北師大版數(shù)學(xué)選修2-2全套教案

課題：合情推理〔一〕——?dú)w納推理課時(shí)安排：一課時(shí)課型：新授課1、通過(guò)對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧,進(jìn)一步體會(huì)合情推理這種基本的分析問(wèn)題法,認(rèn)識(shí)歸納推理的基本方法與步驟,并把它們用于對(duì)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與解決中去.2.歸納推理是從特殊到一般的推理方法,通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠,它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義,能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.教學(xué)難點(diǎn)：用歸納進(jìn)行推理,做出猜想.從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過(guò)程稱(chēng)為推理.見(jiàn)書(shū)上的三個(gè)推理案例,回答幾個(gè)推理各有什么特點(diǎn)？都是由"前提"和"結(jié)論"兩部分組成,但是推理的結(jié)構(gòu)形式上表現(xiàn)出不同的特點(diǎn),據(jù)此可分為合情推理與演繹推理1、蛇是用肺呼吸的,鱷魚(yú)是用肺呼吸的,海龜是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的.蛇,鱷魚(yú),海龜,蜥蜴都是爬行動(dòng)物,所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的.3、由此我們猜想〔a,b,m均為正實(shí)數(shù)〕這種由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概栝出一般結(jié)論的推理,稱(chēng)為歸納推理.<簡(jiǎn)稱(chēng)：歸納>⑴對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納整理；⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論,即猜想；⑶檢驗(yàn)猜想.實(shí)驗(yàn),觀察概括,推廣猜測(cè)一般性結(jié)論例1已知數(shù)列的通項(xiàng)公式試通過(guò)計(jì)算f(1),f(2),f(3)的值,推測(cè)出f(n)的值.學(xué)生討論：1〕哥德巴赫猜想：任何大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的之和.2〕三根針上有若干個(gè)金屬片的問(wèn)題.1、已知f+...+,經(jīng)計(jì)算:f>2,f>3,f觀察上述兩等式的規(guī)律,請(qǐng)你寫(xiě)出一般性的命題,并證明之.由以上兩式成立,推廣到一般結(jié)論,寫(xiě)出你的推論.1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍.2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒(méi)有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測(cè)性.3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上.歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)和對(duì)有限資料分析的基礎(chǔ)上.提出帶有規(guī)律性的結(jié)論.1.歸納推理是由部分到整體,從特殊到一般的推理.通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠,它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.2.歸納推理的一般步驟：1>通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).2>從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題〔猜想〕.課題：類(lèi)比推理通過(guò)對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧,認(rèn)識(shí)類(lèi)比推理這一種合情推理的基本方法,并把它用于對(duì)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)中去.類(lèi)比推理是從特殊到特殊的推理,是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì),類(lèi)比的性質(zhì)相似性越多,相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān),從而類(lèi)比得出的結(jié)論就越可靠.1．正確認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用,養(yǎng)成從小開(kāi)始認(rèn)真觀察事物、分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì),善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,探求新知識(shí).2．認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué),用數(shù)學(xué),完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識(shí).●教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義,能利用類(lèi)比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.●教學(xué)難點(diǎn)：用類(lèi)比進(jìn)行推理,做出猜想.●教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料.●課時(shí)安排：1課時(shí)一．問(wèn)題情境從一個(gè)傳說(shuō)說(shuō)起：春秋時(shí)代魯國(guó)的公輸班〔后人稱(chēng)魯班,被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師〕一次去林中砍樹(shù)時(shí)被一株齒形的茅草割破了手,這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.二．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)我們?cè)倏磶讉€(gè)類(lèi)似的推理實(shí)例.例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì).<1>a=b→a+c=b+c;<1>a＞b→a+c＞b+c;<2>a=b→ac=bc;<2>a＞b→ac＞bc;<3>a=b→a2=b2;等等.<3>a＞b→a2＞b2;等等.例2、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類(lèi)比.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.弦←→截面圓直徑←→大圓周長(zhǎng)←→表面積面積←→體積圓心與弦<不是直徑>的中點(diǎn)的連線垂直于弦與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等,距圓心較近的弦較長(zhǎng)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心球的性質(zhì)球心與截面圓<不是大圓>的圓點(diǎn)的連線垂直于截面圓與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等,距球心較近的截面圓較大球的切面垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)球心☆上述兩個(gè)例子均是這種由兩個(gè)〔兩類(lèi)〕對(duì)象之間在某些方面的相似或相同,推演出他們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?；或其中一?lèi)對(duì)象的某些已知特征,推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理〔簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)言之,類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理.⑴找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；⑵用一類(lèi)對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征,從而得出一個(gè)猜想；⑶檢驗(yàn)猜想.即觀察、比較觀察、比較聯(lián)想、類(lèi)推猜想新結(jié)論試通過(guò)類(lèi)比,寫(xiě)出在空間中的類(lèi)似結(jié)論.鞏固提高命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個(gè)更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一2．類(lèi)比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.直角三角形3個(gè)面兩兩垂直的四面體3．〔2004,〕定義"等和數(shù)列"：在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{a}是等和數(shù)列,且a=2,公和為5,那么a的值為算公式為1．類(lèi)比推理是從特殊到特殊的推理,是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì).類(lèi)比的性質(zhì)相似性越多,相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān),從而類(lèi)比得出的結(jié)論就越可靠.①找出兩類(lèi)事物之間的相似性或者一致性.②用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題〔猜想〕不等式證明一〔比較法〕比較法是證明不等式的一種最重要最基本的方法.比較法分為：作差法和作商法一、作差法：若a,b∈R,則：a－b＞0今a＞b；a－b＝0今a＝b；a－b＜0今a＜b它的三個(gè)步驟：作差——變形——判斷符號(hào)〔與零的大小〕——結(jié)論.作差法是當(dāng)要證的不等式兩邊為代數(shù)和形式時(shí),通過(guò)作差把定量比較左右的大小轉(zhuǎn)化為定性判定左—右的符號(hào),從而降低了問(wèn)題的難度.作差是化歸,變形是手段,變形的過(guò)程是因式分解〔和差化積〕或配方,把差式變形為若干因子的乘積或若干個(gè)完全平方的和,進(jìn)而判定其符號(hào),得出結(jié)論.例2：已知a,b,m都是正數(shù),并且a<b,求證：EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(a),b)證：<a5+b5>-<a2b3+a3b2>=<a5-a3b2>+<b5-a2b3>=a3<a2-b2>-b3<a2-b2>=<a2-b2><a3-b3>=<a+b><a-b>2<a2+ab+b2>例4：甲乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn),甲有一半時(shí)解：設(shè)從出發(fā)地到指定地點(diǎn)的路程為S,甲乙兩人走完全程所需時(shí)間分別是t1,t2,例5：是一道利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的例題.我們先用類(lèi)比列方程解應(yīng)用題的步驟,然后參考列方程解應(yīng)用題的步驟,分析題意,設(shè)未知數(shù),找出數(shù)量關(guān)系<函數(shù)關(guān)系、相等關(guān)系或不等關(guān)系>,列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式,求解,作答等.整個(gè)解答過(guò)程體現(xiàn)了比較法解決不等關(guān)系等實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮著重要的作用.二、作商法：若a>0,b>0,則1今a＞b1今a＝b1今a＜b它的三個(gè)步驟：作商——變形——判斷與1的大小——結(jié)論.作商法是當(dāng)不等式兩邊為正的乘積形式時(shí),通過(guò)作商把其轉(zhuǎn)化為證明左/右與1的大小.證：先證不等式左≥中：由于要比較的兩式呈冪的結(jié)構(gòu),故結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,故可采用作商比較法證明.作商由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)abb23mn.bnn.bmn4.已知c＞a＞b＞0,求證5.已知a、b、c、d都是正數(shù),且bc＞ad,求證從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式與不等式的性質(zhì)經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式,這個(gè)證明方法叫綜合法.〔也叫順推證法或由因?qū)Чā撤治觯翰坏仁阶筮吅?a2+b2”的形式,我們可以運(yùn)用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的"和",右邊有三正數(shù)a,b,c的"積",我們可以運(yùn)用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.當(dāng)且僅當(dāng)b=c,c=a,a=b時(shí)取等號(hào),而a,b,c是不全相等的正數(shù)∴三式不同時(shí)取等號(hào),三式相加得a<b2+c2>+b<c2+a2>+c<a2+b2>>6abc本例證法可稱(chēng)為三合一法,當(dāng)要證的不等式關(guān)于字母具有對(duì)稱(chēng)形式時(shí),我們?？砂哑淇闯墒怯扇舾蓚€(gè)結(jié)構(gòu)相同但所含字母較少的不等式相加或相乘而得,我們只要先把減了元的較簡(jiǎn)單的不等式證出,即可完成原不等式的證明.兩式相乘即得EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up15(9),2)22)22說(shuō)明：此題在證明過(guò)程中運(yùn)用了比較法、基本不等式、等比中項(xiàng)性質(zhì),體現(xiàn)了綜合法證明不等式的特點(diǎn)例4、制造一個(gè)容積為V〔定值〕的圓柱形容器,試分別就容器有蓋與無(wú)蓋兩種情況,求：怎樣選取底半徑分析：根據(jù)1題中不等式左右的結(jié)構(gòu)特征,考慮運(yùn)用"基本不等式"來(lái)證明.對(duì)于2題,抓住容積為定值,建立面積目標(biāo)函數(shù),求解最值,是本題的思路.V解：設(shè)容器底半徑為r,高為h,則V=πr2h,h=——.2<1>當(dāng)容器有蓋時(shí),所需用料的面積：當(dāng)且僅當(dāng)2πr2=EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up13(V),r),即r=3EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(V),2兀),h=EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(V),兀r)2=2r,取"="號(hào).故時(shí)用料最省.2b2222、設(shè)a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求證：8abc≤<1-a><1-b><1-c>.3、設(shè)a,b,c為一個(gè)不等邊三角形的三邊,求證：abc><b+c-a><a+b-c><c+a-b>.不等式證明三〔分析法〕當(dāng)用綜合法不易發(fā)現(xiàn)解題途徑時(shí),我們可以從求證的不等式出發(fā),逐步分析尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí),從而得出要證的不等式成立,這種執(zhí)果所因的思考和證明方法叫做分析法.使用分析法證明時(shí),要注意表述的規(guī)范性,當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí),通常把分析法和綜合法結(jié)合使用,以分析法尋求證明的思路,而用綜合法進(jìn)行表述,完成證明過(guò)程.2 即：x63y33y32只需證：x2+y2>xy32333y322=a2b2ab=分析：不等式右邊是常數(shù),能否用平均值定理？應(yīng)當(dāng)可以.〔找條件一正、二定、三相等〕如何把左邊變形為和的形式？多項(xiàng)式的除法或配湊！22例5、a>0,b>0,且a+b=1,求證:a+222121211222≤1←ab+≤1←ab≤∵a>0,b>0,且a+b=1,∴ab≤<成立,故22++作業(yè)補(bǔ)充題3、求證:a,b,c∈R求證:2226、求證：通過(guò)水管放水,當(dāng)流速相等時(shí),如果水管截面〔指橫截面〕的周長(zhǎng)相等,那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.不等式證明四〔反證法與放縮法〕有些不等式無(wú)法利用用題設(shè)的已知條件直接證明,我們可以間接的方法――反證法去證明,即通過(guò)否定原結(jié)論―――導(dǎo)出矛盾―――從而達(dá)到肯定原結(jié)論的目的.例1、若x,y>0,且x+y>2,則和中至少有一個(gè)小于2.41則三式相乘：<1a>b?<1b>c?<1c>a>①又∵0<a,b,c<1EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(1),4)1以上三式相乘：<1a>a?<1b>b?<1c>c≤與①矛盾.1∴<1a>b,<1b>c,<1c>a,不可能同時(shí)大于4在證明不等式的時(shí)候,在直接證明遇到困難的時(shí)候,可以利用不等式的傳遞性,把要證明的不等式加強(qiáng)為一個(gè)易證的不等式,即欲證A>B,我們可以適當(dāng)?shù)恼乙粋€(gè)中間量C作為媒介,證明A>C且C>B,從而得到A>B.我們把這種把B放大到C<或把A縮小到C>的方法稱(chēng)為放縮法.放縮是一種重要的變形手段,但是放縮的對(duì)象以與放縮的尺度不易掌握,技巧性較強(qiáng),這關(guān)系到證明的成敗,往往需要根據(jù)具體的題目經(jīng)過(guò)多次的探索和試驗(yàn)才能成功,因此必須多練.比較常用的方法時(shí)把分母或分子適當(dāng)放大或縮小〔減去或加上一個(gè)正數(shù)〕使不等式簡(jiǎn)化易證.2n2證：∵|a+b|≤|a|+|b|→|a|+|b|-|a+b|≥0,作業(yè)補(bǔ)充題1、設(shè)0<a,b,c<2,求證：<2-a>c,<2-b>a,<2-c>b,不可能同時(shí)大于1+2課題：數(shù)學(xué)歸納法與其應(yīng)用舉例1．使學(xué)生了解歸納法,理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì).2．掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；會(huì)用"數(shù)學(xué)歸納法"證明簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的命題.3．培養(yǎng)學(xué)生觀察,分析,論證的能力,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力,讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程,體會(huì)類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想.4．努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境,使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率.5．通過(guò)對(duì)例題的探究,體會(huì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法<先猜想后證明>,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識(shí)和科學(xué)精神.[教學(xué)重點(diǎn)]歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析[教學(xué)難點(diǎn)]數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解[教學(xué)方法]類(lèi)比啟發(fā)探究式教學(xué)方法[教學(xué)手段]多媒體輔助課堂教學(xué)[教學(xué)程序]第一階段：輸入階段——?jiǎng)?chuàng)造學(xué)習(xí)情境,提供學(xué)習(xí)內(nèi)容<1>不完全歸納法引例：明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個(gè)笑話(huà)：財(cái)主的兒子學(xué)寫(xiě)字．這則笑話(huà)中財(cái)主的兒子得出"四就是四橫、五就是五橫……"的結(jié)論,用的就是"歸納法",不過(guò),這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的.<2>完全歸納法對(duì)比引例：有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟,看誰(shuí)更聰明一些．他給每人一筐花生去剝皮,看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?看誰(shuí)先給出答案．大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個(gè)飽滿(mǎn)的,幾個(gè)干癟的,幾個(gè)熟好的,幾個(gè)沒(méi)熟的,幾個(gè)三仁的,幾個(gè)一仁、兩仁的,總共不過(guò)一把花生．顯然,二徒弟先給出答案,他比大徒弟聰明.在生活和生產(chǎn)實(shí)際中,歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測(cè),水文預(yù)報(bào),用的就是歸納法．這些歸納法卻不能用完全歸納法.2．回顧數(shù)學(xué)舊知,追溯歸納意識(shí)〔從生活走向數(shù)學(xué),與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí),進(jìn)一步體會(huì)歸納意識(shí),同時(shí)讓學(xué)生感受到我<1>不完全歸納法實(shí)例：給出等差數(shù)列前四項(xiàng),寫(xiě)出該數(shù)列的通項(xiàng)公式.<2>完全歸納法實(shí)例：證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部與一邊上三種情況.3．借助數(shù)學(xué)史料,促使學(xué)生思辨〔在生活引例與學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上,再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料,能夠讓學(xué)生多方位多角度體會(huì)歸納法,感受使用歸納法的普遍性．同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納法常常會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論,不管是我們還是數(shù)學(xué)大家都可能如此．那么,有沒(méi)有更好的歸納法呢？〕2〔n∈N〕,<1>分別求a；a；a；a.〔培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識(shí)和數(shù)學(xué)概括能力．概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學(xué)認(rèn)為"遷移就是概括",這里知識(shí)、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移,我找的突破他對(duì)n＝0,1,2,3,4作了驗(yàn)證后得到的．后來(lái),18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉〔Euler〕卻證明了225+1=4294967297＝6700417×641,從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)．沒(méi)想到當(dāng)n＝5這一結(jié)論便不成立.=97,f〔8〕＝113,f〔9〕＝131,f〔10〕＝151,…,f〔39〕＝1601．但是f〔40〕＝1681＝412,是合數(shù).第二階段：新舊知識(shí)相互作用階段——新舊知識(shí)作用,搭建新知結(jié)構(gòu)4．搜索生活實(shí)例,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣〔在第一階段的基礎(chǔ)上,由生活實(shí)例出發(fā),與學(xué)生一起解析歸納原理,揭示遞推過(guò)程．孔子說(shuō)："知之者不如好之者,好之者不如樂(lè)之者．"興趣這種個(gè)性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗(yàn)．〕實(shí)例：播放多米諾骨牌錄像關(guān)鍵：<1>第一張牌被推倒；<2>假如某一張牌倒下,則它的后一張牌必定倒下．于是,我們可以下結(jié)論：多米諾骨牌會(huì)全部倒下.搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車(chē),早操排隊(duì)對(duì)齊等．5．類(lèi)比數(shù)學(xué)問(wèn)題,激起思維浪花類(lèi)比多米諾骨牌過(guò)程,證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式a=a+(n-1)d：a=a+d=a+[(k+1)-1]d,即n＝k＋1時(shí)等式也成立．于是,項(xiàng)公式a=a+(n-1)d對(duì)任何n∈N*都成立．〔布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為,"有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)"強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程．這里通過(guò)類(lèi)比多米諾骨牌過(guò)程,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形,是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)．〕6．引導(dǎo)學(xué)生概括,形成科學(xué)方法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：<1>證明當(dāng)n取第一個(gè)值n時(shí)結(jié)論正確；0<2>假設(shè)當(dāng)n＝k<k∈N*,k≥n>時(shí)結(jié)論正確,證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也正確．0完成這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)從n開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確．0這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.第三階段：操作階段——鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu),充實(shí)認(rèn)知過(guò)程7．蘊(yùn)含猜想證明,培養(yǎng)研究意識(shí)〔本例要求學(xué)生先猜想后證明,既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法,也能教給學(xué)生做數(shù)學(xué)的方法,培養(yǎng)學(xué)生例題在數(shù)列中,a1＝1,an+1=<n∈N*>,先計(jì)算an式,最后證明你的結(jié)論．8．基礎(chǔ)反饋練習(xí),鞏固方法應(yīng)用〔課本例題與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明差不多,套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答,因此我把它作為練習(xí),這樣既考慮到學(xué)生的能力水平,也不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn)．練習(xí)第3題恰好是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的證9．師生共同小結(jié),完成概括提升<1>本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；<2>歸納法是一種由特殊到一般的推理方法,它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種,完全歸納法只局限于有限個(gè)元素,而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性,數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；<3>數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法,其基本思想是遞推<遞歸>思想,使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論,遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉；<4>本節(jié)課所涉與到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類(lèi)比思想、分類(lèi)思想、歸納思想、辯證唯物主義思想.10．布置課后作業(yè),鞏固延伸鋪墊里留一個(gè)辨析題給學(xué)生課后討論思考：n1=2n一1<n∈N*>時(shí),其中第二步采用下面的證法：231．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確,教學(xué)重點(diǎn)不應(yīng)該是方法的應(yīng)用．我認(rèn)為不能把教學(xué)過(guò)程當(dāng)作方法的灌輸,技能的操練．為此,我設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的教學(xué),把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中,把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來(lái)．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景,從一開(kāi)始就注意它的功能,為使用它打下良好的基礎(chǔ),而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué),這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充,也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī).2．在教學(xué)方法上,這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)過(guò)程的參與．為了使這種參與有一定的智能度,教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥．學(xué)生的思維參與往往是從問(wèn)題開(kāi)始的,本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問(wèn)題,讓學(xué)生投入到思維活動(dòng)中來(lái),把本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容置于問(wèn)題之中,在逐漸展開(kāi)中,引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決,并獲得知識(shí)體系的更新與拓展.3．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,兩個(gè)步驟缺一不可．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想,尤其要注意其中第二步,證明n＝k＋1命題成立時(shí)必須要用到n＝k時(shí)命題成立這個(gè)條件．這些內(nèi)容都將放在下一課時(shí)完成,這種理解不僅使我們能夠正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì),也為證明過(guò)程中第二步的設(shè)計(jì)指明了思維方向.課題平均變化率1．感受平均變化率廣泛存在于日常生活之中,經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)描述和刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程.體會(huì)數(shù)學(xué)的博大精深以與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義.2．理解平均變化率的意義,為后續(xù)建立瞬時(shí)變化率和導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)模型提供豐富的背景.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：平均變化率的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義難點(diǎn)：平均變化率的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義三、教學(xué)過(guò)程1、情境：現(xiàn)有南京市某年3月和4月某天日最高氣溫記載.33.4℃2問(wèn)題1："氣溫陡增"是一句生活用語(yǔ),它的數(shù)學(xué)意義是什么？〔形與數(shù)兩方面〕二、學(xué)生活動(dòng)1、曲線上BC之間一段幾乎成了"直線",由此聯(lián)想如何量化直線的傾斜程度.2、由點(diǎn)B上升到C點(diǎn),必須考察yC—yB的大小,但僅僅注意yC—yB的大小能否精確量化BC段陡峭程度,為什3、在考察yC—yB的同時(shí)必須考察xC—xB,函數(shù)的本質(zhì)在于一個(gè)量的改變本身就隱含著這種改變必定相對(duì)于另一個(gè)量的改變.三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1．通過(guò)比較氣溫在區(qū)間[1,32]上的變化率0．5與氣溫[32,34]上的變化率7．4,感知曲線陡峭程度的量化.2.一般地,給出函數(shù)f<x>在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率3．回到氣溫曲線圖中,從數(shù)和形兩方面對(duì)平均變化率進(jìn)行意義建構(gòu).4.平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是"粗糙不精確的",但應(yīng)注意當(dāng)x2—x1很小時(shí),這種量化便有"粗糙"逼近"精確".小結(jié)：僅考慮一個(gè)變量的變化是不形的.例2、水經(jīng)過(guò)虹吸管從容器甲中流向容器乙,ts后容器例3、已知函數(shù)f(x)=x2,分別計(jì)算f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率：五、課堂練習(xí)1、某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖所示,試分別計(jì)算從出生到第3個(gè)月與第6個(gè)月到第12個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率.2、已知函數(shù)f〔x〕=2x+1,g〔x〕=—2x,分別計(jì)算在區(qū)間[-3,-1],[0,5]上f〔x〕與g〔x〕的平均變化率.〔發(fā)現(xiàn)：y=kx+b在區(qū)間[m,n]上的平均變化率有什么特點(diǎn)？〕六、回顧反思一般的,函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率<1>理解并掌握曲線在某一點(diǎn)處的切線的概念<2>會(huì)運(yùn)用瞬時(shí)速度的定義求物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度<3>理解導(dǎo)數(shù)概念實(shí)際背景,培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力,進(jìn)一步掌握在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義與其幾何意義,培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力與數(shù)形結(jié)合思想1、什么叫做平均變化率；2、曲線上兩點(diǎn)的連線〔割線〕的斜率與函數(shù)f<x>在區(qū)間[xA,xB]上的平均變化率3、如何精確地刻畫(huà)曲線上某一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢？下面我們來(lái)看一個(gè)動(dòng)畫(huà).從這個(gè)動(dòng)畫(huà)可以看出,隨著點(diǎn)P沿曲線向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng),隨著點(diǎn)P無(wú)限逼近點(diǎn)Q時(shí),則割線的斜率就會(huì)無(wú)限逼近曲線在點(diǎn)Q處的切線的斜率.所以我們可以用Q點(diǎn)處的切線的斜率來(lái)刻畫(huà)曲線在點(diǎn)Q處的變化趨勢(shì)二、新課講解不妨設(shè)P<x1,f<x1>>,Q<x0,f<x0>>,則割線PQ的斜率為kPQ=當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線向點(diǎn)Q無(wú)限靠近時(shí),割線PQ的斜率就會(huì)無(wú)限逼近點(diǎn)Q處切線斜率,即當(dāng)△x無(wú)限趨近于f(x+Δx)-f(x)Δx0無(wú)限趨近點(diǎn)Q處切線斜率.,當(dāng)△x無(wú)限趨近于0時(shí),k值即為<x0,f<x0>>處切線的斜率.3、瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度<1>平均速度：物理學(xué)中,運(yùn)動(dòng)物體的位移與所用時(shí)間的比稱(chēng)為平均速度<2>位移的平均變化率<3>瞬時(shí)速度：當(dāng)無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為t=t0時(shí)的瞬時(shí)速度1.先求時(shí)間改變量Δt和位置改變量Δs=s(t0+Δt)-s(t0)2.再求平均速度v=3.后求瞬時(shí)速度：當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0,無(wú)限趨近于常數(shù)v為瞬時(shí)速度<4>速度的平均變化率<5>瞬時(shí)加速度：當(dāng)Δt無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為t=t0時(shí)的瞬時(shí)加速度注：瞬時(shí)加速度是速度對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率三、數(shù)學(xué)應(yīng)用例1、已知f<x>=x2,求曲線在x=2處的切線的斜率.1變式:1.求f(x)=過(guò)點(diǎn)<1,1>的切線方程x23.已知曲線f(x)=3x上的一點(diǎn)P<0,0>的切線斜率是否存在?例2.一直線運(yùn)動(dòng)的物體,從時(shí)間t到t+Δt時(shí),物體的位移為Δs,那么Δs為〔〕1例3.自由落體運(yùn)動(dòng)的位移s<m>與時(shí)間t<s>的關(guān)系為s=gt22<1>求t=t0s時(shí)的瞬時(shí)速度<2>求t=3s時(shí)的瞬時(shí)速度<3>求t=3s時(shí)的瞬時(shí)加速度求瞬時(shí)速度,也就轉(zhuǎn)化為求極限,瞬時(shí)速度我們是通過(guò)在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度的極限來(lái)定義的,只要知道了物體的運(yùn)動(dòng)方程,代入公式就可以求出瞬時(shí)速度了.運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來(lái)解決物理方面的問(wèn)題,是不是方便多了.所以數(shù)學(xué)是用來(lái)解決其他一些學(xué)科,比如物理、化學(xué)等方面問(wèn)題的一種工具,我們這一節(jié)課學(xué)的內(nèi)容以與上一節(jié)課學(xué)的是我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的一些實(shí)際背景通過(guò)大量的實(shí)例的分析,經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程,了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù).①通過(guò)動(dòng)手計(jì)算培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力②通過(guò)問(wèn)題的探究體會(huì)逼近、類(lèi)比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法通過(guò)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵,使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的概念不再困難,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念的形成,導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解難點(diǎn)：在平均變化率的基礎(chǔ)上去探求瞬時(shí)變化率,深刻理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵通過(guò)逼近的方法,引導(dǎo)學(xué)生觀察來(lái)突破難點(diǎn)四、教學(xué)設(shè)想〔具體如下表〕教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)思路在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)水面的高s〕存在函數(shù)關(guān)系h〔t〕=－4.9t2＋6.5t+這段時(shí)間里10.計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0≤t這段時(shí)間里〔2〕你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平,概念的形成分了兩問(wèn)題一：請(qǐng)大家思考如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)首先回顧上節(jié)課留下的在學(xué)生相互討論,交流結(jié)果的基礎(chǔ)上,提出：大家得到運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為"0",但我們知道運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)并沒(méi)有"靜止".為什么會(huì)產(chǎn)生這提出問(wèn)題一,組織學(xué)生討論,引導(dǎo)他們自然地想到選取一個(gè)具體時(shí)刻如t=2,研究它附近的平均速度變化情況來(lái)尋找到問(wèn)題的思路,使抽象問(wèn)題具體化引起學(xué)生的好奇,意識(shí)到平均速度只能粗略地描述物體在某段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),為了能更精確地刻畫(huà)物體運(yùn)動(dòng),我們有必要研究某個(gè)時(shí)刻的速度即瞬時(shí)速度.使學(xué)生帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂,激發(fā)學(xué)生求知欲理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵是本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn),通過(guò)層層設(shè)疑,把學(xué)生推向問(wèn)題的中心,讓學(xué)生動(dòng)手操作,直觀感受來(lái)突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)初初步探索、展示內(nèi)涵問(wèn)題二：請(qǐng)大家繼續(xù)思考,當(dāng)Δt取不同值時(shí),嘗試計(jì)算v=時(shí),嘗試計(jì)算v=-0.01-0.001-0.0001-0.000010.010.0010.00010.00001…-0.01-0.001-0.0001-0.00001-12.61-13.0-13.0-13009951-13.0999510.010.0010.00010.00001-13.59-13.1-13.1-13.10049-13.100049學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知需要借助大量的直觀數(shù)據(jù),所以我讓學(xué)生利用計(jì)算器,分組完成問(wèn)題二,一方面分組討論,上臺(tái)板演,展示計(jì)算結(jié)果,同趨于0時(shí),平均速度趨于一個(gè)確定的值-13.1,即瞬時(shí)速度,第一次體會(huì)逼近思想；另一方面借助動(dòng)畫(huà)多渠道地引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較、歸納,第二次體會(huì)逼近思想,為了表述方便,數(shù)學(xué)中用簡(jiǎn)潔的符號(hào)來(lái)表幫助學(xué)生體會(huì)從平均速度出發(fā),"以已知探求未知"的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力數(shù)形結(jié)合,掃清了學(xué)生的思維障礙,更好地突破了教學(xué)的重難點(diǎn),體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美0引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考:運(yùn)動(dòng)員在某個(gè)時(shí)刻t的0瞬時(shí)速度如何表示?學(xué)生意識(shí)到將t代替2,0lim00與舊教材相比,這里不提與極限概念,而是通過(guò)形象生動(dòng)的逼近思想來(lái)定義t時(shí)0刻的瞬時(shí)速度,更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,提高了他們的思維能力,體現(xiàn)了特殊到一般的思維方法、、循序漸進(jìn)延伸拓展借助其它實(shí)例,抽象導(dǎo)數(shù)的概念0問(wèn)題六：如果將這兩個(gè)變化率問(wèn)題中的函數(shù)用f(x)來(lái)表示,那么函數(shù)f(x)在0例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產(chǎn)品,需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱.〔1〕計(jì)算第2h和第6h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說(shuō)明它的意義.時(shí)變化率,并說(shuō)明它的意義.①啟發(fā)學(xué)生根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,再分別求出f,(2)和f,(6)②既然我們得到了第2h和第6h的原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為-3與5,大家能說(shuō)③大家是否能用同樣方法來(lái)解決問(wèn)題④師生共同歸納得到,導(dǎo)數(shù)即瞬時(shí)變化率,可反映物體變化的快慢類(lèi)比之前學(xué)習(xí)的瞬時(shí)速度問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生得到lim00v在前面兩個(gè)問(wèn)題的鋪墊下,進(jìn)一步提出,我們這里研究的函數(shù)f(x)在0率0處的導(dǎo)數(shù),記作f,(xx<也可記為y,>入探究導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵積極的師生互動(dòng)能幫助學(xué)生看到知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,有助于知識(shí)的重組和遷移,尋找不同實(shí)際背景下的數(shù)學(xué)共性,即對(duì)于不同實(shí)際問(wèn)題,瞬時(shí)變化率富于不同的實(shí)際意義引導(dǎo)學(xué)生舍棄具體問(wèn)題的實(shí)際意義,抽象得到導(dǎo)數(shù)定特殊到一般,幫助學(xué)生完成了思維的飛躍；同時(shí)提與導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的時(shí)代背景,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶,感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,又服務(wù)于生活.發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的重要理念之一.在教學(xué)中以具體問(wèn)題為載體,加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解,體驗(yàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用變式練習(xí)：已知一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的位移〔m〕學(xué)生獨(dú)立完成,上臺(tái)板演,第三次體會(huì)逼近思想目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看待物理模型,建立各學(xué)科之間的聯(lián)系,更深刻地把握事物變化的規(guī)律3、思想方法："以已知探求未知"、逼近、類(lèi)比、從特殊到一般引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論,相互補(bǔ)充后進(jìn)行回答,老師評(píng)析,并用幻燈片給出讓學(xué)生自己小結(jié),不僅僅總結(jié)知識(shí)更重要地是總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法.這是一個(gè)重組知識(shí)的過(guò)程,是一個(gè)多維整合的過(guò)程,是一個(gè)高層次的自我認(rèn)識(shí)過(guò)程,這樣可幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識(shí)體系,理清知識(shí)脈絡(luò),養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣學(xué)法與教學(xué)用具〔1〕合作學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生分組討論,合作交流,共同探討問(wèn)題.〔如題2的處理〕〔2〕自主學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)親身經(jīng)歷,動(dòng)口、動(dòng)腦、動(dòng)手參與數(shù)學(xué)活動(dòng).〔如題3的處理〕〔3〕探究學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性,主動(dòng)探索新知.〔如例題的處理〕教法：整堂課圍繞"一切為了學(xué)生發(fā)展"的教學(xué)原則,突出①動(dòng)——師生互動(dòng)、共同探索.②導(dǎo)——教師指導(dǎo)、循序漸進(jìn)（1）新課引入——提出問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的求知欲（2）理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵——數(shù)形結(jié)合,動(dòng)手計(jì)算,組織學(xué)生自主探索,獲得導(dǎo)數(shù)的定義（3）例題處理——始終從問(wèn)題出發(fā),層層設(shè)疑,讓他們?cè)谔剿髦凶缘弥R(shí)（4）變式練習(xí)——深化對(duì)導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解,鞏固新知教學(xué)目的：1.了解平均變化率與割線之間的關(guān)系2.理解曲線的切線的概率3.通過(guò)函數(shù)的圖像理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)切線的概念,切線的斜率,導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)難點(diǎn)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)過(guò)程練習(xí)注意二、教學(xué)重難點(diǎn)：用定義推導(dǎo)常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.1、導(dǎo)數(shù)的定義；2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3、導(dǎo)函數(shù)的定義；4、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的流程圖.〔2〕求平均變化率本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).首先我們來(lái)求下面幾個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).232)x從上面這一組公式來(lái)看,我們只要掌握冪函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)的求導(dǎo)就可以了.例1、求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù).〔7〕y=cos<2π-x>〔8〕y=f’(1)例2：已知點(diǎn)P在函數(shù)y=cosx上,〔0≤x≤2π〕,在P處的切線斜率大于0,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍.變式1.求曲線y=x2在點(diǎn)<1,1>處的切線方程.總結(jié)切線問(wèn)題：找切點(diǎn)求導(dǎo)數(shù)得斜率變式2:求曲線y=x2過(guò)點(diǎn)<0,-1>的切線方程變式3:求曲線y=x3過(guò)點(diǎn)<1,1>的切線方程三、小結(jié)〔1〕基本初等函數(shù)公式的求導(dǎo)公式〔2〕公式的應(yīng)用1.理解兩個(gè)函數(shù)的和<或差>的導(dǎo)數(shù)法則,學(xué)會(huì)用法則求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.理解兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)法則,學(xué)會(huì)用法則求乘積形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.能夠綜合運(yùn)用各種法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：用定義推導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的積、商的求導(dǎo)法則的推導(dǎo).授課類(lèi)型：新授課[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)法則2常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)．[cf(x)]'=cf(x)'法則3兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)證明：令y=f(x)g(x),則Δy=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x)=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x+Δx)+f(x)g(x+Δx)-f(x)g(x),Δyf(x+Δx)-f(x)g(x+Δx)-g(x)=g(x+Δx)+f(x)因?yàn)間(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),所以它在點(diǎn)x處連續(xù),于是當(dāng)Δx→0時(shí),g(x+Δx)→g(x),=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),法則4兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積,減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積,再除以分母的平方,t2+13、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)⑴h(x)=xsinx⑵s(t)=——t4、y=5x10sinx－2xcosx－9,求y′5例3求滿(mǎn)足下列條件的函數(shù)f(x)<1>f(x)是三次函數(shù),且f(0)=3,f'(0)=0,f'(1)=-3,f'(2)=0<2>f'(x)是一次函數(shù),x2f'(x)-(2x-1)f(x)=1變式：已知函數(shù)f<x>=x3+bx2+cx+d的圖象過(guò)點(diǎn)P<0,2>,且在點(diǎn)M處<-1,f<-1>>處的切線方程為6x-y+7=0,求函數(shù)的解析式五、小結(jié)：由常函數(shù)、冪函數(shù)與正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運(yùn)算得到的簡(jiǎn)單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo),而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類(lèi)簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),商的導(dǎo)數(shù)法則<v≠0>,如何綜合運(yùn)用函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法則,來(lái)求一些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù).要將和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法則記住課題簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課型新授教學(xué)目標(biāo):1．掌握簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)2．簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn):掌握簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)教學(xué)難點(diǎn):簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用備課札記教學(xué)過(guò)程備課札記3練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)232x例3、設(shè)fff(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,求h(5)與h'(5)(x)+2g(x)2〕、h(x)=f(x)g(x)+1g(x)1.正確理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理；2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性教具：多媒體、實(shí)物投影儀以前,我們用定義來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性.對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)x1,x2∈I,且當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f<x1>＜f<x2>,那么函數(shù)f<x>就是區(qū)間I上的增函數(shù).對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)x1,x2∈I,且當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f<x1>＞f<x2>,那么函數(shù)f<x>就是區(qū)間I上的減函數(shù).在函數(shù)y=f<x>比較復(fù)雜的情況下,比較f<x1>與f<x2>的大小并不很容易.如果利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡(jiǎn)單2.法則1[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).法則2[f(x)g(x)]’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),[cf(x)]’=cf'(x)我們已經(jīng)知道我們已經(jīng)知道,曲線y=f<x>的切線的斜率就是函數(shù)y=f<x>的導(dǎo)y=f<x>=x2－4x+3切線的斜率f′<x><2,+∞><-∞,2>增函數(shù)減函數(shù)>0+∞〕內(nèi),切線數(shù)y=f<x>的值yBA隨著x的增大而增大,即y/>0時(shí),函數(shù)y=f<x>在區(qū)間〔2,+∞〕內(nèi)為增函數(shù)；在區(qū)間〔-∞,2〕內(nèi),切線的斜率為負(fù),函數(shù)y=f<x>的值隨著x的增大而減小,即y/<0時(shí),函數(shù)y=f<x>在區(qū)間〔-∞,2〕內(nèi)為減函數(shù).定義：一般地,設(shè)函數(shù)y=f<x>在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y/>0,那么函數(shù)y=f<x>在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y/<0,那么函數(shù)y=f<x>在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)①求函數(shù)f<x>的導(dǎo)數(shù)f′<x>.②令f′<x>＞0解不等式,得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f′<x>＜0解不等式,得x的范圍,就是遞減區(qū)間.例1確定函數(shù)f<x>=x2－2x+4在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).∴當(dāng)x∈<-∞,1>時(shí),f′<x>＜0,f<x>是減函數(shù).例2確定函數(shù)f<x>=2x3－6x2+7在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).∴當(dāng)x∈<-∞,0>時(shí),f′<x>＞0,f<x>是增函數(shù).當(dāng)x∈<2,+∞>時(shí),f′<x>＞0,f<x>是增函數(shù).－12x＜0,解得0＜x＜2.1例3證明函數(shù)f<x>=在<0,+∞>上是減函數(shù).xy2y證法一：<用以前學(xué)的方法證>任取兩個(gè)數(shù)x1,x2∈<0,+∞>設(shè)x1＜x2.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(2),x)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up4(2),x)＞0∴f<x1>－f<x2>＞0,即f<x1>＞f<x2>1∴f<x>=在<0,+∞>上是減函數(shù).x證法二：<用導(dǎo)數(shù)方法證>,x＞0,∴x2＞0,∴-＜0.∴f/(x)<0,xx2x21∴f<x>=在<0,+∞>上是減函數(shù).x2點(diǎn)評(píng)：比較一下兩種方法,用求導(dǎo)證明是不是更簡(jiǎn)捷一些.如果是更復(fù)雜一些的函數(shù),用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判別函數(shù)的增減性更能顯示出它的優(yōu)越性.1例5已知函數(shù)y=x+,試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.x令＞0.解得x＞1或x1.1∴y=x+的單調(diào)增區(qū)間是<-∞,－1>和<1,+∞>.x1y2x令＜0,解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的單調(diào)減區(qū)間是<－1,0>和<0,1>x2x1．確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間令3<x－2><x－4>＞0,解得x＞4或x＜2.3－9x2+24x的單調(diào)增區(qū)間是<4,+∞>和<-∞,2>3的單調(diào)減區(qū)間是<-∞,－>和<,+∞>bbc<a＞0>的單調(diào)增區(qū)間是<－,+∞>令2ax+b＜0,解得x的單調(diào)減區(qū)間是<-∞,－EQ\*jc3\*hps38\o\al(\s\up15(b),2a)>的單調(diào)減區(qū)間是<-∞,0>與<0,+∞>當(dāng)x≠±3時(shí),0,∴y′＜0.的單調(diào)減區(qū)間是<-∞,－3>,<－3,3>與<3,+∞>.1f<x>在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),可以根據(jù)f/(x)＞0或f/(x)＜0求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,或判斷函數(shù)的單調(diào)性,或證明不等式.以與當(dāng)f/(x)=0在某個(gè)區(qū)間上,那么f<x>在這個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù)1.理解極大值、極小值的概念.2.能夠運(yùn)用判別極大值、極小值的方法來(lái)求函數(shù)的極值.3.掌握求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟教學(xué)重點(diǎn)：極大、極小值的概念和判別方法,以與求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)極大、極小值概念的理解與求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟授課類(lèi)型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀對(duì)極大、極小值概念的理解,可以結(jié)合圖象進(jìn)行說(shuō)明.并且要說(shuō)明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的.從圖象觀察得出,判別極大、極小值的方法.判斷極值點(diǎn)的關(guān)鍵是這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)x；(ax)'=axlna法則2[u(x)v(x)]’=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),[Cu(x)]’=Cu'(x) 4.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y=f<x>在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y/>0,那么函數(shù)y=f<x>在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y/<0,那么函數(shù)y=f<x>在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)5.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求函數(shù)f<x>的導(dǎo)數(shù)f′<x>.②令f′<x>＞0解不等式,得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f′<x>＜0解不等式,得x的范圍,就是遞減區(qū)間1.極大值：一般地,設(shè)函數(shù)f<x>在點(diǎn)x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)都有f<x>＜f<x0>,就說(shuō)f<x0>是函數(shù)f<x>的一個(gè)極大值,記作y極大值=f<x0>,x0是極大值點(diǎn)2.極小值：一般地,設(shè)函數(shù)f<x>在x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f<x>＞f<x0>.就說(shuō)f<x0>是函數(shù)f<x>的一個(gè)極小值,記作y極小值=f<x0>,x0是極小值點(diǎn)3.極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值在定義中,取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn),極值點(diǎn)是自變量的值,極值指的是函數(shù)值請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)：〔ⅰ〕極值是一個(gè)局部概念由定義,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小〔ⅱ〕函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)〔?！硺O大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值,如下圖所示,x1是極大值點(diǎn),x4是極小值點(diǎn),而f(x4)>f(x1)〔ⅳ〕函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點(diǎn)4.判別f<x0>是極大、極小值的方法:若x0滿(mǎn)足f’(x0)=0,且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào),則x0是f(x)的極值點(diǎn),f(x0)是極值,并且如果f’(x)在x0兩側(cè)滿(mǎn)足"左正右負(fù)",則x0是f(x)的極大值點(diǎn),f(x0)是極大值；如果f’(x)在x0兩側(cè)滿(mǎn)足"左負(fù)右正",則x0是f(x)的極小值點(diǎn),f(x0)是極小值<1>確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)f/(x)<2>求方程f/(x)=0的根<3>用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間,并列成表格.檢查f/(x)在方程根左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么f<x>在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正,那么f<x>在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào),那么f<x>在這個(gè)根處無(wú)極值32(-∞,2)+∴當(dāng)x=－2時(shí),y有極大值且y=當(dāng)x=2時(shí),y有極小值且y=－50極大值f(-2)20極小值f(2)<-2,2>-↘+xy’y－1>3+1的極值(-∞,-1)-↘00極小值0+↗0無(wú)極值10無(wú)極值<-1,0>-↘<0,1>+↗xy’y極小值求極值的具體步驟：第一,求導(dǎo)數(shù)f/(x).第二,令f/(x)=0求方程的根,第三,列表,檢查f/(x)在方程根左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么f<x>在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正,那么f<x>在這個(gè)根處取得極小值,如果左右都是正,或者左右都是負(fù),那么f<x>在這根處無(wú)極值.如果函數(shù)在某些點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo),也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn)1．求下列函數(shù)的極值.7.2xyEQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up10(7),2)-↘720極小值-4EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up10(7),2)+↗772時(shí),y有極小值,且y=-極小值4+↗xy<-3,3>+↗xy<-3,3>-↘300+00極小值-54極大值極小值極大值極小值五、小結(jié)：函數(shù)的極大、極小值的定義以與判別方法.求可導(dǎo)函數(shù)f<x>的極值的三個(gè)步驟.還有要弄清函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的,在整個(gè)定義區(qū)間可能有多個(gè)極值,且要在這點(diǎn)處連續(xù).可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),要看這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否異號(hào).函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn)⒈使學(xué)生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念,掌握可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上所有點(diǎn)〔包括⒉使學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值的方法和步驟教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法.教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系.1.極大值：一般地,設(shè)函數(shù)f<x>在點(diǎn)x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f<x>＜f<x0>,就說(shuō)f<x0>是函數(shù)f<x>的一個(gè)極大值,記作y極大值=f<x0>,x0是極大值點(diǎn)2.極小值：一般地,設(shè)函數(shù)f<x>在x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f<x>＞f<x0>.就說(shuō)f<x0>是函數(shù)f<x>的一個(gè)極小值,記作y極小值=f<x0>,x0是極小值點(diǎn)3.極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值注意以下幾點(diǎn)：〔ⅰ〕極值是一個(gè)局部概念由定義,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小〔ⅱ〕函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)〔ⅲ〕極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值,如下圖所示,x1是極大值點(diǎn),x極大值點(diǎn),x是極小值點(diǎn),而f(x)>f(x)yax1Ox2x3bx〔ⅳ〕函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點(diǎn)觀察圖中一個(gè)定義在閉區(qū)間[a,b]上的函數(shù)f(x)的圖象．圖中f(x1)與f(x3)是極小值,f(x2)是極大值．函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值是f(b),最小值是f(x3).一般地,在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.說(shuō)明：⑴在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù),⑵函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的.⑶函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),是f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件.<4>函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè),而函數(shù)的極值可能不止一個(gè),也可能沒(méi)有一個(gè)由上面函數(shù)f(x)的圖象可以看出,只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,就可以得出函數(shù)的最值了.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；⑵將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較得出函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值例1求函數(shù)y=x42x2+5在區(qū)間上的最大EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(2),3)86642y例4已知f=log3,x∈<0,+∞>.是否存在實(shí)數(shù)a、b,使f(x)同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：〔1〕f(x)>在〔0,1〕上是減函數(shù),在［1,+∞>上是增函數(shù)；〔2〕f(x)的最小值是1,若存在,求出1．下列說(shuō)法正確的是<>A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值C.函數(shù)的最值一定是極值D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值2.函數(shù)y=f<x>在區(qū)間［a,b］上的最大值是M,最小值是m,若M=m,則f′<x><>A.等于03.函數(shù)y=x2,在上的最小值為<>EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(1),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),2)5.設(shè)y=|x|3,那么y在區(qū)間3,－1］上的最小值是<>A.276.設(shè)f<x>=ax3－6ax2+b在區(qū)間1,2］上的最大值為3,最小值為－29,且a>b,則<>⑴函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點(diǎn)必在下列各種點(diǎn)之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn),導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),區(qū)間端點(diǎn)；⑵函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),是f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條⑶閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,若有唯一的極值,則此極值必是函數(shù)的最值.1.進(jìn)一步熟練函數(shù)的最大值與最小值的求法；⒉初步會(huì)解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題.授課類(lèi)型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀1.極大值：一般地,設(shè)函數(shù)f<x>在點(diǎn)x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f<x>＜f<x0>,就說(shuō)f<x0>是函數(shù)f<x>的一個(gè)極大值,記作y極大值=f<x0>,x0是極大值點(diǎn)2.極小值：一般地,設(shè)函數(shù)f<x>在x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f<x>＞f<x0>.就說(shuō)f<x0>是函數(shù)f<x>的一個(gè)極小值,記作y極小值=f<x0>,x0是極小值點(diǎn)3.極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值4.判別f<x0>是極大、極小值的方法:若x0滿(mǎn)足f,(x0)=0,且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào),則x0是f(x)的極值點(diǎn),f(x0)是極值,并且如果f,(x)在x0兩側(cè)滿(mǎn)足"左正右負(fù)",則x0是f(x)的極大值點(diǎn),f(x0)是極大值；如果f,(x)在x0兩側(cè)滿(mǎn)足"左負(fù)右正",則x0是f(x)的極小值點(diǎn),f(x0)是極小值<1>確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)f′<x><2>求方程f′<x>=0的根<3>用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間,并列成表格.檢查f′<x>在方程根左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么f<x>在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正,那么f<x>在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù),那么f<x>在這個(gè)根處無(wú)極值值與最小值.⑴在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值.⑵函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的.⑶函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),是f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．<4>函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè),而函數(shù)的極值可能不止一個(gè),也可能沒(méi)有一個(gè)7.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:⑴求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；⑵將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較得出函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值例1在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起<如圖>,做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子,箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí),箱底的容積最大？最大容積是多少？ia-x得箱ia-xxx_并求得V<40>=16000由題意可知,當(dāng)x過(guò)小〔接近0〕或過(guò)大〔接近60〕時(shí),箱子容積很小,因此,16000是最大值答：當(dāng)x=40cm時(shí),箱子容積最大,最大容積是16000cm360-2x60-2xx60-2x60-2x60-2x60-2xx解法二：設(shè)箱高為xcm,則箱底長(zhǎng)為<60-2x>cm,則得箱子容積由題意可知,當(dāng)x過(guò)小或過(guò)大時(shí)箱子容積很小,所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處.60x2x32點(diǎn),從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰,是單峰的,因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn),不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值解：設(shè)圓柱的高為h,底半徑為R,則表面積2V2R2即h=2R因?yàn)镾<R>只有一個(gè)極值,所以它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí),所用材料最省變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí),它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取,才能使所用材料最省？例3在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱(chēng)為成本函數(shù)同,記為C<x>,出售x單位產(chǎn)品的收益稱(chēng)為收益函數(shù),記為R<x>,R<x>－C<x>稱(chēng)為利潤(rùn)函數(shù),記為P<x>.成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個(gè)單位時(shí)成本的增加量>變式：已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q,價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為18再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn).三、課堂練習(xí)：1.函數(shù)y=2x3－3x2－12x+5在［0,3］上的最小值是.2.函數(shù)f<x>=sin2x－x在,］上的最大值為；最小值為.3.將正數(shù)a分成兩部分,使其立方和為最小,這兩部分應(yīng)分成和.4.使內(nèi)接橢圓+=1的矩形面積最大,矩形的長(zhǎng)為,寬為.