北師大版數(shù)學(xué)選修2-2全套教案

課題：合情推理〔一〕——歸納推理課時安排：一課時課型：新授課1、通過對已學(xué)知識的回顧,進一步體會合情推理這種基本的分析問題法,認識歸納推理的基本方法與步驟,并把它們用于對問題的發(fā)現(xiàn)與解決中去.2.歸納推理是從特殊到一般的推理方法,通常歸納的個體數(shù)目越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題也會越可靠,它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.教學(xué)重點：了解合情推理的含義,能利用歸納進行簡單的推理.教學(xué)難點：用歸納進行推理,做出猜想.從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理.見書上的三個推理案例,回答幾個推理各有什么特點？都是由"前提"和"結(jié)論"兩部分組成,但是推理的結(jié)構(gòu)形式上表現(xiàn)出不同的特點,據(jù)此可分為合情推理與演繹推理1、蛇是用肺呼吸的,鱷魚是用肺呼吸的,海龜是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的.蛇,鱷魚,海龜,蜥蜴都是爬行動物,所有的爬行動物都是用肺呼吸的.3、由此我們猜想〔a,b,m均為正實數(shù)〕這種由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概栝出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.<簡稱：歸納>⑴對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理；⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論,即猜想；⑶檢驗猜想.實驗,觀察概括,推廣猜測一般性結(jié)論例1已知數(shù)列的通項公式試通過計算f(1),f(2),f(3)的值,推測出f(n)的值.學(xué)生討論：1〕哥德巴赫猜想：任何大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的之和.2〕三根針上有若干個金屬片的問題.1、已知f+...+,經(jīng)計算:f>2,f>3,f觀察上述兩等式的規(guī)律,請你寫出一般性的命題,并證明之.由以上兩式成立,推廣到一般結(jié)論,寫出你的推論.1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍.2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測性.3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)之上.歸納是立足于觀察、經(jīng)驗、實驗和對有限資料分析的基礎(chǔ)上.提出帶有規(guī)律性的結(jié)論.1.歸納推理是由部分到整體,從特殊到一般的推理.通常歸納的個體數(shù)目越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題也會越可靠,它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.2.歸納推理的一般步驟：1>通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).2>從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題〔猜想〕.課題：類比推理通過對已學(xué)知識的回顧,認識類比推理這一種合情推理的基本方法,并把它用于對問題的發(fā)現(xiàn)中去.類比推理是從特殊到特殊的推理,是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì),類比的性質(zhì)相似性越多,相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān),從而類比得出的結(jié)論就越可靠.1．正確認識合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用,養(yǎng)成從小開始認真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個性品質(zhì),善于發(fā)現(xiàn)問題,探求新知識.2．認識數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué),用數(shù)學(xué),完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識.●教學(xué)重點：了解合情推理的含義,能利用類比進行簡單的推理.●教學(xué)難點：用類比進行推理,做出猜想.●教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料.●課時安排：1課時一．問題情境從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班〔后人稱魯班,被認為是木匠業(yè)的祖師〕一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手,這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.二．?dāng)?shù)學(xué)活動我們再看幾個類似的推理實例.例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì).<1>a=b→a+c=b+c;<1>a＞b→a+c＞b+c;<2>a=b→ac=bc;<2>a＞b→ac＞bc;<3>a=b→a2=b2;等等.<3>a＞b→a2＞b2;等等.例2、試將平面上的圓與空間的球進行類比.圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合.球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合.弦←→截面圓直徑←→大圓周長←→表面積面積←→體積圓心與弦<不是直徑>的中點的連線垂直于弦與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等,距圓心較近的弦較長圓的切線垂直于過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心球的性質(zhì)球心與截面圓<不是大圓>的圓點的連線垂直于截面圓與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等,距球心較近的截面圓較大球的切面垂直于過切點的半徑；經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點經(jīng)過切點且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心☆上述兩個例子均是這種由兩個〔兩類〕對象之間在某些方面的相似或相同,推演出他們在其他方面也相似或相同；或其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理〔簡稱簡言之,類比推理是由特殊到特殊的推理.⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；⑵用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征,從而得出一個猜想；⑶檢驗猜想.即觀察、比較觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論.鞏固提高命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一2．類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.直角三角形3個面兩兩垂直的四面體3．〔2004,〕定義"等和數(shù)列"：在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{a}是等和數(shù)列,且a=2,公和為5,那么a的值為算公式為1．類比推理是從特殊到特殊的推理,是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì).類比的性質(zhì)相似性越多,相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān),從而類比得出的結(jié)論就越可靠.①找出兩類事物之間的相似性或者一致性.②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題〔猜想〕不等式證明一〔比較法〕比較法是證明不等式的一種最重要最基本的方法.比較法分為：作差法和作商法一、作差法：若a,b∈R,則：a－b＞0今a＞b；a－b＝0今a＝b；a－b＜0今a＜b它的三個步驟：作差——變形——判斷符號〔與零的大小〕——結(jié)論.作差法是當(dāng)要證的不等式兩邊為代數(shù)和形式時,通過作差把定量比較左右的大小轉(zhuǎn)化為定性判定左—右的符號,從而降低了問題的難度.作差是化歸,變形是手段,變形的過程是因式分解〔和差化積〕或配方,把差式變形為若干因子的乘積或若干個完全平方的和,進而判定其符號,得出結(jié)論.例2：已知a,b,m都是正數(shù),并且a<b,求證：EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(a),b)證：<a5+b5>-<a2b3+a3b2>=<a5-a3b2>+<b5-a2b3>=a3<a2-b2>-b3<a2-b2>=<a2-b2><a3-b3>=<a+b><a-b>2<a2+ab+b2>例4：甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點,甲有一半時解：設(shè)從出發(fā)地到指定地點的路程為S,甲乙兩人走完全程所需時間分別是t1,t2,例5：是一道利用不等式解決實際問題的例題.我們先用類比列方程解應(yīng)用題的步驟,然后參考列方程解應(yīng)用題的步驟,分析題意,設(shè)未知數(shù),找出數(shù)量關(guān)系<函數(shù)關(guān)系、相等關(guān)系或不等關(guān)系>,列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式,求解,作答等.整個解答過程體現(xiàn)了比較法解決不等關(guān)系等實際問題中發(fā)揮著重要的作用.二、作商法：若a>0,b>0,則1今a＞b1今a＝b1今a＜b它的三個步驟：作商——變形——判斷與1的大小——結(jié)論.作商法是當(dāng)不等式兩邊為正的乘積形式時,通過作商把其轉(zhuǎn)化為證明左/右與1的大小.證：先證不等式左≥中：由于要比較的兩式呈冪的結(jié)構(gòu),故結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,故可采用作商比較法證明.作商由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)abb23mn.bnn.bmn4.已知c＞a＞b＞0,求證5.已知a、b、c、d都是正數(shù),且bc＞ad,求證從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過的不等式與不等式的性質(zhì)經(jīng)過一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式,這個證明方法叫綜合法.〔也叫順推證法或由因?qū)Чā撤治觯翰坏仁阶筮吅?a2+b2”的形式,我們可以運用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的"和",右邊有三正數(shù)a,b,c的"積",我們可以運用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.當(dāng)且僅當(dāng)b=c,c=a,a=b時取等號,而a,b,c是不全相等的正數(shù)∴三式不同時取等號,三式相加得a<b2+c2>+b<c2+a2>+c<a2+b2>>6abc本例證法可稱為三合一法,當(dāng)要證的不等式關(guān)于字母具有對稱形式時,我們常可把其看成是由若干個結(jié)構(gòu)相同但所含字母較少的不等式相加或相乘而得,我們只要先把減了元的較簡單的不等式證出,即可完成原不等式的證明.兩式相乘即得EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up15(9),2)22)22說明：此題在證明過程中運用了比較法、基本不等式、等比中項性質(zhì),體現(xiàn)了綜合法證明不等式的特點例4、制造一個容積為V〔定值〕的圓柱形容器,試分別就容器有蓋與無蓋兩種情況,求：怎樣選取底半徑分析：根據(jù)1題中不等式左右的結(jié)構(gòu)特征,考慮運用"基本不等式"來證明.對于2題,抓住容積為定值,建立面積目標(biāo)函數(shù),求解最值,是本題的思路.V解：設(shè)容器底半徑為r,高為h,則V=πr2h,h=——.2<1>當(dāng)容器有蓋時,所需用料的面積：當(dāng)且僅當(dāng)2πr2=EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up13(V),r),即r=3EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(V),2兀),h=EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(V),兀r)2=2r,取"="號.故時用料最省.2b2222、設(shè)a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求證：8abc≤<1-a><1-b><1-c>.3、設(shè)a,b,c為一個不等邊三角形的三邊,求證：abc><b+c-a><a+b-c><c+a-b>.不等式證明三〔分析法〕當(dāng)用綜合法不易發(fā)現(xiàn)解題途徑時,我們可以從求證的不等式出發(fā),逐步分析尋求使這個不等式成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實,從而得出要證的不等式成立,這種執(zhí)果所因的思考和證明方法叫做分析法.使用分析法證明時,要注意表述的規(guī)范性,當(dāng)問題比較復(fù)雜時,通常把分析法和綜合法結(jié)合使用,以分析法尋求證明的思路,而用綜合法進行表述,完成證明過程.2 即：x63y33y32只需證：x2+y2>xy32333y322=a2b2ab=分析：不等式右邊是常數(shù),能否用平均值定理？應(yīng)當(dāng)可以.〔找條件一正、二定、三相等〕如何把左邊變形為和的形式？多項式的除法或配湊！22例5、a>0,b>0,且a+b=1,求證:a+222121211222≤1←ab+≤1←ab≤∵a>0,b>0,且a+b=1,∴ab≤<成立,故22++作業(yè)補充題3、求證:a,b,c∈R求證:2226、求證：通過水管放水,當(dāng)流速相等時,如果水管截面〔指橫截面〕的周長相等,那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.不等式證明四〔反證法與放縮法〕有些不等式無法利用用題設(shè)的已知條件直接證明,我們可以間接的方法――反證法去證明,即通過否定原結(jié)論―――導(dǎo)出矛盾―――從而達到肯定原結(jié)論的目的.例1、若x,y>0,且x+y>2,則和中至少有一個小于2.41則三式相乘：<1a>b?<1b>c?<1c>a>①又∵0<a,b,c<1EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(1),4)1以上三式相乘：<1a>a?<1b>b?<1c>c≤與①矛盾.1∴<1a>b,<1b>c,<1c>a,不可能同時大于4在證明不等式的時候,在直接證明遇到困難的時候,可以利用不等式的傳遞性,把要證明的不等式加強為一個易證的不等式,即欲證A>B,我們可以適當(dāng)?shù)恼乙粋€中間量C作為媒介,證明A>C且C>B,從而得到A>B.我們把這種把B放大到C<或把A縮小到C>的方法稱為放縮法.放縮是一種重要的變形手段,但是放縮的對象以與放縮的尺度不易掌握,技巧性較強,這關(guān)系到證明的成敗,往往需要根據(jù)具體的題目經(jīng)過多次的探索和試驗才能成功,因此必須多練.比較常用的方法時把分母或分子適當(dāng)放大或縮小〔減去或加上一個正數(shù)〕使不等式簡化易證.2n2證：∵|a+b|≤|a|+|b|→|a|+|b|-|a+b|≥0,作業(yè)補充題1、設(shè)0<a,b,c<2,求證：<2-a>c,<2-b>a,<2-c>b,不可能同時大于1+2課題：數(shù)學(xué)歸納法與其應(yīng)用舉例1．使學(xué)生了解歸納法,理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實質(zhì).2．掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟；會用"數(shù)學(xué)歸納法"證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題.3．培養(yǎng)學(xué)生觀察,分析,論證的能力,進一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力,讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程,體會類比的數(shù)學(xué)思想.4．努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境,使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率.5．通過對例題的探究,體會研究數(shù)學(xué)問題的一種方法<先猜想后證明>,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識和科學(xué)精神.[教學(xué)重點]歸納法意義的認識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析[教學(xué)難點]數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解[教學(xué)方法]類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法[教學(xué)手段]多媒體輔助課堂教學(xué)[教學(xué)程序]第一階段：輸入階段——創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境,提供學(xué)習(xí)內(nèi)容<1>不完全歸納法引例：明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個笑話：財主的兒子學(xué)寫字．這則笑話中財主的兒子得出"四就是四橫、五就是五橫……"的結(jié)論,用的就是"歸納法",不過,這個歸納推出的結(jié)論顯然是錯誤的.<2>完全歸納法對比引例：有一位師傅想考考他的兩個徒弟,看誰更聰明一些．他給每人一筐花生去剝皮,看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?看誰先給出答案．大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個飽滿的,幾個干癟的,幾個熟好的,幾個沒熟的,幾個三仁的,幾個一仁、兩仁的,總共不過一把花生．顯然,二徒弟先給出答案,他比大徒弟聰明.在生活和生產(chǎn)實際中,歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測,水文預(yù)報,用的就是歸納法．這些歸納法卻不能用完全歸納法.2．回顧數(shù)學(xué)舊知,追溯歸納意識〔從生活走向數(shù)學(xué),與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識,進一步體會歸納意識,同時讓學(xué)生感受到我<1>不完全歸納法實例：給出等差數(shù)列前四項,寫出該數(shù)列的通項公式.<2>完全歸納法實例：證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部與一邊上三種情況.3．借助數(shù)學(xué)史料,促使學(xué)生思辨〔在生活引例與學(xué)過的數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上,再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料,能夠讓學(xué)生多方位多角度體會歸納法,感受使用歸納法的普遍性．同時引導(dǎo)學(xué)生進行思辨：在數(shù)學(xué)中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結(jié)論,不管是我們還是數(shù)學(xué)大家都可能如此．那么,有沒有更好的歸納法呢？〕2〔n∈N〕,<1>分別求a；a；a；a.〔培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識和數(shù)學(xué)概括能力．概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學(xué)認為"遷移就是概括",這里知識、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移,我找的突破他對n＝0,1,2,3,4作了驗證后得到的．后來,18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉〔Euler〕卻證明了225+1=4294967297＝6700417×641,從而否定了費馬的推測．沒想到當(dāng)n＝5這一結(jié)論便不成立.=97,f〔8〕＝113,f〔9〕＝131,f〔10〕＝151,…,f〔39〕＝1601．但是f〔40〕＝1681＝412,是合數(shù).第二階段：新舊知識相互作用階段——新舊知識作用,搭建新知結(jié)構(gòu)4．搜索生活實例,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣〔在第一階段的基礎(chǔ)上,由生活實例出發(fā),與學(xué)生一起解析歸納原理,揭示遞推過程．孔子說："知之者不如好之者,好之者不如樂之者．"興趣這種個性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗．〕實例：播放多米諾骨牌錄像關(guān)鍵：<1>第一張牌被推倒；<2>假如某一張牌倒下,則它的后一張牌必定倒下．于是,我們可以下結(jié)論：多米諾骨牌會全部倒下.搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車,早操排隊對齊等．5．類比數(shù)學(xué)問題,激起思維浪花類比多米諾骨牌過程,證明等差數(shù)列通項公式a=a+(n-1)d：a=a+d=a+[(k+1)-1]d,即n＝k＋1時等式也成立．于是,項公式a=a+(n-1)d對任何n∈N*都成立．〔布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認為,"有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)"強調(diào)知識發(fā)生發(fā)展過程．這里通過類比多米諾骨牌過程,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形,是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)．〕6．引導(dǎo)學(xué)生概括,形成科學(xué)方法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：<1>證明當(dāng)n取第一個值n時結(jié)論正確；0<2>假設(shè)當(dāng)n＝k<k∈N*,k≥n>時結(jié)論正確,證明當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論也正確．0完成這兩個步驟后,就可以斷定命題對從n開始的所有正整數(shù)n都正確．0這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.第三階段：操作階段——鞏固認知結(jié)構(gòu),充實認知過程7．蘊含猜想證明,培養(yǎng)研究意識〔本例要求學(xué)生先猜想后證明,既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法,也能教給學(xué)生做數(shù)學(xué)的方法,培養(yǎng)學(xué)生例題在數(shù)列中,a1＝1,an+1=<n∈N*>,先計算an式,最后證明你的結(jié)論．8．基礎(chǔ)反饋練習(xí),鞏固方法應(yīng)用〔課本例題與等差數(shù)列通項公式的證明差不多,套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答,因此我把它作為練習(xí),這樣既考慮到學(xué)生的能力水平,也不沖淡本節(jié)課的重點．練習(xí)第3題恰好是等比數(shù)列通項公式的證9．師生共同小結(jié),完成概括提升<1>本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；<2>歸納法是一種由特殊到一般的推理方法,它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種,完全歸納法只局限于有限個元素,而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性,數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；<3>數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法,其基本思想是遞推<遞歸>思想,使用要點可概括為：兩個步驟一結(jié)論,遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉；<4>本節(jié)課所涉與到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想.10．布置課后作業(yè),鞏固延伸鋪墊里留一個辨析題給學(xué)生課后討論思考：n1=2n一1<n∈N*>時,其中第二步采用下面的證法：231．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確,教學(xué)重點不應(yīng)該是方法的應(yīng)用．我認為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸,技能的操練．為此,我設(shè)想強化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué),把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認識當(dāng)中,把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景,從一開始就注意它的功能,為使用它打下良好的基礎(chǔ),而且可以強化歸納思想的教學(xué),這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補充,也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機.2．在教學(xué)方法上,這里運用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強學(xué)生對教學(xué)過程的參與．為了使這種參與有一定的智能度,教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導(dǎo)和點撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的,本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題,讓學(xué)生投入到思維活動中來,把本節(jié)課的研究內(nèi)容置于問題之中,在逐漸展開中,引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識、方法予以解決,并獲得知識體系的更新與拓展.3．運用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,兩個步驟缺一不可．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想,尤其要注意其中第二步,證明n＝k＋1命題成立時必須要用到n＝k時命題成立這個條件．這些內(nèi)容都將放在下一課時完成,這種理解不僅使我們能夠正確認識數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì),也為證明過程中第二步的設(shè)計指明了思維方向.課題平均變化率1．感受平均變化率廣泛存在于日常生活之中,經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)描述和刻畫現(xiàn)實世界的過程.體會數(shù)學(xué)的博大精深以與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義.2．理解平均變化率的意義,為后續(xù)建立瞬時變化率和導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)模型提供豐富的背景.二、教學(xué)重點、難點重點：平均變化率的實際意義和數(shù)學(xué)意義難點：平均變化率的實際意義和數(shù)學(xué)意義三、教學(xué)過程1、情境：現(xiàn)有南京市某年3月和4月某天日最高氣溫記載.33.4℃2問題1："氣溫陡增"是一句生活用語,它的數(shù)學(xué)意義是什么？〔形與數(shù)兩方面〕二、學(xué)生活動1、曲線上BC之間一段幾乎成了"直線",由此聯(lián)想如何量化直線的傾斜程度.2、由點B上升到C點,必須考察yC—yB的大小,但僅僅注意yC—yB的大小能否精確量化BC段陡峭程度,為什3、在考察yC—yB的同時必須考察xC—xB,函數(shù)的本質(zhì)在于一個量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個量的改變.三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1．通過比較氣溫在區(qū)間[1,32]上的變化率0．5與氣溫[32,34]上的變化率7．4,感知曲線陡峭程度的量化.2.一般地,給出函數(shù)f<x>在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率3．回到氣溫曲線圖中,從數(shù)和形兩方面對平均變化率進行意義建構(gòu).4.平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是"粗糙不精確的",但應(yīng)注意當(dāng)x2—x1很小時,這種量化便有"粗糙"逼近"精確".小結(jié)：僅考慮一個變量的變化是不形的.例2、水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙,ts后容器例3、已知函數(shù)f(x)=x2,分別計算f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率：五、課堂練習(xí)1、某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示,試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率.2、已知函數(shù)f〔x〕=2x+1,g〔x〕=—2x,分別計算在區(qū)間[-3,-1],[0,5]上f〔x〕與g〔x〕的平均變化率.〔發(fā)現(xiàn)：y=kx+b在區(qū)間[m,n]上的平均變化率有什么特點？〕六、回顧反思一般的,函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率<1>理解并掌握曲線在某一點處的切線的概念<2>會運用瞬時速度的定義求物體在某一時刻的瞬時速度和瞬時加速度<3>理解導(dǎo)數(shù)概念實際背景,培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力,進一步掌握在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義與其幾何意義,培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力與數(shù)形結(jié)合思想1、什么叫做平均變化率；2、曲線上兩點的連線〔割線〕的斜率與函數(shù)f<x>在區(qū)間[xA,xB]上的平均變化率3、如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？下面我們來看一個動畫.從這個動畫可以看出,隨著點P沿曲線向點Q運動,隨著點P無限逼近點Q時,則割線的斜率就會無限逼近曲線在點Q處的切線的斜率.所以我們可以用Q點處的切線的斜率來刻畫曲線在點Q處的變化趨勢二、新課講解不妨設(shè)P<x1,f<x1>>,Q<x0,f<x0>>,則割線PQ的斜率為kPQ=當(dāng)點P沿著曲線向點Q無限靠近時,割線PQ的斜率就會無限逼近點Q處切線斜率,即當(dāng)△x無限趨近于f(x+Δx)-f(x)Δx0無限趨近點Q處切線斜率.,當(dāng)△x無限趨近于0時,k值即為<x0,f<x0>>處切線的斜率.3、瞬時速度與瞬時加速度<1>平均速度：物理學(xué)中,運動物體的位移與所用時間的比稱為平均速度<2>位移的平均變化率<3>瞬時速度：當(dāng)無限趨近于無限趨近于一個常數(shù),這個常數(shù)稱為t=t0時的瞬時速度1.先求時間改變量Δt和位置改變量Δs=s(t0+Δt)-s(t0)2.再求平均速度v=3.后求瞬時速度：當(dāng)Δt無限趨近于0,無限趨近于常數(shù)v為瞬時速度<4>速度的平均變化率<5>瞬時加速度：當(dāng)Δt無限趨近于無限趨近于一個常數(shù),這個常數(shù)稱為t=t0時的瞬時加速度注：瞬時加速度是速度對于時間的瞬時變化率三、數(shù)學(xué)應(yīng)用例1、已知f<x>=x2,求曲線在x=2處的切線的斜率.1變式:1.求f(x)=過點<1,1>的切線方程x23.已知曲線f(x)=3x上的一點P<0,0>的切線斜率是否存在?例2.一直線運動的物體,從時間t到t+Δt時,物體的位移為Δs,那么Δs為〔〕1例3.自由落體運動的位移s<m>與時間t<s>的關(guān)系為s=gt22<1>求t=t0s時的瞬時速度<2>求t=3s時的瞬時速度<3>求t=3s時的瞬時加速度求瞬時速度,也就轉(zhuǎn)化為求極限,瞬時速度我們是通過在一段時間內(nèi)的平均速度的極限來定義的,只要知道了物體的運動方程,代入公式就可以求出瞬時速度了.運用數(shù)學(xué)工具來解決物理方面的問題,是不是方便多了.所以數(shù)學(xué)是用來解決其他一些學(xué)科,比如物理、化學(xué)等方面問題的一種工具,我們這一節(jié)課學(xué)的內(nèi)容以與上一節(jié)課學(xué)的是我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的一些實際背景通過大量的實例的分析,經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程,了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景,知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù).①通過動手計算培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力②通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法通過運動的觀點體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵,使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的概念不再困難,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.重點：導(dǎo)數(shù)概念的形成,導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解難點：在平均變化率的基礎(chǔ)上去探求瞬時變化率,深刻理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵通過逼近的方法,引導(dǎo)學(xué)生觀察來突破難點四、教學(xué)設(shè)想〔具體如下表〕教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計思路在高臺跳水運動中,運動員相對水面的高s〕存在函數(shù)關(guān)系h〔t〕=－4.9t2＋6.5t+這段時間里10.計算運動員在0≤t這段時間里〔2〕你認為用平均速度描述運動員的運根據(jù)學(xué)生的認知水平,概念的形成分了兩問題一：請大家思考如何求運動員的瞬時首先回顧上節(jié)課留下的在學(xué)生相互討論,交流結(jié)果的基礎(chǔ)上,提出：大家得到運動員在這段時間內(nèi)的平均速度為"0",但我們知道運動員在這段時間內(nèi)并沒有"靜止".為什么會產(chǎn)生這提出問題一,組織學(xué)生討論,引導(dǎo)他們自然地想到選取一個具體時刻如t=2,研究它附近的平均速度變化情況來尋找到問題的思路,使抽象問題具體化引起學(xué)生的好奇,意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內(nèi)的運動狀態(tài),為了能更精確地刻畫物體運動,我們有必要研究某個時刻的速度即瞬時速度.使學(xué)生帶著問題走進課堂,激發(fā)學(xué)生求知欲理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵是本節(jié)課的教學(xué)重難點,通過層層設(shè)疑,把學(xué)生推向問題的中心,讓學(xué)生動手操作,直觀感受來突出重點、突破難點初初步探索、展示內(nèi)涵問題二：請大家繼續(xù)思考,當(dāng)Δt取不同值時,嘗試計算v=時,嘗試計算v=-0.01-0.001-0.0001-0.000010.010.0010.00010.00001…-0.01-0.001-0.0001-0.00001-12.61-13.0-13.0-13009951-13.0999510.010.0010.00010.00001-13.59-13.1-13.1-13.10049-13.100049學(xué)生對概念的認知需要借助大量的直觀數(shù)據(jù),所以我讓學(xué)生利用計算器,分組完成問題二,一方面分組討論,上臺板演,展示計算結(jié)果,同趨于0時,平均速度趨于一個確定的值-13.1,即瞬時速度,第一次體會逼近思想；另一方面借助動畫多渠道地引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較、歸納,第二次體會逼近思想,為了表述方便,數(shù)學(xué)中用簡潔的符號來表幫助學(xué)生體會從平均速度出發(fā),"以已知探求未知"的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力數(shù)形結(jié)合,掃清了學(xué)生的思維障礙,更好地突破了教學(xué)的重難點,體驗數(shù)學(xué)的簡約美0引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考:運動員在某個時刻t的0瞬時速度如何表示?學(xué)生意識到將t代替2,0lim00與舊教材相比,這里不提與極限概念,而是通過形象生動的逼近思想來定義t時0刻的瞬時速度,更符合學(xué)生的認知規(guī)律,提高了他們的思維能力,體現(xiàn)了特殊到一般的思維方法、、循序漸進延伸拓展借助其它實例,抽象導(dǎo)數(shù)的概念0問題六：如果將這兩個變化率問題中的函數(shù)用f(x)來表示,那么函數(shù)f(x)在0例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產(chǎn)品,需要對原油進行冷卻和加熱.〔1〕計算第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率,并說明它的意義.時變化率,并說明它的意義.①啟發(fā)學(xué)生根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,再分別求出f,(2)和f,(6)②既然我們得到了第2h和第6h的原油溫度的瞬時變化率分別為-3與5,大家能說③大家是否能用同樣方法來解決問題④師生共同歸納得到,導(dǎo)數(shù)即瞬時變化率,可反映物體變化的快慢類比之前學(xué)習(xí)的瞬時速度問題,引導(dǎo)學(xué)生得到lim00v在前面兩個問題的鋪墊下,進一步提出,我們這里研究的函數(shù)f(x)在0率0處的導(dǎo)數(shù),記作f,(xx<也可記為y,>入探究導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵積極的師生互動能幫助學(xué)生看到知識點之間的聯(lián)系,有助于知識的重組和遷移,尋找不同實際背景下的數(shù)學(xué)共性,即對于不同實際問題,瞬時變化率富于不同的實際意義引導(dǎo)學(xué)生舍棄具體問題的實際意義,抽象得到導(dǎo)數(shù)定特殊到一般,幫助學(xué)生完成了思維的飛躍；同時提與導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的時代背景,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶,感受數(shù)學(xué)來源于生活,又服務(wù)于生活.發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識,是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的重要理念之一.在教學(xué)中以具體問題為載體,加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解,體驗數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用變式練習(xí)：已知一個物體運動的位移〔m〕學(xué)生獨立完成,上臺板演,第三次體會逼近思想目的是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看待物理模型,建立各學(xué)科之間的聯(lián)系,更深刻地把握事物變化的規(guī)律3、思想方法："以已知探求未知"、逼近、類比、從特殊到一般引導(dǎo)學(xué)生進行討論,相互補充后進行回答,老師評析,并用幻燈片給出讓學(xué)生自己小結(jié),不僅僅總結(jié)知識更重要地是總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法.這是一個重組知識的過程,是一個多維整合的過程,是一個高層次的自我認識過程,這樣可幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識體系,理清知識脈絡(luò),養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣學(xué)法與教學(xué)用具〔1〕合作學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生分組討論,合作交流,共同探討問題.〔如題2的處理〕〔2〕自主學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生通過親身經(jīng)歷,動口、動腦、動手參與數(shù)學(xué)活動.〔如題3的處理〕〔3〕探究學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主觀能動性,主動探索新知.〔如例題的處理〕教法：整堂課圍繞"一切為了學(xué)生發(fā)展"的教學(xué)原則,突出①動——師生互動、共同探索.②導(dǎo)——教師指導(dǎo)、循序漸進（1）新課引入——提出問題,激發(fā)學(xué)生的求知欲（2）理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵——數(shù)形結(jié)合,動手計算,組織學(xué)生自主探索,獲得導(dǎo)數(shù)的定義（3）例題處理——始終從問題出發(fā),層層設(shè)疑,讓他們在探索中自得知識（4）變式練習(xí)——深化對導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解,鞏固新知教學(xué)目的：1.了解平均變化率與割線之間的關(guān)系2.理解曲線的切線的概率3.通過函數(shù)的圖像理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)重點函數(shù)切線的概念,切線的斜率,導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)難點理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)過程練習(xí)注意二、教學(xué)重難點：用定義推導(dǎo)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.1、導(dǎo)數(shù)的定義；2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3、導(dǎo)函數(shù)的定義；4、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的流程圖.〔2〕求平均變化率本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù).首先我們來求下面幾個函數(shù)的導(dǎo)數(shù).232)x從上面這一組公式來看,我們只要掌握冪函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)的求導(dǎo)就可以了.例1、求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù).〔7〕y=cos<2π-x>〔8〕y=f’(1)例2：已知點P在函數(shù)y=cosx上,〔0≤x≤2π〕,在P處的切線斜率大于0,求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍.變式1.求曲線y=x2在點<1,1>處的切線方程.總結(jié)切線問題：找切點求導(dǎo)數(shù)得斜率變式2:求曲線y=x2過點<0,-1>的切線方程變式3:求曲線y=x3過點<1,1>的切線方程三、小結(jié)〔1〕基本初等函數(shù)公式的求導(dǎo)公式〔2〕公式的應(yīng)用1.理解兩個函數(shù)的和<或差>的導(dǎo)數(shù)法則,學(xué)會用法則求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.理解兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)法則,學(xué)會用法則求乘積形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.能夠綜合運用各種法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點：用定義推導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則教學(xué)難點：函數(shù)的積、商的求導(dǎo)法則的推導(dǎo).授課類型：新授課[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)法則2常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)．[cf(x)]'=cf(x)'法則3兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)證明：令y=f(x)g(x),則Δy=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x)=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x+Δx)+f(x)g(x+Δx)-f(x)g(x),Δyf(x+Δx)-f(x)g(x+Δx)-g(x)=g(x+Δx)+f(x)因為g(x)在點x處可導(dǎo),所以它在點x處連續(xù),于是當(dāng)Δx→0時,g(x+Δx)→g(x),=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),法則4兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積,減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積,再除以分母的平方,t2+13、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)⑴h(x)=xsinx⑵s(t)=——t4、y=5x10sinx－2xcosx－9,求y′5例3求滿足下列條件的函數(shù)f(x)<1>f(x)是三次函數(shù),且f(0)=3,f'(0)=0,f'(1)=-3,f'(2)=0<2>f'(x)是一次函數(shù),x2f'(x)-(2x-1)f(x)=1變式：已知函數(shù)f<x>=x3+bx2+cx+d的圖象過點P<0,2>,且在點M處<-1,f<-1>>處的切線方程為6x-y+7=0,求函數(shù)的解析式五、小結(jié)：由常函數(shù)、冪函數(shù)與正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運算得到的簡單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo),而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),商的導(dǎo)數(shù)法則<v≠0>,如何綜合運用函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法則,來求一些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù).要將和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法則記住課題簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課型新授教學(xué)目標(biāo):1．掌握簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)2．簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)重點:掌握簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)教學(xué)難點:簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用備課札記教學(xué)過程備課札記3練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)232x例3、設(shè)fff(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,求h(5)與h'(5)(x)+2g(x)2〕、h(x)=f(x)g(x)+1g(x)1.正確理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理；2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性教具：多媒體、實物投影儀以前,我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.對于任意的兩個數(shù)x1,x2∈I,且當(dāng)x1＜x2時,都有f<x1>＜f<x2>,那么函數(shù)f<x>就是區(qū)間I上的增函數(shù).對于任意的兩個數(shù)x1,x2∈I,且當(dāng)x1＜x2時,都有f<x1>＞f<x2>,那么函數(shù)f<x>就是區(qū)間I上的減函數(shù).在函數(shù)y=f<x>比較復(fù)雜的情況下,比較f<x1>與f<x2>的大小并不很容易.如果利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡單2.法則1[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).法則2[f(x)g(x)]’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),[cf(x)]’=cf'(x)我們已經(jīng)知道我們已經(jīng)知道,曲線y=f<x>的切線的斜率就是函數(shù)y=f<x>的導(dǎo)y=f<x>=x2－4x+3切線的斜率f′<x><2,+∞><-∞,2>增函數(shù)減函數(shù)>0+∞〕內(nèi),切線數(shù)y=f<x>的值yBA隨著x的增大而增大,即y/>0時,函數(shù)y=f<x>在區(qū)間〔2,+∞〕內(nèi)為增函數(shù)；在區(qū)間〔-∞,2〕內(nèi),切線的斜率為負,函數(shù)y=f<x>的值隨著x的增大而減小,即y/<0時,函數(shù)y=f<x>在區(qū)間〔-∞,2〕內(nèi)為減函數(shù).定義：一般地,設(shè)函數(shù)y=f<x>在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個區(qū)間內(nèi)y/>0,那么函數(shù)y=f<x>在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)y/<0,那么函數(shù)y=f<x>在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)①求函數(shù)f<x>的導(dǎo)數(shù)f′<x>.②令f′<x>＞0解不等式,得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f′<x>＜0解不等式,得x的范圍,就是遞減區(qū)間.例1確定函數(shù)f<x>=x2－2x+4在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).∴當(dāng)x∈<-∞,1>時,f′<x>＜0,f<x>是減函數(shù).例2確定函數(shù)f<x>=2x3－6x2+7在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).∴當(dāng)x∈<-∞,0>時,f′<x>＞0,f<x>是增函數(shù).當(dāng)x∈<2,+∞>時,f′<x>＞0,f<x>是增函數(shù).－12x＜0,解得0＜x＜2.1例3證明函數(shù)f<x>=在<0,+∞>上是減函數(shù).xy2y證法一：<用以前學(xué)的方法證>任取兩個數(shù)x1,x2∈<0,+∞>設(shè)x1＜x2.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(2),x)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up4(2),x)＞0∴f<x1>－f<x2>＞0,即f<x1>＞f<x2>1∴f<x>=在<0,+∞>上是減函數(shù).x證法二：<用導(dǎo)數(shù)方法證>,x＞0,∴x2＞0,∴-＜0.∴f/(x)<0,xx2x21∴f<x>=在<0,+∞>上是減函數(shù).x2點評：比較一下兩種方法,用求導(dǎo)證明是不是更簡捷一些.如果是更復(fù)雜一些的函數(shù),用導(dǎo)數(shù)的符號判別函數(shù)的增減性更能顯示出它的優(yōu)越性.1例5已知函數(shù)y=x+,試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.x令＞0.解得x＞1或x1.1∴y=x+的單調(diào)增區(qū)間是<-∞,－1>和<1,+∞>.x1y2x令＜0,解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的單調(diào)減區(qū)間是<－1,0>和<0,1>x2x1．確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間令3<x－2><x－4>＞0,解得x＞4或x＜2.3－9x2+24x的單調(diào)增區(qū)間是<4,+∞>和<-∞,2>3的單調(diào)減區(qū)間是<-∞,－>和<,+∞>bbc<a＞0>的單調(diào)增區(qū)間是<－,+∞>令2ax+b＜0,解得x的單調(diào)減區(qū)間是<-∞,－EQ\*jc3\*hps38\o\al(\s\up15(b),2a)>的單調(diào)減區(qū)間是<-∞,0>與<0,+∞>當(dāng)x≠±3時,0,∴y′＜0.的單調(diào)減區(qū)間是<-∞,－3>,<－3,3>與<3,+∞>.1f<x>在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),可以根據(jù)f/(x)＞0或f/(x)＜0求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,或判斷函數(shù)的單調(diào)性,或證明不等式.以與當(dāng)f/(x)=0在某個區(qū)間上,那么f<x>在這個區(qū)間上是常數(shù)函數(shù)1.理解極大值、極小值的概念.2.能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值.3.掌握求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟教學(xué)重點：極大、極小值的概念和判別方法,以與求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟.教學(xué)難點：對極大、極小值概念的理解與求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟授課類型：新授課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀對極大、極小值概念的理解,可以結(jié)合圖象進行說明.并且要說明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的.從圖象觀察得出,判別極大、極小值的方法.判斷極值點的關(guān)鍵是這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號x；(ax)'=axlna法則2[u(x)v(x)]’=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),[Cu(x)]’=Cu'(x) 4.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y=f<x>在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個區(qū)間內(nèi)y/>0,那么函數(shù)y=f<x>在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)y/<0,那么函數(shù)y=f<x>在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)5.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求函數(shù)f<x>的導(dǎo)數(shù)f′<x>.②令f′<x>＞0解不等式,得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f′<x>＜0解不等式,得x的范圍,就是遞減區(qū)間1.極大值：一般地,設(shè)函數(shù)f<x>在點x0附近有定義,如果對x0附近的所有的點都有f<x>＜f<x0>,就說f<x0>是函數(shù)f<x>的一個極大值,記作y極大值=f<x0>,x0是極大值點2.極小值：一般地,設(shè)函數(shù)f<x>在x0附近有定義,如果對x0附近的所有的點,都有f<x>＞f<x0>.就說f<x0>是函數(shù)f<x>的一個極小值,記作y極小值=f<x0>,x0是極小值點3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值在定義中,取得極值的點稱為極值點,極值點是自變量的值,極值指的是函數(shù)值請注意以下幾點：〔ⅰ〕極值是一個局部概念由定義,極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小〔ⅱ〕函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個〔?！硺O大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值,如下圖所示,x1是極大值點,x4是極小值點,而f(x4)>f(x1)〔ⅳ〕函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點4.判別f<x0>是極大、極小值的方法:若x0滿足f’(x0)=0,且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號,則x0是f(x)的極值點,f(x0)是極值,并且如果f’(x)在x0兩側(cè)滿足"左正右負",則x0是f(x)的極大值點,f(x0)是極大值；如果f’(x)在x0兩側(cè)滿足"左負右正",則x0是f(x)的極小值點,f(x0)是極小值<1>確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)f/(x)<2>求方程f/(x)=0的根<3>用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點,順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間,并列成表格.檢查f/(x)在方程根左右的值的符號,如果左正右負,那么f<x>在這個根處取得極大值；如果左負右正,那么f<x>在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號,那么f<x>在這個根處無極值32(-∞,2)+∴當(dāng)x=－2時,y有極大值且y=當(dāng)x=2時,y有極小值且y=－50極大值f(-2)20極小值f(2)<-2,2>-↘+xy’y－1>3+1的極值(-∞,-1)-↘00極小值0+↗0無極值10無極值<-1,0>-↘<0,1>+↗xy’y極小值求極值的具體步驟：第一,求導(dǎo)數(shù)f/(x).第二,令f/(x)=0求方程的根,第三,列表,檢查f/(x)在方程根左右的值的符號,如果左正右負,那么f<x>在這個根處取得極大值；如果左負右正,那么f<x>在這個根處取得極小值,如果左右都是正,或者左右都是負,那么f<x>在這根處無極值.如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導(dǎo),也需要考慮這些點是否是極值點1．求下列函數(shù)的極值.7.2xyEQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up10(7),2)-↘720極小值-4EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up10(7),2)+↗772時,y有極小值,且y=-極小值4+↗xy<-3,3>+↗xy<-3,3>-↘300+00極小值-54極大值極小值極大值極小值五、小結(jié)：函數(shù)的極大、極小值的定義以與判別方法.求可導(dǎo)函數(shù)f<x>的極值的三個步驟.還有要弄清函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的,在整個定義區(qū)間可能有多個極值,且要在這點處連續(xù).可導(dǎo)函數(shù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點,要看這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否異號.函數(shù)的不可導(dǎo)點可能是極值點⒈使學(xué)生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念,掌握可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上所有點〔包括⒉使學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值的方法和步驟教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法.教學(xué)難點：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系.1.極大值：一般地,設(shè)函數(shù)f<x>在點x0附近有定義,如果對x0附近的所有的點,都有f<x>＜f<x0>,就說f<x0>是函數(shù)f<x>的一個極大值,記作y極大值=f<x0>,x0是極大值點2.極小值：一般地,設(shè)函數(shù)f<x>在x0附近有定義,如果對x0附近的所有的點,都有f<x>＞f<x0>.就說f<x0>是函數(shù)f<x>的一個極小值,記作y極小值=f<x0>,x0是極小值點3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值注意以下幾點：〔ⅰ〕極值是一個局部概念由定義,極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小〔ⅱ〕函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個〔?！硺O大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值,如下圖所示,x1是極大值點,x極大值點,x是極小值點,而f(x)>f(x)yax1Ox2x3bx〔ⅳ〕函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點觀察圖中一個定義在閉區(qū)間[a,b]上的函數(shù)f(x)的圖象．圖中f(x1)與f(x3)是極小值,f(x2)是極大值．函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值是f(b),最小值是f(x3).一般地,在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.說明：⑴在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù),⑵函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的.⑶函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),是f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件.<4>函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個,而函數(shù)的極值可能不止一個,也可能沒有一個由上面函數(shù)f(x)的圖象可以看出,只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較,就可以得出函數(shù)的最值了.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；⑵將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較得出函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值例1求函數(shù)y=x42x2+5在區(qū)間上的最大EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(2),3)86642y例4已知f=log3,x∈<0,+∞>.是否存在實數(shù)a、b,使f(x)同時滿足下列兩個條件：〔1〕f(x)>在〔0,1〕上是減函數(shù),在［1,+∞>上是增函數(shù)；〔2〕f(x)的最小值是1,若存在,求出1．下列說法正確的是<>A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值C.函數(shù)的最值一定是極值D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值2.函數(shù)y=f<x>在區(qū)間［a,b］上的最大值是M,最小值是m,若M=m,則f′<x><>A.等于03.函數(shù)y=x2,在上的最小值為<>EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(1),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),2)5.設(shè)y=|x|3,那么y在區(qū)間3,－1］上的最小值是<>A.276.設(shè)f<x>=ax3－6ax2+b在區(qū)間1,2］上的最大值為3,最小值為－29,且a>b,則<>⑴函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點,導(dǎo)數(shù)不存在的點,區(qū)間端點；⑵函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),是f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條⑶閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,若有唯一的極值,則此極值必是函數(shù)的最值.1.進一步熟練函數(shù)的最大值與最小值的求法；⒉初步會解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題教學(xué)重點：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題.教學(xué)難點：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題.授課類型：新授課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀1.極大值：一般地,設(shè)函數(shù)f<x>在點x0附近有定義,如果對x0附近的所有的點,都有f<x>＜f<x0>,就說f<x0>是函數(shù)f<x>的一個極大值,記作y極大值=f<x0>,x0是極大值點2.極小值：一般地,設(shè)函數(shù)f<x>在x0附近有定義,如果對x0附近的所有的點,都有f<x>＞f<x0>.就說f<x0>是函數(shù)f<x>的一個極小值,記作y極小值=f<x0>,x0是極小值點3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值4.判別f<x0>是極大、極小值的方法:若x0滿足f,(x0)=0,且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號,則x0是f(x)的極值點,f(x0)是極值,并且如果f,(x)在x0兩側(cè)滿足"左正右負",則x0是f(x)的極大值點,f(x0)是極大值；如果f,(x)在x0兩側(cè)滿足"左負右正",則x0是f(x)的極小值點,f(x0)是極小值<1>確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)f′<x><2>求方程f′<x>=0的根<3>用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點,順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間,并列成表格.檢查f′<x>在方程根左右的值的符號,如果左正右負,那么f<x>在這個根處取得極大值；如果左負右正,那么f<x>在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負,那么f<x>在這個根處無極值值與最小值.⑴在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值.⑵函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的.⑶函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),是f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．<4>函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個,而函數(shù)的極值可能不止一個,也可能沒有一個7.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:⑴求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；⑵將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較得出函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值例1在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起<如圖>,做成一個無蓋的方底箱子,箱底的邊長是多少時,箱底的容積最大？最大容積是多少？ia-x得箱ia-xxx_并求得V<40>=16000由題意可知,當(dāng)x過小〔接近0〕或過大〔接近60〕時,箱子容積很小,因此,16000是最大值答：當(dāng)x=40cm時,箱子容積最大,最大容積是16000cm360-2x60-2xx60-2x60-2x60-2x60-2xx解法二：設(shè)箱高為xcm,則箱底長為<60-2x>cm,則得箱子容積由題意可知,當(dāng)x過小或過大時箱子容積很小,所以最大值出現(xiàn)在極值點處.60x2x32點,從圖象角度理解即只有一個波峰,是單峰的,因而這個極值點就是最值點,不必考慮端點的函數(shù)值解：設(shè)圓柱的高為h,底半徑為R,則表面積2V2R2即h=2R因為S<R>只有一個極值,所以它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時,所用材料最省變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時,它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取,才能使所用材料最省？例3在經(jīng)濟學(xué)中,生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同,記為C<x>,出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù),記為R<x>,R<x>－C<x>稱為利潤函數(shù),記為P<x>.成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時成本的增加量>變式：已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q,價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為18再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤.三、課堂練習(xí)：1.函數(shù)y=2x3－3x2－12x+5在［0,3］上的最小值是.2.函數(shù)f<x>=sin2x－x在,］上的最大值為；最小值為.3.將正數(shù)a分成兩部分,使其立方和為最小,這兩部分應(yīng)分成和.4.使內(nèi)接橢圓+=1的矩形面積最大,矩形的長為,寬為.