第46講、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積（學(xué)生版）

第46講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：構(gòu)成空間幾何體的基本元素—點(diǎn)、線、面（1）空間中，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．（2）空間中，不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）．知識(shí)點(diǎn)二：簡(jiǎn)單凸多面體—棱柱、棱錐、棱臺(tái)1、棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；（6）長(zhǎng)方體：底面是矩形的直平行六面體；（7）正方體：棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體．2、棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；（2）正四面體：所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐．3、棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．簡(jiǎn)單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示．知識(shí)點(diǎn)三：簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體—圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．3、圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)．4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球（球面距離：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)度）．知識(shí)點(diǎn)四：組合體由柱體、錐體、臺(tái)體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體．知識(shí)點(diǎn)五：表面積與體積計(jì)算公式表面積公式表面積柱體為直截面周長(zhǎng)錐體臺(tái)體球體積公式體積柱體錐體臺(tái)體球知識(shí)點(diǎn)六：空間幾何體的直觀圖1、斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法的主要步驟如下：（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，，建立直角坐標(biāo)系．（2）畫出斜坐標(biāo)系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于，，使（或），它們確定的平面表示水平平面．（3）畫出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一般．可簡(jiǎn)化為“橫不變，縱減半”．（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）．被擋住的棱畫虛線．注：直觀圖和平面圖形的面積比為．2、平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)．必考題型全歸納題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1．（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知幾何體，“有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形”是“幾何體為棱柱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)有三個(gè)命題；甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；丙：直四棱柱是平行六面體．以上命題中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題：①有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過(guò)斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式1．（2024·新疆·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列命題中正確的是（

）A．有兩個(gè)平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.B．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐.C．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體.D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線.變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．三角形的直觀圖是三角形 B．直四棱柱是長(zhǎng)方體C．平行六面體不是棱柱 D．兩個(gè)平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺(tái)變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（

）A．是棱臺(tái) B．是圓臺(tái)C．不是棱柱 D．是棱錐【解題方法總結(jié)】空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧（1）緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．（2）說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．題型二：空間幾何體的表面積例4．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐的母線長(zhǎng)、底面圓的直徑都等于球的半徑，則球與圓錐的表面積之比為（

）A．8 B． C． D．例5．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)正六棱柱中挖去一個(gè)圓柱后，剩余部分幾何體如圖所示．已知正六棱柱的底面正六邊形邊長(zhǎng)為3cm，高為4cm，內(nèi)孔半徑為1cm，則此幾何體的表面積是（

）．

A． B．C． D．例6．（2024·安徽安慶·安慶一中?？既＃┩勇萜鹪从谖覈?guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．變式5．（2024·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）位于徐州園博園中心位置的國(guó)際館（一云落雨），使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個(gè)國(guó)際館中3個(gè)展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達(dá)了理性主義與浪漫主義的對(duì)立與統(tǒng)一.其中最大的是3號(hào)展館，其頂部所對(duì)應(yīng)的正四棱錐底面邊長(zhǎng)為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2 B．1.71 C．1.37 D．1變式6．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了給熱愛(ài)朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．變式7．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺(tái)（即正四棱臺(tái)）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺(tái)，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成的正四棱臺(tái)（如圖所示），其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高為棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)的倍.已知方亭的體積為，則該方亭的表面積約為（

）（，，）A． B． C． D．變式8．（2024·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器．該盤盤口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺(tái)部分的側(cè)面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：π的值取3，）

A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】（1）多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和．（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開(kāi)后，展開(kāi)圖的面積與底面面積之和．（3）組合體的表面積求解時(shí)注意對(duì)銜接部分的處理．題型三：空間幾何體的體積例7．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）在馬致遠(yuǎn)的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風(fēng)迷宿草，穹廬夜月聽(tīng)悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一個(gè)圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，則該氈帳的體積為（

）

A． B． C． D．例8．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）若某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓面，其內(nèi)接正四棱柱的高為，則此正四棱柱的體積是（

）A． B． C． D．例9．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，球的體積為，則該正四棱錐的體積最大值為（

）A．18 B． C． D．27變式9．（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見(jiàn)于亭閣式建筑?園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為米，側(cè)棱長(zhǎng)為5米，則其體積為（

）立方米.

A． B．24 C． D．72變式10．（2024·廣東河源·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：?jiǎn)挝唬?，則平地降雪厚度的近似值為（

）

A． B． C． D．變式11．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是我國(guó)古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺(tái)，上、下底面邊長(zhǎng)分別為20cm和10cm，側(cè)棱長(zhǎng)為cm．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝（

）

A．1.5L B．1.7L C．2.3L D．2.7L【解題方法總結(jié)】求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積題型四：直觀圖例10．（2024·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知用斜二測(cè)畫法畫梯形OABC的直觀圖如圖所示，，，，軸，，為的三等分點(diǎn)，則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的體積為．

例11．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若正用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置圖形的直觀圖為，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，的面積為．例12．（2024·四川成都·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊與平行于軸.已知四邊形的面積為，則原平面圖形的面積為.變式12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是用斜二測(cè)畫法得到的△AOB的直觀圖，其中則AB的長(zhǎng)度為．變式13．（2024·上海浦東新·高三上海市川沙中學(xué)?？计谀┯幸粔K多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，則這塊菜地的面積為變式14．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）我們知道一條線段在“斜二測(cè)”畫法中它的長(zhǎng)度可能會(huì)發(fā)生變化的，現(xiàn)直角坐標(biāo)系平面上一條長(zhǎng)為4cm線段AB按“斜二測(cè)”畫法在水平放置的平面上畫出為，則最短長(zhǎng)度為cm（結(jié)果用精確值表示）變式15．（2024·陜西延安·校考一模）如圖，梯形ABCD是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為．變式16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為一個(gè)正方形，則原來(lái)圖形的面積是．【解題方法總結(jié)】斜二測(cè)法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關(guān)系：．題型五：展開(kāi)圖例13．（2024·山東青島·統(tǒng)考三模）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為．例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖中，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，且．若該三棱柱的外接球O的表面積為12π，則．例15．（2024·上海普陀·高三統(tǒng)考期中）2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)預(yù)定區(qū)域成果著陸．如圖，在返回過(guò)程中使用的主降落傘外表面積達(dá)到1200平方米，若主降落傘完全展開(kāi)后可以近似看著一個(gè)半球，則完全展開(kāi)后傘口的直徑約為米（精確到整數(shù)）變式17．（2024·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為．變式18．（2024·安徽·蚌埠二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開(kāi)圖中，，，，，，則三棱錐外接球表面積為．變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三棱錐P－ABC的底面ABC為等邊三角形．如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開(kāi)圖中，P，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，B，C，E三點(diǎn)共線，，，則PB＝．變式20．（2024·安徽黃山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P-ABCD的平面展開(kāi)圖中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，則該四棱錐外接球被平面PBC所截的圓面的面積為.變式21．（2024·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐的平面展開(kāi)圖中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為．

【解題方法總結(jié)】多面體表面展開(kāi)圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開(kāi)圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀．題型六：最短路徑問(wèn)題例16．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)校考期末）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個(gè)圓錐的體積為（）.

A． B． C． D．例17．（2024·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）盲盒是一種深受大眾喜愛(ài)的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長(zhǎng)為的正四面體魔方設(shè)計(jì)一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則包裝盒的棱長(zhǎng)最