蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《4.1 數(shù)列》同步練習(xí)卷

蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《4.1數(shù)列》2023年同步練習(xí)卷一、選擇題1．觀察數(shù)列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9，…，則該數(shù)列的第23項(xiàng)等于（）A．sin21 B．ln20 C．sin24 D．ln232．在數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝4，且an+1+2an+an﹣1＝0（n≥2），則a4＝（）A．22 B．﹣22 C．16 D．﹣163．已知數(shù)列{cn}的通項(xiàng)是cn＝，則數(shù)列{cn}中的正整數(shù)項(xiàng)有（）項(xiàng)．A．1 B．2 C．3 D．44．已知數(shù)列{an}中，且{an}單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，3]5．已知數(shù)列{an}滿足，（n∈N*），則a1?a2?a3…?a2019＝（）A．﹣3 B．﹣2 C． D．﹣6．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝（）n﹣1﹣（）n﹣1，則數(shù)列{an}（）A．有最大項(xiàng)，沒有最小項(xiàng) B．有最小項(xiàng)，沒有最大項(xiàng) C．既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng) D．既沒有最大項(xiàng)也沒有最小項(xiàng)7．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an+1＝an+lg（1+），則an的值為（）A．2+lgn B．2+（n﹣1）lgn C．2+nlgn D．1+nlgn8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an﹣1+2n（n≥2），則a7＝（）A．56 B．55 C．54 D．539．已知數(shù)列{an}滿足a2＞0，且對于任意正整數(shù)p，q都有apaq＝2p+q成立，則a5的值為（）A．8 B．16 C．32 D．64二、多選題（多選）10．已知n∈N*，給出4個表達(dá)式，其中能作為數(shù)列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通項(xiàng)公式的是（）A． B． C． D．三、填空題11．把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個正三角形（如圖），則第2013個三角形數(shù)是．12．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝an2+n，an+1＜an，寫出一個符合條件的a的值是．13．如圖，坐標(biāo)紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點(diǎn)：1，2，3，4，5，6的橫縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列{an}（n∈N*）的前12項(xiàng)，如表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此規(guī)律下去，則a2009+a2010+a2011＝．四、解答題14．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2﹣5n+4．（1）30是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？70呢？（2）數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？（3）當(dāng)n為何值時an有最小值？并求出這個最小值．15．寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：（1）0，3，8，15，24，…；（2）1，﹣3，5，﹣7，9，…；（3），2，3，4，……；（4）1，11，111，1111，……．16．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2﹣28n．（1）寫出數(shù)列{an}的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)；（2）﹣49和68是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？若是，是第幾項(xiàng)？若不是，請說明理由．17．已知首項(xiàng)為x1的數(shù)列{xn}滿足xn+1＝（a為常數(shù)）．（1）若對于任意的x1≠﹣1，都有xn+2＝xn（n∈N*）成立，求a的值．（2）當(dāng)a＝1時，若x1＞0，數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？請說明理由．

蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《4.1數(shù)列》2023年同步練習(xí)卷參考答案與試題解析一、選擇題1．【分析】通過觀察數(shù)列得出規(guī)律，數(shù)列中的項(xiàng)是按正整數(shù)順序排列，且以3為循環(huán)節(jié)，由此判斷第23項(xiàng)是哪個數(shù)．【解答】解：由數(shù)列得出規(guī)律，按照1，ln2，sin3，…，是按正整數(shù)的順序排列，且以3為循環(huán)節(jié)；由23÷3＝7…2；所以該數(shù)列的第23項(xiàng)為ln23．故選：D．2．【分析】由已知結(jié)合數(shù)列遞推式分別求解a3，a4的值得答案．【解答】解：由an+1+2an+an﹣1＝0（n≥2），得an+1＝﹣2an﹣an﹣1，∵a1＝2，a2＝4，∴a3＝﹣2a2﹣a1＝﹣10，從而a4＝﹣2a3﹣a2＝﹣2×（﹣10）﹣4＝16．故選：C．3．【分析】利用遞推思想求出前6項(xiàng)，然后利用{cn}是減數(shù)列進(jìn)行驗(yàn)證，能求出數(shù)列{cn}中的正整數(shù)項(xiàng)的個數(shù)．【解答】解：∵數(shù)列{cn}的通項(xiàng)是cn＝，∴＝35，＝13，＝，＝，＝，＝5，∵{cn}是減數(shù)列，∴假設(shè)cn＝＝4成立，則4n+31＝8n﹣4，解得n＝不成立；假設(shè)cn＝＝3成立，則4n+31＝6n﹣3，解得n＝17成立，∴＝3．假設(shè)cn＝＝2成立，則4n+31＝4n﹣2，不成立；假設(shè)cn＝＝1成立，則4n+31＝2n﹣1，解得n＝﹣16不成立．∴數(shù)列{cn}中的正整數(shù)項(xiàng)有4項(xiàng)．故選：D．4．【分析】該題需注意變量n的特殊性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得an+1﹣an＞0對于n∈N*恒成立，建立關(guān)系式，解之即可求出k的取值范圍．【解答】解：∵數(shù)列{an}中，且{an}單調(diào)遞增∴an+1﹣an＞0對于n∈N*恒成立即（n+1）2﹣k（n+1）﹣（n2﹣kn）＝2n+1﹣k＞0對于n∈N*恒成立∴k＜2n+1對于n∈N*恒成立，即k＜3故選：B．5．【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用和數(shù)列的周期的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：數(shù)列{an}滿足，（n∈N*），當(dāng)n＝1時，，當(dāng)n＝2時，，當(dāng)n＝3時，，當(dāng)n＝4時，，…，故數(shù)列的周期為4．所以：a1?a2?a3?a4＝1，由于2019＝504×4+3，所以：a1?a2?a3…a2019＝1×．故選：B．6．【分析】把數(shù)列的通項(xiàng)公式看作函數(shù)解析式，令，換元后是二次函數(shù)解析式，內(nèi)層是指數(shù)函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以求出t的大致范圍，在求出的范圍內(nèi)分析二次函數(shù)的最值情況．【解答】解：令，則t是區(qū)間（0，1]內(nèi)的值，而＝，所以當(dāng)n＝1，即t＝1時，an取最大值，使最接近的n的值為數(shù)列{an}中的最小項(xiàng)，所以該數(shù)列既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng)．故選：C．7．【分析】首先根據(jù)已知條件，利用遞推關(guān)系整理出多個關(guān)系式，觀察規(guī)律，整理出通項(xiàng)公式．【解答】解：已知：an+1＝an+lg（1+）∴an＝an﹣1+lg（1+）①…a2＝a1+lg（1+）（n）①+…+（n）得：an＝a1+lg（2???…）因?yàn)椋篴1＝2所以：an＝2+lgn，故選：A．8．【分析】通過an＝an﹣1+2n（n≥2）可知an﹣an﹣1＝2n（n≥2），an﹣1﹣an﹣2＝2（n﹣1），…，a2﹣a1＝2?2，利用累加法計算即得結(jié)論．【解答】解：∵an＝an﹣1+2n（n≥2），∴an﹣an﹣1＝2n（n≥2），an﹣1﹣an﹣2＝2（n﹣1），…a2﹣a1＝2?2，累加得：an﹣a1＝2[2+3+…+n]＝2?＝n2+n﹣2，∴an＝a1+n2+n﹣2＝1+n2+n﹣2＝n2+n﹣1，∴a7＝72+7﹣1＝55，故選：B．9．【分析】由已知的遞推關(guān)系式求得首項(xiàng)以及通項(xiàng)公式，進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足a2＞0，且對于任意正整數(shù)p，q都有apaq＝2p+q成立，∴a1?a1＝22，a1?a2＝23，∴a1＝2＞0，∴a1?an＝21+n，∴an＝2n．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n．∴a5＝32，故選：C．二、多選題10．【分析】分別驗(yàn)證每個通項(xiàng)公式是否滿足條件即可得到結(jié)論．【解答】解：對于A：n為奇數(shù)時，an＝0；n為偶數(shù)時，an＝1，滿足條件；對于B：n為奇數(shù)時，an＝0；n為偶數(shù)時，an＝1，滿足條件；對于C：n為奇數(shù)時，an＝0；n為偶數(shù)時，an＝1，滿足條件；對于D：n＝1時，a1＝1；n＝2時，a2＝0，以此類推，不滿足條件；故選：ABC．三、填空題11．【分析】通過觀察前幾個圖形中頂點(diǎn)的個數(shù)得，每一個圖形中的頂點(diǎn)的個數(shù)都可以看成是一個等差數(shù)列的前幾項(xiàng)的和，再利用等差數(shù)列的求和公式即可解決問題．【解答】解：從斜的方向看，根據(jù)規(guī)律性知：第n個三角形數(shù)是1+2+3+…+n＝n（n+1），當(dāng)n＝2013時，第2013個三角形數(shù)是×2013×2014＝2027091，故答案為：202709112．【分析】根據(jù)題意和an+1＜an，求得a＜，n∈N*，進(jìn)而得到答案．【解答】解：由數(shù)列{an}滿足an＝an2+n，因?yàn)閍n+1＜an，可得a（n+1）2+（n+1）＜an2+n，解得a＜，n∈N*，取n＝1，可得a，所以可取a＝﹣1．故答案為：﹣1（答案不唯一）．13．【分析】奇數(shù)項(xiàng)為1，﹣1，2，﹣2…，發(fā)現(xiàn)a2n﹣1+a2n+1＝0，偶數(shù)項(xiàng)為1，2，3…，所以a2n＝n．當(dāng)2n﹣1＝2009時，n＝1005，故a2009+a2011＝0．當(dāng)2n＝2010，a2010＝1005．【解答】解：奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分開看，奇數(shù)項(xiàng)為1，﹣1，2，﹣2…，發(fā)現(xiàn)a2n﹣1+a2n+1＝0，偶數(shù)項(xiàng)為1，2，3…，所以a2n＝n當(dāng)2n﹣1＝2009時，n＝1005，故a2009+a2011＝0．當(dāng)2n＝2010，a2010＝1005．∴a2009+a2010+a2011＝1005．答案1005．四、解答題14．【分析】（1）根據(jù)題意，由數(shù)列的通項(xiàng)公式，令an＝30和70，判斷方程有無正整數(shù)解，即可得答案；（2）根據(jù)題意，令an＝n2﹣5n+4＜0，解可得n的取值范圍，分析可得答案；（3）根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，an＝n2﹣5n+4，若an＝n2﹣5n+4＝30，即n2﹣5n﹣26＝0，無正整數(shù)解，則30不是數(shù)列的項(xiàng)，若an＝n2﹣5n+4＝70，即n2﹣5n﹣66＝0，解可得n＝11或﹣6（舍），則70是數(shù)列的第11項(xiàng)，（2）根據(jù)題意，an＝n2﹣5n+4，若an＝n2﹣5n+4＜0，解可得1＜n＜4，又由n∈N+，則n＝2或3，則數(shù)列中有2項(xiàng)是負(fù)數(shù)；（3）根據(jù)題意，an＝n2﹣5n+4＝（n﹣）2﹣，故當(dāng)n＝2或3時，an有最小值，其最小值為﹣2．15．【分析】根據(jù)數(shù)列的特征直接寫出一個通項(xiàng)公式即可．【解答】解：（1）0，3，8，15，24，…，數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為：an＝（n﹣1）（n+1）；（2）1，﹣3，5，﹣7，9，…；數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為：an＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），（3），2，3，4，……即為，…，數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為：an＝；（4）1，11，111，1111，……即為（10﹣1），（102﹣1），（103﹣1），…，數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為：an＝（10n﹣1）．16．【分析】（1）由數(shù)列的通項(xiàng)公式，令n＝4和n＝6求解即可；（2）令3n2﹣28n＝﹣49，令3n2﹣28n＝﹣68，結(jié)合n∈N+求解即可．【解答】解：（1）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2﹣28n，則a4＝﹣64，a6＝﹣60；（2）令3n2﹣28n＝﹣49，又n∈N+，則n＝7，即﹣49是該數(shù)列的第7項(xiàng)，令3n2﹣28n＝﹣68，則或，又n∈N+，則此方程無解，