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2020-2021學年江西省南昌市三校高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學(文)試題一、單選題1.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出集合A,B,再根據(jù)并集定義即可求解.【詳解】或,,.故選:D.2.設復數(shù),則()A. B. C. D.【答案】C【分析】由復數(shù)的除法運算可得,進而可得共軛復數(shù).【詳解】,.故選:C.3.已知命題p:若,則;命題q:對任意,都有.則下列命題是假命題的是()A. B. C.q D.【答案】B【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)推導出命題p是假命題,利用基本不等式推出命題q是真命題,再根據(jù)復合命題的真假逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.【詳解】若,,,,此時,但,所以命題p是假命題,由基本不等式可得對任意,都有,所以命題q是真命題,對于選項A:一真則真,所以是真命題,故選項A不正確;對于選項B:一假則假,所以是假命題,故選項B正確;對于選項C:q是真命題,故選項C不正確;對于選項D:命題p是假命題,所以是真命題,故選項D不正確,故選:B.4.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.【答案】C【分析】對于A:利用函數(shù)奇偶性判斷即可;對于B:利用函數(shù)奇偶性判斷即可;對于C:先利用函數(shù)奇偶性判斷偶函數(shù),再判斷單調(diào)性;對于D:利用函數(shù)奇偶性判斷即可.【詳解】對于A:的定義域為R,關于原點對稱,因為,所以為奇函數(shù),故A錯誤;對于B:的定義域為,關于原點對稱,因為,所以為奇函數(shù),故B錯誤;對于C:的定義域為R,關于原點對稱,因為,所以為偶函數(shù);當時,為增函數(shù),故C正確;對于D:的定義域為R,關于原點對稱,但是,而,所以,所以為非奇非偶函數(shù),故D錯誤.故選:C【點睛】(1)對函數(shù)奇偶性的證明只能用定義:或;(2)函數(shù)奇偶性的應用:①一般用或;②有時為了計算簡便,我們可以對x取特殊值:或.5.某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為A. B. C. D.【答案】B【分析】由三視圖可知,該幾何體是由一個四棱錐挖掉半個圓錐所得,故利用棱錐的體積減去半個圓錐的體積,就可求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是由一個四棱錐挖掉半個圓錐所得,故其體積為.故選B.【點睛】本小題主要考查由三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu),考查不規(guī)則幾何體體積的求解方法,屬于基礎題.6.已知a、b為兩條不同直線,為兩個不同的平面,給出以下四個命題:①若,,則;②若,,則;③若,,則;④若,,,則.其中真命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【分析】根據(jù)空間中的線面關系逐一判斷即可.【詳解】若,,則或,故①錯誤若,,則或異面,故②錯誤由,推不出,故③錯誤若,,,則或異面,故④錯誤故選:A7.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到一個奇函數(shù)的圖象,則該函數(shù)的解析式可能為()A. B.C. D.【答案】D【分析】將各選項所給函數(shù)按條件平移,判斷平移后的函數(shù)奇偶性,即得出結(jié)果.【詳解】A選項,將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象,函數(shù)顯然不是奇函數(shù),故A錯;B選項,將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象,函數(shù)顯然是偶函數(shù),故B錯;C選項,將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象,函數(shù)顯然是偶函數(shù),故C錯;D選項,將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象,函數(shù)顯然是奇函數(shù),故D正確.故選:D.8.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.【答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性,通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用排除法即可得解.【詳解】因為,所以是奇函數(shù),從而的圖像關于原點對稱.故排除B和C.因為,所以是增函數(shù),故排除D.故選:.9.在(0,1)內(nèi)任取一個實數(shù)b,則使得方程x2-x+b=0有實數(shù)根的概率為()A. B. C. D.1【答案】A【詳解】由題設“方程x2-x+b=0有實數(shù)根”可得,即,故由幾何概型的計算公式可得所求事件的概率,應選答案A.10.若實數(shù),滿足約束條件,則的最小值是()A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【分析】作出可行域,根據(jù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合法,由點到直線的距離公式求解.【詳解】作出可行域如圖陰影部分所示:因為表示的是可行域上的點到點A距離的平方,由圖可知,所以的最小值為點A到直線的距離的平方,所以,故選:C.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為,,是雙曲線右支上一點,,直線交軸于點,且,則雙曲線的離心率為().A. B.3 C. D.【答案】C【分析】解法一:根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義得,設,進而根據(jù)等面積法得,根據(jù)向量關系得,代入雙曲線方程整理得,解方程即可得答案;解法二:設為坐標原點,由題得∽,所以,設得,故,再結(jié)合得,故,進而得答案.【詳解】解法一:由題意知,,所以.設,則,所以.因為,所以,將代入雙曲線方程,整理得,解得或,因為,所以.故選:C.解法二:設為坐標原點,由題得∽,所以,設,因為,所以,則,得.又,所以,所以,得,所以.故選:C.【點睛】本題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)、基本量之間的關系,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力.試題通過考查雙曲線的離心率,檢測考生借助幾何直觀分析問題、解決問題的能力,突出數(shù)學探索、理性思維學科素養(yǎng).求雙曲線的離心率(或其取值范圍)的方法:(1)直接利用公式求解;(2)根據(jù)題設條件及幾何圖形,先建立關于,,的齊次等式(齊次不等式),進而轉(zhuǎn)化為關于的等式(不等式),即可求解.12.設函數(shù)若方程恰有2個實數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】D【分析】化簡,進行參變分離,求出,畫出圖像根據(jù)圖像得出結(jié)論.【詳解】化簡得當時,設∴,當時,,在上單調(diào)遞增;當時,,在上單調(diào)遞減;,且當時,;當時,設易知函數(shù)在分別單調(diào)遞減,畫出函數(shù)圖像根據(jù)圖像可得.故選:D.【點睛】本題采取的是數(shù)形結(jié)合的思想,在進行分離變量的時候要探討參數(shù)的取值范圍.二、填空題13.已知向量.若,則________.【答案】.【分析】利用向量的坐標運算法則求得向量的坐標,利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,,解得,故答案為:.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算,平面向量垂直的條件,屬基礎題,利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.14.同時拋三枚均勻的硬幣,恰有2個正面朝上的樣本點個數(shù)為________.【答案】3【分析】依題意列出滿足條件的基本事件即可;【詳解】解:同時拋三枚均勻的硬幣,恰有2個正面朝上的基本事件為正正反,正反正,反正正,即3個.故答案為:.15.銳角的內(nèi)角,,所對的邊分別為,,,且,則的取值范圍是______.【答案】【分析】利用正弦定理和兩角和的正弦公式得出角,的關系,由為銳角三角形得到角的范圍,進而利用二倍角公式得出的取值范圍.【詳解】由已知得,即為銳角三角形故答案為:【點睛】本題考查正弦定理的應用,考查兩角和與差的正弦公式,考查二倍角公式,屬于中檔題.16.如圖,用一個平面去截圓錐,得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球,使得它們分別與圓錐的側(cè)面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個焦點,.過橢圓上一點作圓錐的母線,分別與兩個球相切于點.由球和圓的幾何性質(zhì)可知,,.已知兩球半徑分為別和,橢圓的離心率為,則兩球的球心距離為_______________.【答案】【分析】設兩球的球心距離為,通過圓錐的軸截面進行分析,根據(jù)兩球半徑可求得;利用三角形相似可求得,進而得到;利用橢圓離心率可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】作出圓錐的軸截面如圖所示,圓錐面與兩球相切于兩點,則,,過作,垂足為,連接,,設與交于點,設兩球的球心距離為,在中,,,;,,,,解得:,,;由已知條件,知:,即軸截面中,又,,解得:,即兩球的球心距離為.故答案為:.【點睛】關鍵點點睛:本題以圓錐為載體,考查了橢圓的定義和幾何性質(zhì),解題關鍵是能夠通過作出圓錐的軸截面,利用軸截面中的線段垂直關系、長度關系,根據(jù)橢圓離心率構(gòu)造出關于球心距離的方程.三、解答題17.已知等差數(shù)列滿足,正項等比數(shù)列滿足首項為1,前3項和為7.(1)求與的通項公式;(2)求的前n項和.【答案】(1),;(2).【分析】(1)設等差數(shù)列的公差為d,運用等差數(shù)列的通項公式,可得首項和公差,可得;設正項等比數(shù)列的公比為q,q>0,由等比數(shù)列的通項公式,解方程可得q,進而得到;(2)由(1)可得,利用錯位相減法求和,即可得答案.【詳解】解:(1)設等差數(shù)列的公差為d,由,可得,解得,則;設正項等比數(shù)列的公比為q,q>0,由首項為1,前3項和為7,可得,解得q=2,則;(2)由(1)可得,所以,則,兩式相減可得=,所以.【點睛】解題的關鍵是熟練掌握等差、等比數(shù)列的公式、錯位相減求和法,考查方程思想和運算能力,屬于中檔題.18.如圖,在三棱柱中,平面,,,點為的中點.(1)求證:平面;(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析;(2).【分析】(1)首先由線面垂直得到,再由勾股定理逆定理得到,即可得證;(2)取的中點,連接,利用等體積法求點到面的距離;【詳解】解:(1)證明:因為平面,平面,所以.在中,,,,所以所以.因為,,平面,所以平面.(2)取的中點,連接,則且,∵平面,∴平面,∴是點到平面的距離.由題設及(1)知,設點到平面的距離為,又,則由等體積法:,即,解得,故點到平面的距離為.19.在傳染病學中,通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起,到機體出現(xiàn)反應或開始呈現(xiàn)該疾病對應的相關癥狀時止的這一階段稱為潛伏期.一研究團隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關信息,得到如下表格:潛伏期(單位:天)人數(shù)85205310250130155(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響,為研究潛伏期與患者年齡的關系,以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣,從上述1000名患者中抽取200人,得到如下列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為潛伏期與患者年齡有關;潛伏期天潛伏期天總計50歲以上(含50歲)10050歲以下55總計200附:0.050.0250.0103.8415.0246.635,其中.【答案】(1)5.4天;(2)表見解析,沒有95%的把握認為潛伏期與年齡有關.【分析】(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算平均數(shù)即可;(2)根據(jù)題意補充完整列聯(lián)表,計算K2,對照臨界值得出結(jié)論.【詳解】(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),計算平均數(shù)為:天(2)根據(jù)題意,補充完整的列聯(lián)表如下:潛伏期天潛伏期天總計50歲以上(含50歲)653510050歲以下5545100總計12080200則,經(jīng)查表,得,所以沒有95%的把握認為潛伏期與年齡有關.【點睛】本題考查了頻數(shù)分布表與平均數(shù)、獨立性檢驗等問題,也考查了分析問題、解決問題和處理數(shù)據(jù)與建模能力,屬于基礎題.20.已知雙曲線的一條漸近線方程為,點在雙曲線上,拋物線的焦點F與雙曲線的右焦點重合.(1)求雙曲線和拋物線的標準方程;(2)過點F做互相垂直的直線,,設與拋物線的交點為A,B,與拋物線的交點為D,E,求的最小值.【答案】(1),;(2).【分析】(1)根據(jù)漸近線方程得出的關系,再代入已知點的坐標求得雙曲線方程,求出焦點坐標后可得拋物線方程;(2)由,與坐標軸不平行,設設直線的方程為,代入拋物線方程,整理后應用韋達定理得,同理得,再利用焦點弦長公式求得并用基本不等式求得最小值.【詳解】解:(1)由題意可得,即,所以雙曲線方程為,將點代入雙曲線方程,可得,所以雙曲線的標準方程為,,所以,所以拋物線的方程為.(2)由題意知,,與坐標軸不平行,設直線的方程為,,整理可得,恒成立,,因為直線,互相垂直,可設直線的方程為,同理可得,.當且僅當時取等號,所以的最小值為.【點睛】關鍵點點睛:本題考查求雙曲線和拋物線的標準方程,考查直線與拋物線相交問題中的最值.求最值問題,方法是設而不求思想,引入直線斜率得出直線方程,直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理得,利用焦點弦長公式得弦長,求得弦長和后應用基本不等式求得最小值.21.已知函數(shù),.(1)當時,求處的切線方程;(2)討論的單調(diào)性;(3)若,且的最小值小于,求的取值范圍.【答案】(1);(2)當時,在上單調(diào)遞增,當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(3).【分析】(1)求導后求得切線斜率,利用點斜式方程代入即可;(2)求導后對參數(shù)分情況討論,利用導數(shù)的正負求得函數(shù)的單調(diào)性;(3)由(2)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值,然后構(gòu)造函數(shù),求導后利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍.【詳解】解:(1)當時,,,,,,切線方程為,即.(2),,①當時,恒成立,在上單調(diào)遞增,②當時,令,則,令,則,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,綜上:當時,在上單調(diào)遞增,當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增..(3)由(2)知,則,令,則,令,,在上單調(diào)遞減,又,,存在,使得,即,在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,.又,,.的取值范圍為..22.在直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),若以原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)若射線:與曲線和曲線分別交于,兩點,求.【答案】(1),;(2).【分析】(1)消去參數(shù)直接得到的關系式即為曲線的普通方程;根據(jù)得到的關系式即為曲線的直角坐標方程;(2)根據(jù)極角的值計算出的極徑為,由求解出結(jié)果.【詳解】解:(1)由題可知曲線的普通方程是,由題可知,∴,∴,∴曲線

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