第二講 基本不等式講義 高三數(shù)學一輪復(fù)習

第二講基本不等式知識點1.基本不等式及其推廣（1），當且僅當時取“=”.（2），當且僅當時取“=”.（3），當且僅當時取“=”；（4）當且僅當時取“=”.2.用途：求某類表達式的最值、常用于比較大小、證明不等式等.一、過關(guān)練習1.已知，求證：.2.已知，且，求的最小值.3.已知，，求的最小值.4.已知，求的最大值.5.已知，求的最小值，以及取得最小值時的值.6.已知，求的最小值，以及取得最小值時的值.7.已知，求的最大值，以及取得最大值時的值.8.求的最大值，以及取得最大值時的值.9.已知，求的最大值.二、模擬試題1.(多選)若，且滿足，則的值可以為（）A.B.C.D.2.(多選)已知實數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.3.已知則的最大值為.4.已知，寫出使得“”恒成立的一個充分不必要條件：.5.若時，關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為.6.已知實數(shù)，且滿足，則的最小值為.7.已知點是的中線上的一點（不包括端點）.若,則的最小值為.8.已知正為正實數(shù)，且，則的最小值為.三、高考真題1.(多選)(2020·新高考全國卷II，12)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則()A.a2＋b2≥eq\f(1,2) B.2a－b>eq\f(1,2)C.log2a＋log2b≥－2 D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)2.(2021·浙江卷，8)已知α，β，γ是互不相同的銳角，則在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三個值中，大于eq\f(1,2)的個數(shù)的最大值是()A.0B.1C.2D.33.（2022·上海卷，14）若實數(shù)a、b滿足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.4.(多選)(2022·新高考Ⅱ卷，12)若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則()A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥15.(2023·北京卷，8)若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.(2024·北京卷，9)已知，是函數(shù)圖象上不同的兩點，則下列正確的是（）A. B.C. D.7.(2020·江蘇卷，12)已知5x2y2＋y4＝1(x，y)，則x2＋y2的最小值是________．8.(2020·天津卷，14)已知a>0，b>0，且ab＝1，則eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(8,a＋b)的最小值為________.9.(2021·天津卷，13)若a>0，b>0，則eq\f(1,a)＋eq\f(a,b2)＋b的最小值為________．答案一、過關(guān)練習1.已知，求證：.證明：，，，根據(jù)同向不等式相加：化簡得：，原式得證.2.已知，且，求的最小值.解：當且僅當即時取等號，因為，.故的最小值為.3.已知，，求的最小值.解：.當且僅當即時取等號，因為，.故的最小值為4.已知，求的最大值.解：又當且僅當時取等號.即的最大值為，此時相應(yīng).5.已知，求的最小值，以及取得最小值時的值.解：.當且僅當時取等號.即的最小值為，此時相應(yīng).6.已知，求的最小值，以及取得最小值時的值.解：，又，，當且僅當取等號，解出.故的最小值為，相應(yīng).7.已知，求的最大值，以及取得最大值時的值.解：.且.根據(jù)基本不等式：，當且僅當時取等號.故的最大值為，相應(yīng).8.求的最大值，以及取得最大值時的值.解：由題意可知，分兩類情況如下：①當時，；②當時，（分子分母同時除以），根據(jù)基本不等式.當且僅當取等號.即，即.綜上所述：，故最大值，相應(yīng).9.已知，求的最大值.解：，分兩類情況如下：①當或時，；②當，即，根據(jù)基本不等式，當且僅當取等號，即.綜合①②可得：，故最大值，相應(yīng).二、模擬試題1.CD2.BCD3.4