2022-2023學(xué)年北京市懷柔區(qū)高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2北京市懷柔區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.若、、成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為、、成等差數(shù)列，則.故選：A.2.函數(shù)在處的切線斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，則，所以，.因此，函數(shù)在處的切線斜率為.故選：B.3.已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，，故選：C4.一個袋中裝有大小相同的3個白球和2個紅球，現(xiàn)在不放回的取2次球，每次取出一個球，記“第1次拿出的是白球”為事件，“第2次拿出的是白球”為事件，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知條件得由條件概率公式可得.故選：D.5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A.有極小值，但無極大值 B.既有極小值，也有極大值C.有極大值，但無極小值 D.既無極小值，也無極大值〖答案〗A〖解析〗由導(dǎo)函數(shù)圖像可知：導(dǎo)函數(shù)在上小于0，于是原函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上大于等于0，于是原函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以原函數(shù)在處取得極小值，無極大值，故選：A.6.將一枚均勻硬幣隨機拋擲4次，記“正面向上出現(xiàn)的次數(shù)”為，則隨機變量的期望（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗在一次拋硬幣的實驗中，正面朝上的概率為，由題意可知服從二項分布，所以，所以，故選：B7.在數(shù)列中，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，，，，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以，故選：A8.若是等差數(shù)列的前項和，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，故選：B.9.數(shù)列的通項公式為，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為數(shù)列通項公式為，且是遞增數(shù)列，所以對于都成立，所以對于都成立，即對于都成立，所以對于都成立，所以，即的取值范圍是，故選：D10.已知函數(shù),則下面對函數(shù)的描述正確的是A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，導(dǎo)函數(shù)在上是增函數(shù)，又，，所以在上有唯一的實根，設(shè)為，且，則為的最小值點，且，即，故，因為，由對勾函數(shù)可知，.故選B.『點石成金』：該題考查的是有關(guān)函數(shù)最值的范圍，首先應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而此時導(dǎo)數(shù)的零點是無法求出確切值的，應(yīng)用零點存在性定理，將導(dǎo)數(shù)的零點限定在某個范圍內(nèi)，再根據(jù)不等式的傳遞性求得結(jié)果.第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設(shè)函數(shù)，則__________.〖答案〗0〖解析〗,所以，故〖答案〗為：012.已知隨機變量的分布列如下，且：01則__________；__________.〖答案〗①②〖解析〗由分布列的性質(zhì)，可得，解得①，因為，所以，即②，聯(lián)立①②解得，，故〖答案〗為：.13.已知是公比為的等比數(shù)列，其前項和為.若，則__________.〖答案〗2〖解析〗因為，所以，即，所以.故〖答案〗為：14.若曲線在處的切線方程為，則__________；__________.〖答案〗①②〖解析〗，由于曲線在處的切線方程是，所以，由切點在切線上，切點為，得所以，得.故〖答案〗為：-1,0.15.設(shè)隨機變量的分布列如下：12345678910給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)為等差數(shù)列時，；②當(dāng)為等差數(shù)列時，公差；③當(dāng)數(shù)列滿足時，；④當(dāng)數(shù)列滿足時，時，.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.〖答案〗①③④〖解析〗由題意可得：，且,，，2，，10，對①：當(dāng)為等差數(shù)列時，則，可得，故，①正確；對②：當(dāng)為等差數(shù)列時,由①知，所以，由于,，所以，解得：，故②錯誤；對③：當(dāng)數(shù)列滿足，2，時，滿足，，，2，，10，則，可得,，③正確；對④：當(dāng)數(shù)列滿足，2，時，則，可得，,3，時,所以，由于，所以，因此，由于，所以，因此，當(dāng)也符合，故，④正確．故〖答案〗為：①③④三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知等差數(shù)列的的前項和為，從條件①?條件②和條件③中選擇兩個作為已知，并完成解答：（1）求通項公式；（2）若是等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項和.①；②；③.解：（1）選①；②設(shè)等差數(shù)列的公差為.由題設(shè)，得解得.所以.選①；③設(shè)等差數(shù)列的公差為.由題設(shè)，得解得.所以.選②；③由題設(shè)，得，，解得.所以.（2）因為是等比數(shù)列，且由，得，由，得所以所以.所以17.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）因為，所以.令，得或，列表如下：極大值極小值所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為、.從而的極大值為，極小值為.（2）由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為，，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.18.為宣傳交通安全知識，某地區(qū)中學(xué)聯(lián)合開展了交通安全知識競賽活動.現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機抽取了20名學(xué)生，將他們的競賽成績（單位：分）用莖葉圖記錄如下：（1）從該地區(qū)參加該活動的男生中隨機抽取1人，估計該男生的競賽成績在90分以上的概率；（2）從圖中90分以上的人中隨機抽取4人，抽到男生的人數(shù)記為，求的分布列和期望；（3）為便于普及交通安全知識，現(xiàn)從該地區(qū)某所中學(xué)參加知識競賽活動的學(xué)生中隨機選取5名男生?5名女生作為宣傳志愿者，記這5名男生競賽成績的平均數(shù)為，這5名女生競賽成績的平均數(shù)為，能否認(rèn)為，說明理由.解：（1）由莖葉圖數(shù)據(jù)，隨機抽取的20名學(xué)生中有男生10人，從男生中隨機抽取1人，因為90分以上有4人，所以男生的競賽成績在90分以上的概率估計值為.（2）抽取的樣本學(xué)生中90分以上的有7人，其中有4名男生，3名女生.從7人中隨機抽取4人，抽到男生的人數(shù)記為的值可能為：的分布列為：1234（3）不能確定是否有.上述5名男生，5名女生競賽成績的數(shù)據(jù)是隨機的，所以是隨機的.所以，不能確定是否有.19.已知某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為400萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入成本萬元，假設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件，并且全部銷售完，每1件的銷售收入為100元，且（1）求出年利潤（萬元）關(guān)于年生產(chǎn)零件（萬件）的函數(shù)關(guān)系式（注：年利潤年銷售收入年總成本）；（2）將年產(chǎn)量定為多少萬件時，企業(yè)所獲年利潤最大.解：（1）由題意得，總售價固定為，當(dāng)產(chǎn)量不足60萬箱時，.當(dāng)產(chǎn)量不小于60萬箱時，.則（2）設(shè)，當(dāng)時，，令，得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)時，由基本不等式有當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；又因為，所以當(dāng)時，所獲利潤最大，最大值為1300萬元20.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，恒成立，求的取值范圍.解：（1）因為，所以，所以.當(dāng)時，對任意的恒成立，此時函數(shù)的增區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時，令，得，極大值所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）法一：由（1）可知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，與恒成立矛盾；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.，令，得，得，即.法二：若對任意，恒成立，即對任意的恒成立，則對任意的恒成立，設(shè)，則，其中，令，得.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以，所以.21.定義：若對任意正整數(shù)，數(shù)列的前項和都是整數(shù)的完全平方數(shù)，則稱數(shù)列為“完全平方數(shù)列”.（1）若數(shù)列滿足，判斷為否為“完全平方數(shù)列”；（2）若數(shù)列的前項和（是正整數(shù)），那么是否存在，使數(shù)列為“完全平方數(shù)列”？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）試求出所有為“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列的通項公式.解：（1）不是“完全平方數(shù)列”.不是整數(shù)的完全平方數(shù).（2）數(shù)列的前項和（是正整數(shù)），當(dāng)時，，當(dāng)時，不滿足上式，所以①當(dāng)，時，，所以數(shù)列與原數(shù)列相同，所以，所以當(dāng)時，數(shù)列為“完全平方數(shù)列”，②當(dāng)時，，不是完全平方數(shù)，所以當(dāng)時，數(shù)列不是“完全平方數(shù)列”，綜上，當(dāng)時，數(shù)列為“完全平方數(shù)列”，（3）因為為完全平方數(shù)，故，,若，則，若對任意的，均為完全平方數(shù)，則，否則假設(shè)為的素因數(shù)，且恰好能整除，為正整數(shù)，若為奇數(shù)，則不是完全平方，矛盾；若為偶數(shù)，取，則不是完全平方數(shù)，矛盾，若，則，若，取，則或，當(dāng)為偶數(shù)時，此時、均不是完全平方數(shù)，故為奇數(shù)，取，則，為奇數(shù)，故此時不是完全平方數(shù)，故即，故，設(shè)，故，所以即（）.北京市懷柔區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.若、、成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為、、成等差數(shù)列，則.故選：A.2.函數(shù)在處的切線斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，則，所以，.因此，函數(shù)在處的切線斜率為.故選：B.3.已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，，故選：C4.一個袋中裝有大小相同的3個白球和2個紅球，現(xiàn)在不放回的取2次球，每次取出一個球，記“第1次拿出的是白球”為事件，“第2次拿出的是白球”為事件，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知條件得由條件概率公式可得.故選：D.5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A.有極小值，但無極大值 B.既有極小值，也有極大值C.有極大值，但無極小值 D.既無極小值，也無極大值〖答案〗A〖解析〗由導(dǎo)函數(shù)圖像可知：導(dǎo)函數(shù)在上小于0，于是原函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上大于等于0，于是原函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以原函數(shù)在處取得極小值，無極大值，故選：A.6.將一枚均勻硬幣隨機拋擲4次，記“正面向上出現(xiàn)的次數(shù)”為，則隨機變量的期望（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗在一次拋硬幣的實驗中，正面朝上的概率為，由題意可知服從二項分布，所以，所以，故選：B7.在數(shù)列中，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，，，，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以，故選：A8.若是等差數(shù)列的前項和，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，故選：B.9.數(shù)列的通項公式為，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為數(shù)列通項公式為，且是遞增數(shù)列，所以對于都成立，所以對于都成立，即對于都成立，所以對于都成立，所以，即的取值范圍是，故選：D10.已知函數(shù),則下面對函數(shù)的描述正確的是A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，導(dǎo)函數(shù)在上是增函數(shù)，又，，所以在上有唯一的實根，設(shè)為，且，則為的最小值點，且，即，故，因為，由對勾函數(shù)可知，.故選B.『點石成金』：該題考查的是有關(guān)函數(shù)最值的范圍，首先應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而此時導(dǎo)數(shù)的零點是無法求出確切值的，應(yīng)用零點存在性定理，將導(dǎo)數(shù)的零點限定在某個范圍內(nèi)，再根據(jù)不等式的傳遞性求得結(jié)果.第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設(shè)函數(shù)，則__________.〖答案〗0〖解析〗,所以，故〖答案〗為：012.已知隨機變量的分布列如下，且：01則__________；__________.〖答案〗①②〖解析〗由分布列的性質(zhì)，可得，解得①，因為，所以，即②，聯(lián)立①②解得，，故〖答案〗為：.13.已知是公比為的等比數(shù)列，其前項和為.若，則__________.〖答案〗2〖解析〗因為，所以，即，所以.故〖答案〗為：14.若曲線在處的切線方程為，則__________；__________.〖答案〗①②〖解析〗，由于曲線在處的切線方程是，所以，由切點在切線上，切點為，得所以，得.故〖答案〗為：-1,0.15.設(shè)隨機變量的分布列如下：12345678910給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)為等差數(shù)列時，；②當(dāng)為等差數(shù)列時，公差；③當(dāng)數(shù)列滿足時，；④當(dāng)數(shù)列滿足時，時，.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.〖答案〗①③④〖解析〗由題意可得：，且,，，2，，10，對①：當(dāng)為等差數(shù)列時，則，可得，故，①正確；對②：當(dāng)為等差數(shù)列時,由①知，所以，由于,，所以，解得：，故②錯誤；對③：當(dāng)數(shù)列滿足，2，時，滿足，，，2，，10，則，可得,，③正確；對④：當(dāng)數(shù)列滿足，2，時，則，可得，,3，時,所以，由于，所以，因此，由于，所以，因此，當(dāng)也符合，故，④正確．故〖答案〗為：①③④三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知等差數(shù)列的的前項和為，從條件①?條件②和條件③中選擇兩個作為已知，并完成解答：（1）求通項公式；（2）若是等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項和.①；②；③.解：（1）選①；②設(shè)等差數(shù)列的公差為.由題設(shè)，得解得.所以.選①；③設(shè)等差數(shù)列的公差為.由題設(shè)，得解得.所以.選②；③由題設(shè)，得，，解得.所以.（2）因為是等比數(shù)列，且由，得，由，得所以所以.所以17.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）因為，所以.令，得或，列表如下：極大值極小值所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為、.從而的極大值為，極小值為.（2）由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為，，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.18.為宣傳交通安全知識，某地區(qū)中學(xué)聯(lián)合開展了交通安全知識競賽活動.現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機抽取了20名學(xué)生，將他們的競賽成績（單位：分）用莖葉圖記錄如下：（1）從該地區(qū)參加該活動的男生中隨機抽取1人，估計該男生的競賽成績在90分以上的概率；（2）從圖中90分以上的人中隨機抽取4人，抽到男生的人數(shù)記為，求的分布列和期望；（3）為便于普及交通安全知識，現(xiàn)從該地區(qū)某所中學(xué)參加知識競賽活動的學(xué)生中隨機選取5名男生?5名女生作為宣傳志愿者，記這5名男生競賽成績的平均數(shù)為，這5名女生競賽成績的平均數(shù)為，能否認(rèn)為，說明理由.解：（1）由莖葉圖數(shù)據(jù)，隨機抽取的20名學(xué)生中有男生10人，從男生中隨機抽取1人，因為90分以上有4人，所以男生的競賽成績在90分以上的概率估計值為.（2）抽取的樣本學(xué)生中90分以上的有7人，其中有4名男生，3名女生.從7人中隨機抽取4人，抽到男生的人數(shù)記為的值可能為：的分布列為：1234（3）不能確定是否有.上述5名男生，5名女生競賽成績的數(shù)據(jù)是隨機的，所以是隨機的.所以，不能確定是否有.19.已知某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為400萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入成本萬元，假設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件，并且全部銷售完，每1件的銷售收入為100元，且（1）求出年利潤（萬元）關(guān)于年生產(chǎn)零件（萬件）的函數(shù)關(guān)系式（注：年利潤年銷售收入年總成本）；（2）將年產(chǎn)量定為多少萬件時，企業(yè)所獲年利潤最大.解：（1）由題意得，總售價固定為，當(dāng)產(chǎn)量不足60萬箱時，.當(dāng)產(chǎn)量不小于60萬箱時，.則（2）設(shè)，當(dāng)時，，令，得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)時，由基本不等式有當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；又因為，所以當(dāng)時，所獲利潤最大，最大值為1300萬元