圓的最值與范圍問(wèn)題（8題型+滿(mǎn)分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（老師版）

更多見(jiàn)微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見(jiàn)微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見(jiàn)微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見(jiàn)微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)圓的最值與范圍問(wèn)題與圓相關(guān)的最值問(wèn)題是近幾年高考數(shù)學(xué)對(duì)圓的考查的重點(diǎn)內(nèi)容。主要考查與圓相關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題和圓相關(guān)的長(zhǎng)度或面積的最值及問(wèn)題。一般以選擇題和填空題的形式考查，但還需注意與圓錐曲線(xiàn)相結(jié)合的問(wèn)題?！绢}型1圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)的最值范圍】滿(mǎn)分技巧圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問(wèn)題：一般都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值。已知圓及圓外一定點(diǎn)，設(shè)圓的半徑為，則圓上點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，最大值為，即連結(jié)并延長(zhǎng)，為與圓的交點(diǎn)，為延長(zhǎng)線(xiàn)與圓的交點(diǎn).【例1】（2024·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)，則的最大值為（）A．8B．9C．D．【答案】C【解析】設(shè)，，由，得，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，即，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓，因?yàn)?，，所以點(diǎn)在圓外，所以的最大值為.故選：C【變式1-1】（2024·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，易知，由可得，整理得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，又，可得的最大值為到圓心的距離再加上半徑，即.故選：D【變式1-2】（2023·山東濰坊·昌邑市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：，則的最大值為（）A．2B．C．D．3【答案】B【解析】設(shè)，其中，則，∵，∴，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，∴即為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，∴的最大值為.故選：B.【變式1-3】（2023·上海·高三市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)．點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】∵點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，，∴中點(diǎn)到圓心的距離為，由圓的定義可知，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以，半徑的圓，又∵點(diǎn)在圓∴的最小值為：.故選：B.【變式1-4】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，若為直角三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．本號(hào)資料#全#部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【答案】D【解析】圓的圓心，半徑，由切圓于點(diǎn)，且為直角三角形，得，連接，則，即四邊形是正方形，，因此點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，而，于是，所以的取值范圍為.故選：D【題型2圓上一點(diǎn)到直線(xiàn)的最值范圍】滿(mǎn)分技巧圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最值問(wèn)題：已知圓和圓外的一條直線(xiàn)，則圓上點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為，距離的最大值為（過(guò)圓心作的垂線(xiàn)，垂足為，與圓交于，其反向延長(zhǎng)線(xiàn)交圓于【例2】（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線(xiàn)和圓，則圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由題知，圓，其中圓心，半徑為1，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為到圓心的距離加上圓的半徑，即.故選：C【變式2-1】（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)P為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，若點(diǎn)M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離的最大值為．【答案】【解析】設(shè)，則滿(mǎn)足；易知圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，如下圖所示：易知，所以，即，整理可得；同理可得，即是方程的兩組解，可得直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，即；令，可得，即時(shí)等式與無(wú)關(guān)，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，可得；又在圓內(nèi)，當(dāng)，且點(diǎn)為的延長(zhǎng)線(xiàn)與圓的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大；最大值為.【變式2-2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）圓上到直線(xiàn)的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由題意知，圓心為，半徑，本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第*六感圓心到直線(xiàn)的距離，當(dāng)，此時(shí)圓上有個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，當(dāng)，此時(shí)圓上有個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，所以圓上到直線(xiàn)距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故C正確.故選：C.【變式2-3】（2024·重慶·高三重慶一中校考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離分別為和，且，則點(diǎn)和點(diǎn)距離的最小值為．【答案】【解析】設(shè)，由得，即，即，也即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以點(diǎn)和點(diǎn)距離的最小值為.【變式2-4】（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，滿(mǎn)足，則點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離的最大值為.【答案】【解析】令，則，整理得，所以的軌跡是圓心為，半徑為2的圓上，又直線(xiàn)：可化為，易知過(guò)定點(diǎn)，由，故點(diǎn)在圓外，則圓心與定點(diǎn)所在直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，圓心與直線(xiàn)距離最大，所以點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為.【題型3過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的最值范圍】滿(mǎn)分技巧過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)最值：已知圓及圓內(nèi)一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的所有弦中最長(zhǎng)為直徑，最短為與該直徑垂直的弦.【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)直線(xiàn)為l，方程變形為，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)閳A的方程為，所以圓心，半徑，因?yàn)?，所以在圓的內(nèi)部，當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，弦最短，因?yàn)?，所以，?dāng)直線(xiàn)l過(guò)圓心時(shí)，弦最長(zhǎng)為，故的取值范圍為.故選：.【變式3-1】（2023·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)的最小值為.【答案】2【解析】直線(xiàn)，即，則，即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，由于，故點(diǎn)在圓，當(dāng)圓心和的連線(xiàn)與直線(xiàn)垂直時(shí)，直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)最短，圓心為，和的距離為，故弦長(zhǎng)的最小值為.【變式3-2】（2024·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓C:，直線(xiàn)：，直線(xiàn)被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)m的值為（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)：，方程可化為，令，解得，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且在圓C:內(nèi)，又,故當(dāng)直線(xiàn)被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，有，則，解得，故選：B.【變式3-3】（2023·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過(guò)圓內(nèi)點(diǎn)有若干條弦，它們的長(zhǎng)度構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，且，其中分別為過(guò)點(diǎn)的圓的最短弦長(zhǎng)和最長(zhǎng)弦長(zhǎng)，則的取值集合為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，則，可知，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，解得，又因?yàn)榍?，則，所以的取值集合為.故選：C.【變式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓，直線(xiàn)，當(dāng)圓被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線(xiàn)的方程為.【答案】【解析】由題意，直線(xiàn)的方程化為，由得∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，要使直線(xiàn)被圓截得弦長(zhǎng)最短，只需與圓心的連線(xiàn)垂直于直線(xiàn)，，解得，代入到直線(xiàn)的方程并化簡(jiǎn)得.【題型4圓的切線(xiàn)長(zhǎng)的最值范圍】滿(mǎn)分技巧切線(xiàn)長(zhǎng)度的最值求法1、代數(shù)法：利用勾股定理求出切線(xiàn)長(zhǎng)，把切線(xiàn)長(zhǎng)中的變量統(tǒng)一成一個(gè)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；2、幾何法：把切線(xiàn)長(zhǎng)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓心到直線(xiàn)的距離問(wèn)題．已知圓和圓外的一條直線(xiàn)，則過(guò)直線(xiàn)上的點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為.【例4】（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)為直線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可知，圓的圓心為，半徑為，由圓的幾何性質(zhì)可知，，由勾股定理可得,所以要使切線(xiàn)長(zhǎng)取最小值，只需取最小值即可.當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直時(shí)，取最小值，則的最小值是.故選：A.【變式4-1】（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在標(biāo)準(zhǔn)單位圓上，過(guò)點(diǎn)P作圓C：的切線(xiàn)，切點(diǎn)為Q，則的最小值為．【答案】【解析】圓C的圓心為，半徑，標(biāo)準(zhǔn)單位圓的圓心為，半徑，因?yàn)椋芍獔AC與標(biāo)準(zhǔn)單位圓外離，即點(diǎn)P在圓C外，由題意可知：，且，當(dāng)且僅當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為.【變式4-2】（2023·河北石家莊·高三統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，由題可知，整理得，圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為2.如圖，因?yàn)?，所以，?dāng)取得最小值時(shí)，有最小值，由圖可知，的最小值為，所以的最小值為.故選：A【變式4-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓：的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，取最小值.又由圓的切線(xiàn)性質(zhì)可得此時(shí).【變式4-4】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知圓和點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，若，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，連接，則，可得，所以，即，可得，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.【題型5距離和差的最值范圍】本*號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)#第六感滿(mǎn)分技巧圓中的距離和差問(wèn)題可借助圓的幾何特性進(jìn)行舉例轉(zhuǎn)化，有時(shí)需結(jié)合對(duì)稱(chēng)性及三點(diǎn)共線(xiàn)距離最短的性質(zhì)求解最值?！纠?】（2024·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）已知為直線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)（點(diǎn)為切點(diǎn)），為圓上一動(dòng)點(diǎn)．則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖所示，連接，可得，且垂足為要使得取得最小值，即，又由，，顯然，當(dāng)最小時(shí)，同時(shí)取得最小值，所以，當(dāng)時(shí)，且，所以.故選：B.【變式5-1】（2024·江西·高三校聯(lián)考期末）已知A為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓E：上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【解析】設(shè)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，故，則圓關(guān)于對(duì)稱(chēng)的圓的方程為，要使的值最大，則（其中為關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圓上的點(diǎn)）三點(diǎn)共線(xiàn)，且該直線(xiàn)過(guò)兩點(diǎn)，如圖，其最大值為.【變式5-2】（2023·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【解析】由圓，可得圓心，半徑為，又由點(diǎn)，可得點(diǎn)在直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，可得，解得，即，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，解得，即，則，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，此時(shí)，則，此時(shí)取得最大值，最大值為，所以，即的最大值為.【變式5-3】（2023·上海青浦·高三校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，若點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最小值為（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)整理得，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C.【變式5-4】（2023·河南鄭州·高三鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）已知圓O：和點(diǎn)，點(diǎn)，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）本號(hào)資料全部來(lái)源于*#微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A．B．C．D．【答案】C【解析】取，連接，則，又，所以，又，故∽，故，從而，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：C【題型6與角度有關(guān)的最值范圍】滿(mǎn)分技巧與角度有關(guān)的最值范圍問(wèn)題的處理方法：利用三角函數(shù)定義，將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為邊的比值，觀(guān)察線(xiàn)段之間的關(guān)系再進(jìn)行處理。【例6】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線(xiàn)的夾角為，則的最大值為．【答案】【解析】如圖所示，圓可化為，則圓心，半徑．設(shè)切線(xiàn)為，連接，因?yàn)閳A的半徑為2，所以在中，．所以．當(dāng)點(diǎn)是線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)與圓的交點(diǎn)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)最大，此時(shí)，所以的最大值為．【變式6-1】（2024·江蘇·徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖所示：因?yàn)?，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)最大，最小，且，故C正確.故選：C【變式6-2】（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，則，，所以，整理可得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，，，故三點(diǎn)共線(xiàn)，如圖所示，當(dāng)與圓相切時(shí)，為銳角且最大，最大，即，由，此時(shí)，則.故選：B【變式6-3】（2024·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知圓：與直線(xiàn)：（），過(guò)上任意一點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，切點(diǎn)為，，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圓：，圓心，半徑，由的最小值為，可得．又，，所以的最小值為2，而圓心到直線(xiàn)：（）的距離等于2，即，解得，故選：D．【變式6-4】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，已知D為邊BC上一點(diǎn)，，．若的最大值為2，則常數(shù)的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令且，即，則外接圓半徑為，若，的外接圓方程為，所以，令圓心為，即點(diǎn)在圓被分割的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，如下圖，要使的最大，只需與圓相切，由上易知，則，而，由圓的性質(zhì)有，中，，顯然，由，則，所以，可得（負(fù)值舍），故，而，所以，整理得，則.故選：D【題型7代數(shù)式幾何意義的最值范圍】滿(mǎn)分技巧利用代數(shù)法的幾何意義求最值1、形如的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)斜率的最值問(wèn)題；2、形如的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和點(diǎn)距離的平方的最值問(wèn)題；3、形如的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)縱截距的最值問(wèn)題【例7】（2023·河南駐馬店·高三河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）若點(diǎn)是圓:上一點(diǎn),則的最小值為（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】圓:可化為表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方,因?yàn)椋缘淖钚≈禐?故選：B.【變式7-1】（2023·江蘇·高三泰州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面四邊形中，點(diǎn)，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍是【答案】【解析】設(shè)，則，由得，整理得，.表示到點(diǎn)的距離平方，，所以到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為，所以的范圍是，所以的范圍是，也即的取值范圍是.【變式7-2】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知是曲線(xiàn)上的點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】，由題意可知,作出圖形，如圖所示，因?yàn)槭乔€(xiàn)上的點(diǎn)，則表示過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)直線(xiàn)的斜率，顯然當(dāng)位于處時(shí)，有最大值，顯然當(dāng)位于處時(shí)，有最小值，所以所以故的取值范圍是【變式7-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足方程，則的最大值為；的最大值為．【答案】；【解析】由題意得：將方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，故的軌跡是以為圓心、1為半徑的圓；的幾何意義為到距離的平方；如上圖可知：當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，到距離最大，此時(shí)，故；因?yàn)椋海士稍O(shè)：，所以圓與直線(xiàn)需有交點(diǎn)，即圓心到直線(xiàn)的距離：，解得：，所以：最大值為．【變式7-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃┮阎本€(xiàn)交圓于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A．9B．16C．27D．30本號(hào)資料全部#來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第*六感【答案】D【解析】由題設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，設(shè)弦的中點(diǎn)為，連接，則，即，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)直線(xiàn)為，則到的最小距離為，過(guò)分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，則四邊形是直角梯形，且是的中點(diǎn)，則是直角梯形的中位線(xiàn)，所以，即，即，所以的最小值為30.故選：D.【題型8圓中面積的最值范圍】滿(mǎn)分技巧與圓有關(guān)的面積最值問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時(shí)可以通過(guò)轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解?！纠?】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）直線(xiàn)分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，直線(xiàn)交軸于，交軸于，則，圓的圓心到直線(xiàn)的距離，而圓的半徑為，于是圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的范圍為，所以的面積.故選：C【變式8-1】（2024·廣東廣州·高三玉巖中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)是直線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圓C：，即圓C：，圓心坐標(biāo)，半徑為3；由題意過(guò)點(diǎn)P作圓C：的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，可知四邊形PACB的面積是兩個(gè)全等的三角形的面積的和，因?yàn)?，，顯然PC最小時(shí)四邊形面積最小，即，所以所以四邊形PACB的面積的最小值為，故選：B.【變式8-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB面積的最大值為.【答案】【解析】圓C的方程可化為，則圓心為，半徑為2，連接PC，則在中，，所以四邊形PACB的面積，（由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知，故）連接CO并延長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段CO的延長(zhǎng)線(xiàn)與圓O的交點(diǎn)時(shí)，最大，本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：#數(shù)學(xué)第#六感此時(shí)，所以四邊形PACB面積的最大值為.【變式8-3】（2024·山西呂梁·統(tǒng)考一模）已知圓，點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓與圓相交于兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為（）A．B．C．2D．4【答案】B【解析】由題意得，，，，當(dāng)垂直直線(xiàn)時(shí)，，，故選：B.【變式8-4】（2023·四川成都·高三石室中學(xué)校考期中）如圖，已知圓：，圓：，過(guò)直角坐標(biāo)原點(diǎn)作直線(xiàn)分別交兩圓于過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)分別交兩圓于，連接，則四邊形面積的最大值為【答案】【解析】設(shè)軸與圓交于，點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，連結(jié)，則：，.同理：所以：，設(shè)，則

則：，設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則：，所以：設(shè)，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是圓上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．1B．C．2D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，且兩圓的半徑分別為，即兩圓外離，所以的最小值為.故選：B2．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，，，，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則的最大值為（）A．16B．17C．18D．19【答案】B【解析】如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x軸、y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)，則．因?yàn)椋訮是圓A：上的點(diǎn)．又點(diǎn)P與點(diǎn)距離的最大值為，即，所以．故的最大值為17．故選：B.3．（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，依題意得點(diǎn)，在直線(xiàn)上，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，點(diǎn)在圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓上，設(shè)，則，解得，且半徑為，所以圓，則，設(shè)圓的圓心為，因?yàn)椋?，?dāng)五點(diǎn)共線(xiàn)，在線(xiàn)段上，在線(xiàn)段上時(shí)“”成立．本號(hào)資料#全部來(lái)源于微信#公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感因此的最大值為5．故選：C4．（2024·河北·高三張北縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓上有一動(dòng)點(diǎn)P，圓上有一動(dòng)點(diǎn)Q，直線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)M，直線(xiàn)與圓相切，直線(xiàn)與圓相切，則的最小值為（）A．4B．5C．D．【答案】D【解析】由圓可得圓心，半徑為，由圓可得圓心，半徑為，設(shè)直線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，直線(xiàn)與圓相切，所以，即，即，設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào).故選：D.5．（2022·四川廣安·高三岳池中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，，則（）A．的最大值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最大值是【答案】B【解析】圓的方程可化為，設(shè)，且，且，則，當(dāng)，時(shí)，取得最大值，故A錯(cuò)誤；，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故B正確；，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C錯(cuò)誤；，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故D錯(cuò)誤.故選：B6．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，則，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則有，，則點(diǎn)A，B在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立，可得圓D和圓O公共弦為：，又由，則有，變形可得，則有，可解得，故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，，當(dāng)時(shí)，C到直線(xiàn)AB的距離最大，M到直線(xiàn)AB的距離也最大，本號(hào)資料#全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為.故選:B.7．（2024·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知，點(diǎn)到直線(xiàn)：的垂足為，，，則（）A．直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)B．點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為C．的最大值為D．的最小值為【答案】AB【解析】已知，則，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，正確；設(shè)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離即，正確；過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)直線(xiàn)：的垂線(xiàn)，垂足為，則恒成立，故的軌跡是以為直徑的圓，而，，則該圓的圓心為，半徑，故的軌跡方程為，又由，則，故N在圓外，故的最大值為，最小值為，故,錯(cuò)誤．故選：．本號(hào)資料全部來(lái)*源于*微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感8．（2023·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知圓的圓心在直線(xiàn)上，且與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，.記線(xiàn)段，的中點(diǎn)分別為，，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓的方程為B．四邊形面積的最大值為C．弦的長(zhǎng)度的取值范圍為D．直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)【答案】AD【解析】設(shè)圓心為，則半徑為，依題意，，解得，則，因此圓的方程為，A正確；連接,則，又，則四邊形為矩形，設(shè)，則，，故，所以，當(dāng)時(shí)，四邊形面積取到最大值，B錯(cuò)誤；當(dāng)弦過(guò)圓心時(shí)最長(zhǎng)，最大值為4；當(dāng)弦時(shí)最短，最小值為，即弦的長(zhǎng)度的取值范圍為，C錯(cuò)誤；矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，而，則過(guò)的中點(diǎn)，D正確.故選：AD9．（2023·湖北荊州·湖北省松滋市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知圓：，直線(xiàn)：，則下列說(shuō)法正確的是（）A．直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)B．直線(xiàn)被圓截得的弦最長(zhǎng)時(shí)，C．直線(xiàn)被圓截得的弦最短時(shí)，D．直線(xiàn)被圓截得的弦最短弦長(zhǎng)為【答案】ABC【解析】對(duì)于選