平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件講課教案_第1頁
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文檔簡介

§11.4平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件返回定理11.2

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(i)沿D中任意按段光滑閉曲線

L,有(ii)對D中任一按段光滑曲線

L,曲線積分(iii)(iv)在D內(nèi)處處成立與路徑無關(guān),只與L

的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān).

函數(shù)則以下四個條件等價:是D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即

證明

(ii)(iii)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有和任一點(diǎn)B(x,y),

與路徑無關(guān),有函數(shù)

證明

(iii)(iv)

設(shè)存在函數(shù)

u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),所以從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有證明

(iv)(i)

設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,利用格林公式,得所圍區(qū)域為證畢由條件(iv),在D上處處成立由上述證明可看到，在定理的條件下，二元函數(shù):具有性質(zhì)：du=Pdx+Qdy稱u(x,y)為Pdx+Qdy

在域D內(nèi)的一個原函數(shù).說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點(diǎn)或則原函數(shù)為取定點(diǎn)1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;例1試應(yīng)用曲線積分求的原函數(shù).解這里在整個平面上成立由定理2,

曲線積分為此,取取路線為圖11-1中的折

線段

于是有只與起點(diǎn)

A和終點(diǎn)

B有關(guān),而與路線的選擇無關(guān).

例2.設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場作用下沿曲線L:由移動到求力場所作的功W解:令則有可見,在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).取圓弧解例4：計算積分其中C是上半圓周順時針方向為正。例5：已知點(diǎn)O（0,0）及點(diǎn)A（1,1），且曲線積分與路徑無關(guān),試確定常數(shù)a,b，并計算曲線積分。全微分求積（全微分方程）設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)上在單連通區(qū)域D有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且是某個函數(shù)u的全微分,且則(u的求法)例求的一個原函數(shù),并計算上述求原函數(shù)的過程稱為全微分求積(分).原函數(shù)的另一種求法:例求u為全微分方程

.若P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某二元函數(shù)的的全微分，稱方程求出

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