充要條件課件-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

1.4.2

充要條件課標(biāo)要求通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了充分條件與必要條件，讓我們知道了導(dǎo)致結(jié)論成立的條件可能不唯一，同樣的條件也可能得出不同的結(jié)論，但生活中還有一些實(shí)例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像這種條件和結(jié)論唯一的結(jié)構(gòu)，其實(shí)在我們數(shù)學(xué)上，也有很多類(lèi)似的問(wèn)題，讓我們一探究竟吧！引入充要條件一探究1

給出以下兩個(gè)“若p，則q”形式的命題：①若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等.(1)你能判斷這兩個(gè)命題的真假嗎？提示

命題①是真命題，②是真命題.(2)你能寫(xiě)出它們的逆命題，并判斷其真假嗎？探究2在上述探究1的兩個(gè)命題中，p是q的什么條件？q是p的什么條件？你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括出來(lái)嗎？提示

p是q的充分條件，也是必要條件；q是p的充分條件，也是必要條件.“p

q且q

p”(即p

q)，p是q的充要條件.1.充要條件知識(shí)梳理命題真假“若p，則q”為_(kāi)___命題；“若q，則p”為_(kāi)___命題推出關(guān)系p____q條件關(guān)系p既是q的______條件，也是q的______條件，我們說(shuō)p是q的__________條件，簡(jiǎn)稱為充要條件真真

充分必要充分必要溫馨提示對(duì)充要條件的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)p是q的充要條件意味著“p成立，則q一定成立；p不成立，則q一定不成立”.(2)p是q的充要條件，則q也是p的充要條件.2.條件關(guān)系判定的常用結(jié)論例1角度1條件關(guān)系的判斷(鏈接教材P21例3)判斷下列各題中，p是否為q的充要條件？(1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y(tǒng)3.(2)p：在△ABC中，AB>AC，q：在△ABC中，∠C>∠B.(2)在△ABC中，大邊對(duì)大角，故AB>AC

∠C>∠B，則p是q的充要條件.(3)p：A

B，q：A∪B＝B.若A

B，則A∪B＝B，反之若A∪B＝B，則A

B，所以p是q的充要條件.判定條件關(guān)系：(1)分清楚條件是什么，結(jié)論是什么；(2)嘗試用條件推結(jié)論，或用結(jié)論推條件(或舉反例)；(3)下結(jié)論.思維升華角度2條件關(guān)系的探求例2(鏈接教材P22練習(xí)T2)設(shè)集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5},B＝{x|3≤x≤22},則A

(A∩B)的充要條件為_(kāi)____；一個(gè)充分不必要條件可為_(kāi)___________________.a≤96≤a≤9(答案不唯一)A

(A∩B)

A

B，B＝{x|3≤x≤22}.綜上可知，A

(A∩B)的充要條件為a≤9；一個(gè)充分不必要條件可為6≤a≤9.探求充要條件的兩種方法：(1)等價(jià)法：將原命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，直至獲得其成立的充要條件，其中探求的過(guò)程也是證明的過(guò)程，因?yàn)樘角筮^(guò)程的每一步都是等價(jià)的.(2)非等價(jià)法：先尋找必要條件，再找充分條件，從必要性和充分性兩方面說(shuō)明.思維升華訓(xùn)練1√(1)a，b中至少有一個(gè)不為零的充要條件是A.ab＝0 B.ab>0 C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0a2＋b2>0，則a，b不同時(shí)為零；a，b中至少有一個(gè)不為零，則a2＋b2>0.√(2)如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么A.丙是甲的充分不必要條件

B.丙是甲的必要不充分條件C.丙是甲的充要條件

D.丙是甲的既不充分又不必要條件如圖所示，∵甲是乙的必要條件，∴乙

甲.又∵丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，充要條件的證明二例3(鏈接教材P23T5)求證：△ABC是等邊三角形的充要條件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(這里a，b，c是△ABC的三邊邊長(zhǎng))(1)必要性

由△ABC為等邊三角形，得a＝b＝c，所以a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(2)充分性

由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，得2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，則a＝b＝c，所以△ABC是等邊三角形.根據(jù)(1)(2)知，△ABC是等邊三角形的充要條件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.思維升華1.要證明p是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個(gè)方向進(jìn)行，即證明兩個(gè)命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真.2.在證明的過(guò)程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來(lái)證明，證明p與q的解集是相同的.3.證明時(shí)一定要分清充分性與必要性的證明方向.求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常數(shù)且a≠0)有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根的充要條件是ac<0.訓(xùn)練2必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根，∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一負(fù)兩實(shí)根.綜上知：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一負(fù)兩實(shí)根的充要條件是ac<0.充要條件的應(yīng)用三例4已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以q是p的充分不必要條件，遷移本例中p，q不變，是否存在實(shí)數(shù)m使p是q的充要條件？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.若p是q的充要條件，思維升華應(yīng)用充分不必要、必要不充分及充要條件求參數(shù)值(范圍)的一般步驟(1)根據(jù)已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系.(2)根據(jù)集合間的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解.訓(xùn)練3已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，p是q的充分不必要條件？因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以{x|1≤x≤a}

{x|1≤x≤2}，所以1≤a<2.所以當(dāng)1≤a<2時(shí)，p是q的充分不必要條件.(2)當(dāng)a為何值時(shí)，p是q的充要條件？因?yàn)閜是q的充要條件，所以{x|1≤x≤2}＝{x|1≤x≤a}，所以a＝2.所以當(dāng)a＝2時(shí)，p是q的充要條件.【課堂達(dá)標(biāo)】1.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的A.充要條件

B.充分不必要條件C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件√若x＝1，則x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，則x＝1.故“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要條件.√2.下列說(shuō)法正確的是A.“ac＝bc”是“a＝b”的充分條件B.“x≥1”是“x2≥1”的充要條件C.“四邊形對(duì)角線互相垂直”是“四邊形為菱形”的充要條件D.“1<x<3”是“x≥0”的充分不必要條件對(duì)于A，當(dāng)c＝0時(shí)，滿足ac＝bc，此時(shí)存在a≠b，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，x2≥1等價(jià)于x≥1或x≤－1，故“x≥1”是“x2≥1”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，“四邊形對(duì)角線互相垂直”是“四邊形為菱形”的必要不充分條件，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，“1<x<3”是“x≥0”的充分不必要條件，故D正確.3.函數(shù)y＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)