高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第02講平面向量的數(shù)量積(核心考點(diǎn)精講精練)(學(xué)生版+解析)_第1頁(yè)
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第02講平面向量的數(shù)量積(核心考點(diǎn)精講精練)1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新Ⅱ卷,第13題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律向量的模長(zhǎng)運(yùn)算2022年新Ⅱ卷,第4題,5分?jǐn)?shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示2021年新I卷,第10題,5分?jǐn)?shù)量積的坐標(biāo)表示坐標(biāo)計(jì)算向量的模逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值二倍角的余弦公式2021年新Ⅱ卷,第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律無2020年新I卷,第7題,5分用定義求向量的數(shù)量積無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容,設(shè)題穩(wěn)定,難度較低,分值為5分【備考策略】1通過物理中功等實(shí)例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積2會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系3能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積,并會(huì)表示及計(jì)算兩個(gè)平面向量的夾角4會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實(shí)際問題,體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用5會(huì)用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計(jì)算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應(yīng)用,易理解,易得分,需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。知識(shí)講解1.平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a,b的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影,|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.3.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|=eq\r(a·a)|a|=eq\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))夾角cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)cosθ=eq\f(x1x2+y1y2,\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2))數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用,例如,a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c,兩邊不能約去一個(gè)向量.2.a(chǎn)·b=0不能推出a=0或b=0,因?yàn)閍·b=0時(shí),有可能a⊥b.3.在用|a|=eq\r(a2)求向量的模時(shí),一定要先求出a2再進(jìn)行開方.考點(diǎn)一、求平面向量的數(shù)量積1.(重慶·高考真題)設(shè)向量,則等于(

)A. B. C. D.2.(2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)正方形的邊長(zhǎng)是2,是的中點(diǎn),則(

)A. B.3 C. D.53.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)設(shè)向量,的夾角的余弦值為,且,,則.4.(浙江·高考真題)已知平面上三點(diǎn)、、滿足,,,則的值等于.5.(2020·北京·統(tǒng)考高考真題)已知正方形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿足,則;.1.(上?!つM預(yù)測(cè))已知,,求;2.(上?!じ呖颊骖})若的夾角為,則.3.(2023·河南洛陽(yáng)·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知向量,,若,則.4.(2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)(多選)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),,,,則(

)A. B.C. D.考點(diǎn)二、辨析數(shù)量積的運(yùn)算律1.(上海·高考真題)若,,均為任意向量,,則下列等式不一定成立的是(

)A. B.C. D.2.(2021·浙江·統(tǒng)考高考真題)已知非零向量,則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件3.(湖北·高考真題)已知為非零的平面向量.甲:乙:,則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件1.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))有關(guān)平面向量的說法,下列錯(cuò)誤的是(

)A.若,,則 B.若與共線且模長(zhǎng)相等,則C.若且與方向相同,則 D.恒成立2.(2022·江蘇南通·海安高級(jí)中學(xué)??级#╆P(guān)于平面向量,下列說去不正確的是(

)A.若,則 B.C.若,則 D.3.(2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模)關(guān)于平面向量,下列說法不正確的是(

)A.若,則B.C.若,則D.考點(diǎn)三、模長(zhǎng)綜合計(jì)算1.(湖南·高考真題)已知向量,,則=.2.(全國(guó)·高考真題)設(shè)非零向量,滿足,則A.⊥ B.C.∥ D.3.(江蘇·高考真題)已知向量的夾角為,則.4.(2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)設(shè)為單位向量,且,則.5.(2021·全國(guó)·高考真題)若向量滿足,則.1.(2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))平面向量與的夾角為,,,則等于(

)A. B. C. D.2.(2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知向量滿足,則(

)A. B. C. D.53.(2023·陜西西安·交大附中??寄M預(yù)測(cè))已知,,且與的夾角為,則(

)A. B. C. D.考點(diǎn)四、夾角綜合計(jì)算1.(福建·高考真題)已知,是非零向量且滿足,,則與的夾角是(

)A. B. C. D.2.(2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量,則(

)A. B. C. D.3.(2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量,滿足,,,則()A. B. C. D.4.(2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量滿足,且,則(

)A. B. C. D.1.(2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知向量滿足,且,則與的夾角為.2.(2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模)已知平面向量不共線,若,則當(dāng)?shù)膴A角為時(shí),的值是.3.(全國(guó)·高考真題)向量滿足,且,則與夾角的余弦值等于.4.(2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知非零向量,,滿足,,,.則向量與的夾角(

)A.45° B.60° C.135° D.150°5.(2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知單位向量,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒成立,則向量的夾角的取值范圍為(

)A. B.C. D.考點(diǎn)五、垂直綜合計(jì)算1.(2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量,若,則(

)A. B.C. D.2.(安徽·高考真題)設(shè)向量,,則下列結(jié)論中正確的是A. B.C.與垂直 D.3.(2020·山東·統(tǒng)考高考真題)已知點(diǎn),,點(diǎn)在函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上,若,則點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A.或 B.或C.或 D.或4.(2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知單位向量,的夾角為60°,則在下列向量中,與垂直的是(

)A. B. C. D.1.(2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)??既#┮阎蛄?,且滿足,則向量在向量上的投影向量為(

)A. B. C. D.2.(2023·湖南·校聯(lián)考二模)(多選)已知向量,//,,,則(

)A. B. C. D.3.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模)(多選)已知向量,,則(

)A. B.C. D.在上的投影向量是考點(diǎn)六、求參數(shù)值或范圍綜合計(jì)算1.(2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量.若,則.2.(2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模)已知平面向量,若,則.3.(2023·四川遂寧·射洪中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知平面向量,,的夾角為,,則實(shí)數(shù)(

)A. B.1 C. D.4.(2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級(jí)中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知,與的夾角為45°,求使向量與的夾角是銳角,則的取值范圍.1.(2023·寧夏銀川·銀川一中??级#┮阎蛄浚?,且,則實(shí)數(shù)的值為(

)A.8 B. C.4 D.2.(2023·山西陽(yáng)泉·陽(yáng)泉市第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè))已知向量,,,且,則實(shí)數(shù)(

)A.-1 B.0 C.1 D.任意實(shí)數(shù)3.(2023·吉林白山·統(tǒng)考二模)已知向量,,,若,則.考點(diǎn)七、數(shù)量積范圍的綜合問題1.(2022·北京·統(tǒng)考高考真題)在中,.P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.2.(全國(guó)·高考真題)已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,為平面內(nèi)一點(diǎn),則的最小值是A. B. C. D.3.(福建·高考真題)已知,,,若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則的最大值等于(

).A. B. C. D.1.(2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))在邊長(zhǎng)為2的菱形中,,則的最小值為(

)A. B. C. D.2.(2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,則(

)A. B.C. D.3.(2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在中,已知,向量在向量上的投影向量為,點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn),則(

)A.3 B.6 C.7 D.94.(2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在中,,點(diǎn)在線段上,,點(diǎn)是外接圓上任意一點(diǎn),則最大值為(

)A. B. C. D.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1.(2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知向量,則下列說法正確的是(

)A.若,則B.若,則C.若,則D.若,則向量的夾角為銳角2.(2023·海南??凇ずD先A僑中學(xué)??家荒#┤羝矫嫦蛄颗c滿足,且,,則向量與的夾角為(

)A. B. C. D.3.(2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知向量,且,則(

)A. B. C.或 D.或4.(2023·貴州黔東南·凱里一中??寄M預(yù)測(cè))已知向量,,記向量與的夾角為,則(

)A. B. C. D.5.(2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)校考三模)以邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心,以邊長(zhǎng)為半徑,在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧,三段圓弧圍成曲邊三角形,已知P為弧AC上的一點(diǎn),且,則的值為(

A. B.C. D.二、多選題6.(2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)向量,,則(

)A. B.與的夾角為C.與共線 D.7.(2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知平面向量,,則下列說法正確的是(

)A.B.在方向上的投影向量為C.與垂直的單位向量的坐標(biāo)為D.若向量與非零向量共線,則三、填空題8.(2023·河北張家口·統(tǒng)考三模)已知向量均為單位向量,,向量與向量的夾角為,則.9.(2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考三模)已知,,若與的夾角是銳角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.10.(2023·福建寧德·??级#┰谄叫兴倪呅沃校阎?,,,,則.【能力提升】一、單選題1.(2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知向量,滿足同向共線,且,,則(

)A.3 B.15 C.或15 D.3或152.(2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知平面向量,,向量與的夾角為,則(

)A.2或 B.3或 C.2或0 D.3或3.(2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模)如圖所示,正方形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn),,分別是邊,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為(

A. B.3 C. D.48二、多選題4.(2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖,已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1,記,則(

A.B.C.D.在方向上的投影向量為5.(2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知非零向量,,滿足:在方向上的投影向量為,,且,則下列選項(xiàng)正確的有(

)A.若與共線時(shí),則 B.若時(shí),則與共線C.若,則 D.若,則三、填空題6.(2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形中.以為圓心,1為半徑的圓分別交,于點(diǎn),.當(dāng)點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)時(shí),的最小值為.7.(2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知向量,,且,則向量在方向上的投影為.8.(2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))半徑為的兩圓和圓外切于點(diǎn),點(diǎn)是圓上一點(diǎn),點(diǎn)是圓上一點(diǎn),則的取值范圍為.9.(2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知,則在上的投影為.10.(2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè))周長(zhǎng)為4的,若分別是的對(duì)邊,且,則的取值范圍為.【真題感知】一、單選題1.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量,則(

)A.2 B.3 C.4 D.52.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量,若,則(

)A. B. C.5 D.63.(湖北·高考真題)設(shè),,,則等于(

)A. B.0 C. D.4.(福建·高考真題)在中,,則k的值是(

)A.5 B. C. D.二、填空題5.(2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量,若,則.6.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量.若,則.7.(上海·高考真題)已知向量、,若,則.8.(江西·高考真題)已知向量,則的最大值為.9.(北京·高考真題)已知向量,且,那么與的夾角的大小是.三、雙空題10.(2021·北京·統(tǒng)考高考真題)已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則;.

第02講平面向量的數(shù)量積(核心考點(diǎn)精講精練)1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新Ⅱ卷,第13題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律向量的模長(zhǎng)運(yùn)算2022年新Ⅱ卷,第4題,5分?jǐn)?shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示2021年新I卷,第10題,5分?jǐn)?shù)量積的坐標(biāo)表示坐標(biāo)計(jì)算向量的模逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值二倍角的余弦公式2021年新Ⅱ卷,第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律無2020年新I卷,第7題,5分用定義求向量的數(shù)量積無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容,設(shè)題穩(wěn)定,難度較低,分值為5分【備考策略】1通過物理中功等實(shí)例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積2會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系3能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積,并會(huì)表示及計(jì)算兩個(gè)平面向量的夾角4會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實(shí)際問題,體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用5會(huì)用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計(jì)算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應(yīng)用,易理解,易得分,需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。知識(shí)講解1.平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a,b的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影,|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.3.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|=eq\r(a·a)|a|=eq\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))夾角cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)cosθ=eq\f(x1x2+y1y2,\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2))數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用,例如,a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c,兩邊不能約去一個(gè)向量.2.a(chǎn)·b=0不能推出a=0或b=0,因?yàn)閍·b=0時(shí),有可能a⊥b.3.在用|a|=eq\r(a2)求向量的模時(shí),一定要先求出a2再進(jìn)行開方.考點(diǎn)一、求平面向量的數(shù)量積1.(重慶·高考真題)設(shè)向量,則等于(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)椋?,,?故選:B.2.(2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)正方形的邊長(zhǎng)是2,是的中點(diǎn),則(

)A. B.3 C. D.5【答案】B【分析】方法一:以為基底向量表示,再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解;方法二:建系,利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解;方法三:利用余弦定理求,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.【詳解】方法一:以為基底向量,可知,則,所以;方法二:如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,則,可得,所以;方法三:由題意可得:,在中,由余弦定理可得,所以.故選:B.3.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)設(shè)向量,的夾角的余弦值為,且,,則.【答案】【分析】設(shè)與的夾角為,依題意可得,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出,最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】解:設(shè)與的夾角為,因?yàn)榕c的夾角的余弦值為,即,又,,所以,所以.故答案為:.4.(浙江·高考真題)已知平面上三點(diǎn)、、滿足,,,則的值等于.【答案】【分析】根據(jù)可得,,展開可得,代入即可得到答案.【詳解】解:由可得,,,,所以,即.故答案為:5.(2020·北京·統(tǒng)考高考真題)已知正方形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿足,則;.【答案】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系,求得點(diǎn)的坐標(biāo),利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得以及的值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)、、、,,則點(diǎn),,,因此,,.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算,建立平面直角坐標(biāo)系,求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.1.(上?!つM預(yù)測(cè))已知,,求;【答案】4【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解,【詳解】由題意得,故答案為:42.(上海·高考真題)若的夾角為,則.【答案】/0.5【分析】先求出,進(jìn)而由求出答案.【詳解】因?yàn)榈膴A角為,所以,于是.故答案為:.3.(2023·河南洛陽(yáng)·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知向量,,若,則.【答案】【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,即,所以.故答案為:.4.(2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)(多選)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),,,,則(

)A. B.C. D.【答案】AC【分析】A、B寫出,、,的坐標(biāo),利用坐標(biāo)公式求模,即可判斷正誤;C、D根據(jù)向量的坐標(biāo),應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡(jiǎn),即可判斷正誤.【詳解】A:,,所以,,故,正確;B:,,所以,同理,故不一定相等,錯(cuò)誤;C:由題意得:,,正確;D:由題意得:,,故一般來說故錯(cuò)誤;故選:AC考點(diǎn)二、辨析數(shù)量積的運(yùn)算律1.(上?!じ呖颊骖})若,,均為任意向量,,則下列等式不一定成立的是(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)向量加法、數(shù)量積、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算法則判斷.【詳解】選項(xiàng)A是向量加法的結(jié)合律,正確;選項(xiàng)B是向量數(shù)量積運(yùn)算對(duì)加法的分配律,正確;選項(xiàng)C是數(shù)乘運(yùn)算對(duì)向量加法的分配律,正確;選項(xiàng)D.根據(jù)數(shù)量積和數(shù)乘定義,等式左邊是與共線的向量,右邊是與共線的向量,兩者一般不可能相等,也即向量的數(shù)量積運(yùn)算沒有結(jié)合律存在.D錯(cuò).故選:D.2.(2021·浙江·統(tǒng)考高考真題)已知非零向量,則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】如圖所示,,當(dāng)時(shí),與垂直,,所以成立,此時(shí),∴不是的充分條件,當(dāng)時(shí),,∴,∴成立,∴是的必要條件,綜上,“”是“”的必要不充分條件

故選:B.3.(湖北·高考真題)已知為非零的平面向量.甲:乙:,則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量運(yùn)算法則,結(jié)合充分,必要條件的定義,即可判斷.【詳解】若,則,因?yàn)闉榉橇愕钠矫嫦蛄?,所以,或,所以甲不是乙的充分條件,反過來,,能推出,所以甲是乙的必要條件.綜上可知,甲是乙的必要條件,但不是充分條件.故選:B1.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))有關(guān)平面向量的說法,下列錯(cuò)誤的是(

)A.若,,則 B.若與共線且模長(zhǎng)相等,則C.若且與方向相同,則 D.恒成立【答案】ABC【分析】取,可判斷A選項(xiàng);利用平面向量的概念可判斷B選項(xiàng);利用向量不能比大小可判斷C選項(xiàng);利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),取,因?yàn)椋?,則、不一定共線,A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),若與共線且模長(zhǎng)相等,則或,B錯(cuò);對(duì)于C選項(xiàng),任何兩個(gè)向量不能比大小,C錯(cuò);對(duì)于D選項(xiàng),恒成立,D對(duì).故選:ABC.2.(2022·江蘇南通·海安高級(jí)中學(xué)??级#╆P(guān)于平面向量,下列說去不正確的是(

)A.若,則 B.C.若,則 D.【答案】ACD【分析】令時(shí)可判斷A;利用,可判斷B;由可知與的模長(zhǎng)相等,但不一定為0可判斷C;與共線的向量,與共線,可判斷D.【詳解】時(shí),,與可任取,故A錯(cuò);,故B對(duì);可知與的模長(zhǎng)相等,不一定為0,∴,故C錯(cuò);與共線的向量,與共線的向量.∴,D錯(cuò).故選:ACD.3.(2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模)關(guān)于平面向量,下列說法不正確的是(

)A.若,則B.C.若,則D.【答案】ACD【分析】由數(shù)量積性質(zhì)可判斷A,由分配律可判斷B,由相反向量可判斷C,由向量垂直可以判斷D.【詳解】對(duì)于A,若,則不一定有,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,根據(jù)分配律即可得到,B正確;對(duì)于C,若,則可能,那么,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若,則有,那么就不一定有,D錯(cuò)誤.故選:ACD考點(diǎn)三、模長(zhǎng)綜合計(jì)算1.(湖南·高考真題)已知向量,,則=.【答案】2【分析】由向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算.【詳解】故答案為:2.2.(全國(guó)·高考真題)設(shè)非零向量,滿足,則A.⊥ B.C.∥ D.【答案】A【詳解】由平方得,即,則,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的數(shù)量積表示,屬于基礎(chǔ)題.3.(江蘇·高考真題)已知向量的夾角為,則.【答案】7【分析】將模平方,結(jié)合數(shù)量積公式,化簡(jiǎn)計(jì)算,即可得答案.【詳解】.故答案為:74.(2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)設(shè)為單位向量,且,則.【答案】【分析】整理已知可得:,再利用為單位向量即可求得,對(duì)變形可得:,問題得解.【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄浚运越獾茫核怨蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.5.(2021·全國(guó)·高考真題)若向量滿足,則.【答案】【分析】根據(jù)題目條件,利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為:.1.(2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))平面向量與的夾角為,,,則等于(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化為平面向的數(shù)量積可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以?故選:B2.(2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知向量滿足,則(

)A. B. C. D.5【答案】D【分析】根據(jù)模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算可得,分析可得同向,進(jìn)而可求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,即,則同向,所以.故選:D.3.(2023·陜西西安·交大附中??寄M預(yù)測(cè))已知,,且與的夾角為,則(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)椋?,且與的夾角為,由平面向量數(shù)量積的定義可得,因此,.故選:A.考點(diǎn)四、夾角綜合計(jì)算1.(福建·高考真題)已知,是非零向量且滿足,,則與的夾角是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用兩個(gè)向量垂直,數(shù)量積等于0,得到,代入兩個(gè)向量的夾角公式得到夾角的余弦值,進(jìn)而得到夾角.【詳解】,設(shè)與的夾角為,故選:B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求解向量夾角長(zhǎng)選擇夾角公式,還要注意向量的夾角范圍.2.(2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量,則(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得,從而利用平面向量余弦的運(yùn)算公式即可得解.【詳解】因?yàn)?,所以,則,,所以.故選:B.3.(2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量,滿足,,,則()A. B. C. D.【答案】D【分析】計(jì)算出、的值,利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值.【詳解】,,,.,因此,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算,同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于中等題.4.(2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量滿足,且,則(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.1.(2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知向量滿足,且,則與的夾角為.【答案】【分析】由向量的數(shù)量積與夾角公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,所以,而,故與的夾角為.故答案為:2.(2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模)已知平面向量不共線,若,則當(dāng)?shù)膴A角為時(shí),的值是.【答案】2【分析】根據(jù)平面向量夾角公式列式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,,,整理得,得(?fù)值已舍去).故答案為:.3.(全國(guó)·高考真題)向量滿足,且,則與夾角的余弦值等于.【答案】/【分析】利用向量數(shù)量積公式得到,解出即可.【詳解】解得.故答案為:.4.(2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知非零向量,,滿足,,,.則向量與的夾角(

)A.45° B.60° C.135° D.150°【答案】C【分析】由向量的數(shù)量積運(yùn)算公式,再應(yīng)用向量夾角公式求夾角,最后結(jié)合向量反向共線求出夾角即可.【詳解】∵,,∴.∵,∴,,則,設(shè)向量與的夾角為,與反向,則.故選:C.5.(2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知單位向量,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒成立,則向量的夾角的取值范圍為(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】利用平面向量數(shù)量積與模長(zhǎng)的關(guān)系結(jié)合一元二次不等式恒成立的解法計(jì)算即可.【詳解】設(shè)向量的夾角為θ,因?yàn)椋?,則,即恒成立.所以,解得,故的夾角的取值范圍是.故選:A.考點(diǎn)五、垂直綜合計(jì)算1.(2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量,若,則(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出,,再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.【詳解】因?yàn)椋?,,由可得,,即,整理得:.故選:D.2.(安徽·高考真題)設(shè)向量,,則下列結(jié)論中正確的是A. B.C.與垂直 D.【答案】C【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得向量的模,兩向量的數(shù)量積,向量的垂直,向量的平行,可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橄蛄?,,,所以,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;因?yàn)?,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以,所以與垂直,選項(xiàng)C正確;因?yàn)?×1-0×1≠0,所以向量,,不平行,選項(xiàng)D錯(cuò)誤。故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,關(guān)鍵在于熟知向量的模,向量的數(shù)量積,向量的平行,向量的垂直的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.3.(2020·山東·統(tǒng)考高考真題)已知點(diǎn),,點(diǎn)在函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上,若,則點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【分析】由二次函數(shù)對(duì)稱軸設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),再由向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】由題意函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是,設(shè),因?yàn)?,所以,解得或,所以或,故選:C.4.(2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知單位向量,的夾角為60°,則在下列向量中,與垂直的是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì),結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由已知可得:.A:因?yàn)?,所以本選項(xiàng)不符合題意;B:因?yàn)?,所以本選項(xiàng)不符合題意;C:因?yàn)椋员具x項(xiàng)不符合題意;D:因?yàn)?,所以本選項(xiàng)符合題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì),考查了兩平面向量數(shù)量積為零則這兩個(gè)平面向量互相垂直這一性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.1.(2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)??既#┮阎蛄浚覞M足,則向量在向量上的投影向量為(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)求出,再根據(jù)投影向量公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,得,所以,,所以向量在向量上的投影向量?故選:C2.(2023·湖南·校聯(lián)考二模)(多選)已知向量,//,,,則(

)A. B. C. D.【答案】AB【分析】A選項(xiàng)根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷;B選項(xiàng)根據(jù)模長(zhǎng)公式計(jì)算;C選項(xiàng)利用向量共線的關(guān)系結(jié)合模長(zhǎng)公式計(jì)算;D選項(xiàng)根據(jù)向量的加法進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)?,所以,則A正確;,則B正確;因?yàn)?/,所以設(shè),因?yàn)?,所以,解得,所以或,故C錯(cuò)誤;,故D錯(cuò)誤.故選:AB3.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模)(多選)已知向量,,則(

)A. B.C. D.在上的投影向量是【答案】AC【分析】根據(jù)與的數(shù)量積為可得A正確;根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可得B錯(cuò)誤;根據(jù)模長(zhǎng)公式可得C正確;求出投影向量可得D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椋?,所以,,故A正確;因?yàn)?,故B錯(cuò)誤;,,故C正確;因?yàn)樵谏系耐队跋蛄渴?,故D錯(cuò)誤.故選:AC.考點(diǎn)六、求參數(shù)值或范圍綜合計(jì)算1.(2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)已知向量.若,則.【答案】.【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,,解得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,平面向量垂直的條件,屬基礎(chǔ)題,利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.2.(2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模)已知平面向量,若,則.【答案】【分析】求出,由垂直關(guān)系列出方程,求出答案.【詳解】,因?yàn)?,所以,解?故答案為:3.(2023·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知平面向量,,的夾角為,,則實(shí)數(shù)(

)A. B.1 C. D.【答案】A【分析】對(duì)兩邊平方,再由數(shù)量積公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以,即,解?故選:A.4.(2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級(jí)中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知,與的夾角為45°,求使向量與的夾角是銳角,則的取值范圍.【答案】【分析】由題意,根據(jù)向量夾角為銳角,可得其數(shù)量積大于零的不等式,且可得向量不共線,可得不成比例的不等式,可得答案.【詳解】,由向量與的夾角是銳角,,解得或;且向量與不共線,則,解得,所以的取值范圍為.故答案為:.1.(2023·寧夏銀川·銀川一中校考二模)已知向量,,且,則實(shí)數(shù)的值為(

)A.8 B. C.4 D.【答案】A【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示,結(jié)合數(shù)量積公式,即可求解.【詳解】因?yàn)?,?所以.所以.故選:A2.(2023·山西陽(yáng)泉·陽(yáng)泉市第一中學(xué)校??寄M預(yù)測(cè))已知向量,,,且,則實(shí)數(shù)(

)A.-1 B.0 C.1 D.任意實(shí)數(shù)【答案】B【分析】首先求出的坐標(biāo),依題意,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程,解得即可.【詳解】因?yàn)?,,所以,又,且,所以,解?故選:B.3.(2023·吉林白山·統(tǒng)考二模)已知向量,,,若,則.【答案】/0.4【分析】由向量線性運(yùn)算及垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)?,,所以,因?yàn)椋?,得.故答案為:考點(diǎn)七、數(shù)量積范圍的綜合問題1.(2022·北京·統(tǒng)考高考真題)在中,.P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),表示出,,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;【詳解】解:依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則,,,因?yàn)?,所以在以為圓心,為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),設(shè),,所以,,所以,其中,,因?yàn)?,所以,即;故選:D

2.(全國(guó)·高考真題)已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,為平面內(nèi)一點(diǎn),則的最小值是A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系,求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系,以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),則,,,設(shè),則,,,則當(dāng),時(shí),取得最小值,故選:.3.(福建·高考真題)已知,,,若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則的最大值等于(

).A. B. C. D.【答案】A【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,即,所以,,因此,因?yàn)椋缘淖畲笾档扔?,?dāng),即時(shí)取等號(hào).考點(diǎn):1、平面向量數(shù)量積;2、基本不等式.1.(2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))在邊長(zhǎng)為2的菱形中,,則的最小值為(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】以為基底,求,利用函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】邊長(zhǎng)為2的菱形中,,如圖所示,

則,,,,,由于,所以當(dāng)時(shí),有最小值.故選:B2.(2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,則(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】利用向量的坐標(biāo)求出模長(zhǎng),再利用向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)橄蛄坷@坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,所以向量與向量的夾角為,且,所以.故選:B3.(2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在中,已知,向量在向量上的投影向量為,點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn),則(

)A.3 B.6 C.7 D.9【答案】C【分析】先根據(jù)投影向量的公式結(jié)合題干條件得到,然后利用向量的運(yùn)算將用表示,然后用向量的數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】

根據(jù)投影向量的計(jì)算公式,向量在向量上的投影向量為,由題意,,于是,即.又,∴.故選:C4.(2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在中,,點(diǎn)在線段上,,點(diǎn)是外接圓上任意一點(diǎn),則最大值為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】先根據(jù)余弦定理求出線段的長(zhǎng)度,再根據(jù)正弦定理求出外接圓的半徑,最后將寫成后再求,當(dāng)與同向時(shí),取得最大值.【詳解】在中,,,在中,由余弦定理得,,又因?yàn)?,所以,解得,從而?設(shè)外接圓的半徑為,由正弦定理得,故.所以,當(dāng)與同向時(shí),取得最大值為.故選:A.【點(diǎn)睛】【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1.(2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知向量,則下列說法正確的是(

)A.若,則B.若,則C.若,則D.若,則向量的夾角為銳角【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)?,則,所以,解得或,故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)?/,所以,解得,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?,所以,解得,故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D:當(dāng)時(shí),,由選項(xiàng)B可知:不共線,所以向量的夾角為鈍角,故D錯(cuò)誤.故選:B.2.(2023·海南??凇ずD先A僑中學(xué)校考一模)若平面向量與滿足,且,,則向量與的夾角為(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)向量夾角求解.【詳解】設(shè)向量與的夾角為,則,解得,因?yàn)?,?故選:C3.(2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知向量,且,則(

)A. B. C.或 D.或【答案】C【分析】根據(jù)題意,利用向量的夾角公式,列出方程,即可求解.【詳解】由向量,可得,所以,解得或.故選:C.4.(2023·貴州黔東南·凱里一中??寄M預(yù)測(cè))已知向量,,記向量與的夾角為,則(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積、模的坐標(biāo)表示求出、、,即可求出,再由二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?,,所以,,,所以,則.故選:D5.(2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)??既#┮赃呴L(zhǎng)為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心,以邊長(zhǎng)為半徑,在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧,三段圓弧圍成曲邊三角形,已知P為弧AC上的一點(diǎn),且,則的值為(

A. B.C. D.【答案】C【分析】如圖所示,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】如圖所示,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),直線BC為x軸,過點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則,,由,得,所以,,所以.

故選:C.二、多選題6.(2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)向量,,則(

)A. B.與的夾角為C.與共線 D.【答案】AD【分析】利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示、向量模長(zhǎng)、夾角公式以及向量共線、垂直的坐標(biāo)形式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)椋?,所以,,故A正確;因?yàn)?,,所以,因?yàn)閮上蛄繆A角的范圍為,所以與的夾角為,故B錯(cuò)誤;因?yàn)?,,所以,又,所以,所以,所以與不共線,故C錯(cuò)誤,D正確.故選:AD.7.(2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知平面向量,,則下列說法正確的是(

)A.B.在方向上的投影向量為C.與垂直的單位向量的坐標(biāo)為D.若向量與非零向量共線,則【答案】AD【分析】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,主要考查了兩向量的夾角、投影向量、向量的平行與垂直的基本知識(shí),一一驗(yàn)證即可.【詳解】由題意知,,,則,因此A正確;在方向上的投影向量為,因此B錯(cuò)誤;與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或,因此C錯(cuò)誤;因?yàn)椋?,若向量與向量共線,則,解得,因此D正確.故選:AD.三、填空題8.(2023·河北張家口·統(tǒng)考三模)已知向量均為單位向量,,向量與向量的夾角為,則.【答案】/【分析】根據(jù)題意,分別求得,,且,結(jié)合向量的夾角公式,即可求解.【詳解】由向量均為單位向量且,可得且,則,,且,又由向量與向量的夾角為,則.故答案為:.9.(2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考三模)已知,,若與的夾角是銳角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)與的夾角為,則,根據(jù)列式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)與的夾角為,則,所以,解得且.故答案為:10.(2023·福建寧德·??级#┰谄叫兴倪呅沃?,已知,,,,則.【答案】【分析】設(shè),根據(jù)題意化簡(jiǎn)求得,再由,即可求解.【詳解】如圖所示,設(shè),因?yàn)?,,可得,,又因?yàn)椋?,可得,,兩式相減得到,可得,又由,所以.故答案為:.

【能力提升】一、單選題1.(2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知向量,滿足同向共線,且,,則(

)A.3 B.15 C.或15 D.3或15【答案】D【分析】先根據(jù)題意確定向量,的倍數(shù)關(guān)系,然后可直接求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?,滿足同向共線,所以設(shè),又因?yàn)椋?,所以,所以或,即?①當(dāng)時(shí),;②當(dāng)時(shí),;所以的值為3或15.故選:D.2.(2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知平面向量,,向量與的夾角為,則(

)A.2或 B.3或 C.2或0 D.3或【答案】A【分析】利用向量的模的坐標(biāo)公式求,,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式求,結(jié)合夾角公式列方程求【詳解】因?yàn)?,,所以,,所以,,又向量與的夾角為,所以,所以,所以或,故選:A.3.(2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模)如圖所示,正方形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn),,分別是邊,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為(

A. B.3 C. D.48【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,(),即可得到、,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到,再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則、、、,設(shè),,(),則,所以,所以,即,所以,,所以,又,所以當(dāng)時(shí)取得最小值為.

故選:A二、多選題4.(2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖,已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1,記,則(

A.B.C.D.在方向上的投影向量為【答案】BC【分析】根據(jù)題意,由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律,對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得到結(jié)果.【詳解】,故A錯(cuò)誤;因?yàn)?,故B正確;,又,所以,故C正確;在方向上的投影向量為,故D錯(cuò)誤.故選:.5.(2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知非零向量,,滿足:在方向上的投影向量為,,且,則下列選項(xiàng)正確的有(

)A.若與共線時(shí),則 B.若時(shí),則與共線C.若,則 D.若,則【答案】ACD【分析】由題意結(jié)合投影向量的定義可得,從而得到,進(jìn)一步可得,根據(jù)向量數(shù)量積的定義分析向量的夾角的范圍,對(duì)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷即可得出答案.【詳解】在方向上的投影向量為,由題意,即由為非零向量,則,又,則設(shè),的夾角為,則,,則又,則,即設(shè),的夾角為,則選項(xiàng)A.由,則,的夾角為,則所以,故選A正確.選項(xiàng)B.當(dāng)時(shí),由,當(dāng)時(shí),滿足條件,此時(shí)與不共線,故選項(xiàng)B不正確選

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