2022年山東濟(jì)南青島等各市高三數(shù)學(xué)高考一模分類匯編 立體幾何含詳解

山東省2022屆高三數(shù)學(xué)一?？荚嚪诸悈R編

專題06立體幾何

一、單選題

1.（2022.山東聊城?一模）“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊

形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面

體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱

長為1,則經(jīng)過該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的體積為（）

33

2.（2022?山東煙臺(tái)?一模）如圖，三棱錐V-A8C中，%_L底面ABC,NBAC=90。,

AB=AC=AV=2,則該三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）

B.(2x/3-3):l

D.(>/3-1)：2

3.（2022?山東日照?一模）PQ為經(jīng)過拋物線V=2px焦點(diǎn)的任一弦，拋物線的準(zhǔn)線為/,PM

垂直于/于M,QN垂直于/于M繞/一周所得旋轉(zhuǎn)面面積為3,以MN為直徑的球面

積為$2,則（）

A.St>S2B.5,<5,C.S,>52D,5,<52

4.（2022?山東前澤?一模）如圖1,在高為力的直三棱柱容器ABC-4由G中，AB=AC=2f

AB1AC.現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2,然后固定容器底面的一邊A4于地面上,

再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好為AAC（如圖2）,則容器的高力為（）

圖1圖2

A.3B.4C.4近D.6

5.（2022?山東濟(jì)寧?一模）已知叫夕是兩個(gè)不同的平面,直線/ua,則是

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

6.（2022?山東濰坊?一模）以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何

體的體積為（）.

A.2元B.8nC.—D.^―

33

7.（2022?山東淄博?一模）若圓錐的母線長為2石，側(cè)面展開圖的面積為6乃，則該圓錐的體

積是（）

A.6兀B.3萬C.3yB冗D.9兀

8.（2022.山東臨沂.一模）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則該圓錐的體積

為（）

A.3兀B.叵C.扃D.2兀

3

二、多選題

9.（2022?山東棗莊?一模）如圖，平行六面體A8CO-A4GA中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱

長均為1,且它們彼此的夾角都是60。，則（）

R.AC.1BD

C.四邊形皿。蜴的面積為當(dāng)

D.平行六面體例8-的體積為予

10.（2022?山東青島?一模）已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為也=1,

際=2,母線48長為2,E為母線A8中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓臺(tái)母線八8與底面所成角為60。B.圓臺(tái)的側(cè)面積為12k

C.圓臺(tái)外接球半徑為2D.在圓臺(tái)的側(cè)面上，從C到E的最短路徑的

長度為5

11.（2022?山東濟(jì)南?一模）在棱長為1的正方體488-A,4cA中，。為正方形A媯G"的

中心，則下列結(jié)論正確的是（）

A.BO1ACB.8。〃平面AC"

C.點(diǎn)8到平面ACR的距離為由D.直線80與直線AR的夾角為g

33

12.（2022?山東泰安?一模）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AC=BC=\,朋=2,。

是棱的中點(diǎn)，DCJBD,點(diǎn)E在B4上，且BB】=4BE,則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線DG與5c所成角為90。

B.三棱錐D-BCG的體積為g

C.CE_L平面BCQ

D.直三棱柱ABC-ASG外接球的表面積為Qr

13.（2022?山東煙臺(tái)?一模）如圖，正三棱柱ABC-AgG中，底面46C是邊長為2的等邊

A.直線AB〃平面AOG

B.點(diǎn)用到平面AQG的距離為:歷

c.異面直線A片與G。所成角的余弦值為典

10

A.PDQ

D.設(shè)P,。分別在線段A4，0G上，且笠=/，則PQ的最小值為右

4D,L2C,

14.（2022.山東日照.一模）已知球O的半徑為4,球心。在大小為60。的二面角1一/一4內(nèi)，

二面角。-/一0的兩個(gè)半平面所在的平面分別截球面得兩個(gè)圓a,O2,若兩圓?！璔的公

共弦A8的長為4,E為AB的中點(diǎn)，四面體OAQQ的體積為匕則正確的是（）

A.O,E,a，。2四點(diǎn)共圓B.OE=2y/3

C.002-6D.V的最大值為坐

15.（2022?山東濰坊?一模）已知同底面的兩個(gè)正三棱錐P-A8C和Q-A8C均內(nèi)接于球。

且正三棱錐P-ABC的側(cè)面與底面所成角的大小為則下列說法正確的是（）.

4

A.R4//平面。8C

B.設(shè)三棱錐?！?8C和尸—A8C的體積分別為%Tse和％T“，則%—=4匕”/

4

C.平面ABC截球0所得的截面面積是球O表面積的不倍

D.二面角夕—AB-Q的正切值為一g

16.（2022?山東淄博?一模）若〃7,〃是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，則下列

說法正確的有（）

A.若a〃夕，mua,則m〃尸B.若。＜LQ,mka＞則相〃尸

C.若，〃〃*mA_a,則〃_LaD.若加_L〃，m//a,則〃〃a

三、填空題

17.（2022?山東棗莊?一模）如圖，等腰Rt△以D與矩形A8CO所在平面垂直，且

PA=PD=AB=2,則四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為.

18.（2022?山東青島?一模）截角四面體（亦稱“阿基米德多面體”）的表面由四個(gè)正三角形和

四個(gè)正六邊形組成，它是由一個(gè)正四面體分別沿每條棱的三等分點(diǎn)截去四個(gè)小正四面體而得

到的幾何體.若一正四面體的棱長為3,則由其截得的截角四面體的體積為.

19.（2022?山東聊城?一模）在矩形A8CQ中，E是48的中點(diǎn)，AQ=I,A8=2,將V4DE沿

。后折起得到44DE,設(shè)AC的中點(diǎn)為M,若將△"￡＞￡繞。后旋轉(zhuǎn)90，則在此過程中動(dòng)點(diǎn)M

形成的軌跡長度為.

20.（2022.山東濟(jì)南?一模）已知圓錐的軸截面是一個(gè)頂角為與，腰長為2的等腰三角形，

則該圓錐的體積為.

21.（2022?山東荷澤?一模）如圖，在四面體4BC。中，△ABO和△BCD都是等腰直角三角

形，AB=?，4BAD=4CBD=g平面48。，平面CBO,則四面體A8CO外接球的表

面積為.

22.（2022?山東濟(jì)寧?一模）在邊長為6的菱形ABCO中，ZA=y,現(xiàn)將△A3。沿B。折起，

當(dāng)三棱錐A-88的體積最大時(shí)，三棱錐A-BCD的外接球的表面積為.

23.（2022?山東臨沂?一模）已知正三棱臺(tái)ABC-A4G的上下底面邊長分別為2和5,側(cè)棱

長為3,則以下底面的一個(gè)頂點(diǎn)為球心，半徑為2的球面與此正三樓臺(tái)的表面的交線長為

四、解答題

24.（2022.山東棗莊?一模）已知正方體ABCO-AAGR中，點(diǎn)￡尸分別是棱AA,,AR的

中點(diǎn)，過點(diǎn)烏作出正方體ABC。-44aA的截面，使得該截面平行于平面8所.

（1）作出該截面與正方體表面的交線，并說明理由；

（2）求BDy與該截面所在平面所成角的正弦值.

（截面：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形.）

25.（2022?山東青島?一模）如圖①，在梯形ABCO中，AB//DC,AD=BC=CD=2,AB=4,

E為A8的中點(diǎn)，以。E為折痕把VADE折起，連接AB,AC,得到如圖②的幾何體，在圖

②的幾何體中解答下列兩個(gè)問題.

A

(1)證明：AC±DE；

(2)請從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求二面角O-AE-C的余弦值.

①四棱錐A-BCDE的體積為2；

②直線AC與EB所成角的余弦值為".

4

注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

26.(2022?山東聊城?一模)如圖，在三棱柱A8C-4始6中，48=4,NBAC=30,側(cè)面BCG4

是正方形，E是BB］的中點(diǎn)，CE=ECE1AC.

(2)尸是線段4G上的點(diǎn)，若平面A8C與平面CE尸的夾角為45"求"的長.

27.(2022?山東濟(jì)南?一模)如圖，矩形A3C￡＞中，AB=2,6c=1,將△ACZ)沿AC折起,

使得點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P的位置，PB=B

(1)證明：平面尸AB_L平面48C：

(2)求直線PC與平面A5c所成角的正弦值.

28.(2022?山東泰安?一模)如圖，在五面體中，已知AC_L平面8CQ,ED//AC,

且4C=BC=2皮＞=2,DC=DB=用.

(1)求證：平面AB￡_Z平面ABC；

(2)求二面角A-BE-C的余弦值.

29.(2022?山東煙臺(tái)一模)如圖，在四棱錐V—4BCD中，底面ABCO為矩形，AB=2BC=4,

E為CD的中點(diǎn)，且△H8C為等邊三角形.

(I)?VB1AE,求證：AE1VE；

(2)若二面角A—8C—V的大小為30。，求直線AV與平面VC。所成角的正弦值.

30.(2022?山東口照?一模)如圖所示，在四棱錐P—48CO中，AD//BC,ADVDC,PA±AB,

BC=CD=；AD,E是邊AO的中點(diǎn)，異面直線以與CO所成角為］

(1)在平面以8內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM〃平面P8E,并說明理由;

(2)若二面角P-CD-A的大小為「，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.

0

31.(2022?山東薄澤?一模)如圖，圓柱的軸截面A8CO是正方形，點(diǎn)E在底面圓周上，AF1OE,

產(chǎn)為垂足.

(1)求證：AF±DB.

(2)當(dāng)直線與平面45E所成角的正切值為2時(shí)，

①求二面角E—DC—B的余弦值；

②求點(diǎn)B到平面CDE的距離.

32.(2022?山東濟(jì)寧?一模)如圖，在直三棱柱ABC-A&G中，AC=2AB=2AA[=2f

(1)求證：ABYAC；

(2)若點(diǎn)N在線段AC上，滿足MN〃平面ABC,求直線4N與平面ABC所成角的正弦值.

33.(2022?山東濰坊?一模)圖1是由矩形ACGA、等邊“18。和平行四邊形A四人組成的

一個(gè)平面圖形，其中A8=2,AA^AA^l,N為AG的中點(diǎn).將其沿AC,A3折起使得AA,

(2)在圖2中，若二面角A-AC-B的大小為況且tan6=-；,求直線A8與平面5。6片所

成角的正弦值.

34.(2022.山東淄博.一模)如圖，已知在四棱錐P-ABCO中，底面ABC￡＞是平行四邊形,

側(cè)面P8C是以PC為斜邊的直角三角形,0為PC的中點(diǎn)，PB=8,BC=6,AP=AB=AC=\3.

(1)求證：直線A0J■平面PBC；

(2)若過8C的平面。與側(cè)棱以，PO的交點(diǎn)分別為E,F,且所=3,求直線。0與平面。所

成角的正弦值.

35.(2022?山東臨沂?一模)如圖，四棱錐P-ABCO的底面是正方形，E是棱PC的中點(diǎn)，F(xiàn)

是棱PO上的點(diǎn)，且A,B,E,產(chǎn)四點(diǎn)共面.

(1)求證：尸為尸。的中點(diǎn)；

(2)若抬_L底面A3CO,二面角P-CDA的大小為45。，求直線AC與立面A8E戶所成的角.

山東省2022屆高三數(shù)學(xué)一?？荚嚪诸悈R編

專題06立體幾何

一、單選題

I.（2022?山東聊城?一模）“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊

形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面

體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱

長為1,則經(jīng)過該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的體積為（）

A.-nB.皿生C.4乃D.8乃

33

【答案】A

【分析】將該多面體放入正方體中，可以間接確定該多面體外接球的球心，從而求出其外接

球的體積

【詳解】將該多面體放入正方體中，如圖所示.

由于多面體的棱長為1,所以正方體的棱長為近

因?yàn)樵摱嗝骟w是由棱長為正的正方體連接各棱中點(diǎn)所得，

所以該多面體外接球的球心為正方體體對角線的中點(diǎn)，其外接球直徑等于正方體的面對角線

長，即2R=&xa

所以A=1

44萬

所以該多面體外接球的體積V=^/?3=y.

故選：A.

2.（2022?山東煙臺(tái)?一模）如圖，三棱錐丫一ABC中，底面ABC,NB4C=90°,

AB=AC=AV=2,則該三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為()

C.(6-1)：3D.(x/3-l)：2

【答案】C

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合正方體的對角線長公式、棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)?_L底面A6C,A3,ACu底面A6C,所以VA_L從叫必_LAC,

又因?yàn)镹BAC=90。，所以AB_L4C,KUAB=AC=AV=2,

所以三條互相垂直且共頂點(diǎn)的棱，可以看成正方體中，共頂點(diǎn)的長、寬、高，

因此該三棱錐外接球的半徑R=^X/22+22+22=x/3,設(shè)該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r,

因?yàn)镹8AC=90°，所以==萬=20，

因?yàn)閂64_LA&3_LAC,AB=AC=AV=2f所以

VB=VC=yjAV^AB2=722+22=20，

由三棱錐的體積公式可得：

3x-x—x2x2r+-x—x25/2x2\/2x—r=-x-x2x2x2=>r=-——,

32322323

所以廣R=之聲：6=(百-1):3,

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)該三棱錐的特點(diǎn)聯(lián)想到正方體是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?山東日照?一模)PQ為經(jīng)過拋物線V=2px焦點(diǎn)的任一弦，拋物線的準(zhǔn)線為/,PM

垂直于/于M,QN垂直于/于M尸。繞/一周所得旋轉(zhuǎn)面面積為以MN為直徑的球面

積為邑，則()

A.S,>52B.5,<S2C.SigD.5,<S2

【答案】C

【分析】解：設(shè)設(shè)也與x軸夾角為。，令|P尸卜小，|QF|=〃，根據(jù)拋物線的定義可知|尸M|二m,

|QN|=〃，再根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式及球的表面積公式得到號=萬（帆+〃）2、

22

S2=n）sin0,即可判斷；

【詳解】解：設(shè)?。與4軸夾角為0,令歸耳=小，|。尸|二%則|PM|二加，|QN|=〃，貝IJ

S=;r[\PM\+\QN\j-\PQ\=7T（m+nf,S2=7r\MN^=兀（〃?+〃『sin?0,所以$>S?當(dāng)且僅當(dāng)

9=90。時(shí)等號成立；

故選：C

4.（2022?山東荷澤?一模）如圖1,在高為〃的直三棱柱容器ABC-A4G中，AB=AC=2f

ABYAC.現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2,然后固定容器底面的一邊A5于地面上，

再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好為AM。（如圖2）,則容器的高力為（）

圖1圖2

A.3B.4C.40D.6

【答案】A

【分析】利用兩個(gè)圖形裝水的體積相等即可求解.

【詳解】在圖1中力=；x2x2x2=4,

1114

在圖2中,以=匕*相G-Z-A5G=5X2X2X/L§X/X2X2X〃=”,

4

：.-h=^：.h=3.

故選：A.

5.（2022?山東濟(jì)寧?一模）已知￡是兩個(gè)不同的平面，直線/ua,則“/J■0”是“a，尸”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】A

【分析】由面面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.

【詳解】根據(jù)面面垂直的判定定理，可知若/ua,則“/_L夕，則a_L〃成立，滿足充分性；

反之，若a工人lua,則/與￡的位置關(guān)系不確定，即不滿足必要性；

所以，尸”是“aJLp”的充分不必要條件，

故選：A.

6.（2022?山東濰坊?一模）以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何

體的體積為（）.

A.27rB.8nC.-D.”

33

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合幾何體是圓柱，再由圓柱的體積公式直接計(jì)算作答.

【詳解】以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是以2為底面圓半徑，

高為2的圓柱，

由圓柱的體積公式得：V=^X22X2=8^-?

所以所得到的幾何體的體積為8K.

故選：B

7.（2022?山東淄博?一模）若圓錐的母線長為2百，側(cè)面展開圖的面積為6〃，則該圓錐的體

積是（）

A.由）兀B.3萬C.3班;rD.9兀

【答案】B

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積和體積公式求解即可.

【詳解】設(shè)圓錐的高為力，底面半徑為廣，

則gx2;rrx2K=6萬，解得r=卡.

所以人=J（26）~-（G）=3.

則圓錐的體積V=gx3乃x3=3;r.

故選：B

8.（2022?山東臨沂?一模）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則該圓錐的體積

為（）

A.3兀B.叵C.&D,27t

3

【答案】B

【分析】求得圓錐底面半徑和高，由此求得圓錐的體積.

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為「，高為力，母線長為/=2,則/=產(chǎn)+*=4,

底面周長27cr=；x（27tx2）nr=l,所以〃=“-==5

所以圓錐的體積為』x7rxl2xJ5=立九

33

故選：B

二、多選題

9.（2022?山東棗莊?一模）如圖，平行六面體ABC。-A4G。中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱

長均為1,且它們彼此的夾角都是60。，則（）

C.四邊形BOA用的面積為農(nóng)

2

D.平行六面體ABCO-A8CA的體積為它

2

【答案】ABD

【分析】A、B選項(xiàng)通過空間向量的模長及數(shù)量積進(jìn)行判斷即可；C選項(xiàng)通過空間向量求出

BD^B.D,進(jìn)而求出面積即可；D選項(xiàng)作出平行六面體的高，求出相關(guān)邊長，即可求出體積.

【詳解】西=通+而+麗，則而2=通2+通2+羽2+2刀?而+2而?甌+2而?麗

=I2+12+12+2xlxlxcos60+2x1x1xcos60+2xlxlxcos60=6?故|4G卜公?A正確；

AQ=AB+AD+AA；,BD=AD-AB，

宿?麗=（而+而+麗）?（而一砌=麗?而一宿+訪-而?而+羽?而-麗?麗

=lxlxcos60—I2+12—lxlxcos60c+lxlxcos60-lxlxcos60=0,故AG方，B正確;

連接用。，則西=麗+而+西，麗=布+宿+麗，

BD\2=BA+AB1+DD^2+2BAAD+2ADDD^+2BADD^

=12+12+12+2xlxlxcosl20+2xlxlxcos60+2xlxlxcosl20=2?即|西卜夜，同理

|麗卜加,故四邊形80。山為矩形，

面積為1x1=1,C錯(cuò)誤；

過A作面A3CO,易知E在直線4C上，過E作于尸，連接A尸，由

4七，4￡所_1_43得43_1面4日"易得人3_14/，故A尸=441cos60=；,

AE=—如一=蟲,吊1際-4爐=邁,故平行六面體48CD-A3￡A的體積為

cos3003Y3

1一百）6&

—xlxlx——x2x=,

2232

D正確.

故選：ABD.

10.（2022?山東青島?一模）已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為乙=1,

際=2,母線A8長為2,E為母線A8中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓臺(tái)母線48與底面所成角為60。B.圓臺(tái)的側(cè)面積為124

C.圓臺(tái)外接球半徑為2D.在圓臺(tái)的側(cè)面上，從C到七的最短路徑的

長度為5

【答案】ACD

【分析】對于A：過A作4尸〃。02交底面于F,判斷出N43戶即為母線A8與底面所成角.

即可求解；

對于B：作出圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，直接求出面積，即可判斷；

對于C：設(shè)圓臺(tái)外接球的球心為0,半徑R.由R==求出。3=2；

對于D：圓臺(tái)的側(cè)面上，判斷出從。到E的最短路徑的長度為CE,利用勾股定理求解.

【詳解】對于A：過A作AF//Q02交底面于尸，則OR，底面，所以乙4所即為母線A3與

底面所成角.

BF1

在等腰梯形A8CO中，48=2,5尸=2-1=1,所以（：05/48尸=——=-.

AB2

因?yàn)镹AB/為銳角，所以NAB廠=60。.故A正確；

對于B：由題意，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，其面積為S=；x2兀x2x4-Jx2乃xlx2=6〃.

B

22

對于C：設(shè)圓臺(tái)外接球的球心為。，半徑H.由題意可得：O1B=2,O2A=l,OtO2=V2-l=x/3.

設(shè)。Q=a,則絲二行一a,由R=O4=Q8,即Jl，+（石一a.=’22+/,解得：a=0.

即00/重合，所以R=O4=2.故C正確；

對于D：如圖示，在在圓臺(tái)的側(cè)面上，從C到E的最短路徑的長度為CE.由題意可得：

尸5=尸。=4,48=2.由E為中點(diǎn)，所以尸E=3,所以CE=Jc尸+尸5==5?

【點(diǎn)睛】立體幾何中的折疊、展開問題：要把握折疊（展開）過程中的不變量.

11.（2022?山東濟(jì)南?一模）在棱長為1的正方體48co中，。為正方形4與弓。的

中心，則下列結(jié)論正確的是（）

A.BO1ACB.BO〃平面AC"

C.點(diǎn)8到平面4CR的距離為立D.直線8。與直線4。的夾角為？

3

【答案】ABC

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理證明AC1平面,可判斷A;連接交AC于其連接RE,

證明80〃0E,根據(jù)線面平行的判定定理，可判斷B;利用等體積法，求得點(diǎn)6到平面4cA

的距離，判斷C;采用作平行線的方法，求出直線80與直線的夾角，可判斷D.

【詳解】對于A,如圖，連接SA/G,則8Q，A￡交于點(diǎn)。，

正方體中，AC〃AC，B81_L平面ASGA，AGU平面AMGA,

故A&上BB-而AG上BR,B】DQBBi=u平面網(wǎng)已，

故AG_L平面網(wǎng)A,故AC_L平面叫A,而BOu平面BBR,

故ACJ.3O,即801AC,故A正確；

對于B,連接8D,交AC于后連接AE^\BE//OD.,BE=OD.,

故四邊形SORE是平行四邊形，故6?！ㄆ矫鍭CR,BO不在平面4C%,

故80〃平面ACR,故B正確；

對于C,設(shè)點(diǎn)8到平面4CR的距離為/因?yàn)椋ゾW(wǎng)=匕_他，

故：x!xlxlxl=!x!x&x>/ixsin60xd,解得,故C正確；

32323

對于D,連接BG,則AA〃8G，N08G即為直線80與直線4。的夾角或其補(bǔ)角，

在△80G中，40=4，80=j+（與2=乎,BC,=V2,

所以cosNOBq=BO0G—二耳/，則NOBG=?，故D錯(cuò)誤，

-藍(lán)、26

2B°BG2』丘

2

故選：ABC

12.（2022?山東泰安?一模）如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC=\,明=2,D

是棱4A的中點(diǎn)，DCJBD,點(diǎn)￡在8M上，且BB】=4BE,則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線0G與BC所成角為90。

B.三棱錐O-8CG的體積為:

C.C'￡_L平面8CQ

D.直三棱柱ABC-ASG外接球的表面積為64

【答案】ABD

【分析】對于A,證明8_LG。，根據(jù)線面垂直的判定定理可得0G，平面8C。，再根據(jù)

線面垂直的性質(zhì)可得即可判斷A：

對于B,證明8C平面。CG，可得A6_Z.4C,再根據(jù)匕>-8cq=求出體積，即可判

斷B；

對于C,以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明CE8。不垂直，即可判斷C；

對于D,連接A/,則線段4R即為直三棱柱ABC-入與G外接球的直徑，求出外接球的半

徑，即可求出外接球面積，即可判斷.

【詳解】解：對于A,在矩形ACGA中，

因?yàn)?,=2,AC=\,。是棱AA的中點(diǎn)，

所以CD=qD=y/i,

所以CD2+CQ2=CC：,

所以COJ.G。，

又因0G_L8O,BDcCD=D,

所以￡>G_L平面BCO,

又因8Cu平面BCO,

所以。G，8C,

即直線OC1與BC所成角為90。，故A正確；

對于B,在直三棱柱A8C-4BG中，CC,1BC,

又DC|XBC,DC|cCC)=C|,

所以BC上平面OCG，

又OCu平面。CG，所以DCJ.BC,

則匕MCG=%.8e=；x；x夜xlxa=g,故B正確；

對于C,由AB可知，AC8CCG兩兩垂直，

如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則8(0,1,0),。(1,0,1),《0,1,；),

則屋二(0,V),礪=(1,T1),

所以麗?麗=-1+，=」00,

22

所以CE,8。不垂直，

所以CE不垂直平面BG。，故C錯(cuò)誤；

連接A8,則線段A8即為直三棱柱4BC-A8IG外接球的直徑，

A8=JTT幣=后，所以外接球的半徑R二停，

所以直三棱柱ABC-4由G外接球的表面積為4切?2=6］，故D正確.

故選：ABD.

13.(2022?山東煙臺(tái)?一模)如圖，正三棱柱ABC-AMG中，底面A8C是邊長為2的等邊

三角形，44,=3,。為8C中點(diǎn)，則()

A.直線A8//平面AOG

B.點(diǎn)片到平面4OG的距離為|加

c.異面直線A片與G。所成角的余弦值為巫

D.設(shè)P,。分別在線段A4，0G上，且笠=器，則PQ的最小值為75

44DC、

【答案】ABD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；

【詳解】解：在正三棱柱A8C-45G中，。為8C的中點(diǎn)，所以AOS8C,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則小瓦0,0),8(0,1,0),C(0,-l,0),0(0,0,0),A(瘋0,3),

4(0,1,3),。40,-1,3),所以邛=卜6,1,-3),方=(右,0,0),鬲=(0,-1,3),設(shè)平面4。6

的法向量為3=(x,y,z),則、"空一"'一?，令z=l,則y=3,x=0,所以A=(0,3,1),

因?yàn)橐弧?-75xO+lx3+(-3)xl=O,即又48a平面AZ)G，所以AB//平面

ADC.,故A正確;

IV5x0?3x1?lx3|

因?yàn)锳B〕=卜百,1,3),所以--p|--J------——^士—，則點(diǎn)用到平面AOG的距

V32+l25

離為|j而，故B正確：

因?yàn)楦?卜后,1,0),用二(0,1,-3),設(shè)直線4蜴與G。所成角為6,則

3"筒黑二%所以異面直線4聲與G。所成角的余弦值為嚼’故c錯(cuò)誤;

設(shè)等=華=入，則A/=/lA4、DQ=2DC,,因?yàn)闀?(一右JO),璃=(0,—1,3),

Ao?Azv.\'

所以幫=卜&40),而=(0,-4,39則小巧一&,43),Q(Q—43孫所以

I^Ql2=(>/3-V3A)2+422+(3-32)2=1622-242+12,所以當(dāng)2=(時(shí)歸?！赣凶钚≈担?/p>

歸。二=3,所以歸4.=6，故D正確；

故選：ABD

14.（2022.山東日照?一模）已知球O的半徑為4,球心O在大小為60。的二面角a-/一4內(nèi)，

二面角a-/一〃的兩個(gè)半平面所在的平面分別截球面得兩個(gè)呵Q,O2t若兩咧a，Q的公

共弦48的長為4,七為A8的中點(diǎn)，四面體04002的體積為匕則正確的是（）

A.O,E,a，。2四點(diǎn)共圓B.OE=2y/3

C.aq=gD.V的最大值為日

【答案】ABD

【分析】連結(jié)?！?。區(qū)。2￡。心2,。兒判斷出。4=4,AE=2，利用勾股定理求出0E=2石，可判

斷B

證明出O。_LQE,OO2，。2石即可判斷o,E,q,Q四點(diǎn)共圓，從而判斷出A正確.

直接求出=0氐皿60。=3,可判斷C錯(cuò)誤；

，可以判斷D.

因?yàn)楣蚕以诶?上，連結(jié)?！辍！?。220心2,。4,則。4=4,AE=2,

則OE=^O/r-AE2=>/42-22=2石，故B正確?

因?yàn)槎娼恰?，一尸的兩個(gè)半平面分別截球面得兩個(gè)圓0/,02,0為球心，所以00/_L

。,0。2_1_夕,又0盧＜=平面。，O?Eu平面夕，所以。_1_。石。。2_1。2后，故

/。?七=/002七=90。，所以20盧02+/?。。2=180。，對角互補(bǔ)的四邊形為圓內(nèi)接四邊形,

所以。E,O?四點(diǎn)共圓,故選項(xiàng)A正確.

因?yàn)镋為弦A8的中點(diǎn)，故。。2七上4￡故NO四。2即為二面角一夕的平面角，所以

“潛。2=60°,由正弦定理得。02=OEsin6（T=3,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

設(shè)。?=4。。2="2,在40aq中，由余弦定理可得,。022=9=片+&2+4"2之344,所以

4d2"3,故1四0wgdid?又與,所以V=；AE/oae，當(dāng)且僅當(dāng)以

4=4時(shí)取等號,故選項(xiàng)D正確.

故選:ABD

【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的問題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：

①公式法；②多面體幾何性質(zhì)法；③補(bǔ)形法；（④尋求軸截面圓半徑法；⑤確定球心位置法.

15.（2022?山東濰坊?一模）已知同底面的兩個(gè)正三棱錐尸-A8C和Q-48c均內(nèi)接于球O,

且正三棱錐P-A3C的側(cè)面與底面所成角的大小為5，則下列說法正確的是（）.

4

A.EA〃平面QBC

B.設(shè)三棱錐Q-ABC和P—A5C的體積分別為%7%和匕-則%"=*"

C.平面48c截球O所得的截面面積是球O表面積的盤倍

D.二面角尸一AB—Q的正切值為

【答案】BCD

【分析】由題可得PQ為球O的直徑，設(shè)尸到底面的距離為〃，球的半徑為R,結(jié)合條件可

得&2=（2〃yi（AA）2,可得及=|人然后逐項(xiàng)分析即得.

【詳解】???同底面的兩個(gè)正三棱錐尸-ABC和Q-A8C均內(nèi)接于球O，

???「。為球。的直徑，

取AB的中點(diǎn)M,連接PM、QM,則PM_L4B,CM1AB,QMLAB,

???NPMC為側(cè)面%8與底面ABC所成二面角的平面角，NQMC為側(cè)面QAB與底面ABC所

成二面角的平面角，又正三棱錐P-A8C的側(cè)面與底面所成角的大小為

4

設(shè)底面的中心為N,P到底面的距離為h,球的半徑為R,則PN=h,OP=R,ON=R—h,MN=h,

CN=2h,

???l^=（2h^+（R-hf.

5

；?R=Xh,QN=4h,PN=h,

:?P、C、Q、M四點(diǎn)共面，又CN=2MN,QN=4h,PN=h,

???必與QM不平行，故秒1與平面QBC不平行，故A錯(cuò)誤；

由QN=4PN,可得%78c=4%_ABC，故B正確；

??,平面ABC截球0所得的截面面積為4（2療=4乃川,球。表面積為4乃2=44（芋J,

4

，平面ABC截球0所得的截面面積是球。表面積的三；倍，故C正確;

丁PM=同,QM=ylh2+(4h)'=Rih,QP=5〃，

5

(應(yīng)”+(717@一(5afZPMQ=-i=

*,cosZ.PMQ=sin9

2?同JTF力庖

55

AtanZPMQ=--,即二面角尸—4B—Q的正切值為一:，故D正確.

o5

故選：BCD.

16.（2022?山東淄博?一模）若m,〃是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，則下列

說法正確的有（）

A.若a〃4，mua,則用〃4B.若a_l■/，m±a,則加〃尸

C.若，〃〃〃，m_La,則〃_LaD.若mJL〃，a,則〃〃a

【答案】AC

【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系的相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)，即可求得答案.

【詳解】對于A,由面面平行性質(zhì)：兩平面平行，在一平面內(nèi)的任意直線與另一平面平行.

而a〃尸，機(jī)ua,故加〃戶，A正確；

對于B,a_L尸，m_La,此時(shí)機(jī)有可能在平面夕內(nèi)，故不能得到“〃夕，B錯(cuò)誤；

對于C,由于他〃〃，貝也可經(jīng)平移到與加重合的位置而平移不改變直線與平面是否直，

w±a,故〃_La,C正確；

對于D,當(dāng)帆〃a,m<Za,過加上一點(diǎn)作直線〃_La,此時(shí)“_L〃，不能得到〃〃a,D錯(cuò)

誤.

綜上，AC正確.

故選：AC.

三、填空題

17.(2022?山東棗莊?一模)如圖，等腰與矩形48CO所在平面垂直，且

P4=P0=AB=2,則四棱錐「一人38的外接球的表面積為.

【答案】124

【分析】連接AC8。，交于點(diǎn)0,取AD的中點(diǎn)M,連接PM,則由已知可得PM_L平面

ABCD,連接OM,OP,然后利用已知條件可求出OP=04=O3=0C=8,從而可得點(diǎn)

。為四棱錐P-AHC力的外接球的球心，從而可求出其表面積

【詳解】連接AG8。，交于點(diǎn)0,取的中點(diǎn)用，連接PM,

因?yàn)镻4=P￡)=AB=2,所以QW_L4),

因?yàn)榈妊凇鱌AD與矩形ABC。所在平面垂直，平面RADc平面ABCD=AD,

所以PM_L平面43a),

連接QM,OP,則

因?yàn)榈妊途匦?BCO中，PA=PD=AB=2,

所以A。=2V2,PM=五,AC=BD=>/874=2石,

所以O(shè)A=08=0C=OO=6,MO=1,

所以O(shè)P=JPM2+CA/2=&，

所以O(shè)P=OA=06=OC=。。=,

所以點(diǎn)O為四棱錐P-ABCD的外接球的球心，則球的半徑為萬

所以四棱錐尸-ABCD的外接球的表面積為4萬?（6丫=12*

故答案為：12%

18.（2022.山東青島.一模）截角四面體（亦稱“阿基米德多面體”）的表面由四個(gè)正三角形和

四個(gè)正六邊形組成，它是由一個(gè)正四面體分別沿用條校的三等分點(diǎn)截去四個(gè)小正四面體而得

到的幾何體.若一正四面體的棱長為3,則由其截得的截角四面體的體積為.

【答案】竺巨林々無

1212

【分析】由題意可知截角四面體的體積等于大正面體的體積減去4個(gè)個(gè)正四面體的體積即可

【詳解】因?yàn)榇笳拿骟w的棱長為3,

所以正四面體的的一個(gè)底面面積為正x32=%叵，底面正三角形的高為且*3=當(dāng)叵

4422

則正四面體的高為y2-1竽X：=瓜

所以大正四面體的體積為為5x"=2也，

344

由題意可得四個(gè)角上的小正四面體的棱長為1，則其底面面積為立，底面正三角形的高為

4

為立，則小正四面體的高為=叁

x2

2

所以小正四面體的體積為4x=叵,

34312

所以截得的截角四面體的體積為逑-4、蟲=空底

41212

故答案為：空但

12

19.（2022?山東聊城?一模）在矩形A8co中，E是4B的中點(diǎn)，AO=I,AB=2,將V/WE沿

OE折起得到“TOE,設(shè)AC的中點(diǎn)為M,若將“TOE繞DE旋轉(zhuǎn)90、則在此過程中動(dòng)點(diǎn)

M形成的軌跡長度為.

【答案】—##—

88

【分析】先通過△例P。始終是等腰直角三角形確定動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一段圓弧，再結(jié)合垂直

關(guān)系證明圓弧對應(yīng)的圓心角為90、即可求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡長度.

如圖，設(shè)WC的中點(diǎn)為“TOE繞