2021-2022學(xué)年新教材蘇教版選擇性必修第一冊(cè)-5.1.1-平均變化率-學(xué)案

5．1導(dǎo)數(shù)的概念5．平均變化率新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)，了解平均變化率的實(shí)際意義數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算下面是我國(guó)北方某地某日氣溫日變化曲線圖．[問題](1)從圖中可以看出，從6時(shí)到10時(shí)為“氣溫陡增〞的時(shí)段，它的數(shù)學(xué)意義是什么？(2)如何比擬不同時(shí)間段內(nèi)的氣溫變化的大??？例如：假設(shè)6時(shí)的氣溫是25℃，10時(shí)的氣溫是29℃，12時(shí)的氣溫是30℃，那么如何比擬從6時(shí)到10時(shí)與從10時(shí)到12時(shí)氣溫變化的大??？知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的平均變化率函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為eq\f(f〔x2〕－f〔x1〕,x2－x1)．eq\a\vs4\al()1．平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化〞，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化〞．2．平均變化率可正可負(fù)，也可為零．但是，假設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率為0，不能說明該函數(shù)在此區(qū)間上的函數(shù)值都相等．1．函數(shù)f(x)＝x2在[1，3]上的平均變化率為()A．4 B．3C．2 D．1答案：A2．函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上兩點(diǎn)A，B，且xA＝1，xB，那么直線AB的斜率為()A．4 B．4xC． D．答案：C由函數(shù)的圖象求平均變化率[例1](鏈接教科書第174頁例1)某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如下圖．(1)試分別求當(dāng)x從0min變化到20min及x從20min變化到30min體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率；(2)利用(1)的結(jié)果說明哪段時(shí)間體溫變化較快？[解](1)當(dāng)時(shí)間x從0min變到20min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為eq\f－39,20－0)(℃/min)．當(dāng)時(shí)間x從20min變到30min體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為eq\f(38,30－20)(℃/min)．(2)由(1)知|－0.05|>|－0.025|，故體溫從20min到30min這段時(shí)間下降得比0min到20min這段時(shí)間要快．eq\a\vs4\al()由函數(shù)圖象求函數(shù)平均變化率的步驟第一步：求自變量的增量Δx＝x2－x1；第二步：借助圖象求函數(shù)值的增量Δy＝y(tǒng)2－y1；第三步：求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1).[跟蹤訓(xùn)練]地高辛是用來治療心臟病的一種藥物，mg，且x天后血液中剩余的劑量為ymg，y與x的局部數(shù)據(jù)如下表所示：x012345y將y看成x的函數(shù)，分別求函數(shù)在[0，2]和[3，5]上的平均變化率．解：f(x)在[0，2]上的平均變化率為eq\f,2－0)，f(x)在[3，5]上的平均變化率為eq\f,5－3)＝－0.043.由函數(shù)解析式求平均變化率[例2](鏈接教科書第175頁例3)函數(shù)f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)在區(qū)間[，]上的平均變化率；(2)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率．[解](1)因?yàn)閒(x)＝3x2＋5，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[，]上的平均變化率為eq\f(f〔0.2〕－f〔0.1〕,0.2－0.1)＝eq\f(3×2＋5－3×2－5,0.2－0.1)＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3xeq\o\al(2,0)＋5)＝3xeq\o\al(2,0)＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3xeq\o\al(2,0)－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為eq\f(6x0Δx＋3〔Δx〕2,Δx)＝6x0＋3Δx.eq\a\vs4\al()1．求函數(shù)平均變化率的三個(gè)步驟第一步，求自變量的增量Δx＝x2－x1；第二步，求函數(shù)值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f〔x2〕－f〔x1〕,x2－x1).2．求平均變化率的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)求點(diǎn)x0附近的平均變化率，可用eq\f(f〔x0＋Δx〕－f〔x0〕,Δx)的形式．[跟蹤訓(xùn)練]函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時(shí)的平均變化率，并判斷在哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值變化得較快．解：自變量x從1變到2時(shí)，函數(shù)f(x)的平均變化率為eq\f(f〔2〕－f〔1〕,2－1)＝eq\f(2＋\f(1,2)－〔1＋1〕,1)＝eq\f(1,2)；自變量x從3變到5時(shí)，函數(shù)f(x)的平均變化率為eq\f(f〔5〕－f〔3〕,5－3)＝eq\f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq\f(14,15).因?yàn)閑q\f(1,2)<eq\f(14,15)，所以函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)在自變量x從3變到5時(shí)函數(shù)值變化得較快．求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度[例3]某物體運(yùn)動(dòng)的位移s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s(t)＝sint，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)分別求s(t)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度；(2)比擬(1)中兩個(gè)平均速度的大小，說明其幾何意義．[解](1)物體在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的平均速度為eq\x\to(v)1＝eq\f(s〔t2〕－s〔t1〕,t2－t1)＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))－s〔0〕,\f(π,4)－0)＝eq\f(\f(\r(2),2)－0,\f(π,4))＝eq\f(2\r(2),π).物體在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度為eq\x\to(v)2＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))),\f(π,2)－\f(π,4))＝eq\f(1－\f(\r(2),2),\f(π,4))＝eq\f(4－2\r(2),π).(2)由(1)可知eq\x\to(v)1－eq\x\to(v)2＝eq\f(4\r(2)－4,π)>0，所以eq\x\to(v)2<eq\x\to(v)1.作出函數(shù)s(t)＝sint在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的圖象，如下圖，可以發(fā)現(xiàn)，s(t)＝sint在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上隨著t的增大，函數(shù)值s(t)變化得越來越慢．eq\a\vs4\al()求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度的主要步驟(1)先計(jì)算位移的改變量s(t2)－s(t1)；(2)再計(jì)算時(shí)間的改變量t2－t1；(3)得平均速度v＝eq\f(s〔t2〕－s〔t1〕,t2－t1).[跟蹤訓(xùn)練]一物體按運(yùn)動(dòng)方程s(t)＝eq\f(1,t)運(yùn)動(dòng)，那么其從t1＝1到t2＝2的平均速度為()A．－1 B．－eq\f(1,2)C．－2 D．2解析：選Beq\x\to(v)＝eq\f(s〔2〕－s〔1〕,2－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2).1．某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝1－t2，那么該物體在[1，2]內(nèi)的平均速度為()A．2 B．3C．－2 D．－3解析：選Deq\x\to(v)＝eq\f(〔1－22〕－〔1－12〕,2－1)＝－3.2．函數(shù)f(x)＝5x－3在區(qū)間[a，b]上的平均變化率為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選C平均變化率為eq\f(f〔b〕－f〔a〕,b－a)＝eq\f(5〔b－a〕,b－a)＝5.3．物體從某一時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)s表示此物體經(jīng)過時(shí)間t走過的路程，顯然s是時(shí)間t的函數(shù)，表示為s＝s(t)．在運(yùn)動(dòng)的過程中測(cè)得了一些數(shù)據(jù)，如下表：t/s025101315s/m069203244物體在0s到2s和10