2-2-1不等式及其性質(zhì)-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期知識(shí)梳理考點(diǎn)精講精練人教B版2019

第二章等式與不等式2.2不等式不等式及其性質(zhì)知識(shí)梳理1．比較實(shí)數(shù)大?。?）如果是正數(shù)，那么；如果等于零，那么；如果是負(fù)數(shù)，那么，反過來也對(duì)．（2）符號(hào)表示：?；?；?.2.不等式的性質(zhì)（1）對(duì)稱性：（2）傳遞性：（3）可加性：同向可加性：異向可減性：（4）可積性：（5）同向正數(shù)可乘性：異向正數(shù)可除性：（6）平方法則：（7）開方法則：（8）倒數(shù)法則：3.不等式的證明方法（1）綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法．（2）分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)，從而得出要證的命題成立．（3）反證法：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立．常見考點(diǎn)考點(diǎn)一由不等式的性質(zhì)比較大小典例1．若，，則一定有（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合特殊值法，逐一進(jìn)行判斷，即可得到結(jié)論.【詳解】解：對(duì)于AB，∵，∴，∵，∴，即，故A正確，B錯(cuò)誤，對(duì)于CD，令，，，，滿足，，但，故CD錯(cuò).故選：A.變式1-1．若，則下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)，差比較法確定正確選項(xiàng).【詳解】A，，但，所以A錯(cuò)誤.B，，但，所以B錯(cuò)誤.C，，C正確.D，當(dāng)時(shí)，不等式，所以D錯(cuò)誤.故選：C變式1-2．若，則下列不等關(guān)系中，不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不等式的基本性質(zhì)和取特殊值法，即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】解：由不等式的基本性質(zhì)可得，若，則，，，故A，B，D正確；若，取，，則，此時(shí)，故C錯(cuò)誤．故選：C．變式1-3．若，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，通過舉例，可判定A、B、C不正確，根據(jù)不等式性質(zhì)，即可得到D是正確的.【詳解】詳解：當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，所以A、B、C不正確；因?yàn)?，所以，故選：D.考點(diǎn)二作差法比較大小典例2．設(shè)，，則有（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差比較法即可判斷與的大小關(guān)系.【詳解】解：∵，∴，故選：A．變式2-1．已知為不全相等的實(shí)數(shù)，，那么與的大小關(guān)系是（）A． B．P??Q C． D．【答案】A【分析】利用作差比較法，結(jié)合配方法進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)為不全相等的實(shí)數(shù)，有，即，故選：A變式2-2設(shè)，，則有（）A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D．P≤Q【答案】B【分析】利用作差法可判斷兩者的大小關(guān)系.【詳解】，故，故選：B.變式2-3．已知，下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用作差法比較代數(shù)式的大小，最后運(yùn)用配方法化簡(jiǎn)代數(shù)式即可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，

選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤.

故選：D.

考點(diǎn)三利用不等式求取值范圍典例3．已知，，則取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】由已知條件可得，故.故選：D.變式3-1．已知，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出，，即得解.【詳解】由題得，，所以.故選：B變式3-2．若，，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，即，故選：D變式3-3．已知，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，利用待定系數(shù)法求得，利用不等式的性質(zhì)即可求的取值范圍.【詳解】設(shè)，所以，解得：，，因?yàn)?，，所以，故選：A.考點(diǎn)四不等式的證明：綜合法、分析法、反證法典例4．已知a，b，c都是正實(shí)數(shù)，，用三種方法證明：.（1）分析法；（2）綜合法；（3）反證法.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）分析法、依次找出使結(jié)論成立的充分條件即可；（2）直接利用作差法證明；（3）假設(shè)結(jié)論不成立，可得，由此推出與已知矛盾的不等式即可.（1）證明：，b，c都是正實(shí)數(shù)，則要證，需要證，只需證，也就是證，與已知可得該式成立，；（2）證明：因?yàn)?，，b，c都是正實(shí)數(shù)，，，，即，；（3）證明：假設(shè)不成立，即，則，即，，，這樣已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，.變式4-1．（1）用綜合法證明：；（2）若且，用分析法證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用基本不等式證明可得；（2）利用分析法證明即可；【詳解】證明：（1）∵，，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2）要證：，只需證，只需證，只需證，即證，因?yàn)榍?，所以顯然成立.所以原不等式得證.變式4-2．按照要求證明下列不等式．（1）已知，用綜合法證明：；（2）用分析法證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）作差證明即可（2）直接從待證的不等式出發(fā)，平方后分析其成立的充分條件即可【詳解】因?yàn)椋?，，所以，所以．?）要證，只要證，即，即證，這是顯然成立的，所以原不等式成立．變式4-3．（1）已知，證明：；（2）用反證法證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）直接通過作差法計(jì)算證明；（2）假設(shè)三個(gè)數(shù)中全部小于，必有，但推出，矛盾，則可證明.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，得證；（2）假設(shè)三個(gè)數(shù)中全部小于，則必有，但，與矛盾，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于鞏固練習(xí)練習(xí)一由不等式的性質(zhì)比較大小1．設(shè)，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】A選項(xiàng)應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，BCD選項(xiàng)均可以舉出反例【詳解】A選項(xiàng)：由得：，不等式兩邊同乘，不等號(hào)不改變，A正確；B中當(dāng)，時(shí)，不等式不成立，C中當(dāng)，時(shí)，不等式不成立，D中當(dāng)，時(shí)，不等式不成立．故選:A．2．設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】特值法：令即可排除A、B、C，利用不等式性質(zhì)可以判斷D.【詳解】令易知：，，，∴A、B、C錯(cuò)誤；由，則，故D正確.故選：D3．若，則下列正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)并結(jié)合反例，即可判斷命題真假.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，則，由題意，，不妨令，，則此時(shí)，這與結(jié)論矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由，不妨令，，則此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由不等式性質(zhì)，可知D正確.故選：D.4．若，則下列結(jié)論不正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由得到的大小關(guān)系，再逐個(gè)驗(yàn)證，即可得出結(jié)果.【詳解】由于，得到，則A錯(cuò)誤，D正確，進(jìn)而可得，故B、C正確，結(jié)論不正確的是A.故選：A.練習(xí)二作差法比較大小5．若，，則M與N的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．不能確定【答案】A【分析】應(yīng)用作差法可得，即可判斷M與N的大小關(guān)系.【詳解】，∴.故選：A6．若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，則m，n的大小關(guān)系為（）A．m＞n B．m≥nC．m＜n D．m≤n【答案】B【分析】運(yùn)用作差法進(jìn)行比較即可得到答案.【詳解】因?yàn)閙－n＝(2x2＋2x＋1)－(x＋1)2＝2x2＋2x＋1－x2－2x－1＝x2≥0.所以m≥n.故選：B.7．設(shè)a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，則（）A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<bC．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)≤b【答案】C【分析】作差比較可得答案.【詳解】a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.故選：C.8．若，則與的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．隨x值變化而變化【答案】A【分析】根據(jù)作差法即可比較大小.【詳解】由題得，作差：故選：A.練習(xí)三利用不等式求取值范圍9．已知，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意，則，所以.故選：B10．設(shè)實(shí)數(shù)、滿足，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】由已知得，，，故，故選：B.11．若,，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求的范圍，再根據(jù)不等式的性質(zhì)，求的范圍.【詳解】，，，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.12．已知，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由不等式的性質(zhì)可求解【詳解】，，故選：C練習(xí)四不等式的證明：綜合法、分析法、反證法13．用綜合法證明：（，，均為正實(shí)數(shù)）；【答案】證明見解析．【分析】利用基本不等式可證明.【詳解】∵，，均為正實(shí)數(shù)∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），①（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），②（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．③∴①+②+③，得，即∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴．14．（1）設(shè)，用綜合法證明：．（2）設(shè)，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）作差可得，由，可得，可得，即可得證；（2）運(yùn)用分析法，考慮去分母和因式分解，由條件和不等式的性質(zhì)，即可得證．【詳解】（1）證明如下：又，，∴，而，∴，故，即．（2）證明：要證，只要證，只要證，只要證，只要證，只要證，因?yàn)?，，所以成立，所以時(shí)，成立．15．（1）用分析法證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知，，且，用綜合法證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）用分析法證明，執(zhí)果索因.（2）打開左邊并整理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于“”的函數(shù)，再由函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】（1）要證只要證，只要證，只要證，由于，只要證，最后一個(gè)不等式成立，所以(2)因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)且，即