2022屆山西省晉中市高三下學期5月普通高等學校招生模擬考試數(shù)學文試題解析版

絕密★啟用前晉中市2022年5月普通高等學校招生模擬考試數(shù)學試題（文科）（時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1.答題前，考生務必將自己的學校、娃名、班級、準考證號填寫在答題卡相應的位置.2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案用0.5毫米及以上黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，（為虛數(shù)單位），則等于（）A.1 B. C.2 D.2.設集合，，則等于（）A. B. C. D.3.設向量，滿足，，與的夾角為，則等于（）A.2 B.1 C.3 D.4.如圖，已知圓錐的母線長，一只螞蟻從點出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點的最短距離為，則該圓錐的底面半徑為（）A.1 B.2 C. D.5.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，則取到的數(shù)不小于的概率為（）A. B. C. D.6.已知，，，則（）A. B. C. D.7.我國古代數(shù)學巨著《九章算術》第三章中的“衰分”介紹了比例分配問題，“衰分”是指按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例為“衰分比”.如甲、乙、丙三人分配獎金的衰分比為20%，若甲分得獎金10000元，則乙、丙分得獎金分別為8000元和6400元.現(xiàn)有三名技術人員，，攻克了一項技術難題.若，，按照一定的“衰分比”分配獎金共75880元，其中拿到了28000元，則“衰分比”為（）A.20% B.15% C.25% D.10%8.若，則等于（）A. B.2 C. D.9.函數(shù)的最小正周期為，則為（）A.3 B.2 C.1 D.10.已知拋物線：的焦點為，點為，若射線與拋物線相交于點，與準線相交于點，且，則的值為（）A. B. C. D.11.數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，若，，則的最大值為（）A.25 B.22 C.24 D.2312.已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最大值為（）A. B.1 C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題：，，則為______.14.若實數(shù)，滿足約束條件則的最小值為______.15.點在圓：上，，，則最大時，______.16.已知，是雙曲線的左、右焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點，交另一條漸近線于點，且，則該雙曲線的離心率為______.三、解答題：共70分.解答題寫出文字說明、證明過程和演算步驟，第17~21題是必考題，每個考生都必須作答.第22、23題是選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）在中，角，，所對的邊分別為，，.在①；②；③這三個條件中任選一個作為已知條件.（1）求角的大小；（2）若，求周長的最小值.18.（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，為等腰直角三角形，，，平面平面.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積.19.（本小題滿分12分）全球新冠肺炎疫情反反復復，國家衛(wèi)健委專家建議大家出門時佩戴口罩.為了保障人民群眾的生命安全和身體健康，某市質(zhì)監(jiān)局從藥店隨機抽取了500包某種品牌的口罩，測量其一項質(zhì)量指標值，如下：質(zhì)量指標值頻數(shù)10451101651204010（1）求這500包口罩質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）從質(zhì)量指標值在的口罩中，按分層抽樣抽取5包，從這5包中隨機抽取2包，求兩包口罩的質(zhì)量指標值分別在和內(nèi)的概率.20.（本小題滿分12分）已知橢圓：過點，過右焦點作軸的垂線交橢圓于，兩點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）點，在橢圓上，且.證明：直線恒過定點.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明當時，恒為函數(shù)的極大值點.（二）選考題：共10分.考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.作答時用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應的題號涂黑.22.（本小題滿分10分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，圓的板坐標方程為.（1）求圓的直角坐標方程；（2）設，若直線與圓相交于，兩點，求的最大值.23.（本小題滿分10分）已知，，且.（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）證明：.試卷類型：A晉中市2022年5月普通高等學校招生模擬考試數(shù)學答案（文科）1.B[，所以，故選B.]2.C[由題意，，所以，故選C.]3.B[，設.則.所以，故選B.]4.A[已知圓錐的側(cè)面展開圖為半徑是3的扇形，利用弦長為，可得扇形的圓心角為.設底面半徑為，扇形半徑為，則.所以.故選A.]5.A[由幾何概型公式可得取到的數(shù)不小于的概率為.]6.C[，，，所以.故選C.]7.D[由題意得，甲、乙、丙三人分配的獎金構成了一個等比數(shù)列，首項.公比為衰分比.則解得，衰分比為10%.故選D.]8.C[原式.]9.D[，，∵其最小正周期為，∴.]10.B[如圖，作垂直于準線，垂足為.因為，則，，解得.]11.D[數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，要取最大值，則遞增幅度要盡可能為小的整數(shù).假設遞增的幅度為.，，，當時.滿足條件，當時，.所以的最大值為23.故選D.]12.A[，，易得在上單調(diào)遞增，又，所以，，所以，則，令，則求導易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即當時，取得最大值.]13.，解析命題：，.則為，14.解析由約束條件作出可行域，如圖中陰影部分（含邊界）所示.由，得.令直線與直線的交點為，則.由圖可知，當直線過點時，直線在軸上的截距最大，則有最小值為.15.3解析點在圓：上，即圓心為，已知，，則最大時，直線與圓相切，16.2解析由題意知在中.為邊的中點，，，，，∵為等腰三角形，又∵，∴為等邊三角形.∴，.17.解（1）選①.即，所以，所以.又因為，所以.選②.因為所以即由正弦定理得.由余弦定理知.又.所以選③.因為.由正弦定理得所以即.因為所以又.所以（2）由（1）知，則由余弦定理得，.所以所以，當且僅當時取等號.所以周長的最小值為.18.（1）證明：∵，，，∴，∵為等腰直角三角形，，∴又∵，平面.∴平面.∵平面，∴（2）解取的中點.連接（圖略）.∵為等腰直角三角形，，∴，，.又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.又∵平面.∴，由（1）得，，，平面∴平面.又∵平面，∴∴，∴∴19.解（1）（2）抽取的口罩在內(nèi)的有4包，分別記為，，，，在內(nèi)的有1包.記為.從這5包中隨機抽取2包，所有的可能結(jié)果有10種，它們分別是，，，，，，，，，滿足條件的結(jié)果有4種，故所求的概率為20.（1）解由已知得當時，聯(lián)立，，解得故橢圓的標準方程為（2）證明設點，，因為，即，即.*當直線的斜率存在時，設直線方程為.代入橢圓方程消去得，，根據(jù)，.代入*整理，得，結(jié)合根與系數(shù)的關系可得，.即當時，直線方程為.過點，不符合條件.當時，直線方程為故直線恒過定點.當直線的斜率不存在時，令點，此時，又.可得（舍去）或.當時，與點重合，與已知條件不符，∴直線的斜率一定存在，故直線恒過定點21.（1）解當時，，定義域為，，在上，，在上，，在上，，在上，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明記.當時.為的極大值點，符合條件；當時，的圖象開口向上，方程有兩個根.設為，，且，，當時，，，，在上單調(diào)遞增，當時.，