第87講、二項(xiàng)式定理（學(xué)生版）

②可求得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題例31．（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）除以1000的余數(shù)是．例32．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，則被5除所得的余數(shù)為．例33．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）除以100的余數(shù)是．變式44．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）若，則被5除的余數(shù)是．變式45．（2024·全國·高三專題練習(xí)）寫出一個(gè)可以使得被100整除的正整數(shù).變式46．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知能夠被15整除，其中，則.題型十二：近似計(jì)算問題例34．（2024·全國·高三專題練習(xí)）用二項(xiàng)式定理估算.（精確到0.001）例35．（2024·福建泉州·高三福建省南安國光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（精確到0.01）例36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某同學(xué)在一個(gè)物理問題計(jì)算過程中遇到了對(duì)數(shù)據(jù)的處理，經(jīng)過思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個(gè)近似值是.變式47．（2024·全國·高三專題練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是．變式48．（2024·全國·高三專題練習(xí)）（小數(shù)點(diǎn)后保留三位小數(shù)）．題型十三：證明組合恒等式例37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求證：例38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）證明：．例39．（2024·全國·高三專題練習(xí)）證明：．變式49．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求證：.變式50．（2024·全國·高三專題練習(xí)）（1）設(shè)、，，求證：；（2）請(qǐng)利用二項(xiàng)式定理證明：.變式51．（2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)一個(gè)量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同而構(gòu)造等式，這種方法稱為“算兩次”的思想方法.利用這種方法，結(jié)合二項(xiàng)式定理，可以得到很多有趣的組合恒等式.（1）根據(jù)恒等式兩邊的系數(shù)相同直接寫出一個(gè)恒等式，其中；（2）設(shè)，利用上述恒等式證明：.題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和例40．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)n為正整數(shù)，為組合數(shù)，則（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)例41．（2024·全國·高三專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．例42．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）偉大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時(shí)解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的“巴賽爾級(jí)數(shù)”難題．當(dāng)時(shí)，，又根據(jù)泰勒展開式可以得到，根據(jù)以上兩式可求得（

）A． B． C． D．變式52．（2024·重慶永川·重慶市永川北山中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．變式53．（2024·湖南邵陽·高三統(tǒng)考期末）已知，展開式中的系數(shù)為，則等于（

）A． B． C． D．變式54．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)，對(duì)于有序數(shù)組，記為中所包含的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如．當(dāng)取遍所有的個(gè)有序數(shù)組時(shí)，的平均值為（

）A． B． C． D．題型十五：楊輝三角例43．（多選題）（2024·海南·海南中學(xué)?？既＃皸钶x三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早年左右.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第行的為第行中兩個(gè)的和.則下列命題中正確的是（

）A．在“楊輝三角”第行中，從左到右第個(gè)數(shù)是B．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：C．D．存在，使得為等差數(shù)列例44．（多選題）（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題中正確的是（

）

A．在第10行中第5個(gè)數(shù)最大B．C．第8行中第4個(gè)數(shù)與第5個(gè)數(shù)之比為D．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為例45．（多選題）（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題中正確的是（

）A．B．在第2022行中第1011個(gè)數(shù)最大C．記“楊輝三角”第行的第i個(gè)數(shù)為，則D．第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為變式55．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖給出下列一個(gè)由正整數(shù)組成的三角形數(shù)陣，該三角形數(shù)陣的兩腰分別是一個(gè)公差為的等差數(shù)列和一個(gè)公差為的等差數(shù)列，