2022-2023學(xué)年山東省淄博市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省淄博市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因為，則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，位于第一象限.故選：A.2.若，，，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.設(shè)，表示不同的直線，，，表示不同的平面，給出下列四個命題，其中正確命題的個數(shù)是（）①若，，則②若，，則③若，，，則④若，，則A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗若，，則，故①正確；若，，則可能相交，故②錯誤；若，，，過直線m做平面γ且α∩γ＝s（s異于l），作平面φ且β∩φ＝t（t異于l），因m∥α，故m∥s，同理m∥t，故s∥t，因sβ，tβ中，從而s∥β，因sα，α∩β＝l，故s∥l，所以l∥m，故③正確；若，，則可能異面，故④錯誤.故選：B.4.已知向量，，則在上的投影向量的模為（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗向量，，則單位向量，且，因此在上的投影向量為，其模為1.故選：C.5.已知，，點是坐標(biāo)原點，記，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，∴．故選：B．6.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，將函數(shù)圖像上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗觀察圖象知，，函數(shù)的周期，則，又，于是，而，則，因此，，所以.故選：C.7.如圖，在棱長為4的正方體中，，分別是、中點，點是線段上的動點，則三棱錐的體積是（）A. B. C. D.與點P的位置有關(guān)〖答案〗A〖解析〗在正方體中，，分別是、中點，則，而平面，平面，于是平面，又點是線段上的動點，因此點到平面的距離等于點到平面的距離，所以三棱錐的體積.故選：A.8.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，，因為，所以，則，所以，且均為銳角，故，由余弦定理得，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值是.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.大年除夕吃年夜飯是中國古老的民俗傳統(tǒng)，唐朝詩人孟浩然曾寫下“續(xù)明催畫燭，守歲接長筵”這樣的詩句．為了解某地區(qū)居民的年夜飯消費金額，研究人員隨機調(diào)查了該地區(qū)100個家庭，所得金額統(tǒng)計如圖所示，則下列說法正確的是（）A.可以估計，該地區(qū)年夜飯消費金額在家庭數(shù)量超過總數(shù)的三分之一B.若該地區(qū)有2000個家庭，可以估計年夜飯消費金額超過2400元的有940個C.可以估計，該地區(qū)家庭年夜飯消費金額的平均數(shù)不足2100元D.可以估計，該地區(qū)家庭年夜飯消費金額的中位數(shù)超過2200元〖答案〗ABD〖解析〗由題意得，年夜飯消費金額在的頻率為，故A正確；若該地區(qū)有2000個家庭，可以估計年夜飯超過2400元的家庭個數(shù)為，故B正確；平均數(shù)為（元），故C錯誤；中位數(shù)為（元），故D正確．故選：ABD．10.設(shè)，若，且的最小正周期大于，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，取最大值B.的最小正周期為C.是偶函數(shù)D.在上單調(diào)遞增〖答案〗BC〖解析〗由，得，則，即是函數(shù)的周期，而的最小正周期大于，因此的最小正周期為，B正確；于是，，由，得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，從而，而，則，有，由，得當(dāng)時，取最小值，A錯誤；函數(shù)是偶函數(shù)，C正確；當(dāng)時，，余弦函數(shù)上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，D錯誤.故選：BC.11.已知向量，的夾角為，，向量，且，則向量，夾角的余弦值可以為（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗依題意，，，則，，，則，因此，由得，則，有，因此，而，選項AB正確，CD錯誤.故選：AB.12.如圖，在棱長為2的正方體中，E為邊AD的中點，點P為線段上的動點，設(shè)，則（）A.當(dāng)時，EP//平面 B.當(dāng)時，取得最小值，其值為C.的最小值為 D.當(dāng)平面CEP時，〖答案〗BC〖解析〗在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，則點，對于A，，，，而，顯然，即是平面的一個法向量，而，因此不平行于平面，即直線與平面不平行，A錯誤；對于B，，則，因此當(dāng)時，取得最小值，B正確；對于C，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，取的中點，連接，如圖，因為E為邊AD的中點，則，當(dāng)平面CEP時，平面，連接，連接，連接，顯然平面平面，因此，平面，平面，則平面，即有，而，所以，D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某個品牌的牛奶重量（單位：g）的樣本數(shù)據(jù)如下：110.2、109.7、110.8、109.1、108.9、108.6、109.8、109.6、109.9、111.2、110.6、111.7，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為______.〖答案〗110.8〖解析〗樣本數(shù)據(jù)由小到大排列為，108.6、108.9、109.1、109.6、109.7、109.8、109.9、110.2、110.6、110.8、111.2、111.7，由，得這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為110.8.故〖答案〗為：110.8.14.在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為______.〖答案〗〖解析〗正四棱臺的對角面是等腰梯形，其高為該正四棱臺的高，在等腰梯形中，，而，則該梯形的高，所以該棱臺的體積.故〖答案〗為：.15.已知四棱錐的底面是矩形，側(cè)面為等邊三角形，平面平面，其中，，則四棱錐的外接球表面積為______.〖答案〗〖解析〗記AD的中點為，連接，連接EF，設(shè)外接圓的圓心為，半徑為，所求外接球球心為，半徑為，連接，如圖，因為為等邊三角形，，所以圓的半徑，因為為等邊三角形，是AD的中點，所以，因為平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，因為底面ABCD是矩形，所以是底面ABCD外接圓的圓心，故平面ABCD，所以，同理，所以四邊形是矩形，所以，所以球的半徑，所以外接球表面積為．故〖答案〗為：．16.圓：上有兩定點，及兩動點C，D，且，則的最大值是______.〖答案〗〖解析〗因為點在圓：上，則，，而，則有，令射線與x軸正方向所成的角為，由點的對稱性，不妨令射線與x軸正方向所成的角為，由三角函數(shù)定義知，則，于是，同理，因此，而，則當(dāng)，即時，，所以的最大值是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，.（1）若向量與互相垂直，求的值：（2）設(shè)，求的最小值.解：（1）因為向量，，則，，由向量與垂直，得，所以（2）由，，得，所以，所以當(dāng)時，取到最小值18.已知，.（1）若函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求函數(shù)的〖解析〗式；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且函數(shù)在上單調(diào)，求的值.解：（1）因為，因為函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，所以，則，所以，解得，故函數(shù)．（2）由，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，所以，由，則，又函數(shù)在上單調(diào)，所以，解得，所以當(dāng)時．19.如圖所示，在三棱柱中，點D，E，F(xiàn)，G分別為棱，，，上的點，且，，，，四邊形為矩形，平面平面，.（1）證明：平面；（2）證明；平面.解：（1）在三棱柱中，連接，取的中點，連接，如圖，因為，則，，于是四邊形是平行四邊形，即有，又平面，平面，則平面，顯然點為的中點，而點為的中點，則，由，得，又，即有且，于是四邊形為平行四邊形，則，而平面平面，則平面，又，平面，因此平面平面，而平面，所以平面.（2）由四邊形為矩形，得，因為平面平面，平面平面，平面，因此平面，而平面，則，又，，于是，因為平面，平面，所以平面.20.后疫情時代，為了可持續(xù)發(fā)展，提高人民幸福指數(shù).國家先后出臺了多項減稅增效政策.某地區(qū)對在職員工進(jìn)行了個人所得稅的調(diào)查，經(jīng)過分層隨機抽樣，獲得2000位在職員工的個人所得稅（單位：百元）數(shù)據(jù)，按，，，，，，，，分成九組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求直方圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計該市的職工年個人所得稅不超過（百元），求的最小值：（3）已知該地區(qū)有70萬在職員工，規(guī)定：每位在職員工年個人所得稅不超過5000元的正常收取，若超過5000元，則超出的部分退稅，請估計該地區(qū)退稅總數(shù)約為多少?解：（1）由頻率分布直方圖，得解得.（2）由頻率分布直方圖知，前5組的頻率之和為：；前4組的頻率之和為：，故，當(dāng)時，的最小值是48.8.（3）由題可知，區(qū)間內(nèi)的年個人所得稅分別取5500元，6500元，7500元，8500元為代表，則在職員工的年個人所得稅分別超出正常收取5000元所得稅500元，1500元，2500元，3500元．于是，元，所以估計該地區(qū)退稅總數(shù)約為48300000元(4380萬元)．21.如圖，在四棱柱中，底面是邊長為1的正方形，，.（1）求三棱錐的體積；（2）若是側(cè)棱的中點，求二面角的余弦值.解：（1）在正方形ABCD中，，又，且公用，所以，所以，即因為平面ABCD，所以平面ABCD．所以四棱柱是正四棱柱．所以.（2）是側(cè)棱的中點，由（1）知，在直角中，，在直角中，，在正方形ABCD中，，所以為正三角形，取PC的中點，連接AH，BH，所以，且，又在等腰直角中，，且，所以為二面角的平面角，在中，，在直角中，，即二面角的余弦值為．22.如圖，平面四邊形中，，，，的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足.（1）判斷四邊形是否有外接圓?若有，求其半徑；若無，說明理由，（2）求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.解：（1）在中，，則，由，得，于是，而，因此，在中，，解得，在中，由正弦定理，得，整理得，由余弦定理，得，又，因此，有，于是四點共圓，且四邊形外接圓的半徑就等于外接圓的半徑，所以四邊形有外接圓，圓半徑.（2）由（1）知：，則，即有，由，得，又，由，故不是正三角形，又，則，于是，又，解得，，則，所以內(nèi)切圓半徑的取值范圍是.山東省淄博市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因為，則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，位于第一象限.故選：A.2.若，，，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.設(shè)，表示不同的直線，，，表示不同的平面，給出下列四個命題，其中正確命題的個數(shù)是（）①若，，則②若，，則③若，，，則④若，，則A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗若，，則，故①正確；若，，則可能相交，故②錯誤；若，，，過直線m做平面γ且α∩γ＝s（s異于l），作平面φ且β∩φ＝t（t異于l），因m∥α，故m∥s，同理m∥t，故s∥t，因sβ，tβ中，從而s∥β，因sα，α∩β＝l，故s∥l，所以l∥m，故③正確；若，，則可能異面，故④錯誤.故選：B.4.已知向量，，則在上的投影向量的模為（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗向量，，則單位向量，且，因此在上的投影向量為，其模為1.故選：C.5.已知，，點是坐標(biāo)原點，記，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，∴．故選：B．6.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，將函數(shù)圖像上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗觀察圖象知，，函數(shù)的周期，則，又，于是，而，則，因此，，所以.故選：C.7.如圖，在棱長為4的正方體中，，分別是、中點，點是線段上的動點，則三棱錐的體積是（）A. B. C. D.與點P的位置有關(guān)〖答案〗A〖解析〗在正方體中，，分別是、中點，則，而平面，平面，于是平面，又點是線段上的動點，因此點到平面的距離等于點到平面的距離，所以三棱錐的體積.故選：A.8.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，，因為，所以，則，所以，且均為銳角，故，由余弦定理得，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值是.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.大年除夕吃年夜飯是中國古老的民俗傳統(tǒng)，唐朝詩人孟浩然曾寫下“續(xù)明催畫燭，守歲接長筵”這樣的詩句．為了解某地區(qū)居民的年夜飯消費金額，研究人員隨機調(diào)查了該地區(qū)100個家庭，所得金額統(tǒng)計如圖所示，則下列說法正確的是（）A.可以估計，該地區(qū)年夜飯消費金額在家庭數(shù)量超過總數(shù)的三分之一B.若該地區(qū)有2000個家庭，可以估計年夜飯消費金額超過2400元的有940個C.可以估計，該地區(qū)家庭年夜飯消費金額的平均數(shù)不足2100元D.可以估計，該地區(qū)家庭年夜飯消費金額的中位數(shù)超過2200元〖答案〗ABD〖解析〗由題意得，年夜飯消費金額在的頻率為，故A正確；若該地區(qū)有2000個家庭，可以估計年夜飯超過2400元的家庭個數(shù)為，故B正確；平均數(shù)為（元），故C錯誤；中位數(shù)為（元），故D正確．故選：ABD．10.設(shè)，若，且的最小正周期大于，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，取最大值B.的最小正周期為C.是偶函數(shù)D.在上單調(diào)遞增〖答案〗BC〖解析〗由，得，則，即是函數(shù)的周期，而的最小正周期大于，因此的最小正周期為，B正確；于是，，由，得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，從而，而，則，有，由，得當(dāng)時，取最小值，A錯誤；函數(shù)是偶函數(shù)，C正確；當(dāng)時，，余弦函數(shù)上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，D錯誤.故選：BC.11.已知向量，的夾角為，，向量，且，則向量，夾角的余弦值可以為（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗依題意，，，則，，，則，因此，由得，則，有，因此，而，選項AB正確，CD錯誤.故選：AB.12.如圖，在棱長為2的正方體中，E為邊AD的中點，點P為線段上的動點，設(shè)，則（）A.當(dāng)時，EP//平面 B.當(dāng)時，取得最小值，其值為C.的最小值為 D.當(dāng)平面CEP時，〖答案〗BC〖解析〗在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，則點，對于A，，，，而，顯然，即是平面的一個法向量，而，因此不平行于平面，即直線與平面不平行，A錯誤；對于B，，則，因此當(dāng)時，取得最小值，B正確；對于C，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，取的中點，連接，如圖，因為E為邊AD的中點，則，當(dāng)平面CEP時，平面，連接，連接，連接，顯然平面平面，因此，平面，平面，則平面，即有，而，所以，D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某個品牌的牛奶重量（單位：g）的樣本數(shù)據(jù)如下：110.2、109.7、110.8、109.1、108.9、108.6、109.8、109.6、109.9、111.2、110.6、111.7，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為______.〖答案〗110.8〖解析〗樣本數(shù)據(jù)由小到大排列為，108.6、108.9、109.1、109.6、109.7、109.8、109.9、110.2、110.6、110.8、111.2、111.7，由，得這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為110.8.故〖答案〗為：110.8.14.在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為______.〖答案〗〖解析〗正四棱臺的對角面是等腰梯形，其高為該正四棱臺的高，在等腰梯形中，，而，則該梯形的高，所以該棱臺的體積.故〖答案〗為：.15.已知四棱錐的底面是矩形，側(cè)面為等邊三角形，平面平面，其中，，則四棱錐的外接球表面積為______.〖答案〗〖解析〗記AD的中點為，連接，連接EF，設(shè)外接圓的圓心為，半徑為，所求外接球球心為，半徑為，連接，如圖，因為為等邊三角形，，所以圓的半徑，因為為等邊三角形，是AD的中點，所以，因為平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，因為底面ABCD是矩形，所以是底面ABCD外接圓的圓心，故平面ABCD，所以，同理，所以四邊形是矩形，所以，所以球的半徑，所以外接球表面積為．故〖答案〗為：．16.圓：上有兩定點，及兩動點C，D，且，則的最大值是______.〖答案〗〖解析〗因為點在圓：上，則，，而，則有，令射線與x軸正方向所成的角為，由點的對稱性，不妨令射線與x軸正方向所成的角為，由三角函數(shù)定義知，則，于是，同理，因此，而，則當(dāng)，即時，，所以的最大值是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，.（1）若向量與互相垂直，求的值：（2）設(shè)，求的最小值.解：（1）因為向量，，則，，由向量與垂直，得，所以（2）由，，得，所以，所以當(dāng)時，取到最小值18.已知，.（1）若函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求函數(shù)的〖解析〗式；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且函數(shù)在上單調(diào)，求的值.解：（1）因為，因為函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，所以，則，所以，解得，故函數(shù)．（2）由，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，所以，由，則，又函數(shù)在上單調(diào)，所以，解得，所以當(dāng)時．19.如圖所示，在三棱柱中，點D，E，F(xiàn)，G分別為棱，，，上的點，且，，，，四邊形為矩形，平面平面，.（1）證明：平面；（2）證明；平面.解：（1）在三棱柱中，連接，取的中點，連接，如圖，因為，則，，于是四邊形是平行四邊形，即有，又平面，平面，則平面，顯然點為的中點，而點為的中點，則，由，得，又，即有且，于是四邊形為平行四邊形，則，而平面平面，則平面，又，平面，因此平面平面，而平面，所以平面.（2）由四邊形為矩形，得，因為平面平面，平面平面，平面，因此平面，而平面，則，又，，于是，因為平面，平面，所以平面.20.后疫情時代，為了可持續(xù)發(fā)展，提高人民幸福指數(shù).國家先后出臺了多項減稅增效政策.某地區(qū)對在職員工進(jìn)行了個人所得稅的調(diào)查，經(jīng)過分層隨機抽樣，獲得20