專(zhuān)題29 半角模型-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)母題題源解密（解析版）

專(zhuān)題29半角模型考向1正方形中的半角模型【母題來(lái)源】2021年中考黑龍江省齊齊哈爾卷【母題題文】綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，通過(guò)活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思維空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)，讓我們一起動(dòng)手來(lái)折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對(duì)角線AC上，展開(kāi)得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．（1）∠EAF＝45°，寫(xiě)出圖中兩個(gè)等腰三角形：△AEF，△CEF，△ABC，△ADC（不需要添加字母）；轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q，連接PQ，如圖2．（2）線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為PQ＝BP+DQ；（3）連接正方形對(duì)角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP、AQ分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N，如圖3，則CQBM=2剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開(kāi)，如圖4．（4）求證：BM2+DN2＝MN2．【答案】（1）解：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，∴ABC，△ADC都是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，∴∠EAF=1∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∵CB＝CD，∴CE＝CF，∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，故答案為：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．（2）解：結(jié)論：PQ＝BP+DQ．理由：如圖2中，延長(zhǎng)CB到T，使得BT＝DQ．∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，∴△ADQ≌△ABT（SAS），∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，∵AP＝AP，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PQ＝PT，∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，∴PQ＝BP+DQ．故答案為：PQ＝BP+DQ．（3）解：如圖3中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC=2∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，∴∠BAM＝∠CAQ，∴△CAQ∽△BAM，∴CQBM故答案為：2．（4）證明：如圖4中，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABR，連接RM．∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∵∠DAN＝∠BAR，∴∠BAM+∠BAR＝45°，∴∠MAR＝∠MAN＝45°，∵AR＝AN，AM＝AM，∴△AMR≌△AMN（SAS），∴RM＝MN，∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，∴∠RBM＝90°，∴RM2＝BR2+BM2，∵DN＝BR，MN＝RM，∴BM2+DN2＝MN2．【試題解析】（1）利用翻折變換的性質(zhì)可得∠EAF＝45°，證明△BAE≌△DAF（ASA），推出BE＝DF，AE＝AF，可得結(jié)論．（2）結(jié)論：PQ＝BP+DQ．如圖2中，延長(zhǎng)CB到T，使得BT＝DQ．證明△PAT≌△PAQ（SAS），可得結(jié)論．（3）證明△CAQ∽△BAM，可得CQBM（4）如圖4中，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABR，連接RM．證明△AMR≌△AMN（SAS），∠RBM＝90°，可得結(jié)論．【命題意圖】幾何綜合題；推理能力．【命題方向】一般設(shè)置為壓軸題型，考查學(xué)生的綜合探究與推理能力【得分要點(diǎn)】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連結(jié)EF，則：

（1）EF＝BE＋DF;

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF于點(diǎn)G，則AG＝AD;

（3）如圖3，連結(jié)BD交AE于點(diǎn)H，連結(jié)FH．則FH⊥AE．

（1）如圖4，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADI證明．則∠IAF＝∠EAF＝45°，AI＝AE，

所以△AEF∽△AIF（SAS），

所以EF＝IF＝DI＋DF＝BE＋DF．

（2）因?yàn)椤鰽EF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF，所以AG＝AD．

（3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得A，D，F(xiàn)，H

四點(diǎn)共圓，

從而∠AHF＝180°－∠ADF＝90°，即FH⊥AE．1．（2021?湖北襄樊模擬）如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AD＝DC，∠ADC＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，∠EDF＝45°．（1）觀察猜想：如圖1，若∠A、∠DCB都是直角，把△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DCG，使AD與DC重合，易得EF、AE、CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出它們之間的關(guān)系式EF＝AE+CF；（2）類(lèi)比探究：如圖2，若∠A、∠C都不是直角，則當(dāng)∠A與∠C滿足數(shù)量關(guān)系∠A+∠DCF＝180°時(shí)，EF、AE、CF三條線段仍有（1）中的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC=22解：（1）如圖1，∵把△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DCG，使AD與DC重合，∴DE＝DG，∠DAE＝∠CDG，AE＝CG，∠A＝∠DCG＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠DCB+∠DCG＝180°∴B、C、G共線，∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，∴∠FDC+∠CDG＝45°，即∠EDF＝∠GDF＝45°，在△EDF和△GDF中，DF=∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝GF，∵AE＝CG，∴EF＝GF＝CF+CG＝AE+CF，故答案為：EF＝AE+CF；（2）當(dāng)∠A+∠DCF＝180°時(shí)，EF、AE、CF三條線段仍有（1）中的關(guān)系．理由：如圖2，把△ADE繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△DCG，使AD和DC重合，則DE＝DG，∠A＝∠DCG，∠ADE＝∠CDG，∵∠A+∠DCF＝180°，∴∠DCF+∠DCG＝180°，∴B、C、G在一條直線上，與（1）同理得，∠EDF＝∠GDF＝45°，在△EDF和△GDF中，DF=∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝GF，∵AE＝CG，∴EF＝GF＝AE+CF；故答案為：∠A+∠DCF＝180°；（3）∵△ABC中，AB＝AC＝22，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC=A如圖3，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．則AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，AD=∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x=53，即DE2．（2021?山東臨沂模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：如圖1，等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小敏將三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在A上，斜邊從AB邊開(kāi)始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請(qǐng)你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD2+CE2＝DE2．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決：小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，連接EF（如圖2）；小亮的想法：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG（如圖3）；請(qǐng)你從中任選一種方法進(jìn)行證明；（3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，請(qǐng)你繼續(xù)研究：當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)（如圖4），等量關(guān)系BD2+CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠DAE＝∠DAM+∠MAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．又∵AD平分∠MAB，∴∠BAD＝∠DAM．∴∠MAE＝∠EAC．∴AE平分∠MAC．（2）證明小穎的方法：∵將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∠AFD＝∠B＝45°，∠BAD＝∠FAD．又∵AC＝AB，∴AF＝AC，在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）．∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45°．∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝90°．在Rt△DEF中，DF2+FE2＝DE2，∴BD2+CE2＝DE2．證明小亮的方法：由旋轉(zhuǎn)知，△ABD≌△ACG，∴BD＝CG，AD＝AG，∠ABC＝∠ACG，∠BAD＝∠CAG，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠CAE＝45°，∴∠EAG＝∠CAE+∠CAG＝∠CAE+∠BAD＝45°＝∠DAE，∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE（SAS），∴DE＝EG，在Rt△BAC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECG＝∠ACB+∠ACG＝∠ACB+∠B＝90°，根據(jù)勾股定理得，EG2＝CE2+CG2，∴BD2+CE2＝DE2．（3）當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)，等量關(guān)系BD2+CE2＝DE2仍然成立．證明如下：如圖，將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF．∴BD＝DF，AF＝AB，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°，∠BAD＝∠FAD．又∵AC＝AB，∴AF＝AC，又∵∠CAE＝90°﹣∠BAE＝900﹣（45°﹣∠BAD）＝45°+∠BAD＝45°+∠FAD＝∠FAE，在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）．∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45°．∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°．在Rt△DEF中，DF2+FE2＝DE2，∴BD2+CE2＝DE2．3．（2021?山東日照三模）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE，求證：CE＝CF．（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE＝45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GE＝BE+GD．（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝2AD，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝45°，求sin∠DEC的值．（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，又∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE＝CF；（2）證明：延長(zhǎng)AD到F，使得DF＝BE，連接CF．∵∠GCE＝45°，∴∠BCE+∠GCD＝45°，∵△BEC≌△DFC，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠DCF+∠GCD＝45°，即∠GCF＝45°，∴∠GCE＝∠GCF，且GC＝GC，CE＝CF，∴△GCE≌△GCF（SAS），∴GE＝GF，∴GE＝GD+DF＝BE+GD；（3）解：如圖：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于