2.1.1　傾斜角與斜率 導學案正文

第二章直線和圓的方程2.1直線的傾斜角與斜率2.1.1傾斜角與斜率【學習目標】1.能理解直線的傾斜角和斜率的概念,描述兩者之間的相互轉換關系.2.能說明傾斜角是刻畫直線傾斜程度和確定直線的幾何要素,并能根據斜率(傾斜角)的范圍判斷傾斜角(斜率)的范圍.3.能推導得出直線斜率的計算公式,并能靈活運用公式計算直線的斜率.◆知識點一直線的傾斜角1.定義:當直線l與x軸相交時,我們以x軸為基準,x軸正向與直線l的方向之間所成的角α叫作直線l的傾斜角.特別地,當時,我們規(guī)定它的傾斜角為0°.

2.直線的傾斜角α的取值范圍:.

【診斷分析】1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線的傾斜角為90°,則這條直線與x軸垂直. ()(2)某條直線的傾斜角可能為-60°,也可能為210°. ()(3)任意一條直線都有且只有一個傾斜角和它對應. ()2.當直線的傾斜角為銳角時,直線一定過哪兩個象限?◆知識點二直線的斜率1.直線斜率的定義我們把一條直線的叫作這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示,即.

(1)傾斜角是90°的直線沒有斜率,但并不是該直線不存在,此時,直線垂直于x軸.(2)傾斜角α與斜率k的關系:當α=0°時,;當0°<α<90°時,;當α=90°時,;當90°<α<180°時,.

2.斜率公式經過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式是.

對于上面的斜率公式要注意下面兩點:(1)斜率公式與點P1,P2的先后順序無關.(2)運用斜率公式的前提條件是“x1≠x2”,即直線不與x軸垂直,因為當直線與x軸垂直時,斜率是不存在的.3.直線的方向向量與斜率的關系(1)經過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的一個方向向量為P1P2=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1)1,y2-y1x(2)若直線的一個方向向量為(x,y)(x≠0),則直線的斜率k=.

【診斷分析】判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)任意一條直線都有且只有一個斜率和它對應. ()(2)已知直線上的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)可以確定直線的方向,求出直線的一個方向向量,進而可以求出它的斜率. ()(3)直線的傾斜角是銳角時,直線的斜率為正;直線的傾斜角是鈍角時,直線的斜率為負. ()(4)直線的傾斜角越大,它的斜率越大;反過來,直線的斜率越大,它的傾斜角也越大. ()◆探究點一直線的傾斜角例1(1)若直線l向上的方向與y軸正向之間所成的角為30°,則直線l的傾斜角為 ()A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°(2)直線l過原點(0,0),且不過第三象限,則l的傾斜角α的取值范圍是 ()A.0°≤α≤90°B.90°≤α<180°C.90°≤α<180°或α=0°D.90°≤α≤135°變式(1)(多選題)若直線l與x軸交于點A,其傾斜角為α,將直線l繞點A順時針旋轉π4后得到直線l1,則直線l1的傾斜角可能為 (A.α+π4 B.α+C.α-π4 D.3π(2)如圖,已知直線l1的傾斜角為150°,l2⊥l1,垂足為B,l1,l2與x軸分別相交于點C,A,直線l3平分∠BAC,則l3的傾斜角為.

[素養(yǎng)小結]求直線的傾斜角的方法:結合圖形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.◆探究點二直線的斜率例2(1)過點(3,0)和點(4,3)的直線的斜率是 ()A.3 B.-3C.33 D.-(2)若經過兩點A(1,m),B(m-1,3)的直線的傾斜角是銳角,則實數m的取值范圍是.

變式(1)如圖所示,直線l1,l2,l3,l4的斜率分別為k1,k2,k3,k4,則 ()A.k1<k2<k3<k4 B.k1<k4<k2<k3C.k3<k2<k1<k4 D.k1<k4<k3<k2(2)已知點A(1,-2)和點B(2,1),經過點P(0,-1)作直線l,若直線l與射線AB有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是 ()A.[-1,3)B.(-∞,-1]∪(3,+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)[素養(yǎng)小結](1)由直線的傾斜角α的大小(或取值范圍)求斜率k的值(或取值范圍)時,可利用公式k=tanα(α≠90°).(2)由直線上兩點P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2)的坐標求斜率k時,可利用公式k=y2拓展已知點M(x,y)在函數y=-2x+8的圖象上,當x∈[2,3]時,求:(1)yx的最大值與最小值(2)y+1x◆探究點三直線的方向向量的應用例3(1)若經過A(m,3),B(1,2)兩點的直線的一個方向向量為(-3,-3),則m等于 ()A.2 B