2023-2024學(xué)年四川省眉山市仁壽縣高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2四川省眉山市仁壽縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：D2.學(xué)校組織社團(tuán)活動(dòng)，要求每名同學(xué)必須且只能參加一個(gè)社團(tuán)，現(xiàn)僅剩的3個(gè)社團(tuán)供4名同學(xué)選擇，則不同的選擇方法有（）A.種 B.種 C.種 D.種〖答案〗D〖解析〗由題意可得，每名同學(xué)共有3種選擇，故不同的選擇方法有種故選：D3.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足關(guān)系式，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由進(jìn)行求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，可得：，解得：.故選：A.4.如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意可知切點(diǎn)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，，即又即故選：D.5.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C.15 D.5〖答案〗B〖解析〗設(shè)的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為.所以展開式中項(xiàng)系數(shù)為，故選：B.6.函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為2，則的最小值是A.10 B.9 C.8 D.〖答案〗B〖解析〗，由題意可知，，，當(dāng)，且，解得：，所以的最小值是9.故選：B7.“四書”“五經(jīng)”是我國部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃在讀書節(jié)活動(dòng)期間舉辦“四書”“五經(jīng)”知識(shí)講座，每部名著安排次講座，若要求《大學(xué)》《論語》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗先排除去《大學(xué)》《論語》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座，共有種排法，將《大學(xué)》《論語》看作一個(gè)元素，二者內(nèi)部全排列有種排法，排完的6部經(jīng)典名著的講座后可以認(rèn)為它們之間包括兩頭有7個(gè)空位，從7個(gè)空位中選2個(gè)，排《大學(xué)》《論語》捆綁成的一個(gè)元素和《周易》的講座，有種排法，故總共有種排法，故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，且對(duì)任意的滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗構(gòu)建，則，因?yàn)?，則，即，可知在上單調(diào)遞減，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分．9.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，令，可得，故A正確．再令，可得，故C正確．，可得，兩式相加，故兩式相減可得，故B正確，D錯(cuò)誤，故選：ABC．10.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為B.是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)椋?，，所以，因此函?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，即，故A正確；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；故B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，由得；由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此，即；故C正確；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；由可得，解得：，故D正確；故選：ACD.11.定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則下列說法中正確的有（）A.， B.函數(shù)的極大值與極小值之和為6C.函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1〖答案〗AB〖解析〗由題意，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故；又.由，即.故A正確；所以，所以.由或.所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為；極小值為，所以極大值與極小值之和為：，故B正確；因?yàn)楹瘮?shù)的極小值，所以三次函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；又，，所以函數(shù)在上的最小值為，故D錯(cuò).故選：AB第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于64,則展開式中的系數(shù)是________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)檎归_式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于64，所以，解得；所以展開式的通項(xiàng)為，令，得的系數(shù)為.故〖答案〗為13.甲、乙、丙等5位同學(xué)隨機(jī)站成一排合影留念，甲、乙兩人相鄰且甲站在丙的左側(cè)，則不同的站法共有________種．（用數(shù)字作答）〖答案〗24〖解析〗甲乙捆綁作為一個(gè)人與其他人排列，共有種排法，因?yàn)榧自诒髠?cè)與甲在丙右側(cè)的排法數(shù)相同，所以甲、乙兩人相鄰且甲站在丙的左側(cè)的不同的站法共有種.故〖答案〗為：2414.已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)閷?duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，所以，又因?yàn)?，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，與1的大小不定，但當(dāng)實(shí)數(shù)最小時(shí)，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，此時(shí),因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，兩邊取對(duì)數(shù)得：,所以，令，則，令，得：，令，得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，故的最小值是.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求，的值；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意得：∴，∴，.（2）由（1）知：不等式在上恒成立，即在恒成立.設(shè)，則令，得，（舍去）列表如下：1-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增∴此時(shí)的極小值為，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為16.在的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，（1）求的值；（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)和；（3）求展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng).解：（1）展開式的通項(xiàng)為因?yàn)榍?項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，且前三項(xiàng)系數(shù)為，所以，即，所以（舍去）或.（2）因?yàn)?，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)，即.令得，即展開式系數(shù)和為（3）通項(xiàng)公式：，由，，可得含的項(xiàng)的系數(shù)為.設(shè)展開式中第項(xiàng)為有理項(xiàng)，由當(dāng)、4、8時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，有理項(xiàng)分別為：；；．17.某校舉辦元旦晚會(huì)，有3個(gè)語言類節(jié)目和4個(gè)唱歌節(jié)目，按下面要求排出一個(gè)節(jié)目單，各有多少種排法？（1）3個(gè)語言類節(jié)目彼此要隔開；（2）第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目；（3）前3個(gè)節(jié)目中要有語言類節(jié)目．解：（1）第一步：先排4個(gè)歌唱節(jié)目有種排法；第二步：4個(gè)歌唱節(jié)目前后有5個(gè)空，排3個(gè)語言類節(jié)目有種排法，共種排法；（2）第一步：從4個(gè)歌唱節(jié)目中選2個(gè)排在一頭一尾有種排法；第二步：剩下的3個(gè)語言類節(jié)目和2個(gè)歌唱節(jié)目共5個(gè)節(jié)目全排列有種排法，共種排法；（3）若前3個(gè)節(jié)目中都是唱歌節(jié)目有種排法，而7個(gè)節(jié)目的全排列有種排法，故前3個(gè)節(jié)目中有語言類節(jié)目的排法有種排法．18.已知函數(shù).（1）討論在定義域上的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在處取得極小值，且關(guān)于x的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）函數(shù)在處取得極值，∴，解得，則，關(guān)于x的方程化為，令，，∴，令，解得或1，令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，∵關(guān)于x的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，即，解得，∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是19已知函數(shù)，.（1）已知恒成立，求a的值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，不等式（），求a的取值范圍.解：（1）由已知，函數(shù)，，即，令，，①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以此時(shí)不恒成立；②當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上取得極小值，即，要使在上恒成立，即滿足，令，所以，又因?yàn)椋裕寒?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，因此，所以要使恒成立，a的值為1.（2）由已知，，，令，所以，，①當(dāng)時(shí)，，所以，而，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故；②當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，可證得，由（1），所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，綜上所述，對(duì)任意時(shí)，.（3）當(dāng)時(shí)，不等式（），不妨設(shè)，即，因?yàn)榍遥援?dāng)時(shí)，取得最小值，由于函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)，，則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故，解得，下面證明當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，由（2）問可知，當(dāng)時(shí)，，令，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，合乎題意.綜上所述，.四川省眉山市仁壽縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：D2.學(xué)校組織社團(tuán)活動(dòng)，要求每名同學(xué)必須且只能參加一個(gè)社團(tuán)，現(xiàn)僅剩的3個(gè)社團(tuán)供4名同學(xué)選擇，則不同的選擇方法有（）A.種 B.種 C.種 D.種〖答案〗D〖解析〗由題意可得，每名同學(xué)共有3種選擇，故不同的選擇方法有種故選：D3.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足關(guān)系式，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由進(jìn)行求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，可得：，解得：.故選：A.4.如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意可知切點(diǎn)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，，即又即故選：D.5.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C.15 D.5〖答案〗B〖解析〗設(shè)的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為.所以展開式中項(xiàng)系數(shù)為，故選：B.6.函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為2，則的最小值是A.10 B.9 C.8 D.〖答案〗B〖解析〗，由題意可知，，，當(dāng)，且，解得：，所以的最小值是9.故選：B7.“四書”“五經(jīng)”是我國部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃在讀書節(jié)活動(dòng)期間舉辦“四書”“五經(jīng)”知識(shí)講座，每部名著安排次講座，若要求《大學(xué)》《論語》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗先排除去《大學(xué)》《論語》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座，共有種排法，將《大學(xué)》《論語》看作一個(gè)元素，二者內(nèi)部全排列有種排法，排完的6部經(jīng)典名著的講座后可以認(rèn)為它們之間包括兩頭有7個(gè)空位，從7個(gè)空位中選2個(gè)，排《大學(xué)》《論語》捆綁成的一個(gè)元素和《周易》的講座，有種排法，故總共有種排法，故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，且對(duì)任意的滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗構(gòu)建，則，因?yàn)?，則，即，可知在上單調(diào)遞減，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分．9.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗，令，可得，故A正確．再令，可得，故C正確．，可得，兩式相加，故兩式相減可得，故B正確，D錯(cuò)誤，故選：ABC．10.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為B.是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，所以，，所以，因此函?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，即，故A正確；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；故B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，由得；由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此，即；故C正確；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；由可得，解得：，故D正確；故選：ACD.11.定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則下列說法中正確的有（）A.， B.函數(shù)的極大值與極小值之和為6C.函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1〖答案〗AB〖解析〗由題意，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故；又.由，即.故A正確；所以，所以.由或.所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為；極小值為，所以極大值與極小值之和為：，故B正確；因?yàn)楹瘮?shù)的極小值，所以三次函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；又，，所以函數(shù)在上的最小值為，故D錯(cuò).故選：AB第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于64,則展開式中的系數(shù)是________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)檎归_式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于64，所以，解得；所以展開式的通項(xiàng)為，令，得的系數(shù)為.故〖答案〗為13.甲、乙、丙等5位同學(xué)隨機(jī)站成一排合影留念，甲、乙兩人相鄰且甲站在丙的左側(cè)，則不同的站法共有________種．（用數(shù)字作答）〖答案〗24〖解析〗甲乙捆綁作為一個(gè)人與其他人排列，共有種排法，因?yàn)榧自诒髠?cè)與甲在丙右側(cè)的排法數(shù)相同，所以甲、乙兩人相鄰且甲站在丙的左側(cè)的不同的站法共有種.故〖答案〗為：2414.已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)閷?duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，所以，又因?yàn)?，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，與1的大小不定，但當(dāng)實(shí)數(shù)最小時(shí)，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，此時(shí),因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，兩邊取對(duì)數(shù)得：,所以，令，則，令，得：，令，得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，故的最小值是.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求，的值；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意得：∴，∴，.（2）由（1）知：不等式在上恒成立，即在恒成立.設(shè)，則令，得，（舍去）列表如下：1-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增∴此時(shí)的極小值為，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為16.在的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，（1）求的值；（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)和；（3）求展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng).解：（1）展開式的通項(xiàng)為因?yàn)榍?項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，且前三項(xiàng)系數(shù)為，所以，即，所以（舍去）或.（2）因?yàn)?，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)，即.令得，即展開式系數(shù)和為（3）通項(xiàng)公式：，由，，可得含的項(xiàng)的系數(shù)為.設(shè)展開式中第項(xiàng)為有理項(xiàng)，由當(dāng)、4、8時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，有理項(xiàng)分別為：；；．17.某校舉辦元旦晚會(huì)，有3個(gè)語言類節(jié)目和4個(gè)唱歌節(jié)目，按下面要求排出一個(gè)節(jié)目單，各有多少種排法？（1）3個(gè)語言類節(jié)目彼此要隔開；（2）第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目；（3）前3個(gè)節(jié)目中要有語言類節(jié)目．解：（1）第一步：先排4個(gè)歌唱節(jié)目有種排法；第二步：4個(gè)歌唱節(jié)目前后有5個(gè)空，排3個(gè)語言類節(jié)目有種排法，共種排法；（2）第一步：從4個(gè)歌唱節(jié)目中選2個(gè)排在一頭一尾有種排法；第二步：剩下的3個(gè)語言類節(jié)目和2個(gè)歌唱節(jié)目共5個(gè)節(jié)目全排