2022-2023學(xué)年北京市西城區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市西城區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題.共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=1+，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題設(shè)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為在第四象限.故選：D.2.下列函數(shù)中，最小正周期為且是偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，的最小正周期為：，故A不正確；對(duì)于B，的最小正周期為：，的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，所以為奇函數(shù)，故B不正確；對(duì)于C，的最小正周期為：，令的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，所以為偶函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，的最小正周期為：，的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，所以為奇函數(shù)，故D不正確.故選：C.3.在中，，，，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，即，得.故選：B.4.某城市一年中12個(gè)月的月平均氣溫（單位）與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)來(lái)表示，已知月平均氣溫最高值為28，最低值為18，則（）A.5 B.10 C.15 D.20〖答案〗A〖解析〗依題意可得，解得.故選：A.5.復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則可能的取值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，所以，，所以，.故選：B.6.已知直線，直線和平面，則下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，若，，則或與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則或與異面或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，過(guò)作平面，使得，則，因?yàn)椋?，則，又，則，故C正確；對(duì)于D，若，，則或或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)镺為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所以，，，所以.故選：D.8.已知等邊的邊長(zhǎng)為4，P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度是（）A.7 B.9 C.10 D.11〖答案〗B〖解析〗當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，得，此時(shí)點(diǎn)P軌跡長(zhǎng)度為；當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，得，此時(shí)點(diǎn)P軌跡是線段，其長(zhǎng)度為；當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，得，此時(shí)點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為，所以點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度是.故選：B.9.已知函數(shù)，則“在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗因?yàn)榍遥瑒t，若在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)，則，解得，又因?yàn)椋浴霸谏霞炔皇窃龊瘮?shù)也不是減函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B.10.已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)都在單位圓上，且，則的取值范圍是（）A. B. C D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?，所以，，，因?yàn)?，所?故選：A.二、填空題.共5小題，每小題5分，共25分．11.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則為_(kāi)_____．〖答案〗1〖解析〗由已知得該復(fù)數(shù)，則.故〖答案〗為：1.12.設(shè)向量，，若，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，且，所以，?故〖答案〗為：.13.已知圓柱的底面半徑為3，體積為的球與該圓柱的上、下底面相切，則球的半徑為_(kāi)_____，圓柱的體積為_(kāi)_____．〖答案〗2〖解析〗設(shè)球的半徑為，則，得，則圓柱的高為，所以圓柱的體積為.故〖答案〗為：.14.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)______．①，；②，恒成立．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由，可知，函數(shù)的周期為，由，恒成立可知，函數(shù)在上取到最大值，則滿足題意，一方面根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式，，滿足，，另一方面，，滿足，恒成立.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），點(diǎn)E在線段上，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)P，使得平面平面；②存在點(diǎn)P，使得是等腰直角三角形；③若，則點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為；④當(dāng)時(shí)，則平面截正方體所得截面圖形的面積為18．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．〖答案〗①③④〖解析〗對(duì)于①，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，平面平面，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，，，∵∥，且∥，∴四邊形平行四邊形，∴∥，∵平面，平面，∴∥，∵∥，平面，平面，∴∥，又∵，，平面，∴平面，故①正確；對(duì)于②，分別以所在的直線為軸，軸，軸，由幾何關(guān)系可知，要使是等腰直角三角形，則，由已知得，，設(shè)點(diǎn)，則，，∵，∴，此方程無(wú)解，則不存在點(diǎn)P，使得是等腰直角三角形，故②不正確；對(duì)于③，因，則，，，即，則P軌跡是在上的線段，不包括端點(diǎn)、，如下圖所示，由已知得△為等腰三角形，則△底邊上的高，隨著P向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，逐漸減小，故在線段上存在一點(diǎn)P使得，同理可知靠近點(diǎn)處也存在一點(diǎn)P使得，設(shè)線段，由勾股定理可知，所以點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為，故③正確；對(duì)于④，連接，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接，則為平面截正方體所得的截面圖形，由已知得，由△∽△可知，又因?yàn)?，且∥，所以四邊形為等腰梯形，其中梯形的高，所以截面面積為，故④正確.故〖答案〗為：①③④.三、解答題.共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．16.已知，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)?，所以，所以．?）因?yàn)?，，所?17.如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）證明：平面．解：（1），所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)闉檎叫?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平?（2）設(shè)，連接OE，因?yàn)闉檎襟w，所以，且，所以，且，因?yàn)镋，F(xiàn)分別，的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形．所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?8.已知在中，．（1）求A的大??；（2）若，在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一，求的周長(zhǎng)．①的面積為；②；③AB邊上的高線CD長(zhǎng)為．解：（1）由正弦定理，得，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，即，又因?yàn)椋裕?）選擇①，因?yàn)?，即，即，所以，又因?yàn)?，即，所以，所以的周長(zhǎng)為．若選擇②，因?yàn)椋?，所以不唯一，所以②不合題意.選擇③，因?yàn)锳B邊上的高線CD長(zhǎng)為，即，所以，又因?yàn)?，即，所以，所以的周長(zhǎng)為．19.已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．解：（1）.（2），由，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是．（3）因?yàn)?，所以，依題意，解得，所以m的取值范圍為．20.如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且平面平面．（1）求證：；（2）求證：為線段中點(diǎn)，并直接寫(xiě)出到平面的距離；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．?）因?yàn)槠矫嫫矫鍿CD，平面平面，平面平面，所以，又因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以M為線段BC中點(diǎn)，由（1）知，平面，又平面，所以平面平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到的距離，因?yàn)?，所以為正三角形，又為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到的距離為，因?yàn)槠矫嫫矫鍿CD，所以點(diǎn)M到平面SCD的距離為．（3）存在，當(dāng)N為SC中點(diǎn)時(shí)，平面平面，證明如下：連接EC，DM交于點(diǎn)O，連接SE，因?yàn)椋⑶?，所以四邊形EMCD為平行四邊形，所以，又因?yàn)镹為SC中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，又平面SAD，由已知，所以平面ABCD，所以平面ABCD，又因?yàn)槠矫鍰MN，所以平面平面ABCD，所以存在點(diǎn)N，使得平面平面ABCD，．21.對(duì)于定義在上的函數(shù)和正實(shí)數(shù)若對(duì)任意，有，則為階梯函數(shù)．（1）分別判斷下列函數(shù)是否為階梯函數(shù)（直接寫(xiě)出結(jié)論）：①；②．（2）若為階梯函數(shù)，求的所有可能取值；（3）已知為階梯函數(shù)，滿足：在上單調(diào)遞減，且對(duì)任意，有．若函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，記其中正的零點(diǎn)從小到大依次為直接給出一個(gè)符合題意的a的值，并證明：存在，使得在上有4046個(gè)零點(diǎn)，且．解：（1），則；，則，故①否；②是.（2）因?yàn)闉殡A梯函數(shù)，所以對(duì)任意有：，所以，對(duì)任意，，因?yàn)槭亲钚≌芷跒榈闹芷诤瘮?shù)，又因?yàn)?，所以，．?）．函數(shù)，則有：，，取，則有：，，由于在上單調(diào)遞減，因此在上單調(diào)遞減，結(jié)合，則有：在上有唯一零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)，又由于，則對(duì)任意，有：，，因此，對(duì)任意，在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)：，，綜上所述，存在，使得在上有4046個(gè)零點(diǎn)：，，，，…，，，其中，．北京市西城區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題.共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=1+，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題設(shè)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為在第四象限.故選：D.2.下列函數(shù)中，最小正周期為且是偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，的最小正周期為：，故A不正確；對(duì)于B，的最小正周期為：，的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，所以為奇函數(shù)，故B不正確；對(duì)于C，的最小正周期為：，令的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，所以為偶函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，的最小正周期為：，的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，所以為奇函數(shù)，故D不正確.故選：C.3.在中，，，，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，即，得.故選：B.4.某城市一年中12個(gè)月的月平均氣溫（單位）與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)來(lái)表示，已知月平均氣溫最高值為28，最低值為18，則（）A.5 B.10 C.15 D.20〖答案〗A〖解析〗依題意可得，解得.故選：A.5.復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則可能的取值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，所以，，所以，.故選：B.6.已知直線，直線和平面，則下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，若，，則或與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則或與異面或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，過(guò)作平面，使得，則，因?yàn)?，，則，又，則，故C正確；對(duì)于D，若，，則或或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)镺為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所以，，，所以.故選：D.8.已知等邊的邊長(zhǎng)為4，P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度是（）A.7 B.9 C.10 D.11〖答案〗B〖解析〗當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，得，此時(shí)點(diǎn)P軌跡長(zhǎng)度為；當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，得，此時(shí)點(diǎn)P軌跡是線段，其長(zhǎng)度為；當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，得，此時(shí)點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為，所以點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度是.故選：B.9.已知函數(shù)，則“在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗因?yàn)榍?，則，若在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)，則，解得，又因?yàn)?，所以“在上既不是增函?shù)也不是減函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B.10.已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)都在單位圓上，且，則的取值范圍是（）A. B. C D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，，，因?yàn)?，所?故選：A.二、填空題.共5小題，每小題5分，共25分．11.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則為_(kāi)_____．〖答案〗1〖解析〗由已知得該復(fù)數(shù)，則.故〖答案〗為：1.12.設(shè)向量，，若，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，且，所以，?故〖答案〗為：.13.已知圓柱的底面半徑為3，體積為的球與該圓柱的上、下底面相切，則球的半徑為_(kāi)_____，圓柱的體積為_(kāi)_____．〖答案〗2〖解析〗設(shè)球的半徑為，則，得，則圓柱的高為，所以圓柱的體積為.故〖答案〗為：.14.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)______．①，；②，恒成立．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由，可知，函數(shù)的周期為，由，恒成立可知，函數(shù)在上取到最大值，則滿足題意，一方面根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式，，滿足，，另一方面，，滿足，恒成立.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），點(diǎn)E在線段上，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)P，使得平面平面；②存在點(diǎn)P，使得是等腰直角三角形；③若，則點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為；④當(dāng)時(shí)，則平面截正方體所得截面圖形的面積為18．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．〖答案〗①③④〖解析〗對(duì)于①，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，平面平面，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，，，∵∥，且∥，∴四邊形平行四邊形，∴∥，∵平面，平面，∴∥，∵∥，平面，平面，∴∥，又∵，，平面，∴平面，故①正確；對(duì)于②，分別以所在的直線為軸，軸，軸，由幾何關(guān)系可知，要使是等腰直角三角形，則，由已知得，，設(shè)點(diǎn)，則，，∵，∴，此方程無(wú)解，則不存在點(diǎn)P，使得是等腰直角三角形，故②不正確；對(duì)于③，因，則，，，即，則P軌跡是在上的線段，不包括端點(diǎn)、，如下圖所示，由已知得△為等腰三角形，則△底邊上的高，隨著P向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，逐漸減小，故在線段上存在一點(diǎn)P使得，同理可知靠近點(diǎn)處也存在一點(diǎn)P使得，設(shè)線段，由勾股定理可知，所以點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為，故③正確；對(duì)于④，連接，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接，則為平面截正方體所得的截面圖形，由已知得，由△∽△可知，又因?yàn)?，且∥，所以四邊形為等腰梯形，其中梯形的高，所以截面面積為，故④正確.故〖答案〗為：①③④.三、解答題.共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．16.已知，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)?，所以，所以．?）因?yàn)?，，所?17.如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）證明：平面．解：（1），所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉檎叫?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平?（2）設(shè)，連接OE，因?yàn)闉檎襟w，所以，且，所以，且，因?yàn)镋，F(xiàn)分別，的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形．所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?8.已知在中，．（1）求A的大??；（2）若，在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一，求的周長(zhǎng)．①的面積為；②；③AB邊上的高線CD長(zhǎng)為．解：（1）由正弦定理，得，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，即，又因?yàn)?，所以．?）選擇①，因?yàn)椋?，即，所以，又因?yàn)?，即，所以，所以的周長(zhǎng)為．若選擇②，因?yàn)椋?，所以不唯一，所以②不合題意.選擇③，因?yàn)锳B邊上的高線CD長(zhǎng)為，即，所以，又因?yàn)?，即，所以，所以的周長(zhǎng)為．19.已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．解：（1）.（2），由，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是．（3）因?yàn)?，所以，依題意，解得，所以m的取值范圍為．20.如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且平面平面．（1）求證：；（2）求證：為線段中點(diǎn)，并直接寫(xiě)出到平面的距離；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平