蘇教版（2019）選擇性必修第一冊(cè)《3.2 雙曲線》同步練習(xí)卷

蘇教版（2019）選擇性必修第一冊(cè)《3.2雙曲線》2023年同步練習(xí)卷一、選擇題1．已知雙曲線C：＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為C的右支上一點(diǎn)，且|PF2|＝|F1F2|，則△PF1F2的面積等于（）A．24 B．36 C．48 D．962．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是該雙曲線上的一點(diǎn)，且|PF1|＝10，則|PF2|＝（）A．2或18 B．2 C．18 D．43．定義焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線為一對(duì)相關(guān)曲線．已知F1，F(xiàn)2是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，P是這對(duì)相關(guān)曲線在第一象限的交點(diǎn)，則點(diǎn)P與以F1F2為直徑的圓的位置關(guān)系是（）A．在圓外 B．在圓上 C．在圓內(nèi) D．不確定4．已知點(diǎn)P是雙曲線﹣＝1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1是雙曲線的左焦點(diǎn)，且雙曲線的一條漸近線恰是線段PF1的中垂線，則該雙曲線的漸近線方程是（）A．y＝x B．y＝±x C．y＝x D．y＝±2x5．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F的直線l交雙曲線C的左、右兩支分別于點(diǎn)Q，P，若|FQ|＝t|QP|，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知F1，F(xiàn)2是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且F1P＞F2P，線段F1P的垂直平分線過F2.若橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，則的最小值為（）A． B．3 C．6 D．7．雙曲線的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P是C右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，PQ是∠F1PF2的平分線，過點(diǎn)F1作PQ的垂線，垂足為Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OQ|的值為（）A．3 B．4 C．5 D．不確定，隨P點(diǎn)位置變化而變化8．如圖所示，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．+19．已知常數(shù)k1，k2滿足0＜k1＜k2，k1k2＝1．設(shè)C1和C2分別是以y＝±k1（x﹣1）+1和y＝±k2（x﹣1）+1為漸近線且通過原點(diǎn)的雙曲線，則C1和C2的離心率之比＝（）A． B． C．1 D．二、多選題（多選）10．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2﹣y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于雙曲線頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且?＝0，則下列結(jié)論正確的是（）A．雙曲線C的漸近線方程為y＝±x B．以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2＝1 C．F1到雙曲線的一條漸近線的距離為1 D．△PF1F2的面積為1（多選）11．P為雙曲線﹣y2＝1上一點(diǎn)，A（﹣2，0），B（2，0），令∠PAB＝α，∠PBA＝β，下列為定值的是（）A．tanαtanβ B．tantan C．S△PABtan（α+β） D．S△PABcos（α+β）三、填空題12．設(shè)直線x﹣3y+m＝0（m≠0）與雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P（﹣m，0）滿足|PA|＝|AB|，則該雙曲線的漸近線方程為．13．過雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|≥|CD|，則雙曲線離心率的取值范圍為．14．雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作F1F2的垂線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，D是雙曲線的右頂點(diǎn)，連接AD，BD，并延長(zhǎng)分別交y軸于點(diǎn)M，N．若點(diǎn)P（﹣3a，0）在以MN為直徑的圓上，則雙曲線C的離心率為．四、解答題15．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)在此雙曲線上．（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）已知直線x﹣y+m＝0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB中點(diǎn)N在圓x2+y2＝5上，求實(shí)數(shù)m的值．16．已知直線y＝ax+1與雙曲線3x2﹣y2＝1交于A、B兩點(diǎn)，（1）若以AB線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？說明理由．17．已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2；（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線x﹣y+m＝0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x2+y2＝5上，求實(shí)數(shù)m的值．

蘇教版（2019）選擇性必修第一冊(cè)《3.2雙曲線》2023年同步練習(xí)卷參考答案與試題解析一、選擇題1．【分析】先根據(jù)雙曲線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用雙曲線的第一定義求得||PF1|，作PF1邊上的高AF2，則可知AF1的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用勾股定理求得AF2，則△PF1F2的面積可得．【解答】解：∵雙曲線中a＝3，b＝4，c＝5，∴F1（﹣5，0），F(xiàn)2（5，0），∵|PF2|＝|F1F2|，∴|PF1|＝2a+|PF2|＝6+10＝16，作PF1邊上的高AF2，則AF1＝8，∴，∴△PF1F2的面積為，故選：C．2．【分析】判斷P所在位置，然后利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：因?yàn)閨PF1|＝10＜a+c＝12，所以點(diǎn)P在該雙曲線左支上，則|PF2|＝2a+|PF1|＝2×4+10＝18．故選：C．3．【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，橢圓的焦距為2c，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a2，根據(jù)題意可得c2＝a1a2，設(shè)|PF?|＝x，|PF2|＝y(tǒng)，x＞y＞0，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義將x，y分別用a1，a2表示，設(shè)P（m，n），m＞0，n＞0，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式將P點(diǎn)的坐標(biāo)用a1，a2，c表示，從而可判斷出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【解答】解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，橢圓的焦距為2c，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a2，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則，所以c2＝a1a2，以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2＝c2，設(shè)|PF1|＝x，|PF2|＝y(tǒng)，x＞y＞0，則有，所以，設(shè)P（m，n），m＞0，n＞0，F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），所以①，②①﹣②得，，所以，所以m＝c，將m＝c代入②得，所以n＝|a1﹣a2|，P（c，|a1﹣a2|），則點(diǎn)P到圓心O的距離為，所以點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓外，故選：A．4．【分析】畫出圖形，利用已知條件，求出漸近線方程，利用中垂線的性質(zhì)結(jié)合雙曲線的定義轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：因雙曲線線的漸近線為，雙曲線的一條漸近線恰是線段PF1的中垂線，交點(diǎn)為M，如圖所示，對(duì)于|OF1|＝c，直線PF1：，由原點(diǎn)O（0，0）到直線PF1：ax﹣by+ac＝0的距離得，因此|OM|＝a，|F1M|＝b，則根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)可得|F1P|＝2b，|F2P|＝2a，根據(jù)雙曲線的定義得|F1P|﹣|F2P|＝2a＝2b﹣2a，因此可得b＝2a，則雙曲線的線近線為y＝±2x．故選：D．5．【分析】設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），利用坐標(biāo)向量法表示可得x2＝，y2＝，代入雙曲線可得x1＝≥，解得即可．【解答】解：根據(jù)條件可得F（﹣2，0），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則＝（x2+2，y2），＝（x1﹣x2，y1﹣y2），因?yàn)閨FQ|＝t|QP|，則（x2+2，y2）＝t（x1﹣x2，y1﹣y2），所以x2＝，y2＝，又因?yàn)镻、Q都在雙曲線上，所以，整理可得x1＝，易知x1≥，所以≥，又t＞0，所以0＜t≤，即實(shí)數(shù)t的取值范圍是（0，），故選：A．6．【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可得|F1P|+2c＝2a1，|F1P|﹣2c＝2a2，兩式相減可得a1﹣a2＝2c，可化簡(jiǎn)為，由基本不等式可求得最值．【解答】解：設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為2a2，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖，由題意可知|F1F2|＝|F2P|＝2c，又因?yàn)閨F1P|+|F2P|＝2a1，|F1P|﹣|F2P|＝2a2，所以|F1P|+2c＝2a1，①，|F1P|﹣2c＝2a2，②，兩式相減得a1﹣a2＝2c，所以+＝，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即c＝2a2時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為6，故選：C．7．【分析】先畫出雙曲線和焦點(diǎn)三角形，由題意可知PQ是MF1的中垂線，再利用雙曲線的定義和中位線定理，數(shù)形結(jié)合即可得結(jié)果．【解答】解：過點(diǎn)F1作PQ的垂線，垂足為Q，交PF2的延長(zhǎng)線于M，由三角形PF1M為等腰三角形，可得Q為F1M的中點(diǎn)，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝|F2M|＝2a＝6，由三角形的中位線定理可得|OQ|＝|F2M|＝a＝3，故選：A．8．【分析】連接AF1，根據(jù)△F2AB是等邊三角形可知∠AF2B＝60°，F(xiàn)1F2是圓的直徑可表示出|AF1|、|AF2|，再由雙曲線的定義可得c﹣c＝2a，從而可求雙曲線的離心率．【解答】解：連接AF1，則∠F1AF2＝90°，∠AF2B＝60°，∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，∴c﹣c＝2a，∴e＝＝+1，故選：D．9．【分析】由題意可得曲線C1和C2的中心（1，1），且C1為實(shí)軸在直線x＝1上的雙曲線，C2為實(shí)軸在直線y＝1上的雙曲線，可用k1，k2表示離心率，進(jìn)而求出離心率之比．【解答】解：由題意知雙曲線C1和C2的中心為（1，1），由雙曲線過原點(diǎn)可知C1為實(shí)軸在直線x＝1上的雙曲線，所以＝，＝＝1+＝1+，C2為實(shí)軸在直線y＝1上的雙曲線，所以＝，＝1+，又因?yàn)閗1k2＝1，所以＝＝＝1，故選：C．二、多選題10．【分析】給出雙曲線方程，可以得出abc的值，左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，漸近線方程，由?＝0，得P的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，再由P在雙曲線上，可求出P的坐標(biāo)．進(jìn)而得命題的真假．【解答】解：A中雙曲線x2﹣y2＝1，可得焦點(diǎn)在x軸上，a2＝b2，a＞0，b＞0，a是實(shí)半軸長(zhǎng)，b虛半軸長(zhǎng)，所以漸近線方程為y＝±x即y＝±x，所以A正確；B中，x2﹣y2＝1，可得左焦點(diǎn)F1（﹣，0），右焦點(diǎn)F2（，0），所以以F1F2為直徑的圓的圓心是（0，0），半徑為，所以圓的方程為x2+y2＝2，所以B不正確；C中，F(xiàn)1（﹣，0）到一條漸近線為x﹣y＝0的距離d＝＝1，所以C正確；D中，?＝0，設(shè)P坐標(biāo)（x，y），＝（﹣﹣x，﹣y），＝（﹣x，﹣y），∴?＝（﹣﹣x）?（）+（﹣y）2＝0?x2+y2＝2①，又P在雙曲線上，所以x2﹣y2＝1（y≠0）②，由①②得，|y|＝，∴S△PF1F2＝|F1F2|?|y|＝＝1，∴D正確；故選：ACD．11．【分析】可設(shè)P（m，n），代入雙曲線的方程，求得直線PA，PB的斜率之積為定值，即可得到所求結(jié)論．【解答】解：可設(shè)P（m，n），可得﹣n2＝1，即m2﹣4＝4n2，則kPAkPB＝?＝＝＝，可得tanαtanβ＝﹣為定值，由S△PABtan（α+β）＝×4|n|?＝2|n|?（﹣）＝±?＝±，故選：AC．三、填空題12．【分析】先求出A，B的坐標(biāo)，可得AB中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)P（﹣m，0）滿足|PA|＝|PB|，可得＝﹣3，從而可求雙曲線的漸近線方程．【解答】解：雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線方程為y＝±x，則與直線x﹣3y+m＝0聯(lián)立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∵點(diǎn)P（﹣m，0）滿足|PA|＝|AB|，∴＝﹣3，∴a＝b，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x．故答案為：y＝±x．13．【分析】設(shè)出雙曲線的右焦點(diǎn)和漸近線方程，令x＝c，聯(lián)立方程求出A，B，C，D的坐標(biāo)，結(jié)合距離關(guān)系和條件，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為（c，0），當(dāng)x＝c時(shí)代入雙曲線﹣＝1得y＝±，則A（c，），B（c，﹣），則AB＝，將x＝c代入y＝±x得y＝±，則C（c，），D（c，﹣），則|CD|＝，∵|AB|≥|CD|，∴≥?，即b≥c，則b2＝c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，則e2＝≥，則e≥．故答案為：[，+∞）．14．【分析】求得M，N點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)P在以MN為直徑的圓上列方程，化簡(jiǎn)求得雙曲線C的離心率．【解答】解：由得，不妨設(shè)，而D（a，0），所以直線AD的方程為，令x＝0得，則，同理可求得，所以以MN為直徑的圓的方程為，將P（﹣3a，0）代入上式得：，即c2+2ac﹣8a2＝0，（c﹣2a）（c+4a）＝0，則．故答案為：2．四、解答題15．【分析】（Ⅰ）根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，求出a，b即可求雙曲線C的方程；（Ⅱ）根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)在圓上的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）依題意知：2a＝2，∴a＝1，又點(diǎn)在雙曲線上，∴，∴雙曲線方程為：（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0）由消y有x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0，∴Δ＝（﹣2m）2+4（m2+2）＞0，∴，∵N為AB中點(diǎn)，∴，∵N在圓x2+y2＝5上即m2+（2m）2＝5，∴m＝±1，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．所以，實(shí)數(shù)m的值為±1．16．【分析】（1）聯(lián)立方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x1+x2，x1x2，代入直線y＝ax+1可求y1y2＝（ax1+1）（ax2+1），由題意可得，，即x1x2+y1y2＝0，代入可求a的值．（2）假定存在這樣的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線