2022年高考數(shù)學(xué)試卷（上海）（秋考）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)2022年上海市高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）

1.雙曲線x2

2.函數(shù)fx

3.已知a∈R，行列式a132

4.已知圓柱的高為4，底面積為9π，則圓柱的側(cè)面積為．

5.x﹣y≤0，

6.二項(xiàng)式3+xn的展開(kāi)式中，x2項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的

7.若函數(shù)fx=a

8.為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類(lèi)1項(xiàng)，球類(lèi)3項(xiàng)，田徑類(lèi)4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類(lèi)都被抽到的概率為．

9.已知等差數(shù)列an的公差不為零，Sn為其前n項(xiàng)和，若S5

10.若平面向量a→=b→=c→=λ

11.設(shè)函數(shù)fx滿足fx=f11+x對(duì)任意x∈[二、選擇題（本題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).

1.若集合A＝[﹣1,2)A.{﹣2,﹣1,0,1}

2.若實(shí)數(shù)a、b滿足a＞A.a+b>2ab B.a+

3.如圖正方體ABCD?A1B1C1D1中，P、Q、R、S分別為棱AB、BC

、BB1

、CD

的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)

A1S，B1D．空間任意兩點(diǎn)M、A.點(diǎn)P B.點(diǎn)B C.點(diǎn)R D.點(diǎn)Q

4.設(shè)集合Ω=x,yx?k2+y?k22=4k|,A.①成立②成立 B.①成立②不成立

C.①不成立②成立 D.①不成立②不成立

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）.

1.如圖所示三棱錐，底面為等邊△ABC，O為AC邊中點(diǎn)，且PO⊥底面ABC，AP＝AC（1）求三棱錐體積VP（2）若M為BC中點(diǎn)，求PM與面PAC所成角大小．

2.fx（1）若將函數(shù)fx圖像向下移mm>0后，圖像經(jīng)過(guò)3,0，（2）若a>﹣3且a≠

3.如圖，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O為AB中點(diǎn)，曲線CD上任一點(diǎn)到O距離相等，∠DAB＝∠ABC＝120?（1）若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求∠POB（2）P在何位置，求五邊形MQABP面積S的最大值．

4.設(shè)有橢圓方程Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0，直線（1）a＝2，AM中點(diǎn)在x軸上，求點(diǎn)（2）直線l與y軸交于B，直線AM經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F2，在△ABM中有一內(nèi)角余弦值為35（3）在橢圓Γ上存在一點(diǎn)P到l距離為d，使PF1+PF

5.數(shù)列an對(duì)任意n∈N?且n≥2，均存在正整數(shù)i∈[（1）求a4（2）命題p：若a1,a2,?,a8成等差數(shù)列，則a9<（3）若a2m=3m，

參考答案與試題解析2022年上海市高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1.【答案】6【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得a＝3，實(shí)軸長(zhǎng)為【解答】解：由雙曲線x29?y2=1，可知：a＝32.【答案】π【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性【解析】由三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)可得fx【解答】解：fx=cos2x?sin2x+1

3.【答案】3【考點(diǎn)】二階行列式的定義【解析】根據(jù)行列式所表示的值求解即可．【解答】解：因?yàn)閍132＝2a﹣3，a041=4.【答案】24π【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）【解析】由底面積為9π解出底面半徑R＝【解答】解：因?yàn)閳A柱的底面積為9π，即πR2＝9π，

所以R＝3，

所以5.【答案】3【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【解析】根據(jù)已知條件作出可行域，再求目標(biāo)函數(shù)的最小值即可．【解答】解：如圖所示：

由x?y≤0，x+y?1≥0,可知可行域?yàn)橹本€x﹣y＝0的左上方和x+y﹣1＝0的右上方的公共部分，

聯(lián)立x?y=06.【答案】10【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理及相關(guān)概念【解析】由題意，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得n的值．【解答】解：∵二項(xiàng)式3+xn的展開(kāi)式中，x2項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，

即Cn2×3n?7.【答案】1【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)【解析】（1）由題意，利用奇函數(shù)的定義可得

f?x=?fx【解答】解：∵函數(shù)fx=a2x?1x<0x+ax>00x=0，為奇函數(shù)，∴f?x=?fx，

∴f?1=?f8.【答案】3【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式【解析】由題意，利用古典概率的計(jì)算公式，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：從游泳類(lèi)1項(xiàng)，球類(lèi)3項(xiàng)，田徑類(lèi)4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類(lèi)都被抽到的方法共有C11?C31?C42+C19.【答案】98【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【解析】由等差數(shù)前n項(xiàng)和公式求出a1＝﹣2d【解答】解：∵等差數(shù)列an的公差不為零，Sn為其前n項(xiàng)和，S5=0，

∴S5=5a1+5×42d=0，解得a1=?2d，

∴Sn10.【答案】45【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【解析】利用平面向量的數(shù)量積進(jìn)行分析，即可得出結(jié)果．【解答】解：由題意，有a→?b→=0，則a→⊥b→，設(shè)?a→,c→?=θ，

a→?c→=11.【答案】5【考點(diǎn)】函數(shù)的值域及其求法函數(shù)的定義域及其求法【解析】由題可得y∣y=fx,0【解答】解：法一：令x=1x+1，解得x=5?12（負(fù)值舍去），

當(dāng)x1∈0,5?12時(shí)，x2=1x1+1∈5?12,1，

當(dāng)x1∈5?12,+∞時(shí)，x2=1x1+1∈0,5?12，

且當(dāng)x1∈二、選擇題（本題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).1.【答案】B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【解析】根據(jù)集合的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：∵A＝[﹣1,2)，B2.【答案】A【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【解析】利用已知條件以及基本不等式化簡(jiǎn)即可判斷求解．【解答】解：因?yàn)閍＞b＞0，所以a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，

又a＞3.【答案】D【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【解析】線段MN上不存在點(diǎn)在線段A1S、

B1D上，即直線MN與線段A1S、

B1【解答】解：線段MN上不存在點(diǎn)在線段A1S、

B1D上，即直線MN與線段A1S、

B1D不相交，

因此所求與D1可視的點(diǎn)，即求哪條線段不與線段A1S、

B1D相交，

對(duì)A選項(xiàng)，如圖，連接A1P、PS

、

D1S，因?yàn)镻、S分別為AB、CD的中點(diǎn)，

∴易證A1D1//PS，故A1、D1

、P

、S

四點(diǎn)共面，∴D1P與A1S相交，∴A錯(cuò)誤；

對(duì)B、C選項(xiàng)，如圖，連接D1B、

DB，易證D1、B1

、B

、D四點(diǎn)共面，

故D1B、

D1R都與B1D相交，∴B、C錯(cuò)誤；

對(duì)D選項(xiàng)，連接D1Q，由A選項(xiàng)分析知A1、D1

、P

、S

四點(diǎn)共面記為平面A1D1PS，

∵D1∈平面A1D1PS，Q?平面A1D1PS，且4.【答案】B【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系【解析】分k＝0，k＞【解答】解：當(dāng)k＝0時(shí)，集合Ω=x,yx?k2+y?k22=4k|,k∈Z={0,0}，

當(dāng)k＞0時(shí)，集合Ω=x,yx?k2+y?k22=4k|,k∈Z，

表示圓心為k,k2，半徑為r=2k的圓，

圓的圓心在直線y=x2三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）.1.【答案】解：（1）在三棱錐P﹣ABC中，因?yàn)镻O⊥底面ABC，所以PO⊥AC，

又O為AC邊中點(diǎn)，所以△PAC為等腰三角形，

又AP＝AC＝2（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則P0,0,3，B3,0,0，C0,1,0，M32,12,0，

PM→=32,12,?3，【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積直線與平面所成的角【解析】（1）直接利用體積公式求解；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAC的法向量，即可求解．【解答】解：（1）在三棱錐P﹣ABC中，因?yàn)镻O⊥底面ABC，所以PO⊥AC，

又O為AC邊中點(diǎn)，所以△PAC為等腰三角形，

又AP＝AC＝2（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則P0,0,3，B3,0,0，C0,1,0，M32,12,0，

PM→=32,12,?3，2.【答案】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)fx=log3a+x+log36?x，

將函數(shù)fx圖像向下移mm>0后，得y（2）a>﹣3且a≠0時(shí)，不等式fx≤f6﹣x可化為log3a+x+log36?x≤log3a+6?x+log3x，

等價(jià)于a+x>06?【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)不等式恒成立的問(wèn)題【解析】（1）寫(xiě)出函數(shù)圖像下移m個(gè)單位后的解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可得出m和a的值．（2）不等式化為log3【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)fx=log3a+x+log36?x，

將函數(shù)fx圖像向下移mm>0后，得y（2）a>﹣3且a≠0時(shí)，不等式fx≤f6﹣x可化為log3a+x+log36?x≤log3a+6?x+log3x，

等價(jià)于a+x>06?3.【答案】解：（1）點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，由題意可得OB=10，BC=6，∠ABC=120°，

由余弦定理可得OP2=OB2+BC2?2OB?BCcos∠（2）如圖，連結(jié)QA，PB，OQ，OP，

∵曲線CMD上任意一點(diǎn)到O距離相等，

∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14，

∵P，Q關(guān)于OM對(duì)稱(chēng)，

∴P點(diǎn)在劣弧CM中點(diǎn)或劣弧DM的中點(diǎn)位置，S△QOM=S△POM=α，

則∠AOQ=∠BOP=S△BOP=π2?【考點(diǎn)】余弦定理正弦定理扇形面積公式【解析】（1）在△OBP中，直接利用余弦定理求出OP（2）利用五邊形CDQMP的對(duì)稱(chēng)性，將所求的面積化為四邊形PMNC的面積計(jì)算問(wèn)題，充分利用圓弧的性質(zhì)，找到最大值點(diǎn)，從而解決問(wèn)題．【解答】解：（1）點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，由題意可得OB=10，BC=6，∠ABC=120°，

由余弦定理可得OP2=OB2+BC2?2OB?BCcos∠（2）如圖，連結(jié)QA，PB，OQ，OP，

∵曲線CMD上任意一點(diǎn)到O距離相等，

∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14，

∵P，Q關(guān)于OM對(duì)稱(chēng)，

∴P點(diǎn)在劣弧CM中點(diǎn)或劣弧DM的中點(diǎn)位置，S△QOM=S△POM=α，

則∠AOQ=∠BOP=S△BOP=π2?4.【答案】解：（1）由題意可得a=2，b=c=2，

Γ:x24+y22=1，A0（2）由直線方程可知B0,42，

①若cos∠BAM=35，則tan∠BAM=43，即tan∠OAF2=43，

∴OA=34OF2=342，

∴b=（3）設(shè)Pacosθ,bsinθ，

由點(diǎn)到直線距離公式可得acosθ+bsinθ?422=6?2a，

很明顯橢圓在直線的左下方，則?acosθ+bsinθ?422=6?2a【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系橢圓的定義和性質(zhì)直線與橢圓結(jié)合的最值問(wèn)題點(diǎn)到直線的距離公式【解析】（1）由題意可得橢圓方程為x24+y2（2）由直線方程可知B0,42，分類(lèi)討論cos∠BAM（3）設(shè)Pacosθ,bsinθ【解答】解：（1）由題意可得a=2，b=c=2，

Γ:x24+y22=1，A0（2）由直線方程可知B0,42，

①若cos∠BAM=35，則tan∠BAM=43，即tan∠OAF2=43，

∴OA=34OF2=342，

∴b=（3）設(shè)Pacosθ,bsinθ，

由點(diǎn)到直線距離公式可得acosθ+bsinθ?422=6?2a，

很明顯橢圓在直線的左下方，則?acosθ+bsinθ?422=6?2a5.【答案】解：（1）a3=2a2（2）∵a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8為等差數(shù)列，

∴d=2，an=2n?1n∈[（3）因?yàn)閍2m=3m，

∴a2m+2=3m+1，a2m+1=2a2m?ajj≤2m?1，a2m+2=2a2m+1?aii≤2m，

∴a2m+2=4a2m?2aj?ai，

∴2aj+ai=4a2m?a2m+2【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式命題的真