2021屆陜西省榆林市高三下學(xué)期第三次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)文試題解析版

2021屆陜西省榆林市高三下學(xué)期第三次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式求集合，應(yīng)用集合的補(bǔ)運(yùn)算求即可.【詳解】∵，，∴.故選：C.2．=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算方法計(jì)算即可．【詳解】.故選：A.3．從某班名同學(xué)中選出人參加戶外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將名同學(xué)按，，，進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第行的第列和第列數(shù)字開始從左往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第個(gè)同學(xué)的編號(hào)為（）(注：表為隨機(jī)數(shù)表的第行與第行)A． B． C． D．【答案】C【分析】按要求兩個(gè)數(shù)字為一個(gè)號(hào)，不大于60且前面未出現(xiàn)的數(shù)，依次寫出即可【詳解】根據(jù)題意得：抽樣編號(hào)依次為，，，，第個(gè)是.故選：C4．已知平面向量，，，則=（）A．3 B．3 C．4 D．4【答案】A【分析】由得到坐標(biāo)，利用坐標(biāo)求即可.【詳解】∵，∴.故選：A.5．函數(shù)f(x)＝的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除B、C；再由x＞1時(shí)的函數(shù)值符號(hào)，排除A即可.【詳解】解：∵f（﹣x）＝＝f(x)，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B和C，當(dāng)x＞1時(shí)，ln|x|＝lnx＞0，∴f(x)＞0，排除選項(xiàng)A，故選：D．6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝，則c＝（）A．1或2 B．1或 C．1 D．3【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理，直接求邊.【詳解】解：由余弦定理知，，∴，化簡(jiǎn)得，c2﹣3c+2＝0，解得c＝1或2．故選：A．7．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)求得后可得結(jié)論．【詳解】由已知，，所以，，又＝，，所以．故選：B．8．已知函數(shù)，且，則（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】令，則為奇函數(shù)，根據(jù)已知求出，，再由即可求出答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，則，則有，故，若，則，故選：C.9．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M為BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱CC1上，CN＝3NC1，則異面直線A1N與CM所成角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】在棱AA1上取一點(diǎn)D，使得AD＝1，連結(jié)CD，DM，則CD＝DM＝，，CD∥A1N，所以∠DCM即為A1N與CM所成的角，運(yùn)用解三角形的知識(shí)求解可得選項(xiàng)．【詳解】解：在棱AA1上取一點(diǎn)D，使得AD＝1，連結(jié)CD，DM，則CD＝DM＝，，CD∥A1N，所以∠DCM即為A1N與CM所成的角，取CM的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，所以，故，所以異面直線A1N與CM所成角的正切值為．故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．10．已知函數(shù)f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1，則下列說法正確的是（）A．f(x)的最小正周期為πB．f(x)的最大值為2C．f(x)在[0，]上是增函數(shù)D．f(x)在[0，]上有4個(gè)零點(diǎn)【答案】C【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式可得f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1＝sin（4x﹣），再由三角函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】解：函數(shù)f(x)＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1＝2sin22x﹣1+2sin2xcos2x＝sin4x﹣cos4x＝sin（4x﹣）．所以函數(shù)的周期為：T＝＝，所以A不正確；函數(shù)的最大值為，所以B不正確；，解得，所以f(x)在[0，]上是增函數(shù)，所以C正確；f(x)在[0，]上有2個(gè)零點(diǎn)，所以D不正確．故選：C．11．陽馬，中國(guó)古代算數(shù)中的一種幾何體，它是底面為長(zhǎng)方形，兩個(gè)三角面與底面垂直的四棱錐.已知在陽馬中，平面，且陽馬的體積為9，則陽馬外接球表面積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用陽馬的體積，結(jié)合外接球的半徑，通過長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)以及基本不等式求解外接球的表面積的最小值即可.【詳解】由題意可知陽馬的體積為：，設(shè)陽馬的外接球的半徑為R，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以陽馬的外接球的表面積.故選：C.12．已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，P(0，6)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OPAB面積最小時(shí)直線AB的方程是（）A．3x+4y﹣4=0 B．4x+3y﹣4=0C．4x+5y﹣4=0 D．5x+4y﹣4=0【答案】B【分析】由拋物線的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而設(shè)直線AB的方程為x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，聯(lián)立直線和拋物線方程，從而可得y1y2=﹣4，通過分割法將四邊形看成三個(gè)三角形的和，從而可得S==，設(shè)f(x)=，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)何時(shí)取最小值，即可求出的坐標(biāo)，從而求出直線的方程.【詳解】解：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F(1，0)，設(shè)直線AB的方程為x=my+1，聯(lián)立，可得y2﹣4my﹣4=0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，則y1y2=﹣4，四邊形OPAB的面積S==.令f(x)=，則f′(x)=，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=1時(shí)，即當(dāng)y1=1時(shí)，四邊形OPAB的面積最小，此時(shí)A(，1)，B(4，﹣4)，直線AB的方程為4x+3y﹣4=0.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是用點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示出四邊形的面積后，結(jié)合函數(shù)的思想求出何時(shí)面積取最大值.二、填空題13．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值是___________.【答案】5【分析】由已知約束條件畫出可行域，根據(jù)所代表的直線平移，與可行域有交點(diǎn)的情況下要使最大，直線在數(shù)軸上的截距最大，結(jié)合圖形確定臨界點(diǎn)，進(jìn)而求的最大值.【詳解】由得：，由約束條件作出可行域如圖(陰影部分)：平移直線，要使最大，即直線與可行域有交點(diǎn)時(shí)在x或y軸上的截距最大，由圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，截距最大，此時(shí).∴的最大值為5.故答案為：5.14．某產(chǎn)品的零售價(jià)x(元)與每天的銷售量(個(gè))統(tǒng)計(jì)如下表：x6789y40312421據(jù)上表可得回歸直線方程為，=___________.(用數(shù)字作答)【答案】77【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求樣本中心點(diǎn)，由樣本中心在回歸直線上，代入即可求.【詳解】由表格數(shù)據(jù)，=(6+7+8+9)=7.5，=(40+31+24+21)=29，故樣本中心(7.5,29)，∴樣本中心代入回歸直線方程，有，解得.故答案為：77.15．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田（由圓弧和其所對(duì)弦所圍成）面積的計(jì)算公式：弧田面積（弦矢矢）．公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于圓弧的最高點(diǎn)到弦的距離．如圖，弧田是由圓弧和其所對(duì)弦圍成的圖形，若弧田的弧長(zhǎng)為，弧所在的圓的半徑為4，則利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計(jì)算出來的面積與實(shí)際面積之差為______．【答案】【分析】設(shè)圓弧所對(duì)圓心角的弧度為，由題意求得．再運(yùn)用扇形面積公式公式和三角形面積公式求得弧田實(shí)際的面積，利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計(jì)算面積，可得答案.【詳解】設(shè)圓弧所對(duì)圓心角的弧度為，由題可知，解得．故扇形的面積為，三角形的面積為，故弧田實(shí)際的面積為．作分別交，于點(diǎn)，，則，，所以利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計(jì)算出來的面積為，則所求差值為．故答案為：.

16．已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以O(shè)F1為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)M（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O），若線段MF1交雙曲線于點(diǎn)P，且MF2∥OP，則該雙曲線的離心率為_____．【答案】．【分析】將漸近線方程與圓的方程聯(lián)立，求出M（﹣，），P為F1M的中點(diǎn)，求出P（﹣，），代入雙曲線方程即可求解.【詳解】解：設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），由，解得M（﹣，），因?yàn)镸F2∥OP，O為F1F2的中點(diǎn)，所以P為F1M的中點(diǎn)，所以P（﹣，），將P的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得＝1，化簡(jiǎn)可得c2＝2a2，則e＝＝．故答案為：．三、解答題17．在等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中，已知a1+a2=a3，3a2﹣a5=1，b2=a1a4，b2+b5=36.（1）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】（1）an=n，；（2）.【分析】（1）分別回到等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量建立方程組，解出基本量，從而就可以求出通項(xiàng)；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列中的公比為，由于已知.建立方程組，解得，所以.（2）由（1）得，所以①，2②，①﹣②得，﹣，整理得.18．新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外所有的其他能源汽車，被認(rèn)為能減少空氣污染和緩解能源短缺.在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車產(chǎn)業(yè)必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo).新能源汽車也越來越受到消費(fèi)者的青睞.某機(jī)構(gòu)調(diào)查了某地區(qū)近期購(gòu)車的位車主的性別與購(gòu)車種類情況，得到數(shù)據(jù)如下：購(gòu)置新能源汽車購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車合計(jì)男性女性合計(jì)（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為是否購(gòu)置新能源汽車與性別有關(guān)；（2）用分層抽樣的方法按性別從被調(diào)查的購(gòu)置新能源汽車的車主中選出位，參加關(guān)于“新能源汽車駕駛體驗(yàn)”的問卷調(diào)查，并從這位車主中隨機(jī)抽取位車主贈(zèng)送一份小禮物，求這位獲贈(zèng)禮品的車主中至少有位女性車主的概率.附：，.參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）有的把握認(rèn)為購(gòu)置新能源汽車與性別有關(guān)；（2）.【分析】（1）利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算出的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）分析可知所抽取的位車主中，男性人，記為、、、，女性人，記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因此，有的把握認(rèn)為購(gòu)置新能源汽車與性別有關(guān)；（2）用分層抽樣的方法按性別從被調(diào)查的購(gòu)置新能源汽車的車主中選出位，男性人，記為、、、，女性人，記為、，選取名學(xué)生共有：、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中，事件“從這位車主中隨機(jī)抽取位車主贈(zèng)送一份小禮物，這位獲贈(zèng)禮品的車主中至少有位女性車主”所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共種，所以這位獲贈(zèng)禮品的車主中至少有位女性車主的概率.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列舉法；（2）列表法；（3）數(shù)狀圖法；（4）排列組合數(shù)的應(yīng)用.19．如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E是BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且AF=2FB，設(shè)直線BD1、DE相交于點(diǎn)G.（1）證明：GF平面AA1D1D；（2）求B到平面GEF的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接AD1，根據(jù)等比例關(guān)系易得FGAD1，根據(jù)線面平行的判定即可證GF平面AA1D1D；（2）若正方體的棱長(zhǎng)為6，求、GE、，由余弦定理求可得，進(jìn)而求、及G到平面BEF的距離，由等體積知VB﹣GEF=VG﹣BEF即可求B到平面GEF的距離.【詳解】（1）證明：連接AD1，則，∴FGAD1，又AD1平面AA1D1D，F(xiàn)G平面AA1D1D，∴GF平面AA1D1D；（2）由題意，若正方體的棱長(zhǎng)為6，則，GE=DE=×，，在△GEF中，由余弦定理可得cos，則sin，∴，，且G到平面BEF的距離為2，設(shè)B到平面GEF的距離為h，由等體積法有VB﹣GEF=VG﹣BEF，∴，解得，故B到平面GEF的距離為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，應(yīng)用等體積法有VB﹣GEF=VG﹣BEF求點(diǎn)面距離.20．已知函數(shù)f(x)=lnx.（1）點(diǎn)P為f(x)圖象上一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線x﹣ey+6=0的距離的最小值；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≤(x2+a﹣1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）[0，+∞).【分析】（1）當(dāng)與直線x﹣ey+6=0平行的直線與曲線f(x)=lnx切于P(x0，lnx0)時(shí)，點(diǎn)P到直線x﹣ey+6=0的距離的最小，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可求解結(jié)果；（2）依條件得a≥2lnx﹣x2+1在(0，+∞)上恒成立，令h(x)=2lnx﹣x2+1求導(dǎo)分析單調(diào)性，求出最大值即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】解：（1）設(shè)與直線x﹣ey+6=0平行的直線與曲線f(x)=lnx切于P(x0，lnx0)，由f(x)=lnx，得，則，由，得x0=e，則切點(diǎn)P(e，1)，點(diǎn)P到直線x﹣ey+6=0的距離的最小值為；（2）f(x)≤(x2+a﹣1)恒成立，即a≥2lnx﹣x2+1在(0，+∞)上恒成立，令h(x)=2lnx﹣x2+1，則，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h′(x)>0，當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，h′(x)<0，∴h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，∴h(x)有最大值為h（1）=2ln1﹣12+1=0.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，+∞).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．21．已知橢圓的焦距為，且點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）若直線與相交于，兩點(diǎn)，且線段被直線平分，求(為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由題得，求出即可得出方程；（2）利用點(diǎn)差法可得，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式即可表示出三角形面積，根據(jù)m的取值范圍可求最值.【詳解】解：（1）依題意可知，解得，故的方程為.（2）易得直線的方程為，設(shè)，，為的中點(diǎn)，其中，因?yàn)?，在橢圓上，所以，兩式相減可得.可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得，則，解得，則，，則，原點(diǎn)到直線的距離，則的面積.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積有最大值，且最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的傾斜角為a，且過點(diǎn)P（0，﹣2），以直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，求|PM|+|PN|的最大值．【答案】（1）（x﹣2）2+y2＝4；（2）4．【分析】（1）根據(jù)將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；（2）寫出直線l的參數(shù)方程，代入曲線的直角坐標(biāo)方程可得關(guān)于t的一元二次方程，根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義表示出|PM|+|PN|，利用三角函數(shù)的有界性求其最大值.【詳解】（1）曲線