冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)十類重點題型過關（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)十類重點題型過關TOC\o"1-3"\n\h\z\u知識點梳理題型一分數(shù)型指數(shù)冪的取值范圍問題題型二圖象的判斷與應用題型三多重根式的化簡（2023高考有涉及）題型四分數(shù)型指數(shù)冪的化簡與計算求值（結合平方公式）題型五求解析式題型六解不等式題型七比大小題型八復合函數(shù)單調性題型九指數(shù)型函數(shù)的值域問題題型十指數(shù)型復合函數(shù)的奇偶性問題知識點梳理一、冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的圖象同一坐標系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，，的圖象(如圖)．（2）冪函數(shù)的性質1、所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)；2、如果α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增（重要）；3、如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減，在第一象限內，當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當x從原點趨向于＋∞時，圖象在x軸上方無限接近x軸；4、在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸．二、指數(shù)與根式1、n次方根的定義（1）定義：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且（2）偶次方根的被開方數(shù)要為非負數(shù)2、根式（1）定義：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．（2）性質：（，且）a；3、分數(shù)指數(shù)冪的意義（1）分數(shù)指數(shù)冪的意義正分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：負分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（3）性質：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義4、分數(shù)指數(shù)冪的注意事項：（1）分數(shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣，分數(shù)指數(shù)冪不可理解為個相乘，它是根式的一種新的寫法．在這樣的規(guī)定下，根式與分數(shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已．（2）把根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式時，不要輕易對進行約分．（3）在保證相應的根式有意義的前提下，負數(shù)也存在分數(shù)指數(shù)冪，如有意義，但就沒有意義．4、無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪（，為無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對于無理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點：①它是一個確定的實數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無限逼近的結果．（2）定義了無理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴充到了實數(shù)范圍．5、實數(shù)指數(shù)冪的運算性質①．②．③．三、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質圖象第1象限底大圖高性質定義域值域過定點單調性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)四、比較指數(shù)冪的大小常用方法有：（1）對于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調性來判斷；（2）對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律來判斷；（3）對于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個冪，或者通過中間值來比較．五、簡單指數(shù)不等式的解法1、形如的不等式，可借助的單調性求解2、形如的不等式，可將化為以為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助的單調性求解3、形如的不等式，可借助兩函數(shù)，的圖象求解題型一分數(shù)型指數(shù)冪的取值范圍問題函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，則有，解得且，因此的定義域是．故選：B.函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】由可知其定義域為.函數(shù)的定義域為_________. 【答案】【解析】，解得等式成立的條件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】等式成立的條件是，即.故選：D題型二圖象的判斷與應用冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據冪函數(shù)的性質，在第一象限內，的右側部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，所以由圖像得：，故選：D圖中C1、C2、C3為三個冪函數(shù)在第一象限內的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、B．、、C．、、D．、、【答案】D【解析】由冪函數(shù)在第一象限內的圖象，結合冪函數(shù)的性質，可得：圖中C1對應的，C2對應的，C3對應的，結合選項知，指數(shù)的值依次可以是．故選：D.若冪函數(shù)與在第一象限內的圖像如圖所示，則（）A．；B．，；本號資料全部來源于微*信公#眾號：數(shù)學第六感C．，；D．，．【答案】B【解析】由圖象知；在上遞增，所以，由的圖象增長的越來越慢，所以，在上遞減，所以，又當時，的圖象在的下方，所以，故選：B函數(shù)的圖像如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結論正確的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在定義域上單調遞減，，排除AB選項；函數(shù)圖像是由向左平移所得，，.故D選項正確.若函數(shù)的圖象如圖所示，且，則實數(shù)，的值可能為（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由函數(shù)的圖像，可得函數(shù)為單調遞增函數(shù)，所以，又由，可得，可得，結合選項，只有C項適合.故選：C.函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數(shù)：，，，中的一個，則a，b，c，d的值分別是（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】C【解析】直線與函數(shù)圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c，d，a，b，而，所以a，b，c，d的值分別是，，，，故選：C.如圖，曲線①②③④分別是指數(shù)函數(shù)，，，的圖像，則實數(shù)a、b、c、d的大小關系滿足（）A．B．C．；D．．【答案】B【解析】作出直線，此時與各函數(shù)的交點的縱坐標即為對應的底數(shù)，如圖，所以，故選：B已知函數(shù)（且）的圖象不經過第二象限，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為函數(shù)（且）的圖象不經過第二象限，所以，解得，即；故選：A題型三多重根式的化簡（2023高考有涉及）求值_______．【答案】4【解析】.化簡________.【答案】6【解析】.化簡（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】，故選：D．化簡下列根式：（1） （2） （3）【答案】（1），（2），（3）【詳解】（1）（2）（3）化簡=_________.【答案】【解析】=因為，所以.所以原式題型四分數(shù)型指數(shù)冪的化簡與計算求值（結合平方公式）化簡或求值：（1）；（2）；（3）；（4）（且）.【答案】（1）112；（2）21；（3）4；（4）【解析】（1）原式=.（2）=21.（3）.（4）.已知，則______．【答案】3【解析】由，可得，，．已知＝5，則的值為_________．【答案】23【解析】因為＝5，所以.已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）.本號資料*全部來源于微信公#眾號：數(shù)學第六感【答案】（1）7；（2）47；（3）【解析】（1）將兩邊平方，得，所以．（2）將兩邊平方，得，所以．（3）∵，，，∴，∴．若，且，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題設，，即，又，且，所以，故選：A.已知，，且，則______．【答案】【解析】由題意，，所以，故答案為：.題型五求解析式已知是指數(shù)函數(shù)，若，則___________.【答案】【解析】設，因為，即，解得，所以，即．已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，求的解析式【答案】【解析】在上增函數(shù)，，解得又,，由為偶函數(shù)知，；已知冪函數(shù)在為減函數(shù)，則___________.【答案】【解析】為冪函數(shù)，所以，解得：或.當時，為R上的增函數(shù)；當時，為R上的減函數(shù).所以，所以.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，，那么當時，的解析式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當時，則，所以，又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以當時．題型六解不等式若x滿足不等式，則函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析由可得，因為在上單調遞增，所以即，解得：，所以，即函數(shù)的值域是，故選：B.已知函數(shù)，那么不等式的解集為__________．【答案】【解析】已知函數(shù)，可知函數(shù)是增函數(shù)，且是偶函數(shù)，不等式等價于若，求a的取值范圍.【答案】【解析】的定義域為，且在上是減函數(shù)，原不等式等價于，即，，的取值范圍是.已知函數(shù)，則不等式的解集為()A.B.C.D.【答案】B【解析】可知函數(shù)為減函數(shù)，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集為．故選B.不等式的解集是______．【答案】【解析】．已知冪函數(shù)的圖象關于y軸對稱，且在上單調遞減，求滿足的實數(shù)a的取值范圍.【答案】【解析】因為函數(shù)在上單調遞減，所以，解得.又，所以.又函數(shù)）的圖象關于y軸對稱，所以為偶數(shù)，所以.，得或或，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍是.解不等式（且）.【答案】當時，解集為，當時，解集為.【解析】當時，由于單調遞增，所以，解得：或；當時，于單調遞減，所以，解得：，*本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感綜上：當時，解集為，當時，解集為.已知函數(shù)，則不等式的解集為______．【答案】【解析】因為，定義域為，且，故為奇函數(shù)；本號資料全部來#源于*微信公眾號：數(shù)學第六感又均為單調增函數(shù)，故是上的單調增函數(shù)；則，即，也即，故，，解得.故不等式的解集為.故答案為：.已知函數(shù).若，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，∴，即為奇函數(shù)，又在R上均為減函數(shù)，∴為減函數(shù)，由得：，∴，即，解得.故選：D.題型七比大小若，則a?b?c的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為在上單調遞增，且，所以，即，因為在上單調遞減，且，所以，即，所以，即，故選：A設a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為在上單調遞增，在上單調遞減所以，故.故選：B已知函數(shù)，則的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，即，所以，又，所以，而遞增，故，故選：D已知，則的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵是減函數(shù)，，所以，又，∴．故選：C．題型八復合函數(shù)單調性函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，根據“同增異減”可得，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是.故選：A.已知函數(shù)，若在上減函數(shù)，求的取值范圍．【答案】{或且}.【解析】若在上減函數(shù)，則，解得或，即的取值范圍是{或且}．函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增，函數(shù)在定義域內是單調遞減函數(shù)，所以，根據復合函數(shù)單調性法則“同增異減”得：的單調遞減區(qū)間為.故選：D函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設，函數(shù)的單調減區(qū)間是由于在上單調遞減，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，故選：A函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，，解得：，即定義域為，令，則函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，而函數(shù)在R上單調遞減，因此，在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.故選：C函數(shù)的單調遞增區(qū)間是_________．【答案】【解析】令，，當時，即，單調遞增；當時，即，單調遞減；因為單調遞增，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.已知函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】令，可得拋物線的開口向上，且對稱軸為，所以函數(shù)在上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，又由函數(shù)，根據復合函數(shù)的單調性的判定方法，可得函數(shù)在上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，因為函數(shù)在上單調遞減，則，可得實數(shù)的取值范圍是.題型九指數(shù)型函數(shù)的值域問題函數(shù)，的值域是()A．B．C．D．【答案】A【解析】令，則，則，故選：A.已知函