培優(yōu)課2 數(shù)列的求和問題教學(xué)設(shè)計 2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第二冊

培優(yōu)課2數(shù)列的求和問題教學(xué)設(shè)計2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第二冊科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）培優(yōu)課2數(shù)列的求和問題教學(xué)設(shè)計2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第二冊教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為北師大版（2019）選擇性必修第二冊中關(guān)于數(shù)列的求和問題。主要涉及數(shù)列求和的方法，包括等差數(shù)列的求和公式、等比數(shù)列的求和公式以及分組求和法。這些內(nèi)容與學(xué)生在高一下學(xué)期學(xué)習(xí)的數(shù)列基礎(chǔ)知識緊密相關(guān)。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系在于，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義及性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生通過實際例題，運(yùn)用已知的數(shù)列性質(zhì)推導(dǎo)出等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，并學(xué)會運(yùn)用分組求和法解決實際問題。這將有助于提高學(xué)生對數(shù)列求和問題的分析能力和解題技巧。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生以下學(xué)科核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析。通過探索數(shù)列求和問題，學(xué)生將運(yùn)用邏輯推理能力，理解并推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。在數(shù)學(xué)建模方面，學(xué)生將學(xué)會構(gòu)建數(shù)列求和模型，解決實際問題，提高將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際情境的能力。同時，通過分析不同數(shù)列求和方法的優(yōu)缺點，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，提升解決復(fù)雜問題的能力。這些核心素養(yǎng)目標(biāo)與新教材要求相符，有助于學(xué)生全面發(fā)展。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點：

（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用：掌握求和公式是解決數(shù)列求和問題的核心，需要學(xué)生熟練掌握公式的推導(dǎo)過程及其應(yīng)用。

（2）分組求和法的運(yùn)用：學(xué)會將復(fù)雜數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，運(yùn)用分組求和法簡化計算，提高解題效率。

舉例：講解等差數(shù)列求和公式時，通過具體例題引導(dǎo)學(xué)生理解公式中各參數(shù)的含義及其在求和過程中的作用。

2.教學(xué)難點：

（1）求和公式的推導(dǎo)過程：學(xué)生需要具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，理解從數(shù)列項的性質(zhì)到求和公式的推導(dǎo)過程。

（2）分組求和法的靈活運(yùn)用：針對不同類型的數(shù)列，學(xué)生需能夠識別并恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分組求和法，這對于學(xué)生的觀察能力和思維靈活性是一大挑戰(zhàn)。

舉例：在講解等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程中，難點在于如何引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)列的通項公式入手，通過歸納總結(jié)得到求和公式。對于分組求和法，難點在于如何將一個復(fù)雜數(shù)列分解為多個等差或等比數(shù)列的組合，學(xué)生需要通過具體例題的練習(xí)來掌握這一技巧。教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法：

（1）講授法：以教師為主導(dǎo)，系統(tǒng)講解等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，通過典型例題演示解題方法。

（2）討論法：鼓勵學(xué)生分組討論，共同探討不同數(shù)列求和方法的優(yōu)缺點，促進(jìn)知識的內(nèi)化吸收。

（3）實驗法：讓學(xué)生通過實際操作，如使用計算器或數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)列求和的計算，加深對求和公式的理解。

2.教學(xué)手段：

（1）多媒體設(shè)備：運(yùn)用PPT、視頻等展示數(shù)列求和的動態(tài)過程，幫助學(xué)生形象理解抽象概念。

（2）教學(xué)軟件：利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)列求和的模擬實驗，提高學(xué)生實際操作能力。

（3）網(wǎng)絡(luò)資源：引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，查找與數(shù)列求和相關(guān)的研究和實例，拓寬知識視野。教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

創(chuàng)設(shè)情境：通過展示數(shù)列在日常生活和科學(xué)研究中的應(yīng)用，如天文學(xué)中星系距離的計算、經(jīng)濟(jì)學(xué)中存款利息的計算等，引發(fā)學(xué)生對數(shù)列求和問題的興趣。

提出問題：如何快速準(zhǔn)確地計算數(shù)列的和？激發(fā)學(xué)生的求知欲。

2.講授新課（20分鐘）

（1）等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)（8分鐘）

-通過具體例題，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)等差數(shù)列的定義和通項公式。

-以數(shù)列的前n項和為切入點，提出求和問題。

-引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列項的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)相鄰項相加的中間項特點。

-演示并解釋等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程。

（2）等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)（8分鐘）

-采用類似方法，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)等比數(shù)列的定義和通項公式。

-通過實際例題，提出等比數(shù)列求和問題。

-引導(dǎo)學(xué)生觀察等比數(shù)列項的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)相鄰項相除的指數(shù)規(guī)律。

-演示并解釋等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程。

（3）分組求和法的介紹（4分鐘）

-介紹分組求和法的基本思想，將復(fù)雜數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列。

-通過實例講解，展示分組求和法的具體運(yùn)用。

3.鞏固練習(xí)（10分鐘）

（1）課堂提問（5分鐘）

-對等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式進(jìn)行提問，檢查學(xué)生對新知識的掌握程度。

-鼓勵學(xué)生解釋求和公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)其邏輯推理和表達(dá)能力。

（2）小組討論與練習(xí)（5分鐘）

-分組討論：針對不同類型的數(shù)列求和問題，討論最佳解決方案。

-練習(xí)：完成教材中的相關(guān)習(xí)題，鞏固求和公式的應(yīng)用。

4.創(chuàng)新教學(xué)與核心素養(yǎng)能力拓展（10分鐘）

（1）數(shù)學(xué)建模（5分鐘）

-引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)列求和的數(shù)學(xué)模型，解決實際問題。

-讓學(xué)生通過實際操作，體驗數(shù)學(xué)建模的過程。

（2）數(shù)據(jù)分析（5分鐘）

-提供不同類型的數(shù)列求和數(shù)據(jù)，讓學(xué)生分析各種求和方法的優(yōu)缺點。

-培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力和批判性思維。

5.總結(jié)與反饋（5分鐘）

（1）對本節(jié)課所學(xué)知識進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)教學(xué)重點。

（2）收集學(xué)生的反饋意見，了解教學(xué)效果，為后續(xù)教學(xué)提供參考。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）數(shù)學(xué)史資料：介紹古代數(shù)學(xué)家在數(shù)列求和方面的重要成果，如古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對等差數(shù)列求和的研究，了解數(shù)學(xué)發(fā)展史。

（2）現(xiàn)實生活案例：收集與數(shù)列求和相關(guān)的現(xiàn)實生活案例，如人口增長、投資收益等，讓學(xué)生了解數(shù)列求和在生活中的應(yīng)用。

（3）科研文獻(xiàn)：尋找與數(shù)列求和相關(guān)的科研文獻(xiàn)，如數(shù)學(xué)期刊論文，拓展學(xué)生的學(xué)術(shù)視野。

2.拓展建議：

（1）鼓勵學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)史資料，了解數(shù)學(xué)家們的研究方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（2）引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中的數(shù)列求和問題，將所學(xué)知識運(yùn)用到實際情境中，提高解決問題的能力。

（3）組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享收集到的科研文獻(xiàn)，學(xué)習(xí)科研方法，培養(yǎng)批判性思維。

（4）針對不同層次的學(xué)生，提供難易適度的拓展習(xí)題，鞏固基礎(chǔ)知識，提高解題能力。

（5）推薦學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽、講座等活動，拓寬知識面，鍛煉數(shù)學(xué)思維。板書設(shè)計①重點知識點：

-等差數(shù)列求和公式

-等比數(shù)列求和公式

-分組求和法

②重點詞句：

-等差數(shù)列：相鄰項之和，中間項規(guī)律

-等比數(shù)列：相鄰項相除，指數(shù)規(guī)律

-分組求和：復(fù)雜到簡單，轉(zhuǎn)化思想

③藝術(shù)性與趣味性：

-使用不同顏色粉筆，區(qū)分公式、例題和結(jié)論

-用圖形、箭頭等符號表示數(shù)列求和的步驟和邏輯關(guān)系

-創(chuàng)設(shè)數(shù)列求和的趣味情境，如漫畫、故事等形式，呈現(xiàn)求和公式

-邀請學(xué)生參與板書設(shè)計，增強(qiáng)互動性和參與感

板書設(shè)計要求簡潔明了，突出重點，同時注重藝術(shù)性和趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性。課后作業(yè)1.計算題：求等差數(shù)列的前n項和

給定等差數(shù)列{an}，其中a1=1，d=2，求S10。

答案：S10=10/2*[2*1+(10-1)*2]=100

2.計算題：求等比數(shù)列的前n項和

給定等比數(shù)列{bn}，其中b1=1，q=3，求S5。

答案：S5=(1-3^5)/(1-3)=121

3.應(yīng)用題：實際情境中的數(shù)列求和

某人計劃每月存入100元，銀行年利率為2%，求一年后他的本金和利息總額。

答案：本金和利息總額=100*(1+2%)^12≈1268.24元

4.綜合題：分組求和法

設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，其中cn=n^2+2n，求S10。

答案：S10=(1^2+2*1)+(2^2+2*2)+...+(10^2+2*10)

=(1+2+...+10)^2+2*(1+2+...+10)

=55^2+2*55

=3025+110

=3135

5.探究題：數(shù)列求和的性質(zhì)

已知等差數(shù)列{dn}，其中d為公差，求證：對于任意的n，有S2n-Sn=n^2d。

答