廣東尸禺區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)摸底測(cè)試試題理含解析

PAGE23-廣東省番禺區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)摸底測(cè)試試題理（含解析）留意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3．非選擇題的作答：用簽字筆干脆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集U=R，，則（）A.[1，3) B.(1，3] C.(1，3) D.(－2，1]【答案】A【解析】【分析】首先確定集合中的元素，然后由集合運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】由題意，，∴，．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，駕馭集合的運(yùn)算定義是解題關(guān)鍵．本題還考查了對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域．須要駕馭對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．2.設(shè)（i為虛數(shù)單位），其中x，y是實(shí)數(shù)，則等于（）A.5 B.13 C.22 D.2【答案】A【解析】分析】把已知等式兩邊都化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后由復(fù)數(shù)相等的定義求出，再依據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求得模．【詳解】由得，∴，解得，∴．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)相等的概念，考查求復(fù)數(shù)的模．駕馭復(fù)數(shù)相等的概念是解題關(guān)鍵．3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】確定函數(shù)的奇偶性，解除兩個(gè)，再由時(shí)，，又解除一個(gè)，從而得正確選項(xiàng)．【詳解】，是奇函數(shù)，解除A.B，時(shí)，，解除C，只有D可選．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的解析式選擇函數(shù)圖象，可用解除法，先確定函數(shù)的奇偶性，再確定函數(shù)值的改變趨勢(shì)，特殊是時(shí)，函數(shù)值的改變趨勢(shì)．4.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)解析式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以將其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圖象的平移變換問(wèn)題，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有協(xié)助角公式，誘導(dǎo)公式，圖象的平移變換的原則，屬于簡(jiǎn)潔題目.5.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為，若，，則（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，分析可得等比數(shù)列的公比，進(jìn)而由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，解可得，又由，解可得的值，即可得答案．【詳解】依據(jù)題意，等比數(shù)列中，若，則，若，則，解可得，則，又由，則有，解可得；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是駕馭等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)．6.射線測(cè)厚技術(shù)原理公式為，其中分別為射線穿過(guò)被測(cè)物前后的強(qiáng)度，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為被測(cè)物厚度，為被測(cè)物的密度，是被測(cè)物對(duì)射線的汲取系數(shù).工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測(cè)量鋼板的厚度.若這種射線對(duì)鋼板的半價(jià)層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的汲取系數(shù)為（）（注：半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，，結(jié)果精確到0.001）A0.110 B.0.112 C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意知,，代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因?yàn)?所以,即.所以這種射線的汲取系數(shù)為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)問(wèn)的遷移實(shí)力,把數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)與物理學(xué)問(wèn)相融合;重點(diǎn)考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)探討指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.7.平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是（）A.存在一條直線a，a∥α，a∥βB.存在一條直線a，a?α，a∥βC.存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD.存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α【答案】D【解析】【詳解】對(duì)于A，一條直線與兩個(gè)平面都平行，兩個(gè)平面相交或平行．故A不對(duì)；對(duì)于B，一個(gè)平面中的一條直線平行于另一個(gè)平面，兩個(gè)平面相交或平行，故B不對(duì)；對(duì)于C，兩個(gè)平面中的兩條直線若平行，不能保證兩個(gè)平面平行，故C不對(duì)；對(duì)于D，兩個(gè)平面中的兩條相互異面的直線分別平行于另一個(gè)平面，可以保證兩個(gè)平面平行，故D正確．8.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則曲線在點(diǎn)(4，f(4))處切線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，從而先求出得函數(shù)解析式，得導(dǎo)函數(shù)，然后可求得切線斜率．【詳解】由得，∴，，∴，，，斜率為1，傾斜角為．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題關(guān)鍵求出導(dǎo)函數(shù)，求出．9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用是函數(shù)的最值求得參數(shù)，然后再確定的性質(zhì)．【詳解】由題意，解得，∴，．，，∵，∴中一個(gè)取值1一個(gè)取值，∴．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查三角函數(shù)的最值、周期、對(duì)稱性等．正弦函數(shù)的性質(zhì)：過(guò)正弦函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)與邊垂直的直線是其對(duì)稱軸．即對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是最值．10.中國(guó)古代“五行”學(xué)說(shuō)認(rèn)為：物質(zhì)分“金、木、水、火、土”五種屬性，并認(rèn)為：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取2種，則抽到的兩種物質(zhì)不相生的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】總共有10種結(jié)果，其中相生的有5種，由古典概型的計(jì)算公式計(jì)算出概率即可【詳解】從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取2種，共種，而相生的有5種，則抽到的兩種物質(zhì)不相生的概率故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是計(jì)算古典概型的概率，較簡(jiǎn)潔.11.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，線段與拋物線相交于點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】設(shè)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)向量關(guān)系解方程即可得解.【詳解】由題意得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，所以向量：，，由向量線性關(guān)系可得：，，解得：，代入拋物線方程可得：，則，由兩點(diǎn)之間的距離公式可得：.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查依據(jù)直線與拋物線的交點(diǎn)構(gòu)造向量關(guān)系求解參數(shù)，考查基本運(yùn)算.12.已知正方體，過(guò)對(duì)角線作平面交棱于點(diǎn)E，交棱于點(diǎn)F，則：①平面分正方體所得兩部分的體積相等；②四邊形肯定是平行四邊形；③平面與平面不行能垂直；④四邊形的面積有最大值.其中全部正確結(jié)論的序號(hào)為（）A.①④ B.②③ C.①②④ D.①②③④【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正方體的性質(zhì)對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行推斷．結(jié)合解除法可選正確結(jié)論．【詳解】截面上方幾何體分割成四棱錐四棱錐，四棱錐，三棱錐，截面下方幾何體對(duì)稱的也是三個(gè)棱錐，對(duì)應(yīng)體積相等（特殊位置截面更簡(jiǎn)潔得此結(jié)論），①正確，解除B；由正方體相對(duì)兩個(gè)面平行，依據(jù)面面平行的性質(zhì)定理知四邊形的兩組對(duì)邊平行，從而是平行四邊形，②正確，解除A；當(dāng)是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，這時(shí)可證平面（先證），從而平面與平面垂直，③錯(cuò)誤，解除D，只有C可選了．事實(shí)上，四邊形即有最大值也有最小值．與（或）重合時(shí)面積最大，是中點(diǎn)時(shí)，面積最?。O(shè)，正方體棱長(zhǎng)為1，，，，，在中，，所以，所以，所以或1時(shí)，取得最大值．④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方體的截面的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是由截面表示出相應(yīng)的量與相應(yīng)的關(guān)系．假如空間想象實(shí)力豐富，結(jié)論易得，由正方體對(duì)稱性，①正確，從運(yùn)動(dòng)角度考慮，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，截面面積發(fā)生改變，這是一個(gè)有限的連續(xù)過(guò)程，其中必有最大值和最小值．④正確，②③易于從面線面關(guān)系說(shuō)明．二．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的綻開式中項(xiàng)的系數(shù)是____________【答案】420【解析】【分析】利用多項(xiàng)式乘法法則確定項(xiàng)的系數(shù)，【詳解】由題意綻開式中項(xiàng)的系數(shù)是．故答案為：420.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，求多項(xiàng)式綻開式中某一項(xiàng)系數(shù)，可能利用多項(xiàng)式乘法法則，結(jié)合組合的學(xué)問(wèn)求解．14.已知實(shí)數(shù)滿意則取得最大值的最優(yōu)解為_________.【答案】（4，2）【解析】【分析】首先作出不等式組表示的可行域,然后利用z的幾何意義，作出直線,向上平移直線到最高點(diǎn),此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值,求出此時(shí)直線與可行域的交點(diǎn)坐標(biāo)即可【詳解】作出不等式組所表示的可行域如圖陰影所示：作出直線如圖所示,向上平移直線，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值,所以點(diǎn)A所對(duì)的坐標(biāo)即為所求的最優(yōu)解.聯(lián)立方程,解方程組得,即點(diǎn)A坐標(biāo)為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃問(wèn)題;利用z的幾何意義和數(shù)形結(jié)合的思想是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.15.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和是__________【答案】【解析】【分析】利用得出數(shù)列的遞推關(guān)系，變形后求出，然后用裂項(xiàng)相消法求和．【詳解】由題意，時(shí)，，，即，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1，∴，，，∴數(shù)列的前10項(xiàng)的和為．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列與的關(guān)系求通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．駕馭關(guān)系式是解題關(guān)鍵．16.已知函數(shù)，，若與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)關(guān)于直線的對(duì)稱函數(shù)，令與的圖象有交點(diǎn)得出的范圍即可．【詳解】關(guān)于直線對(duì)稱的直線為，∴直線與在上有交點(diǎn)，作出與函數(shù)圖象，如圖所示：若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，若直線與相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得．∴，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題解法，留意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，以及零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．三．解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答；第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（1）求a；（2）已知點(diǎn)M在邊BC上，且AM平分∠BAC，求△ABM的面積．【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）由平方關(guān)系求出，由二倍角公式求得，由正弦定理求得；（2）用誘導(dǎo)公式求出，由正弦定理求出，用三角形內(nèi)角平分線定理求出，由三角形面積公式計(jì)算即得．【詳解】（1）∵，∴，，由得；（2），∴，∴，由（1），．由正弦定理得．又平分，∴，又，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，考查三角形面積公式，考查三角函數(shù)的恒等變換．駕馭正弦定理是解題關(guān)鍵．18.如圖，已知三棱柱中，平面平面，，.（1）證明：；（2）設(shè)，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連結(jié).由菱形得對(duì)角線垂直，再由已知及面面垂直的性質(zhì)定理得線面垂直平面，平面，從而，于是證得線面垂直后再得線線垂直；（2）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，證得與都垂直后，以為原點(diǎn)，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，則法向量夾角得二面角，留意要推斷二面角是銳角還是鈍角．【詳解】（1）連結(jié).∵，四邊形為菱形，∴.∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面.又∵，∴平面，∴.∵，∴平面，而平面，∴（2）取的中點(diǎn)為，連結(jié).∵，四邊形為菱形，，∴，.又由（1）知，以為原點(diǎn)，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)，，，，∴（0，0，0），（1，0，），（2，0，0），（0，1，0），（-1，1，）.由（1）知，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則，∴.∵，，∴.令，得，即.∴，∴二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，考查用空間向量法求二面角．立體幾何中證明垂直時(shí)，線線垂直，線面垂直，面面垂直經(jīng)常是相互轉(zhuǎn)化，判定定理與性質(zhì)定理要敏捷應(yīng)用．在有垂直的狀況下經(jīng)常建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求空間角．19.已知長(zhǎng)度為4的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)滿意，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn).若直線與的斜率之和為1,求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）設(shè)P,A,B的坐標(biāo)，由坐標(biāo)化可得變量間的關(guān)系，再由,求出曲線的方程．（2）設(shè)直線的方程及和坐標(biāo)，由直線與圓錐曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、根的判別式、直線的斜率，結(jié)合已知條件能求出定點(diǎn)的坐標(biāo)以及此常數(shù)．【詳解】解：（1）設(shè).，，即..又，.從而.曲線的方程為.（2）設(shè).聯(lián)立，消去，得.由，可得.又直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且直線與的斜率存在，.，且.，.，.解得.的值為3.【點(diǎn)睛】本題考查曲線方程的求法，考查滿意條件的軸上的定點(diǎn)是否存在的推斷與求法，考查橢圓、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題．20.某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的客戶，推出兩種超過(guò)質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保修理實(shí)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)修理2次，超過(guò)2次每次收取修理費(fèi)2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)修理4次，超過(guò)4次每次收取修理費(fèi)1000元.某醫(yī)院打算一次性購(gòu)買2臺(tái)這種機(jī)器．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)購(gòu)買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)修理的次數(shù)，得下表：修理次數(shù)0123臺(tái)數(shù)5102015以這50臺(tái)機(jī)器修理次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器修理次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需修理的次數(shù)．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及修理費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）選擇延保方案二較合算【解析】【分析】（Ⅰ）全部可能的取值為0，1，2，3，4，5，6，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可；（Ⅱ）求出兩種方案下所需費(fèi)用的分布列，然后分別求出對(duì)應(yīng)的期望值，比較二者的大小即可選出最合算的方案．【詳解】解：（Ⅰ）全部可能的取值為0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，，∴的分布列為0123456（Ⅱ）選擇延保一，所需費(fèi)用元的分布列為：70009000110001300015000（元）.選擇延保二，所需費(fèi)用元的分布列為：100001100012000（元）.∵，∴該醫(yī)院選擇延保方案二較合算.【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，考查了概率的計(jì)算，考查了期望的求法，屬于中檔題．21.已知函數(shù)（1）若在[1，+∞)上恒成立，求a的取值范圍．（2）證明：【答案】（1）；（2）見解析．【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，要求在上的最小值即得；（2）由（1）時(shí)有，且當(dāng)時(shí)，，令，，得個(gè)不等式，相加后即證．【詳解】（1）設(shè)，，，即時(shí)，恒成立，在上是增函數(shù)，∴，∴滿意題意，時(shí)，有兩個(gè)不等實(shí)根，，，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，∴在時(shí)，，，又，，∴，令，，∴在上遞減，∴，在上不恒成立，綜上，．即的取值范圍是．（2）由（1）時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，令，則有，∴，，這個(gè)不等式相加得，整理得．證畢．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)探討不等式恒成立問(wèn)題，用導(dǎo)數(shù)證明不等式，不等式恒成立問(wèn)題經(jīng)常