高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)A集合與映射上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)李輝文fall教學(xué)提綱

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數(shù)學(xué)訓(xùn)練的重要性在于它可以使各種關(guān)系的表達(dá)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的推理變得更加簡(jiǎn)捷、嚴(yán)謹(jǐn)和清晰?！?/p>

阿爾弗里德.馬歇爾高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)理基礎(chǔ)知識(shí)22024/9/26參考文獻(xiàn)1、羅納德·肖恩著：《動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)》，中國(guó)人民大學(xué)出版社。2、蔣中一著：《數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本方法》，商務(wù)印書館。3、蔣中一著：《動(dòng)態(tài)最優(yōu)化基礎(chǔ)》，商務(wù)印書館。4、迪克西特著：《經(jīng)濟(jì)理論中的最優(yōu)化方法》，上海三聯(lián)書店。2024/9/263

本部分內(nèi)容來(lái)自杰里和瑞尼所著的《高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)理論》的數(shù)學(xué)附錄。A1集合與映射42024/9/261邏輯要素定理是由其他命題演繹出的一個(gè)命題。定理給長(zhǎng)篇論述所提出的假設(shè)和重要結(jié)論提供了一個(gè)緊湊而精確的表達(dá)式，并且有助于立即確認(rèn)所提出的結(jié)論的適用范圍及其相應(yīng)限制。定理必須被證明，證明由構(gòu)成定理中的命題的可靠性組成，而進(jìn)行構(gòu)造的方法必須與邏輯規(guī)則相一致。62024/9/26命題的形式命題：逆命題：反命題：逆否命題：當(dāng)一個(gè)命題成立時(shí)，其逆否命題也是成立的。72024/9/261.2定理與證明在給定前提為真的情況下，定理的證明就是確立其結(jié)論的可靠性。證明方法：直接證明：由前提A得到結(jié)論B。否證性證明：A成立則B成立，等價(jià)于B不成立則A不成立。反證法：通過(guò)假設(shè)A是真的，B不是真的，推導(dǎo)出一種邏輯的矛盾。注意：用例子“論證”不是證明。82024/9/262集合論的要素2.1表達(dá)式與基本概念集合論的語(yǔ)言與方法滲透于整個(gè)微觀經(jīng)濟(jì)理論中。一個(gè)集合是元素的總體，是指具有某種特定性質(zhì)的具體或抽象的對(duì)象匯集成的總體。集合可用元素列舉法或元素描述法來(lái)定義。如果兩個(gè)集合正好包含了相同的元素，那么，這兩個(gè)集合是相等的。例：S=T。如果S包含于U，那么，S的補(bǔ)集SC是不屬于S但包含在U中的所有元素的集合。92024/9/26集合差表示為S\T或S-T，指包含在S中但不包含在T中的所有元素。可以將U中的S集的補(bǔ)集視為集合差：SC=U\S=U-S。集合的基本運(yùn)算是交（和、且）與并（或者）。多個(gè)集合的表示方法：直接寫出：{S1,S2,S3,...}更普遍的表示方法是：{Si}i∈I，其中，I為指標(biāo)集，I≡{1,2,3,…}。多個(gè)集合的并集表示為∪i∈ISi，交集為∩i∈ISi。102024/9/26兩個(gè)集合S與T的乘積是以(s,t)形式表示的有序?qū)Φ募?。S×T≡{(s,t)︱s∈S,t∈T}一個(gè)常用的集合的乘積是笛卡爾平面，由實(shí)數(shù)集形成的乘積。實(shí)數(shù)集定義為：R≡{x︱-∞<x<∞}R×R={(x1,x2)︱x1∈R,x2∈R}集合內(nèi)的任何點(diǎn)可以表示為笛卡爾平面內(nèi)的點(diǎn)。該集合也被稱為兩維歐幾里德空間，表示成R2。一般，任何n維向量x≡(x1,x2,…,xn)可被視為n維歐幾里德空間或n維空間的一個(gè)點(diǎn)。表示為：Rn≡R×R×…×R≡{(x1,…,xn)︱xi∈R,i=1,…,n}R+n是Rn中非負(fù)的象限，它所含的向量x≥0。區(qū)分符號(hào)≥,>和>>。x≥0表示每個(gè)分量都不小于0，x>0表示至少有一個(gè)分量嚴(yán)格大于0，x>>0表示每個(gè)分量都嚴(yán)格大于0。112024/9/262.2凸集凸集是微觀經(jīng)濟(jì)理論中每個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的基本構(gòu)造材料。在理論分析中，凸性常被假設(shè)，以保證分析在數(shù)學(xué)上是易處理的，并且結(jié)論是清楚的和運(yùn)行良好的。定義Rn上的凸集對(duì)于所有x1∈S，x2∈S，如果下式成立，則SRn是一個(gè)凸集。tx1+(1-t)x2∈S對(duì)于所有t，0≤t≤1，該式成立。解釋：集合內(nèi)的任意兩個(gè)點(diǎn)的所有加權(quán)平均數(shù)也是同一集合的點(diǎn)，那么，該集合是凸的。在定義中所采用的加權(quán)平均數(shù)被稱為凸組合。凸組合在一定意義上是“介于”x1與x2之間的一個(gè)點(diǎn)。122024/9/26凸集的例子考慮兩點(diǎn)：x1=8∈R，x2=2∈R。對(duì)于介于0與1之間的任意t，凸組合：z=tx1+(1-t)x2=x2+t(x1-x2)。若將x2視為起點(diǎn)，則z位于x2與x1之間的距離的t倍處。即總會(huì)位點(diǎn)x1與x2之間，或與其重合。點(diǎn)x1與x2的所有凸組合是它們之間的線段，包括端點(diǎn)。x2=2x1=8考慮兩維空間的凸組合，即x1=(x11,x21)與x2=(x12,x22)。凸組合為：z=tx1+(1-t)x2=(tx11+(1-t)x12,tx21+(1-t)x22)x1x2x12x22x11x21tx11+(1-t)x12tx21+(1-t)x22zx2x1R中的凸組合R2中的一些凸組合由于z的每個(gè)坐標(biāo)是各自橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間距離的t倍，故點(diǎn)z位于連接x1與x2的弦的距離的t倍。向量x1與x2的所有凸組合的集合是一切處于連接x1與x2的弦上的一切點(diǎn)的集合，且含端點(diǎn)。結(jié)論：如果一個(gè)集合包含了集合中每對(duì)點(diǎn)的所有凸組合，它才是凸的。簡(jiǎn)單地，當(dāng)且僅當(dāng)集合內(nèi)任兩點(diǎn)的連線完全處在集合內(nèi)，集合是凸的。凸集運(yùn)行良好。沒(méi)有洞和斷點(diǎn)。132024/9/26函數(shù)是一種將一個(gè)集合內(nèi)的每一個(gè)元素與另一個(gè)集合內(nèi)的單個(gè)且惟一的元素聯(lián)系起來(lái)的一種關(guān)系。函數(shù)f是一種從一個(gè)集合D（定義域）到另一個(gè)集合R（值域）的映射。函數(shù)表示為f:D→R。f的象是值域的子集。例S={y︱y=f(x)，對(duì)于一些x∈D}屬于R。正弦函數(shù)y=sin(x)的象是區(qū)間[1，－1]的子集。點(diǎn)集S的逆象定義為f-1(S)={x︱x∈D，f(x)∈S}。142024/9/263拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)3.1度量空間拓?fù)鋵W(xué)是研究集合與映射的基本性質(zhì)的學(xué)科。本節(jié)利用基本的拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)建立一些有關(guān)集合，并分析從一個(gè)集合到另一個(gè)集合的連續(xù)函數(shù)。首先分析度量和度量空間。度量：對(duì)距離的測(cè)量。度量空間：若S是一個(gè)集合，d是定義在S上的度量，那么，稱（S，d）為度量空間。例1：實(shí)線R與度量距離的適宜函數(shù)是一個(gè)度量空間。實(shí)線上距離函數(shù)或度量函數(shù)是絕對(duì)值函數(shù)。任意兩點(diǎn)的距離為：d(x1,x2)=︱x1-x2︱練習(xí)：計(jì)算笛卡爾平面R2的度量函數(shù)。152024/9/26選擇R2上的任意兩點(diǎn)x1=(x11,x21)和x2=(x12,x22)，構(gòu)造一個(gè)直角三角形。根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，兩點(diǎn)的距離為：

x1x2x11x12x21x22x1x2X12-x11X22-x21d(x1,x2)實(shí)線和平面中的距離公式是Rn中距離公式的兩個(gè)特例。一般地，Rn中任意兩點(diǎn)的距離為：可用d(x1,x2)≡‖x1-x2‖來(lái)表示距離。這個(gè)公式被稱為歐幾里德度量或歐幾里德范數(shù)。利用這個(gè)公式來(lái)度量距離的Rn空間被稱為歐幾里德空間。162024/9/263.2開球與閉球定義開球與閉球以x0為中心，以ε>0（一個(gè)實(shí)數(shù)）為半徑的開球是Rn上點(diǎn)的子集：Bε(x0)≡｛x∈Rn︱d(x0,x)<ε｝以x0為中心，以ε>0（一個(gè)實(shí)數(shù)）為半徑的閉球是Rn上點(diǎn)的子集：Bε*(x0)≡｛x∈Rn︱d(x0,x)≤ε｝172024/9/26在實(shí)線上，以x0為中心，以ε為半徑的開球正好是開區(qū)間Bε(x0)=(x0-ε,x0+ε)。閉球是閉區(qū)間Bε*(x0)=[x0-ε,x0+ε]。在R2上，一個(gè)開球是一個(gè)以x0為中心，以ε為半徑的圓盤，閉球是由圓盤內(nèi)與圓環(huán)上的點(diǎn)組成。x0x0εεR2上的開球Bε(x0)R2上的閉球Bε*(x0)182024/9/26實(shí)線上的開區(qū)間就是開集。開區(qū)間(a,b)包括了a與b之間的每個(gè)點(diǎn)，但是不包括a與b自身。我們可以選擇區(qū)間內(nèi)的任何點(diǎn)x，無(wú)論它如何接近a或b，總會(huì)存在一些小而正的ε，使得開球（開區(qū)間）Bε(x)=(x-ε,x+ε)完全包含在(a,b)區(qū)間內(nèi)。同理，開圓盤和開球體也是開集。更為一般地，任何開球都是開集。εx0S=Bε(x0)ε’定理Rn上的開集1.空集Φ是一個(gè)開集。2.整個(gè)空間Rn是一個(gè)開集。3.開集的并集是一個(gè)開集。4.任何有限個(gè)開集的交集是一個(gè)開集。3.3開集與閉集192024/9/26定義Rn上的閉集如果S的補(bǔ)集SC是個(gè)開集，那么，S是一個(gè)閉集。例子：閉區(qū)間[a,b]的補(bǔ)集{x︱x∈R,-∞<x<a或b<x<+∞}是個(gè)開集，因此，[a,b]是一個(gè)閉集。如果以x為中心，以ε為半徑的每個(gè)球，包含了S內(nèi)的點(diǎn)以及不在S內(nèi)的點(diǎn)，那么，x點(diǎn)被稱為一個(gè)邊界點(diǎn)。如果以x為中心，以ε為半徑的每個(gè)球完全包含在S內(nèi)，那么，x點(diǎn)被稱為S的內(nèi)部點(diǎn)。如果集合除了內(nèi)點(diǎn)外不包含任何元素，那么集合是開集。如果集合包含了所有內(nèi)部點(diǎn)及邊界點(diǎn)，那么集合是閉集。202024/9/26定理Rn上的閉集1.空集Φ是一個(gè)閉集。2.Rn上的整個(gè)空間是閉集3.閉集的任何有限集合的并集是一個(gè)閉集。4.閉集的交集是一個(gè)閉集。定義有界集如果Rn上的一個(gè)集合S完全包含在一些半徑為ε的球內(nèi)（開球或閉球），則稱S是有界的。例如，開球Bε(x0)是一個(gè)有界集，因?yàn)樗麄€(gè)都包含在以x0為中心，半徑為ε+1的球內(nèi)。定義（海涅－鮑瑞爾）緊集如果一個(gè)集合S是閉而有界的，那么S在Rn上被稱為緊集。212024/9/26設(shè)S是任何非空的實(shí)數(shù)集。任何實(shí)數(shù)l（無(wú)論l是否屬于S），對(duì)于所有x∈S，總有l(wèi)≤x，那么，l是集合S的下界。例子：S={4,6,8}，4是S的下界，2也是下界。實(shí)數(shù)集有許多個(gè)下界。下界中的最大數(shù)被稱為S的最大下界（g.l.b），或下確界。任何實(shí)數(shù)u（無(wú)論u是否屬于S），對(duì)于所有x∈S，總有x≤u，那么，u是集合S的上界。上界中的最小數(shù)被稱為最小上界（l.u.b），或上確界。一個(gè)實(shí)數(shù)集S如果有下界，那么，該集合從下有界。有上界則稱從上有界。例子：區(qū)間（-∞，4）是從上而非從下有界。定理實(shí)數(shù)子集的上界與下界1.設(shè)S是R內(nèi)的一個(gè)有界開集，并設(shè)a與b分別是S的最大下界與最小上界，那么，a和b不屬于S。2.設(shè)S是R內(nèi)的一個(gè)有界閉集，并設(shè)a與b分別是S的最大下界與最小上界，那么，a∈S和b∈S。222024/9/263.4連續(xù)性在分析函數(shù)時(shí)，需要了解函數(shù)的連續(xù)性。連續(xù)性意味著定義域內(nèi)的一個(gè)微小運(yùn)動(dòng)并不引致值域內(nèi)的大跳躍。

【定義】實(shí)數(shù)上函數(shù)的連續(xù)性如果對(duì)于所有的ε>0，總會(huì)存在一個(gè)δ>0，使得d(x,x0)<δ蘊(yùn)含著d(f(x),f(x0))<ε，那么，函數(shù)f:R→R是在點(diǎn)x0處連續(xù)。如果函數(shù)在其定義域的每個(gè)點(diǎn)上連續(xù)，那么，該函數(shù)被稱為一個(gè)連續(xù)函數(shù)?；蛘弑硎鰹椋喝绻麑?duì)于所有ε>0，總會(huì)存在一個(gè)δ>0，使得與x0的距離小于δ的任何點(diǎn)由f映射到與f(x0)的距離小于ε的值域內(nèi)的一些點(diǎn)上，那么f(x)在x0處連續(xù)。232024/9/26可以用集合來(lái)表示函數(shù)的連續(xù)性。將由Bδ(x0)內(nèi)的點(diǎn)映射進(jìn)值域內(nèi)的點(diǎn)集表示為f(Bδ(x0))。同理，把與f(x0)的距離小于ε的值域內(nèi)的點(diǎn)集表示成以f(x0)為中心，以ε為半徑的開球Bε(f(x0))。稱Bδ(x0)內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)由f映射到與f(x0)的距離不大于ε的一些點(diǎn)，等價(jià)于稱f(Bδ(x0))內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)屬于集合Bε(f(x0))，即：x0

Bδ(x0)f(Bδ(x0))f(x0)Bε(f(x0))定義柯西連續(xù)性設(shè)D是Rm的一個(gè)子集，并且設(shè)f:D→Rn。如果對(duì)于每個(gè)ε>0，存在一個(gè)δ>0，使得下式成立，那么，f在x0點(diǎn)連續(xù)。如果f在每個(gè)點(diǎn)x∈D上連續(xù)，那么它是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。242024/9/26【定理】

連續(xù)性與其逆象設(shè)D是Rm的一個(gè)子集，如下的條件是等價(jià)的。1.f:D→Rn是連續(xù)的。2.對(duì)于Rn內(nèi)的每個(gè)開球B，f-1(B)在D內(nèi)也是開的。3.對(duì)于Rn內(nèi)的每個(gè)開集S，f-1(S)在D內(nèi)也是開的?！径ɡ怼烤o集的連續(xù)的象是一個(gè)緊集設(shè)D是一個(gè)Rm的一個(gè)子集，并且設(shè)f:D→Rn是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果S是D內(nèi)的一個(gè)緊集，那么，其象f(S)在Rn內(nèi)是緊的。252024/9/263.5一些存在性定理【定理】威爾斯拉斯（Weierstrass）極值存在性定理設(shè)f:S→R是一個(gè)連續(xù)實(shí)值映射。S是Rn的一個(gè)非空的緊子集，那么，存在一個(gè)向量x1∈S與一個(gè)向量x2∈S，使得：f(x1)≤f(x)≤f(x2)對(duì)所有x∈S都成立。262024/9/26考慮一類特殊的函數(shù)，即從Rn的一個(gè)子集映射回Rn的同一個(gè)子集的函數(shù)。方程組將（x1,…,xn）∈Rn映射進(jìn)點(diǎn)（y1,…,yn）∈Rn中。在特殊情形下，yi=xi，方程組的解為（x1*,…,xn*）∈Rn。方程組的解向量x*被稱為映射f:Rn→Rn的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。即該點(diǎn)是一個(gè)不受由定義域向值域映射所擾動(dòng)的點(diǎn)，映射只是將該點(diǎn)映射回自身中。272024/9/26設(shè)是Rn的一個(gè)非空的緊且凸的集合，f:S→S是一個(gè)連續(xù)映射，那么，在S中至少存在一個(gè)f的不動(dòng)點(diǎn)。即至少存在一個(gè)x*∈S使得x*=f(x*)。布勞威定理只是說(shuō)明了不動(dòng)點(diǎn)的存在性，但沒(méi)有說(shuō)明不動(dòng)點(diǎn)的唯一性。ababx*f(x*)例子：f是從一個(gè)閉區(qū)間[a,b]到同一區(qū)間的連續(xù)映射。布勞威定理保證f的圖像將在[a,b]×[a,b]的平方區(qū)域內(nèi)至少穿過(guò)45°線一次。布勞威不動(dòng)點(diǎn)定理f(x)xf(x)xg(x)x*g(x)=x-f(x)由于a≤f(x)≤b，所以a-f(x)≤0，b-f(x)≥0。肯定存在一點(diǎn)，使得g(x*)=0，即x*=f(x*)。282024/9/264實(shí)值函數(shù)【定義】

實(shí)值函數(shù)如果D是任何集合，并且R是實(shí)數(shù)集的子集，那么，f:D→R是一個(gè)實(shí)值函數(shù)。簡(jiǎn)言之，實(shí)值函數(shù)是指將定義域（可能是Rn空間）內(nèi)的元素映射到實(shí)線上。例如，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用、生產(chǎn)和成本函數(shù)等都屬于實(shí)值函數(shù)。Y=F(K,L)292024/9/264.1函數(shù)的單調(diào)性【定義】

遞增、嚴(yán)格遞增與強(qiáng)遞增函數(shù)設(shè)f:D→R，D是Rn的一個(gè)子集。如果每當(dāng)x0≥x1時(shí)，總有f(x0)≥f(x1)，那么，f是遞增的。如果每當(dāng)x0>>x1時(shí)，總有f(x0)>f(x1)，那么，f是嚴(yán)格遞增的。如果每當(dāng)x0≠x1，且x0≥x1時(shí)，總有f(x0)>f(x1)，那么，f是強(qiáng)遞增的。x0≥x1意味著向量x=(x1,x2,…xn)的一個(gè)或多個(gè)分量增加。x0>>x1表示向量x的所有分量都增加。遞減、嚴(yán)格遞減與強(qiáng)遞減函數(shù)的定義正好與上述定義相反。302024/9/264.2相關(guān)集合【定義】

水平集當(dāng)且僅當(dāng)L(y0)={x︱x∈D,f(x)=y0}時(shí)，這里y0∈R，那么，L(y0)是一個(gè)實(shí)值函數(shù)f:D→R的水平集。簡(jiǎn)言之，一個(gè)水平集是一個(gè)函數(shù)的定義域內(nèi)所有元素的集合，該函數(shù)把集合內(nèi)的所有元素映射進(jìn)值域內(nèi)的同一個(gè)數(shù)或同一“水平”上。如無(wú)差異曲線、等產(chǎn)量線等。水平集允許我們?cè)趦删S平面中研究三變量的函數(shù)。312024/9/26定義相對(duì)于某一點(diǎn)的水平集如果L(x0)={x︱x∈D,f(x)=f(x0)}，那么，L(x0)是一個(gè)相對(duì)于x0的水平集。定義上優(yōu)集與下劣集1.S(y0)={x︱x∈D,f(x)≥y0}被稱為相對(duì)于水平y(tǒng)0的上優(yōu)集（thesuperiorset)。2.I(y0)={x︱x∈D,f(x)≤y0}被稱為相對(duì)于水平y(tǒng)0的下劣集（theinferiorset)。如果不等式嚴(yán)格成立，則稱為嚴(yán)格上優(yōu)集和嚴(yán)格下劣集。S(y0)I(y0)L(y0)遞增函數(shù)S(y0)I(y0)L(y0)遞減函數(shù)水平集、上優(yōu)集與下劣集x1x1x2x2322024/9/264.3凹函數(shù)在分析凹函數(shù)時(shí)，經(jīng)濟(jì)學(xué)中注重分析那些定義域是凸集的實(shí)值函數(shù)。假設(shè)：f:D→R是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，假設(shè)D是Rn中的凸集。即對(duì)于D中的任意兩點(diǎn)x1和x2，其凸組合xt=tx1+(1-t)x2∈D，t∈[0,1]?！径x】

凹函數(shù)如果對(duì)于所有x1,x2∈D，存在如下關(guān)系時(shí)，f:D→R是一個(gè)凹函數(shù)：f(xt)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)t∈[0,1]簡(jiǎn)言之，如果f在兩點(diǎn)的凸組合處的取值不小于f在這兩點(diǎn)處函數(shù)值的凸組合，則函數(shù)是凹的。332024/9/26凹函數(shù)的圖示在圖像上任取兩點(diǎn)(x1,y1)和(x2,y2),并且畫出連結(jié)這兩點(diǎn)的弦。這兩點(diǎn)凸組合的坐標(biāo)分別為：xt=tx1+(1-t)x2yt=tf(x1)+(1-t)f(x2)凹函數(shù)意味著：f(xt)≥yt=tf(x1)+(1-t)f(x2)對(duì)于所有x1≠x2,且t∈(0,1),若上述不等式嚴(yán)格成立，則為嚴(yán)格凹函數(shù)。這排除了圖像上的平坦部分。f(x)x1X

y

x2y1=f(x1)f(xt)xty2=f(x2)yt判斷凹函數(shù)的簡(jiǎn)單法則函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的連線位于圖像上或其下方時(shí)，函數(shù)是凹的。342024/9/26【定理】一個(gè)凹函數(shù)的圖像上及其下方的點(diǎn)總會(huì)形成一個(gè)凸集設(shè)A={(x,y)︱x∈D,f(x)≥y}是f:D→R的圖像上及其下方的點(diǎn)的集合，D是Rn上的凸集，則：f是一個(gè)凹函數(shù)等價(jià)于A是一個(gè)凸集352024/9/264.4擬凹函數(shù)【定義】

擬凹函數(shù)f:D→R是擬凹的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有屬于D的x1與x2，有：f(xt)≥min[f(x1),f(x2)]對(duì)于所有t∈[0,1]x1x2L(x2)L(x1)L(xt)x1x2xt函數(shù)是擬凹且遞增的x1x2L(x1)L(x2)L(xt)x2x1xt函數(shù)是擬凹且遞減的擬凹函數(shù)的水平集【定理】

擬凹性與上優(yōu)集擬凹函數(shù)等價(jià)于上優(yōu)集是凸集。362024/9/26【定義】嚴(yán)格擬凹函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于D內(nèi)所有x1≠x2,以及對(duì)于所有t∈(0,1)，f(xt)>min[f(x1),f(x2)]，函數(shù)f:D→R是嚴(yán)格擬凹的。x1xtx2L(x1)=L(x2)=L(xt)x1x2x1x2xtx1x2擬凹性與水平