2022屆貴州省黔東南州高三一?？荚嚁?shù)學理試題解析版

2022屆貴州省黔東南州高三一?？荚嚁?shù)學（理）試題一、單選題1．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復數(shù)的除法運算，分子分母同時乘以.【詳解】因為，所以．故選：A.2．下列四組集合中，滿足的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求得判斷選項A；求得判斷選項B；求得判斷選項C；求得判斷選項D.【詳解】選項A：.不符合題意；選項B：.不符合題意；選項C：.符合題意；選項D：或.不符合題意.故選：C3．設(shè)P為橢圓上一點，分別是C的左，右焦點．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)橢圓定義，列方程組即可解得的長度.【詳解】橢圓的長半軸長為3，由橢圓的定義可知，由，可得．故選：C4．3月12日是植樹節(jié)，某地區(qū)有375人參與植樹，植樹的樹種及數(shù)量的折線圖如圖所示．植樹后，該地區(qū)農(nóng)業(yè)局根據(jù)樹種用分層抽樣的方法抽取75棵樹，請專業(yè)人士查看植樹的情況，則被抽取的柳樹的棵數(shù)為（

）A．20 B．25 C．40 D．50【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)，結(jié)合折線圖求抽取75棵樹中柳樹的棵數(shù)即可.【詳解】依題意，被抽取的柳樹的棵數(shù)為棵．故選：B5．已知幾何體是正方體，則（

）A．平面 B．在直線上存在一點E，使得C．平面 D．在直線上存在一點E，使得平面【答案】D【分析】與平面相交，所以選項A錯誤；假設(shè)在直線上存在一點E，使得，找到矛盾，所以選項B錯誤；假設(shè)平面，找到矛盾，所以選項C錯誤；當E與重合時，平面，所以選項D正確．【詳解】由題得與平面相交，所以選項A錯誤；假設(shè)在直線上存在一點E，使得，因為，所以,這不可能，所以選項B錯誤；假設(shè)平面，則平面，所以平面，所以,實際上，,所以平面不可能，所以選項C錯誤；當E與重合時，因為平面,平面,所以平面，所以選項D正確．故選：D6．設(shè)a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理得到，確定B為銳角，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出結(jié)果.【詳解】因為，所以由正弦定理得，則，又因為，所以，所以，因為，所以，所以B為銳角，故．故選：C7．一個質(zhì)點作直線運動，其位移s（單位：米）與時間t（單位：秒）滿足關(guān)系式，則當時，該質(zhì)點的瞬時速度為（

）A．5米/秒 B．8米/秒C．14米/秒 D．16米/秒【答案】C【分析】求導得到，即得解.【詳解】解：由題得，當時，，故當時，該質(zhì)點的瞬時速度為14米/秒．故選：C8．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的，使得，則的值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，得，由題意可得，從而可求出的取值范圍，進而可得答案【詳解】當時，．因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的，使得，所以，解得．故選：A9．若定義在上的奇函數(shù)滿足，則（

）A． B．6 C． D．12【答案】D【分析】依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法即可求得的值.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以．因為，即，所以，則．又，即所以．故選：D10．東方明珠廣播電視塔是上海的標志性文化景觀之一，塔高約468米，上球體的直徑為45米，且上球體的球心O到塔底的距離與塔高的比值為黃金分割比(約為0.618)．若P為上球體球面上一點，且與地平面(塔頂與O的連線垂直地平面)所成的角為，P在上球體的上半部分，則P到地平面的距離約為(

)A．297米 B．300米 C．303米 D．306米【答案】B【分析】求出球心O到底面距離，加上P到球心豎直距離，即為P到地面的距離.【詳解】∵上球體的球心O到塔底的距離米，∴P到地平面的距離為米．11．設(shè)，若這三個數(shù)中b既不是最小的也不是最大的，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先確定的大小關(guān)系，再由之間的不等關(guān)系可解得x的取值范圍.【詳解】因為，所以由題意得，即，則，所以，解得．故選：A12．已知雙曲線，直線與C交于A、B兩點（A在B的上方），，點E在y軸上，且軸．若的內(nèi)心到y(tǒng)軸的距離為，則C的離心率為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題目信息畫出準確圖像，本題重難點在于合理利用三角形內(nèi)心性質(zhì)，以及角平分線定理，得到關(guān)系后即可求出離心率.【詳解】因為A在B的上方，且這兩點都在C上，所以，則．因為，所以A是線段的中點，又軸，所以，，所以的內(nèi)心G在線段上．因為G到y(tǒng)軸的距離為，所以，所以，因此，即．故．故選：B二、填空題13．展開式的中間項為________．【答案】【分析】利用通項公式求解.【詳解】展開式的中間項為．故答案為：14．已知是互相垂直的單位向量，設(shè)向量，且，則______．【答案】【分析】依據(jù)平面向量垂直的充要條件，列方程即可求得實數(shù)m的值．【詳解】，由，可得整理得，則故答案為：三、雙空題15．如圖所示的平面區(qū)域（陰影部分）由一個半圓和兩個全等的直角三角形組成（含邊界），若點是該區(qū)域內(nèi)任意一點，，則z的最小值為__________，z的最大值為_________．【答案】

-4

【分析】根據(jù)的幾何意義：直線在平移過程中在x軸上的截距，結(jié)合已知平面區(qū)域判斷所過的點或位置情況，結(jié)合點線距離公式求的最值.【詳解】的幾何意義為直線在平移過程中在x軸上的截距，由題圖知，當直線過點時，z取得最小值，為；當直線與半圓相切時z取得最大值，若切點為且在第四象限，則，可得，而，故.所以，的最小值為，最大值為.故答案為：，.16．已知函數(shù)．若，則___________；若的定義域為，則零點的個數(shù)為_________．【答案】

1【分析】利用誘導公式及二倍角的正切公式化簡函數(shù)，再代入求解；由已知得，構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的零點存在性定理即可求解.【詳解】，若．則．令，，整理得．設(shè)，若，則．則，，求導，當時，．又，，，故在上存在唯一的零點，又在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上零點的個數(shù)為1．故答案為：，1四、解答題17．已知數(shù)列的前n項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由等比數(shù)列前n項和公式得的前n項和為，結(jié)合已知得的前n項和，應(yīng)用的關(guān)系求的通項公式，注意驗證的情況.（2）應(yīng)用錯位相減法求的前n項和即可．【詳解】(1)因為的前n項和為，又的前n項和為，所以的前n項和，當時，又也滿足，所以．(2)由（1）知：，，兩式相減，得，所以．18．如圖，平面，平面，，，且均在平面的同側(cè)．(1)證明：平面平面．(2)若四邊形為梯形，，且異面直線與所成角的余弦值為，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用兩次線面垂直的性質(zhì)定理推出平面，從而得到面面垂直.（2）以A原點建立空間直角坐標系，設(shè)，通過與夾角的余弦值得到的值，從而求出體積.【詳解】(1)證明：因為平面，平面，所以,因為平面，平面，所以,因為，所以平面，因為，所以平面,又平面，所以平面平面.(2)解：因為平面，所以，以A為坐標原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，．

設(shè)，則，，,設(shè)異面直線與所成的角為，則，

整理得，解得或1,又，所以，故．19．某夜市街上有“十元套圈”小游戲，游戲規(guī)則為每個顧客支付十元便可獲得3個套圈，顧客使用套圈所套得的獎品，即歸顧客所有．獎品分別擺放在1，2，3三個相互間隔的區(qū)域中，且1，2，3三個區(qū)域的獎品價值分別為5元，15元，20元，每個套圈只能使用一次，每次至多能套中一個．小張付十元參與這個游戲，假設(shè)他每次在1，2，3三個區(qū)域套中獎品的概率分別為0.6，0.2，0.1，且每次的結(jié)果互不影響．(1)求小張分別在1，2，3三個區(qū)域各套一次后，所獲獎品不超過1件的概率．(2)若分別在1，2，3三個區(qū)域各套一次為方案甲，所獲獎品的總價值為X元；在2區(qū)域連套三次為方案乙，所獲獎品的總價值為Y元．以三次所套獎品總價值的數(shù)學期望為依據(jù)，小張應(yīng)該選擇方案甲還是方案乙？【答案】(1)(2)小張應(yīng)該選擇方案乙【分析】（1）利用獨立事件的乘法公式代入計算；（2）列出隨機變量的分布列，計算方案甲的期望，由二項分布期望公式代入計算方案乙的期望，再比較大小可得.【詳解】(1)記該顧客分別在1，2，3三個區(qū)域套一次便能套中獎品為事件A，B，C，則，，，，，．

因為每次的結(jié)果互不影響，所以該顧客分別在1，2，3三個區(qū)域各套一次后，所獲獎品不超過1件的概率．(2)選擇方案甲：X可能的取值為0，5，15，20，25，35，40，

，，

，，

，，，

．

若小張選擇方案乙，設(shè)他所獲獎品的總件數(shù)為Z，則，

，，，

因為，所以小張應(yīng)該選擇方案乙．【點睛】一般涉及隨機變量分布列的計算，需要先判斷隨機變量的可能取值，再分別計算每個取值對應(yīng)的概率，從而列出分布列，計算期望，如果是特殊分布，需要區(qū)分清楚是超幾何分布還是二項分布，代入對應(yīng)公式求解.20．已知直線與曲線的兩個公共點之間的距離為．(1)求C的方程．(2)設(shè)P為C的準線上一點，過P作C的兩條切線，切點為A，B，直線的斜率分別為，，且直線與y軸分別交于M，N兩點，直線的斜率為．證明：為定值，且成等差數(shù)列．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）求出交點的橫坐標，解方程即得解；（2）設(shè)，設(shè)過點P且與C相切的直線l的斜率為k，則，且，聯(lián)立直線和拋物線方程得到韋達定理，得到，即得為定值．再求出，故成等差數(shù)列．【詳解】(1)解：將代入，得．

當時，不合題意；當時，，則，

解得，故C的方程為．(2)證明：由（1）可知C的準線方程為，

不妨設(shè)，設(shè)過點P且與C相切的直線l的斜率為k，則，且，聯(lián)立得，

則，即，

由題意知，直線的斜率為方程的兩根，則，故為定值．

又，

則，同理可得，

則，

因此，故成等差數(shù)列．21．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）利用導函數(shù)去判斷函數(shù)單調(diào)性即可解決；（2）依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，對不等式恒成立進行等價轉(zhuǎn)化，即可求得a的取值范圍．【詳解】(1)的定義域為，

．

當時，恒成立，則在上單調(diào)遞增．

當時．令，得，則在上單調(diào)遞減；

令，得，則在上單調(diào)遞增．(2)當時，恒成立等價于當時，恒成立．

當時，在上單調(diào)遞增，則，恒成立．

當時，，則在上單調(diào)遞增，則恒成立．

當時，，則在上單調(diào)速減，在上單調(diào)遞增，

所以，這與恒成立矛盾，所以不合題意．

綜上，a的取值范圍為．22．在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)且）．C與x軸．y軸分別交于A，B兩點．(1)求；(2)以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求以線段為直徑的圓的極坐標方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求得A，B兩點的坐標，即可得到線段的長；（2）先求得以線段為直徑的圓的直角坐標方程，再化成極坐標方程即可解決.【詳解】(1)時，由，得，，則B的坐標為．

時，由，得，，則A的坐標為．

故．(2)由（1）知，線段的中點D的坐標為，則，所以以