第76講、雙切線問(wèn)題 (教師版)

第76講雙切線問(wèn)題知識(shí)梳理雙切線問(wèn)題，就是過(guò)一點(diǎn)做圓錐曲線的兩條切線的問(wèn)題，解決這一類問(wèn)題我們通常用同構(gòu)法.解題思路：①根據(jù)曲線外一點(diǎn)設(shè)出切線方程．②和曲線方程聯(lián)立，求出判別式．③整理出關(guān)于雙切線斜率的同構(gòu)方程．④寫出關(guān)于的韋達(dá)定理，并解題．必考題型全歸納題型一：定值問(wèn)題例1．（2024·河南·高三競(jìng)賽）已知拋物線C：與直線l：沒(méi)有公共點(diǎn)，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線，A、B為切點(diǎn).（1）證明：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)Q；（2）若點(diǎn)P與Q的連線與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，證明：.【解析】（1）設(shè)點(diǎn).則.由，得.所以.于是，拋物線C在點(diǎn)A處的切線方程為．設(shè)點(diǎn).則.設(shè)點(diǎn).同理，.從而，，即.因此，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)Q（k，1）.（2）設(shè).與拋物線方程聯(lián)立，消去y得.設(shè)點(diǎn).則

①要證，即證，則只需證明，即.

②由方程組①知.故式②成立.從而，結(jié)論成立.例2．（2024·高二單元測(cè)試）已知拋物線C：的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點(diǎn)A，B．

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，，證明：為定值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，可得橢圓的右焦點(diǎn)為，可得拋物線C的焦點(diǎn)為，∴，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）由于點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，故可設(shè)，因?yàn)橹本€MA，MB的分別與拋物線C相切于點(diǎn)A，B點(diǎn)可知直線MA，MB的斜率存在，且不為0，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立，消去得：，其判別式，令，得，由韋達(dá)定理知，，故為定值－1．例3．（2024·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為，拋物線為與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，為雙曲線的上焦點(diǎn)，且的面積為3．(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，切線，分別交軸于，，求與的面積之比．【解析】（1）雙曲線的上焦點(diǎn)為，設(shè)，，由已知得：，則，代入雙曲線方程可得，解得或（舍去），所以，又因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得，故拋物線的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，，對(duì)求導(dǎo)得，則切線的方程為，由整理得，令，則，即，同理可求得．將代入直線可得：，同理可求得直線的方程：，所以，的直線方程．聯(lián)立消去得，則韋達(dá)定理：，則弦長(zhǎng)，點(diǎn)到直線的距離，所以，又，故．變式1．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線（為常數(shù)，）.點(diǎn)是拋物線上不同于原點(diǎn)的任意一點(diǎn).(1)若直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求；(2)設(shè)為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)為，且直線，與軸分別交于，兩點(diǎn).①證明：②試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）將直線與拋物線聯(lián)立，消去可得，由題意可知該方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，又點(diǎn)在拋物線上，即；可得，解得（2）①易知拋物線的準(zhǔn)線方程為；不妨設(shè)，切點(diǎn)，如下圖所示：將求導(dǎo)可得，則切線的斜率，切線的方程為，又，的方程可化為；同理可得的方程可化為；又兩切線交于點(diǎn)，所以，因此可得是方程的兩根，因此；所以；因此②設(shè)直線和的傾斜角為，直線的傾斜角為，所以；又；；；所以，將代入可得，則可得，即；又，所以，可得，則為定值.變式2．（2024·河南信陽(yáng)·信陽(yáng)高中?？既＃┮阎獟佄锞€上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3.

(1)求，的值；(2)設(shè)為直線上除，兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)，和，，試判斷，，，四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，到準(zhǔn)線的距離為3，∴，∴；∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線方程設(shè)為，由得，，若直線，的斜率分別為，，設(shè)，，，的縱坐標(biāo)分別為，，，，∴，，∵到的距離，∴，∴，，∴，∴，，，四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值，且定值為64.題型二：斜率問(wèn)題例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上任意一點(diǎn),且△PF1F2的周長(zhǎng)是8+2.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)圓T:(x-2)2+y2=,過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)M作圓T的兩條切線交橢圓于E,F兩點(diǎn),求直線EF的斜率.【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率為可得a=4b，c=b，然后根據(jù)△PF1F2的周長(zhǎng)可得b=1，a=4，從而可得橢圓的方程．（2）由題意知過(guò)點(diǎn)M與圓T相切的直線存在斜率，設(shè)其方程為y=kx+1，由直線與圓相切可得32k2+36k+5=0，從而得到，．然后分別求出兩切線與橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和，最后根據(jù)斜率公式求解即可．試題解析：(1)由題意得e=，∴a=4b，∴c=b．∵△PF1F2的周長(zhǎng)是8+2，∴2a+2c=8+2，∴b=1,∴a=4．∴橢圓C的方程為+y2=1．(2)由（1）得橢圓的上頂點(diǎn)為M(0,1)，又由題意知過(guò)點(diǎn)M與圓T相切的直線存在斜率，設(shè)其方程為l：y=kx+1，∵直線y=kx+1與圓T相切，∴，整理得32k2+36k+5=0，∴由消去y整理得(1+16)x2+32k1x=0，∴．同理可得,∴．故直線EF的斜率為．例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為拋物線外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，．（Ⅰ）若點(diǎn)為，求直線的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，記兩切線，的斜率分別為，，求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）設(shè)直線PA方程為，直線PB方程為，由，可得，因?yàn)镻A與拋物線相切，所以，取，則，即A（1，1）．同理可得B（1，-1）．所以AB：．（Ⅱ）設(shè)，則直線PA方程為，直線PB方程為．由可得．因?yàn)橹本€PA與拋物線相切，所以△=．同理可得，所以時(shí)方程的兩根．所以，．則=..又因?yàn)椋瑒t，所以====.例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)是．(1)求橢圓的方程；(2)是否存在斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，使得以為直徑圓過(guò)原點(diǎn)，若存在寫出直線方程；(3)設(shè)圓，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于、兩點(diǎn)，當(dāng)圓心在軸上移動(dòng)且時(shí)，求的斜率的取值范圍．【解析】（1）令橢圓半焦距為c，因，即，又，則有，，因△的周長(zhǎng)是，即，解得，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線L方程是，，，由消去y得：，，即，則，弦的中點(diǎn)，，以為直徑的圓的方程是，因此圓過(guò)原點(diǎn)，則有，解得，顯然滿足，所以存在符合條件的直線，其方程為.（3）由（1）知，橢圓的上頂點(diǎn)為在圓T外，顯然過(guò)點(diǎn)M的圓T的切線斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為，于是得，即，設(shè)切線ME，MF的斜率分別為，有，由消去y得，，于是得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，同理得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，直線EF的斜率：，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，所以斜率的取值范圍為.變式3．（2024·河南洛陽(yáng)·高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓心在拋物線上，圓過(guò)原點(diǎn)且與的準(zhǔn)線相切．(1)求拋物線的方程；(2)點(diǎn)，點(diǎn)（與不重合）在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為．求證：．【解析】（1）∵圓與拋物線準(zhǔn)線相切，∴，又圓過(guò)和原點(diǎn)，∴，∴，解得.∴拋物線的方程為；（2）設(shè)，，方程為，∴，∴拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率，∴切線的方程為，即，化簡(jiǎn)得：，又因過(guò)點(diǎn)，故可得，即，同理可得，∴為方程的兩根，∴，，∴，∴.變式4．（2024·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線（切點(diǎn)為），交拋物線分別點(diǎn)且當(dāng)時(shí)，.(1)求拋物線的方程;(2)判斷直線的斜率是否為定值？若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，說(shuō)明理由.【解析】（1）如圖，易知，即.∵

∴，即.代入得，∴拋物線.（2）法1:易知，直線的傾斜角互補(bǔ)，斜率相反，設(shè)直線，直線，則，即.依題意，有，即.用代替得，∴直線的斜率為.綜上知，直線的斜率為定值.法2：易知，直線的傾斜角互補(bǔ)，斜率相反，設(shè)，則由得：，化簡(jiǎn)得.∴直線的斜率為.綜上知，直線的斜率為定值.變式5．（2024·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為上的一點(diǎn).(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求的面積；(2)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且直線與交于不同的兩點(diǎn)A、B，求證：為定值，并求出該定值；(3)如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓（其中r為定值，且）的兩條切線，分別交于點(diǎn)P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為，.如果為定值，求的取值范圍，以及取得最大值時(shí)圓M的方程.【解析】（1）由已知條件得，因?yàn)?，則，又，因此的面積為.（2）設(shè)，由，得，，又，，，于是，即為定值.（3）因?yàn)橹本€:與相切，則，即，同理，由直線:與相切，可得，于是、是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，注意到，且，故，因?yàn)槎ㄖ?，故不妨設(shè)（定值），于是有，即.依題意可知，變化，而、均為定值，即有，解得，，設(shè)，，由得，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，解得，所以的范圍為，當(dāng)或時(shí)，直線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，此時(shí)圓心M為橢圓頂點(diǎn)，所以圓M的方程為或.題型三：交點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例7．（2024·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為2的正方形（記為Q）．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在直線上，過(guò)點(diǎn)P作以原點(diǎn)為圓心短半軸長(zhǎng)為半徑圓O的兩條切線，切點(diǎn)為M，N，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為，焦距為，由題設(shè)條件知，，，故橢圓C的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，由題可知點(diǎn)P，M，O，N在以為直徑的圓上，此圓方程為

①又圓O的方程為，

②①－②可得直線方程為：，則直線恒過(guò)定點(diǎn)．例8．（2024·河北唐山·開(kāi)灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P(4,4)是C上的一點(diǎn).(1)若直線PF交C于另外一點(diǎn)A，求；(2)若圓：，過(guò)P作圓E的兩條切線，分別交C于M，N兩點(diǎn)，證明：直線MN過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）由題設(shè)，則，故，則，又直線過(guò)拋物線焦點(diǎn)，則直線，聯(lián)立直線與拋物線并整理得：，故，即，所以，結(jié)合拋物線定義知：.（2）設(shè)，，則（斜率存在且不為0）：，所以為，則①，由，則，所以，而，與圓相切，則，整理得：，同理可得：，所以為的兩個(gè)不同根，故，，代入①，有，所以，即，可得，所以直線過(guò)定點(diǎn).例9．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄A恒過(guò)定點(diǎn)，圓心到直線的距離為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)，則，因?yàn)?，即，?dāng)，即時(shí)，則，整理得；當(dāng)，即時(shí)，則，整理得，不成立；綜上所述：點(diǎn)的軌跡的方程.（2）由（1）可知：曲線：，即，則，設(shè)，可知切線的斜率為，所以切線：，則，整理得，同理由切線可得：，可知：為方程的兩根，則，可得直線的斜率，設(shè)的中點(diǎn)為，則，即，所以直線：，整理得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).變式6．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且斜率為的直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A，B，．(1)求拋物線C的方程；(2)點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)N，使得直線MN與直線PQ垂直？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)，，根據(jù)題意可知直線l的方程為，聯(lián)立得，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以拋物線C的方程為．（2）如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線方程為，當(dāng)點(diǎn)M在特殊位置時(shí)，切點(diǎn)P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱，要使MN⊥PQ，點(diǎn)N必在y軸上．故設(shè)，，，，拋物線C的方程為，求導(dǎo)得，所以切線MP的斜率，則直線MP的方程為，整理得，又點(diǎn)M在直線MP上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，所以因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，即存在定點(diǎn)，使得直線MN與直線PQ垂直．變式7．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長(zhǎng)小于4，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．當(dāng)圓在橢圓的內(nèi)部時(shí)，，橢圓的方程為．當(dāng)圓在橢圓的外部時(shí)，，橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)．因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)小于4，所以的方程為．則由已知可得，切線的方程為的方程為，將代入的方程整理可得，．顯然的坐標(biāo)都滿足方程，故直線的方程為，令，可得，即直線過(guò)定點(diǎn)．變式8．（2024·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖所示，已知在橢圓上，圓，圓在橢圓內(nèi)部.

(1)求的取值范圍；(2)過(guò)作圓的兩條切線分別交橢圓于點(diǎn)（不同于），直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由題意，故橢圓方，設(shè)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，由于圓在橢圓內(nèi)部，則恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，，則，于是有；（2）設(shè)，，，（由（1）斜率都存在），由于兩直線均與圓C相切，則，則為方程的兩根，由韋達(dá)定理可知，設(shè)，由韋達(dá)定理可知，由.則.故過(guò)定點(diǎn).變式9．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線C：的焦點(diǎn)．(1)過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求的面積；(2)若點(diǎn)T為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)T作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）據(jù)題意，直線l的斜率為，則直線l的方程為，設(shè)，，由，聯(lián)立可得，易得，故，，因此，．（2）證明：設(shè)點(diǎn)，，，以M為切點(diǎn)的拋物線的切線方程為，由，聯(lián)立可得，由判別式，即，即，顯然，可得，因此，以M為切點(diǎn)的拋物線的切線方程為，同理可得，以N為切點(diǎn)的拋物線的切線方程為，由于這兩條切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入可得，，則直線MN的方程為，可得直線MN過(guò)定點(diǎn)．變式10．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知的焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)的直線被圓截得的線段長(zhǎng)度的最小值為4．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)，作拋物線的切線分別與直線，相交于點(diǎn)，，請(qǐng)問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，圓的圓心，而經(jīng)過(guò)的直線被圓截得的線段長(zhǎng)度，其中為圓心到直線的距離，則，所以，顯然，的最大值為焦點(diǎn)到圓心的距離，即，所以，又，解得或（舍），故拋物線的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，，，由，即，得，則點(diǎn)處的切線方程為，直線的方程為：，則點(diǎn)，同理點(diǎn)，可得：，直線的方程為：，注意到點(diǎn)，滿足，直線的方程為．注意令，則，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．變式11．（2024·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)二中?？寄M預(yù)測(cè)）如下圖所示，已知橢圓的上頂點(diǎn)為，離心率為，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)作圓（圓在橢圓內(nèi)）的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），當(dāng)變化時(shí)，試問(wèn)直線是否過(guò)某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由題知解得，故橢圓的方程為（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，即橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為，因?yàn)閳A在橢圓內(nèi)部，所以半徑，所以直線的斜率均存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線為，設(shè)直線的斜率分別為，則圓心到直線的距離，化簡(jiǎn)得：①，從而，由得：，解得：或?qū)⒋肟傻?，所以，所以直線BD的斜率，直線BD的方程為：化簡(jiǎn)為：，即所以，當(dāng)變化時(shí)，直線BD總過(guò)定點(diǎn).題型四：交點(diǎn)弦定值問(wèn)題例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，求直線的方程，并證明直線過(guò)定點(diǎn)；(3)過(guò)（2）中的點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線的切線，，求，交點(diǎn)滿足的軌跡方程．【解析】（1）設(shè)拋物線的方程為，∵拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，∴，解得或（舍去，∴，，∴拋物線的方程為．（2）設(shè)，，設(shè)切點(diǎn)為，曲線，，則切線的斜率為，化簡(jiǎn)得，設(shè)，，，則，是以上方程的兩根，則，，，直線的方程為：，整理得，∵切線的方程為，整理得，且點(diǎn)，在切線上，∴，即直線的方程為：，化簡(jiǎn)得，又∵，∴，故直線過(guò)定點(diǎn)．（3）設(shè)，，，過(guò)的切線，過(guò)的切線，則交點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，聯(lián)立，得，∴，，∴，∴．∴點(diǎn)滿足的軌跡方程為．例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線方程為(p＞0)，M為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）求直線AB與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若E為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在E點(diǎn)處的切線與三角形MAB的邊MA，MB分別交于點(diǎn)，，記，問(wèn)是否為定值？若是求出該定值；若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)，，拋物線方程可變?yōu)?，所以，所以，，直線的方程為，直線方程為，則解得，，又，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，令，，又，所以，所以直線AB與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）記，設(shè)點(diǎn)，可得直線的方程為，由可得，同理，所以，所以，同理，所以，設(shè)，記，則，，，，，于是，所以，所以.例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線，為焦點(diǎn)，若圓與拋物線交于兩點(diǎn)，且(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)可以作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求證：恒為定值.【解析】（1）由題意可知，半徑為，由圓的圓心以及拋物線的焦點(diǎn)均在在坐標(biāo)軸軸，故由對(duì)稱性可知：軸于點(diǎn)，在直角三角形中，,因此故，將其代入拋物線方程中得，故拋物線方程為：（2）令，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為,與聯(lián)立得①由相切得，代入①得故在點(diǎn)處的切線方程為，即為同理：點(diǎn)處的切線方程為，而兩切線交于點(diǎn)，所以有，則直線的方程為:，由得,所以于是，又點(diǎn)在圓上，所以,即.變式12．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率等于，點(diǎn)是雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，的周長(zhǎng)等于，.(1)求的方程；(2)過(guò)圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，.證明：直線與橢圓相切于點(diǎn)，且.【解析】（1）由題意知，，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以的方程為?（2）設(shè)，則，，，設(shè)切線的斜率分別為，設(shè)的方程為：，因?yàn)椋?，所以，所?/p>

（*）因?yàn)?，整理得，即，所以，同理：，因?yàn)榍芯€均過(guò)點(diǎn)，同理根據(jù)上面可知，為的兩解，所以，所以，為直角三角形，因?yàn)?，所以，所以，同理：，所以直線的方程為：，將直線：，代入橢圓的方程：可得：，即，所以，，所以直線與橢圓相切，切點(diǎn)，所以，所以，所以.題型五：交點(diǎn)弦最值問(wèn)題例13．（2024·江西撫州·臨川一中校考模擬預(yù)測(cè)）橢圓：的離心率為，焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作圓：的兩條斜率存在的切線分別與橢圓交丁點(diǎn)，，求的最大值.【解析】（1）由題意得，又，所以，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)圓的切線的方程為，則，整理得，其兩根，滿足①，這里，，且②，由①②得，設(shè)，，則，，這里，，所以，，則，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即.例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，為其焦點(diǎn)，過(guò)不在拋物線上的一點(diǎn)作此拋物線的切線，為切點(diǎn).且.（Ⅰ）求證：直線過(guò)定點(diǎn)；（Ⅱ）直線與曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，求的最小值.【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由消去得，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義可得這兩條切線的斜率分別為，.由這兩切線垂直得，從而可得結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)，則，，，，，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可.試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，設(shè)，以為切點(diǎn)的切線方程分別為，.由消去得.則，.這兩條切線的斜率分別為，.由這兩切線垂直得，得.所以直線恒過(guò)定點(diǎn).（Ⅱ）設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，則，可得，當(dāng)時(shí)，則，，，同樣可得.所以.由.所以.令，..所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).所以.（或當(dāng)時(shí)取等號(hào).）例15．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).(1)求的方程；(2)若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，求面積的最小值.【解析】（1）由題意，設(shè)的方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以，解得，所以的方程為.（2）如圖所示，設(shè)，則，聯(lián)立方程組整理得，所以，且，所以.由，可得，則，所以拋物線的過(guò)點(diǎn)A的切線方程是，將代入上式整理得，同理可得拋物線的過(guò)點(diǎn)的切線方程為由解得，所以，所以到直線的距離，所以的面積，當(dāng)時(shí)，，所以面積的最小值為.變式13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，是橢圓外一點(diǎn)，過(guò)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn)，是直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn).(1)求直線與直線的斜率之積；(2)求面積的最大值.【解析】（1）設(shè)，，，由可得，對(duì)其求導(dǎo)可得，所以當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，則直線的方程為，即.當(dāng)時(shí)，成立，所以直線的方程為.同理可得直線的方程為，又因?yàn)槭莾蓷l切線的交點(diǎn)，所以有，，所以，則，又因?yàn)?，所?（2）①當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，得，，，則，聯(lián)立直線與橢圓方程，解得點(diǎn).則點(diǎn)到直線的距離，所以令，則，令，則，記，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，即時(shí)，.所以，所以面積的最大值是.②當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，可得，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨令，則，則點(diǎn)到直線的距離，所以令，則，記，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，時(shí)，.所以，所以面積的最大值是.根據(jù)對(duì)稱性可得當(dāng)時(shí)，面積的最大值是.所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.當(dāng)時(shí)，同理可求得，當(dāng)時(shí)，的最大值為.綜上，當(dāng)時(shí)，面積的最大值是.變式14．（2024·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：上點(diǎn)的距離的最小值為3．(1)求p；(2)若點(diǎn)P在圓M上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求三角形PAB面積的最值．【解析】（1）由點(diǎn)到圓M上的點(diǎn)的距離的最小值為解得．（2）由（1）知，拋物線的方程為，即，則．設(shè)切點(diǎn)，，則易得直線PA：，直線PB：，從而得到．設(shè)直線AB：，聯(lián)立拋物線方程，消去y并整理，得，則，即，且，，故．因?yàn)椋c(diǎn)P到直線AB的距離，所以，①又點(diǎn)在圓M：上，故，代入①得，，而，故當(dāng)時(shí)，,故當(dāng)時(shí)，.題型六：交點(diǎn)弦范圍問(wèn)題例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是半橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，且直線PA、PB分別交y軸于點(diǎn)M、N．（1）證明：；（2）求的取值范圍．【解析】（1）由題意知，直線PA的斜率存在且不為0，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線PA方程為．令，可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為．由，消去x得．因?yàn)橹本€與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，故，即．因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)為，故，．則．因此，亦即．（2）設(shè)直線PB的方程為．由（1）可知，n滿足方程．故m，n是關(guān)于t的方程的兩個(gè)不同的實(shí)根．所以．由（1）可知：，同理可得．故，．則，因?yàn)椋裕虼耍娜≈捣秶牵军c(diǎn)晴】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，計(jì)算量較大，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢