2009高考數(shù)學壓軸試題集錦3

2009屆高考數(shù)學壓軸試題集錦（三）1．飛船返回倉順利到達地球后，為了及時將航天員救出，地面指揮中心在返回倉預計到達區(qū)域安排三個救援中心（記為A，B，C），B在A的正東方向，相距6km,C在B的北偏東300，相距4km,P為航天員著陸點，某一時刻A接到P的求救信號，由于B、C兩地比A距P遠，因此4s后，B、C兩個救援中心才同時接收到這一信號，已知該信號的傳播速度為1km/s.（1）求A、C兩個救援中心的距離；（2）求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角；CBCBA2．已知函數(shù)，，的最小值恰好是方程的三個根，其中．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）設，是函數(shù)的兩個極值點．①若，求函數(shù)的解析式；②求的取值范圍．3．如圖，已知直線l與拋物線相切于點P(2，1)，且與x軸交于點A，O為坐標原點，定點B的坐標為（2，0）.（I）若動點M滿足，求點M的軌跡C；（II）若過點B的直線l′（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.4．設（e為自然對數(shù)的底數(shù)）（I）求p與q的關系；（II）若在其定義域內為單調函數(shù)，求p的取值范圍；（III）證明：①；②（n∈N，n≥2）.5．已知數(shù)列的前n項和滿足：（a為常數(shù)，且）．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設，若數(shù)列為等比數(shù)列，求a的值；（Ⅲ）在滿足條件（Ⅱ）的情形下，設，數(shù)列的前n項和為Tn，求證：．6、對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點．如果函數(shù)有且僅有兩個不動點、，且．（Ⅰ）試求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）已知各項不為零的數(shù)列滿足，求證：；（Ⅲ）設，為數(shù)列的前項和，求證：．7、已知函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}，且對于定義域內的任何x、y，有f（xy）=eq\f(f(x)·f(y)＋1,f(y)－f(x))成立，且f（a）=1（a為正常數(shù)），當0<x<2a時，f（x）>0．（I）判斷f（x）奇偶性；（II）證明f（x）為周期函數(shù)；（III）求f（x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．8、已知點R（－3,0）,點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上,且滿足，.（Ⅰ）⑴當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；（Ⅱ）設為軌跡C上兩點，且，N(1,0)，求實數(shù)，使，且9、已知橢圓W的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，兩條準線間的距離為6.橢圓W的左焦點為，過左準線與軸的交點任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點、，點關于軸的對稱點為.（Ⅰ）求橢圓W的方程；（Ⅱ）求證：()；（Ⅲ）求面積的最大值.10、已知拋物線，點P（1，－1）在拋物線C上，過點P作斜率為k1、k2的兩條直線，分別交拋物線C于異于點P的兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且滿足k1+k2=0.（I）求拋物線C的焦點坐標；（II）若點M滿足，求點M的軌跡方程.參考答案1、解：（1）以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則則即A、C兩個救援中心的距離為（2），所以P在BC線段的垂直平分線上又，所以P在以A、B為焦點的雙曲線的左支上，且∴雙曲線方程為BC的垂直平分線的方程為聯(lián)立兩方程解得：∴∠PAB＝120°所以P點在A點的北偏西30°處（3）如圖，設又∵即A、B收到信號的時間差變小2、解：（Ⅰ）三個函數(shù)的最小值依次為，，，………3分由，得∴，故方程的兩根是，．故，．………4分，即∴．…………5分（Ⅱ）①依題意是方程的根，故有，，且△，得．由………7分；得，，．由（Ⅰ）知，故，∴，∴．…………9分②（或）．………11分由（Ⅰ）∵，∴，又，∴，，（或）…13分∴．…………………15分3．（本小題滿分12分）解：（I）由，∴直線l的斜率為，………1分故l的方程為，∴點A坐標為（1，0）……2分設則，由得整理，得…………………4分∴動點M的軌跡C為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓……………5分（II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設l方程為y=k(x－2)(k≠0)①將①代入，整理，得，由△>0得0<k2<.設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)則②………7分令，由此可得由②知.∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2，1）.……12分4．（本小題滿分14分）解：（I）由題意（II）由（I）知：，令h(x)=px2－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）為單調函數(shù)，只需h(x)在（0，+∞）滿足：h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.………………4分①，∴g(x)在（0，+∞）單調遞減，∴p=0適合題意.………5分②當p>0時，h(x)=px2－2x+p圖象為開口向上拋物線，稱軸為x=∈（0，+∞）.∴h(x)min=p－.只需p－≥0，即p≥1時h(x)≥0，g′(x)≥0，∴g(x)在(0,+∞)單調遞增，∴p≥1適合題意.…………7分③當p<0時，h(x)=px2－2x+p圖象為開口向下的拋物線，其對稱軸為x=（0，+∞），只需h(0)≤0，即p≤0時h(0)≤（0,+∞)恒成立.∴g′(x)<0，∴g(x)在（0,+∞）單調遞減，∴p<0適合題意.綜上①②③可得，p≥1或p≤0.……9分（III）證明：①即證：lnx－x+1≤0(x>0)，設.當x∈（0，1）時，k′(x)>0，∴k(x)為單調遞增函數(shù)；當x∈（1，∞）時，k′(x)<0，∴k(x)為單調遞減函數(shù)；∴x=1為k(x)的極大值點，∴k(x)≤k(1)=0.即lnx－x+1≤0，∴l(xiāng)nx≤x－1.………………11分②由①知lnx≤x－1,又x>0，∴結論成立.…………14分5．解：（Ⅰ）∴當時，，即是等比數(shù)列．∴；………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若為等比數(shù)列，則有而故，解得，再將代入得成立，所以．（III）證明：由（Ⅱ）知，所以，由得所以，從而．即．…………14分6、解：（Ⅰ）設∴∴由又∵∴∴……3分于是由得或；由得或故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為和……4分（Ⅱ）由已知可得，當時，兩式相減得∴或當時，，若，則這與矛盾∴∴……6分于是，待證不等式即為．為此，我們考慮證明不等式令則，再令，由知∴當時，單調遞增∴于是即①令，由知∴當時，單調遞增∴于是即②由①、②可知……10分所以，，即……11分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知則在中令，并將各式相加得即7、解：（1）∵定義域{x|x≠kπ，k∈Z}關于原點對稱，又f（x）=f[（ax）a]=eq\f(f(a－x)·f(a)＋1,f(a)－f(a－x))=eq\f(1＋f(a－x),1－f(a－x))=eq\f(1＋\f(f(a)·f(x)＋1,f(x)－f(a)),1－\f(f(a)·f(x)＋1,f(x)－f(a)))=eq\f(1＋\f(1＋f(x),f(x)－1),1－\f(1＋f(x),f(x)－1))=eq\f(2f(x),－2)=f（x），對于定義域內的每個x值都成立∴f（x）為奇函數(shù)------------------------------------------------------------------------------------（4分）（2）易證：f（x+4a）=f（x），周期為4a．------------------------------------------（8分）（3）f（2a）=f（a+a）=f[a（a）]=eq\f(f(a)·f(－a)＋1,f(－a)－f(a))=eq\f(1－f2(a),－2f(a))=0，f（3a）=f（2a+a）=f[2a（a）]=eq\f(f(2a)·f(－a)＋1,f(－a)－f(2a))=eq\f(1,－f(a))=1．先證明f（x）在[2a，3a]上單調遞減為此，必須證明x∈（2a，3a）時，f（x）<0，設2a<x<3a，則0<x2a<a，∴f（x2a）=eq\f(f(2a)·f(x)＋1,f(2a)－f(x))=eq\f(1,f(x))>0，∴f（x）<0---------------------（10分）設2a<x1<x2<3a，則0<x2x1<a，∴f（x1）<0f（x2）<0f（x2x1）>0，∴f（x1）f（x2）=eq\f(f(x1)·f(x2)＋1,f(x2－x1))>0，∴f（x1）>f（x2），∴f（x）在[2a，3a]上單調遞減--------------------------------------------------（12分）∴f（x）在[2a，3a]上的最大值為f（2a=0，最小值為f（3a）=18、解：(Ⅰ)設點M(x,y)，由得P(0，)，Q().由得(3，)·(，)＝0,即又點Q在x軸的正半軸上，故點M的軌跡C的方程是.……6分（Ⅱ）解法一：由題意可知N為拋物線C:y2＝4x的焦點，且A、B為過焦點N的直線與拋物線C的兩個交點。當直線AB斜率不存在時，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合題意；………7分當直線AB斜率存在且不為0時，設，代入得則|AB|,解得…10分代入原方程得，由于，所以,由，得.……13分解法二：由題設條件得由（6）、（7）解得或，又，故.9、解：（Ⅰ）設橢圓W的方程為，由題意可知解得，，，所以橢圓W的方程為．……………4分（Ⅱ）解法1：因為左準線方程為，所以點坐標為.于是可設直線的方程為．得.由直線與橢圓W交于、兩點，可知，解得．設點，的坐標分別為，,則，，，．因為，，所以，.又因為，所以．……………10分解法2：因為左準線方程為，所以點坐標為.于是可設直線的方程為，點，的坐標分別為，,則點的坐標為，，．由橢圓的第二定義可得,所以，，三點共線，即．…