.又AB∥CD,所以AE⊥CD.因?yàn)锳D=AP,E是PD的中點(diǎn),所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,CD,PD?平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因?yàn)镸N⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.又MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD?平面PCD,所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.1234567891011121314151617181920212223B級(jí)關(guān)鍵能力提升練11.已知m,n為兩條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法中正確的有(

)①m⊥α,m⊥n?n∥α或n?α②n∥m,n⊥α?m⊥α③α∥β,m?α,n?β

?m∥n④m?α,n?α,m∥β,n∥β

?α∥βA.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)C123456789101112131415161718192021222312.下列說(shuō)法中,正確的有(

)①如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線,那么這條直線和這個(gè)平面垂直.②過(guò)直線l外一點(diǎn)P,有且僅有一個(gè)平面與l垂直.③如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直,那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面.④垂直于角的兩邊的直線必垂直于這個(gè)角所在的平面.⑤過(guò)點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過(guò)點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi).A.2個(gè)

B.3個(gè)

C.4個(gè)

D.5個(gè)C解析

②③④⑤正確,①中當(dāng)平面內(nèi)的兩條直線平行時(shí),直線可能與平面平行、垂直或在平面內(nèi).123456789101112131415161718192021222313.

如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF=,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值D.△AEF的面積與△BEF的面積相等D123456789101112131415161718192021222314.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F,G分別為棱A1D1,A1A,A1B1的中點(diǎn),下列結(jié)論正確的是(

)A.EF⊥B1CB.BC1∥平面EFGC.A1C⊥平面EFGD.異面直線FG,B1C所成角的大小為ABC123456789101112131415161718192021222315.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長(zhǎng)相等,側(cè)棱垂直于底面,點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心,則AD與平面BB1C1C所成角的大小是(

)A.30°

B.45°

C.60° D.90°C123456789101112131415161718192021222316.

如圖,三條相交于點(diǎn)P的線段PA,PB,PC兩兩垂直,點(diǎn)P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于點(diǎn)H,則垂足H是△ABC的(

)A.外心

B.內(nèi)心C.垂心

D.重心C解析

∵PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB.又AB?平面PAB,∴AB⊥PC.∵AB⊥PH,PH∩PC=P,∴AB⊥平面PCH.∵CH?平面PCH,∴AB⊥CH.同理BC⊥AH,AC⊥BH.∴H為△ABC的垂心.123456789101112131415161718192021222317.[2023廣州月考]如圖,正方形SG1G2G3中,E,F分別是G1G2,G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn),沿SE,SF,EF將正方形折成一個(gè)四面體,使G1,G2,G3重合,重合后的點(diǎn)記為G,則在四面體S-EFG中(

)A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEF D.GD⊥平面SEFA123456789101112131415161718192021222318.[2023福建連江校級(jí)月考]設(shè)P是△ABC外一點(diǎn),則使點(diǎn)P在此三角形所在平面內(nèi)的射影是△ABC的外心的條件為

.

PA=PB=PC解析

如圖,P是△ABC外一點(diǎn),∵點(diǎn)P在此三角形所在平面內(nèi)的射影O是△ABC的外心,∴AO=BO=CO,則△POA≌△POB≌△POC,∴PA=PB=PC.故使點(diǎn)P在此三角形所在平面內(nèi)的射影是△ABC的外心的條件為PA=PB=PC.123456789101112131415161718192021222319.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分別是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中點(diǎn),則與直線A1O垂直的立方體的截面為

.

(寫出一個(gè)即可)GBD解析

如圖所示,連接OG,A1C1,易知BD⊥AC,BD⊥AA1,故BD⊥平面ACC1A1,A1O?平面ACC1A1,故BD⊥A1O.設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,則故A1G2=A1O2+OG2,故A1O⊥OG,OG∩BD=O,故A1O⊥平面GBD.123456789101112131415161718192021222320.

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=13,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,M為AC的中點(diǎn).(1)求證:PM⊥平面ABC;(2)求直線BP與平面ABC所成的角的正切值.(1)證明∵PA=PC,M為AC的中點(diǎn),∴PM⊥AC.①又∠ABC=90°,AB=8,BC=6,1234567891011121314151617181920212223∴PB2=MB2+PM2,∴PM⊥MB.②由①②可知PM⊥平面ABC.(2)解∵PM⊥平面ABC,∴MB為BP在平面ABC內(nèi)的射影,∴∠PBM為BP與底面ABC所成的角.123456789101112131415161718192021222321