2022-2023學年北京市西城區(qū)高一下學期期末考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市西城區(qū)2022-2023學年高一下學期期末考試數學試題一、選擇題.共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知復數z滿足z=1+，則在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題設，對應點為在第四象限.故選：D.2.下列函數中，最小正周期為且是偶函數的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，的最小正周期為：，故A不正確；對于B，的最小正周期為：，的定義域為，關于原點對稱，令，則，所以為奇函數，故B不正確；對于C，的最小正周期為：，令的定義域為關于原點對稱，則，所以為偶函數，故C正確；對于D，的最小正周期為：，的定義域為，關于原點對稱，令，則，所以為奇函數，故D不正確.故選：C.3.在中，，，，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，即，得.故選：B.4.某城市一年中12個月的月平均氣溫（單位）與月份的關系可近似地用三角函數來表示，已知月平均氣溫最高值為28，最低值為18，則（）A.5 B.10 C.15 D.20〖答案〗A〖解析〗依題意可得，解得.故選：A.5.復數，且為純虛數，則可能的取值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，因為為純虛數，所以，所以，，所以，.故選：B.6.已知直線，直線和平面，則下列四個命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗C〖解析〗對于A，若，，則或與異面，故A錯誤；對于B，若，，則或與異面或與相交，故B錯誤；對于C，若，過作平面，使得，則，因為，，則，又，則，故C正確；對于D，若，，則或或與相交，故D錯誤.故選：C.7.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為O為坐標原點，，，所以，，，所以.故選：D.8.已知等邊的邊長為4，P為邊上的動點，且滿足，則點P軌跡的長度是（）A.7 B.9 C.10 D.11〖答案〗B〖解析〗當點在邊上時，，得，此時點P軌跡長度為；當點在邊上時，，得，此時點P軌跡是線段，其長度為；當點在邊上時，，得，此時點P軌跡的長度為，所以點P軌跡的長度是.故選：B.9.已知函數，則“在上既不是增函數也不是減函數”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗因為且，則，若在上既不是增函數也不是減函數，則，解得，又因為，所以“在上既不是增函數也不是減函數”是“”的必要不充分條件.故選：B.10.已知點，點，點都在單位圓上，且，則的取值范圍是（）A. B. C D.〖答案〗A〖解析〗設的中點為，因為，，所以，，，因為，所以.故選：A.二、填空題.共5小題，每小題5分，共25分．11.已知復數z在復平面內所對應的點的坐標為，則為______．〖答案〗1〖解析〗由已知得該復數，則.故〖答案〗為：1.12.設向量，，若，則______．〖答案〗〖解析〗因為，，且，所以，得.故〖答案〗為：.13.已知圓柱的底面半徑為3，體積為的球與該圓柱的上、下底面相切，則球的半徑為______，圓柱的體積為______．〖答案〗2〖解析〗設球的半徑為，則，得，則圓柱的高為，所以圓柱的體積為.故〖答案〗為：.14.寫出一個同時滿足下列兩個條件的函數______．①，；②，恒成立．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由，可知，函數的周期為，由，恒成立可知，函數在上取到最大值，則滿足題意，一方面根據余弦函數的周期公式，，滿足，，另一方面，，滿足，恒成立.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.如圖，在棱長為4的正方體中，點P是線段AC上的動點（包含端點），點E在線段上，且，給出下列四個結論：①存在點P，使得平面平面；②存在點P，使得是等腰直角三角形；③若，則點P軌跡的長度為；④當時，則平面截正方體所得截面圖形的面積為18．其中所有正確結論的序號是______．〖答案〗①③④〖解析〗對于①，當點和點重合時，平面平面，連接交于點，連接交于點，連接，，，，∵∥，且∥，∴四邊形平行四邊形，∴∥，∵平面，平面，∴∥，∵∥，平面，平面，∴∥，又∵，，平面，∴平面，故①正確；對于②，分別以所在的直線為軸，軸，軸，由幾何關系可知，要使是等腰直角三角形，則，由已知得，，設點，則，，∵，∴，此方程無解，則不存在點P，使得是等腰直角三角形，故②不正確；對于③，因，則，，，即，則P軌跡是在上的線段，不包括端點、，如下圖所示，由已知得△為等腰三角形，則△底邊上的高，隨著P向點運動，逐漸減小，故在線段上存在一點P使得，同理可知靠近點處也存在一點P使得，設線段，由勾股定理可知，所以點P軌跡的長度為，故③正確；對于④，連接，過點作的平行線交于點，連接，則為平面截正方體所得的截面圖形，由已知得，由△∽△可知，又因為，且∥，所以四邊形為等腰梯形，其中梯形的高，所以截面面積為，故④正確.故〖答案〗為：①③④.三、解答題.共6小題，共85分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．16.已知，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為，，所以，，又因為，所以，所以．（2）因為，，所以.17.如圖，在正方體中，E，F分別是棱，的中點．（1）證明：平面；（2）證明：平面．解：（1），所以平面，因為平面，所以，因為為正方形，所以，又因為，平面，所以平面.（2）設，連接OE，因為為正方體，所以，且，所以，且，因為E，F分別，的中點，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形．所以，又因為平面，平面，所以平面．18.已知在中，．（1）求A的大小；（2）若，在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一，求的周長．①的面積為；②；③AB邊上的高線CD長為．解：（1）由正弦定理，得，所以，因為，所以，所以，因為，，所以，即，又因為，所以．（2）選擇①，因為，即，即，所以，又因為，即，所以，所以的周長為．若選擇②，因為，且，所以不唯一，所以②不合題意.選擇③，因為AB邊上的高線CD長為，即，所以，又因為，即，所以，所以的周長為．19.已知函數．（1）求的值；（2）求函數的單調遞增區(qū)間；（3）若函數在區(qū)間上有且只有兩個零點，求m的取值范圍．解：（1）.（2），由，，得，，所以的單調遞增區(qū)間是．（3）因為，所以，依題意，解得，所以m的取值范圍為．20.如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為正方形，為的中點，為上一點，為上一點，且平面平面．（1）求證：；（2）求證：為線段中點，并直接寫出到平面的距離；（3）在棱上是否存在點，使得平面平面？若存在，求；若不存在，說明理由．解：（1）因為四邊形為正方形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．（2）因為平面平面SCD，平面平面，平面平面，所以，又因為E為AD的中點，所以M為線段BC中點，由（1）知，平面，又平面，所以平面平面，所以點到平面的距離等于點到的距離，因為，所以為正三角形，又為的中點，所以點到的距離為，因為平面平面SCD，所以點M到平面SCD的距離為．（3）存在，當N為SC中點時，平面平面，證明如下：連接EC，DM交于點O，連接SE，因為，并且，所以四邊形EMCD為平行四邊形，所以，又因為N為SC中點，所以，因為平面平面ABCD，平面平面，又平面SAD，由已知，所以平面ABCD，所以平面ABCD，又因為平面DMN，所以平面平面ABCD，所以存在點N，使得平面平面ABCD，．21.對于定義在上的函數和正實數若對任意，有，則為階梯函數．（1）分別判斷下列函數是否為階梯函數（直接寫出結論）：①；②．（2）若為階梯函數，求的所有可能取值；（3）已知為階梯函數，滿足：在上單調遞減，且對任意，有．若函數有無窮多個零點，記其中正的零點從小到大依次為直接給出一個符合題意的a的值，并證明：存在，使得在上有4046個零點，且．解：（1），則；，則，故①否；②是.（2）因為為階梯函數，所以對任意有：，所以，對任意，，因為是最小正周期為的周期函數，又因為，所以，．（3）．函數，則有：，，取，則有：，，由于在上單調遞減，因此在上單調遞減，結合，則有：在上有唯一零點，在上有唯一零點，又由于，則對任意，有：，，因此，對任意，在上有且僅有兩個零點：，，綜上所述，存在，使得在上有4046個零點：，，，，…，，，其中，．北京市西城區(qū)2022-2023學年高一下學期期末考試數學試題一、選擇題.共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知復數z滿足z=1+，則在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題設，對應點為在第四象限.故選：D.2.下列函數中，最小正周期為且是偶函數的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，的最小正周期為：，故A不正確；對于B，的最小正周期為：，的定義域為，關于原點對稱，令，則，所以為奇函數，故B不正確；對于C，的最小正周期為：，令的定義域為關于原點對稱，則，所以為偶函數，故C正確；對于D，的最小正周期為：，的定義域為，關于原點對稱，令，則，所以為奇函數，故D不正確.故選：C.3.在中，，，，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得，即，得.故選：B.4.某城市一年中12個月的月平均氣溫（單位）與月份的關系可近似地用三角函數來表示，已知月平均氣溫最高值為28，最低值為18，則（）A.5 B.10 C.15 D.20〖答案〗A〖解析〗依題意可得，解得.故選：A.5.復數，且為純虛數，則可能的取值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，因為為純虛數，所以，所以，，所以，.故選：B.6.已知直線，直線和平面，則下列四個命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗C〖解析〗對于A，若，，則或與異面，故A錯誤；對于B，若，，則或與異面或與相交，故B錯誤；對于C，若，過作平面，使得，則，因為，，則，又，則，故C正確；對于D，若，，則或或與相交，故D錯誤.故選：C.7.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為O為坐標原點，，，所以，，，所以.故選：D.8.已知等邊的邊長為4，P為邊上的動點，且滿足，則點P軌跡的長度是（）A.7 B.9 C.10 D.11〖答案〗B〖解析〗當點在邊上時，，得，此時點P軌跡長度為；當點在邊上時，，得，此時點P軌跡是線段，其長度為；當點在邊上時，，得，此時點P軌跡的長度為，所以點P軌跡的長度是.故選：B.9.已知函數，則“在上既不是增函數也不是減函數”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗因為且，則，若在上既不是增函數也不是減函數，則，解得，又因為，所以“在上既不是增函數也不是減函數”是“”的必要不充分條件.故選：B.10.已知點，點，點都在單位圓上，且，則的取值范圍是（）A. B. C D.〖答案〗A〖解析〗設的中點為，因為，，所以，，，因為，所以.故選：A.二、填空題.共5小題，每小題5分，共25分．11.已知復數z在復平面內所對應的點的坐標為，則為______．〖答案〗1〖解析〗由已知得該復數，則.故〖答案〗為：1.12.設向量，，若，則______．〖答案〗〖解析〗因為，，且，所以，得.故〖答案〗為：.13.已知圓柱的底面半徑為3，體積為的球與該圓柱的上、下底面相切，則球的半徑為______，圓柱的體積為______．〖答案〗2〖解析〗設球的半徑為，則，得，則圓柱的高為，所以圓柱的體積為.故〖答案〗為：.14.寫出一個同時滿足下列兩個條件的函數______．①，；②，恒成立．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由，可知，函數的周期為，由，恒成立可知，函數在上取到最大值，則滿足題意，一方面根據余弦函數的周期公式，，滿足，，另一方面，，滿足，恒成立.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.如圖，在棱長為4的正方體中，點P是線段AC上的動點（包含端點），點E在線段上，且，給出下列四個結論：①存在點P，使得平面平面；②存在點P，使得是等腰直角三角形；③若，則點P軌跡的長度為；④當時，則平面截正方體所得截面圖形的面積為18．其中所有正確結論的序號是______．〖答案〗①③④〖解析〗對于①，當點和點重合時，平面平面，連接交于點，連接交于點，連接，，，，∵∥，且∥，∴四邊形平行四邊形，∴∥，∵平面，平面，∴∥，∵∥，平面，平面，∴∥，又∵，，平面，∴平面，故①正確；對于②，分別以所在的直線為軸，軸，軸，由幾何關系可知，要使是等腰直角三角形，則，由已知得，，設點，則，，∵，∴，此方程無解，則不存在點P，使得是等腰直角三角形，故②不正確；對于③，因，則，，，即，則P軌跡是在上的線段，不包括端點、，如下圖所示，由已知得△為等腰三角形，則△底邊上的高，隨著P向點運動，逐漸減小，故在線段上存在一點P使得，同理可知靠近點處也存在一點P使得，設線段，由勾股定理可知，所以點P軌跡的長度為，故③正確；對于④，連接，過點作的平行線交于點，連接，則為平面截正方體所得的截面圖形，由已知得，由△∽△可知，又因為，且∥，所以四邊形為等腰梯形，其中梯形的高，所以截面面積為，故④正確.故〖答案〗為：①③④.三、解答題.共6小題，共85分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．16.已知，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為，，所以，，又因為，所以，所以．（2）因為，，所以.17.如圖，在正方體中，E，F分別是棱，的中點．（1）證明：平面；（2）證明：平面．解：（1），所以平面，因為平面，所以，因為為正方形，所以，又因為，平面，所以平面.（2）設，連接OE，因為為正方體，所以，且，所以，且，因為E，F分別，的中點，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形．所以，又因為平面，平面，所以平面．18.已知在中，．（1）求A的大??；（2）若，在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一，求的周長．①的面積為；②；③AB邊上的高線CD長為．解：（1）由正弦定理，得，所以，因為，所以，所以，因為，，所以，即，又因為，所以．（2）選擇①，因為，即，即，所以，又因為，即，所以，所以的周長為．若選擇②，因為，且，所以不唯一，所以②不合題意.選擇③，因為AB邊上的高線CD長為，即，所以，又因為，即，所以，所以的周長為．19.已知函數．（1）求的值；（2）求函數的單調遞增區(qū)間；（3）若函數在區(qū)間上有且只有兩個零點，求m的取值范圍．解：（1）.（2），由，，得，，所以的單調遞增區(qū)間是．（3）因為，所以，依題意，解得，所以m的取值范圍為．20.如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為正方形，為的中點，為上一點，為上一點，且平面平面．（1）求證：；（2）求證：為線段中點，并直接寫出到平面的距離；（3）在棱上是否存在點，使得平