第三章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第49頁第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1導(dǎo)數(shù)的概念、意義及運算課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.通過實例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達，體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想.2.體會極限思想.3.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.4.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x25.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能求簡單的復(fù)合函數(shù)（限于形如fax6.會使用導(dǎo)數(shù)公式表.必備知識溫故知新【教材梳理】1.導(dǎo)數(shù)的概念及其意義（1）函數(shù)的平均變化率:對于函數(shù)y=fx，設(shè)自變量x從x0變化到x0+Δx，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從fx0變化到fx0+Δx．這時，x的變化量為Δx，y（2）導(dǎo)數(shù)的概念:如果當(dāng)Δx→0時，平均變化率ΔyΔx無限趨近于一個確定的值，即ΔyΔx有極限，則稱y=fx在x=x0處（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)y=fx在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=fx在點Px0,fx0處的切線的斜率（4）導(dǎo)函數(shù)的概念:當(dāng)x=x0時，f'x0是一個唯一確定的數(shù)，這樣，當(dāng)x變化時，y=f'x就是x的函數(shù)，我們稱它為y=2.導(dǎo)數(shù)的運算（1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)fx=cf'xfx=f'x=fxf'x=fxf'x=fx=f'x=fxf'x=fx=f'x=fxf'x=（2）導(dǎo)數(shù)的四則運算法則.名稱法則和差[fx±積[fxgx特別地，[cf商[fxgx]'=（3）簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).一般地，對于兩個函數(shù)y=fu和u=gx，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=fu和u=gx的復(fù)合函數(shù)，記作y=fgx.它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f【常用結(jié)論】3.導(dǎo)數(shù)的兩條性質(zhì)（1）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).（2）可導(dǎo)函數(shù)y=fx的導(dǎo)數(shù)為f'x，若f'x4.幾類重要的切線方程（1）y=x?1是曲線y=lnx的切線，y=x圖1（2）y=x+1與圖2（3）y=x是曲線y=sin圖3自主評價牛刀小試1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）f'x0與[fx（2）函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在區(qū)間[x0（3）曲線的切線與曲線只有一個公共點. （×）（4）與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線. （×）（5）函數(shù)fx=sin?x的導(dǎo)數(shù)是f'2.（教材題改編）函數(shù)fx的圖象如圖所示，則四個數(shù)值0，f'1,f'2A.0 B.f'1 C.f'解：f'3>f3.已知函數(shù)fx=xx+1+A.83 B.2 C.53解：f'x=1x+12+a，故f故選A.4.曲線fx=ln(2x?1A.y=x?1 B.y=2x解：因為fx=ln2x?1，所以f'x=22x?故選C.核心考點精準(zhǔn)突破考點一求導(dǎo)運算例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=解：y'==3=3=ln（2）y=[答案]y'=（3）y=sin[答案]y'=cos=2（4）y=[答案]y'==1（5）y=[答案]y'=tan【點撥】一般對函數(shù)式先化簡再求導(dǎo)，常用求導(dǎo)技巧有以下幾種.①連乘積形式,先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo).②分式形式,觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo).③對數(shù)形式,先化為和、差的形式，再求導(dǎo).④根式形式,先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo).⑤三角形式,先利用公式化簡函數(shù)，再求導(dǎo).⑥復(fù)合函數(shù),確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)，層層求導(dǎo).變式1（1）若函數(shù)fx=12x2解：f'x=x?2f'0sinx+1.令x=（2）設(shè)函數(shù)fx=xx+kxA.0 B.?1 C.3 D.解：因為fx所以f'x=x+kx+2kx?（3）設(shè)函數(shù)fx在0,+∞內(nèi)可導(dǎo)，且fex解：（方法一）令t=ex，則x=lnt，所以ft=lnt（方法二）等式兩邊同時求導(dǎo)，得exf'ex=1故填2.考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題角度1求切線方程例2（1）[2023年全國甲卷]曲線y=exx+1在點A.y=e4x B.y=e解：因為y=exx+1，所以y'=exx+1?e（2）已知函數(shù)fx=xlnx，若直線l過點0,?1解：易知點0,?1不在曲線y=設(shè)切點為x0因為f'所以直線l的方程為y+所以由y0=x0所以直線l的方程為y=x?1故填x?【點撥】①以曲線上的點x0,fx0為切點的切線方程的求解步驟：先求出函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)f'x，再求切線的斜率f'變式2（1）曲線y=2sinxA.x?y?π?C.2x+y?解：因為y'=2cosx?sinx，所以y'|x=π=2cosπ?sin（2）直線y=kx?1是曲線y=A.e B.e2 C.1 D.解：設(shè)切點為x0由y=1+lnx，得則曲線在切點處的切線方程為y?1?lnx0=1x0(x?x0)命題角度2兩曲線的公切線例3已知曲線fx=ex在點P0,fA.e3 B.e2 C.e2解：因為fx=ex，所以f'x=ex，f0設(shè)y=x+1與曲線gx相切于點x0,lnax0，則g'x0=1x0【點撥】公切線常有共點切線和不共點切線兩類.處理與公切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程（組）并解出參數(shù)，建立方程（組）的依據(jù)主要是：切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率，切點在切線上，切點在曲線上.變式3（1）若函數(shù)y=2x3+1解：設(shè)切點的橫坐標(biāo)為x0，根據(jù)切點在兩函數(shù)圖象上，得2由函數(shù)y=2x3+1,得y'=6x2由①②，解得x0=0,b=?1（2）若直線y=kx?2與曲線C1:y解：設(shè)直線y=kx?2與曲線C1的切點坐標(biāo)為x0,則k=3x02,x因為直線y=3x?2與圓所以3a?210=10，解得a=故填4．命題角度3根據(jù)切線情況求參數(shù)例4[2022年新課標(biāo)Ⅰ卷]若曲線y=(x+a)e解：因為y=x+a設(shè)切點為x0,y0,則y切線方程為y?因為切線過原點，所以?x整理得x0因為切線有兩條，所以Δ=a解得a<?4或另解：由切線斜率k=y0?0x0?0所以a的取值范圍是?∞,?4故填?∞,?4【點撥】求曲線切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點t,ft,由已知條件整理出關(guān)于t的方程,把切線條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程的實根個數(shù)問題（零點問題）.本題利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究確定的切線,注意等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用：切線有兩條→切點x0,變式4已知過點Aa,0作曲線y=1A.?3 B.3 C.?3或1解：設(shè)切點為x0由已知，得y'=?xex，則切線斜率k直線過點Aa,0，則?1切線有且僅有1條，即Δ=a+12?4=0，課時作業(yè)知能提升【鞏固強化】1.下列求導(dǎo)運算錯誤的是（D）A.x2023C.sinx'=cos解：tanx'=sinxcos2.一質(zhì)點作直線運動，由始點起經(jīng)過ts后的位移為s=A.4s末 B.8s末 C.0s末與8解：s'=t2?12t+32.由導(dǎo)數(shù)的物理意義，可知速度為0的時刻就是s'=0的時刻.解方程t23.函數(shù)y=fx的圖象如圖所示，f'xA.2f'3<C.f5?f解：由題圖，知f'3<f5?f4.已知曲線fx=asinx+cosxA.1 B.2 C.?1 D.解：f'曲線fx在點0,f0處的切線斜率為k=f'0=a.由題意5.曲線y=xx?3A.y=?3x+4 B.y=x解：因為y'=1×x?3?x×1x?36.【多選題】下列命題正確的是（BD）A.若f'x0=0B.曲線y=C.若曲線y=fx在x=1處的切線方程為D.若函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)f'x=x2?2解：對于A，若f'x0=0，則函數(shù)fx在x0對于B，曲線y=fx的切線與曲線可以有兩個公共點，例如曲線y=x3?3x在x=1處的切線為對于C，因為曲線y=fx在x=1處的切線方程為2x?y=0，所以f對于D，因為f'x=x2?2，所以f'1=?1.又f1=2，所以切點坐標(biāo)為1,故選BD．7.[2022年新課標(biāo)Ⅱ卷]曲線y=lnx過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為y=1e解：當(dāng)x>0時，y=lnx，設(shè)切點為x0,lnx0又切線過坐標(biāo)原點，得?lnx0=?1，解得x0=e由對稱性，可知當(dāng)x<0時，過原點的切線方程為y=?1ex8.已知函數(shù)y=（1）求這個函數(shù)圖象上垂直于直線x+解：設(shè)fx=x因為切線與x+y令f'x=又f1=0所以切線方程為y=（2）求這個函數(shù)圖象過點1,?[答案]設(shè)切點為x0,y切線方程為y?因為切線過點1,?所以?4解得x0=?1或x0=因此切線方程為y+4=?3即3x+y+1【綜合運用】9.若一直線與曲線y=lnx和曲線x2=ayaA.2e B.3e C.3 解：設(shè)Px1,y1.函數(shù)y=lnx的導(dǎo)數(shù)為則曲線y=lnx在x=x1同理,曲線y=x2a在x由題意，知2x1a=1x110.【多選題】已知直線l與曲線fx=lnx+A.3x?y?1=0 B.2x解：fx=lnx+x2，x>0，則f'x=1x+2x≥22，當(dāng)且僅當(dāng)1x=2x，即x=2211.已知函數(shù)fx=x+a2x，若曲線y=f解：f'x=1?a2x2.設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,x0+a2x0)，則切線方程為y?x0?a2x0=1?a2x02x12.設(shè)函數(shù)fx=ax?bx，曲線（1）求fx解：切線方程7x?4y?12當(dāng)x=2時，y=于是2a?b2=故fx（2）證明：曲線y=fx上任一點處的切線與直線x證明：設(shè)Px0由y'=1+3x2即y?令x=0，得從而得切線與直線x=0的交點坐標(biāo)為(0令y=x，得從而得切線與直線y=x的交點坐標(biāo)為所以點Px0,y0處的切線與直線x故曲線y=fx上任一點處的切線與直線x【拓廣探索】13.點A在直線y=x上，點B在曲線y=lnxA.22 B.1 C.2 解：設(shè)平行于直線y=x的直線l:y=x+b與曲線y設(shè)直線y=x+b與曲線y=lnx的切點為m,ln又y'=1x,即1m=1，則m=1，b=?1，則直線l3.2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第1課時函數(shù)的單調(diào)性課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；對于多項式函數(shù)，能求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.必備知識溫故知新【教材梳理】1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個區(qū)間a,b上，如果f'x>0，那么函數(shù)y=fx2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)fx第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f'x的第3步，用f'x的零點將fx的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f3.函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)的圖象就比較“平緩”.【常用結(jié)論】4.根據(jù)單調(diào)性確定參數(shù)（1）若fx在區(qū)間I上單調(diào)遞增（減），則f'x（2）若fx在區(qū)間I上存在單調(diào)遞增（減）區(qū)間，則f'x自主評價牛刀小試1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）若函數(shù)fx在a,b內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f'x（2）若函數(shù)fx在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'x=0，則f（3）在a,b內(nèi),f'x≤0且f'x=（4）函數(shù)fx=x?lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,0（5）函數(shù)fx在區(qū)間a,b上變化得越快，其導(dǎo)數(shù)就越大. 2.（教材題改編）設(shè)函數(shù)fx的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f'xA. B.C. D.解：由函數(shù)圖象，可知當(dāng)x∈?∞,1時，函數(shù)fx單調(diào)遞減，此時f'x<0;當(dāng)x∈1,4時，fx單調(diào)遞增，此時f'x>0；當(dāng)x∈4,+∞3.函數(shù)fx=3A.?∞,0 B.0,+∞ C.?∞,?3和1解：因為函數(shù)fx所以f'由f'x>0即3?2x?x2>0，則x2+2x?34.已知函數(shù)fx=1+x?sinx，則A.f2>f3C.f2>f解：f'x=1?cosx.當(dāng)x∈(0,π]時，f'x>0核心考點精準(zhǔn)突破考點一不含參函數(shù)的單調(diào)性例1已知函數(shù)fx=e解：f'令f'x=0，得x當(dāng)x∈?∞,?1∪0,+∞當(dāng)x∈?1,0綜上，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,?1和0,+∞【點撥】確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟如下.第一步，確定函數(shù)fx的定義域.第二步，求f'x.第三步，解不等式f變式1（1）函數(shù)fx=xln解：因為fx=xlnx，所以f'令f'x<0，解得0所以fx的單調(diào)遞減區(qū)間為0,1故填0,1，（2）已知函數(shù)fx=xsin解：f'令f'x=0，得x當(dāng)0<x<π2或3π2<所以fx在(0,π2)上單調(diào)遞增，在(π2,考點二含參函數(shù)的單調(diào)性例2[2021年新課標(biāo)Ⅱ卷節(jié)選]已知函數(shù)fx=(x解：由題意，得f'當(dāng)a≤0時,若x∈?∞,0若x∈0,+∞,則f當(dāng)0<a<12時,若x若x∈ln2a,0若x∈0,+∞,則f當(dāng)a=12時,f'x≥當(dāng)a>12時,若x∈?∞,若x∈0,ln2a,則若x∈ln2a,+∞,則綜上所述，當(dāng)a≤0時，fx在?∞,0上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<12時，fx在?∞,ln2a和0,+∞上單調(diào)遞增，在ln2a,0上單調(diào)遞減；當(dāng)a=12時,【點撥】分類依據(jù)主要有：最高次冪系數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的變號零點，變號零點與定義域或指定區(qū)間的關(guān)系，變號零點之間的大小關(guān)系.注意討論完對結(jié)果進行綜述.變式2（1）已知函數(shù)fx=x解：f'=?①當(dāng)a+1=1，即a=0時，f'②當(dāng)a+1>1，即a>0時，由f'x<0所以fx在?∞,1和a+1,+∞③當(dāng)a+1<1，即a<0時，由f'x<0所以fx在?∞,a+1和1,+∞綜上，當(dāng)a=0時，fx在當(dāng)a>0時，fx在?∞,1和a+當(dāng)a<0時，fx在?∞,a+1和（2）設(shè)函數(shù)fx=x3+解：f'令f'x=0，解得x若a>0，則a3>?a.當(dāng)x∈?∞,?a和(a3,+∞)時，f'若a=0，則f'x≥0若a<0，則a3<?a.當(dāng)x∈(?∞,a3)和?a,+∞時，f'綜上所述，當(dāng)a>0時，fx在?∞,?a和(a3,當(dāng)a=0時，fx在當(dāng)a<0時，fx在(?∞,a3)和?a考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1求參數(shù)的范圍（值）例3已知函數(shù)?x（1）若函數(shù)?x存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a解：?x=ln則?'因為?x在0,+∞所以當(dāng)x∈0,+∞時，?'x<0有解，即a而Gx=1所以a>?1，即a的取值范圍是（2）若函數(shù)?x在[1,[答案]由?x在[1當(dāng)x∈[1,4]時，?'x≤因為x∈[1,4]所以當(dāng)x=4時，所以a≥?716，即a的取值范圍是[?【點撥】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路如下.①利用集合間的包含關(guān)系處理.y=fx在a,b上單調(diào)，則區(qū)間a,b是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.②fx變式3（1）函數(shù)fx=13x3?A.?∞,?1 B.(?∞,?1] C.1解：f'因為fx在?2,?所以f'x≤0在所以a≤x2在?2,?1故選B.（2）若函數(shù)fx=alnx?A.e,+∞ B.?∞,e C.e2,+∞ 解：fx的定義域為0f'當(dāng)a≤0時，f'x<0恒成立，故函數(shù)fx在[e,當(dāng)a>0時，令f'x>0，解得0<所以fx在0,a上單調(diào)遞增，在a因為fx在[e,e2]內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以命題角度2比較大小例4已知函數(shù)fx=2x+e?x?ex，a=f2A.c<b<a B.b<a解：由題意，得f'x=2?e?x?ex=2?e?因為20.3>20=1，0因為fx在R上單調(diào)遞減，所以f20.3<f0.3【點撥】①利用導(dǎo)數(shù)比較大小,有時需要利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù),把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性比較大小的問題.②比較大小時，需關(guān)注函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、對稱性，進而把自變量轉(zhuǎn)移到同一區(qū)間，再利用單調(diào)性比較即可.變式4已知函數(shù)fx=x2?cosx，則fA.f0<fC.f?35解：易知fx是偶函數(shù)，所以f?35=f35.f'x=2x+sinx，當(dāng)0<課外閱讀·“二次求導(dǎo)”中的理性思維求導(dǎo)后思路受阻時，?？紤]二次（多次）求導(dǎo)（需利用函數(shù)思想先構(gòu)造函數(shù)），尤其是對于解析式含ex,lnx,xn,sinx,cosx等混合結(jié)構(gòu)時.應(yīng)用二次求導(dǎo)時，一是要注意結(jié)合端點或特殊點函數(shù)值符號，二是要注意一般令gx1.判斷函數(shù)fx解：f'令gx=x令?x=g當(dāng)x>1時,?'x又?1=0,故?x≥0（x≥1時）,則gx單調(diào)遞增.又g1=2.已知函數(shù)fx=xcosx?解：由題意，知f'令gx=cos則g'x=?2sinx當(dāng)a≥1時，g0=1所以fx的單調(diào)遞減區(qū)間是[課時作業(yè)知能提升【鞏固強化】1.函數(shù)fx=?lnA.(?12,0)和(12,+∞) B.(?∞,C.(0,12) D.解：函數(shù)fx的定義域為0f'令f'x>0所以函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為(12故選D.2.函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)y=fA. B.C. D.解：設(shè)f'x的圖象與x軸的交點依次為x1,x2,x3，且x1<?x2<0<x2<3.已知函數(shù)fx=sin2x+2cosA.(0,π6) B.(π6,5π6) C.解：由題意，知f'x=令f'x<0，則2sinx?1sin所以fx的單調(diào)遞減區(qū)間為(π6故選B.4.設(shè)函數(shù)fx=ex?alnxA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解：函數(shù)fx的定義域為0f'當(dāng)a<0時，f'x>0，所以fx當(dāng)a=0時，fx=ex在故選A.5.下列函數(shù)中，既滿足圖象關(guān)于原點對稱，又在?∞,0上單調(diào)遞增的是（CA.fx=xcosC.fx=3x解：A中，f'x=cosx?xsinx，所以f'x在?∞,0B中，f?x=ex+e?x2=fx，C中，f?x=?3x?2sin?又f'x=3?2cos所以fx在?∞,0上單調(diào)遞增，CD中，f'x=3x2?1，當(dāng)x<0時，fx在(?∞,?33)6.已知函數(shù)fx=x2?A. B. C. D.解：f'當(dāng)?2<x<1時，f'x<0;當(dāng)所以fx在?2,1上單調(diào)遞減，在?∞,?2又當(dāng)x<?2時，x2?x?1故選A.7.已知fx=2(x+解：f'x=2+sinx>0，故函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增.又f0=2?cos8.已知函數(shù)fx=1（1）若函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為[?23解：f'因為函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為[?23,1]，所以x1=?23當(dāng)a=23時，由f'x<0，解得?2（2）若函數(shù)fx在2,3[答案]因為fx在2,3上單調(diào)遞減，所以f'x則x+ax?1≤0，即a≤?x【綜合運用】9.若函數(shù)fx=2x2?lnA.[1,+∞) B.[1，32) C.[解：函數(shù)fx的定義域為0,+∞，f'x=4x?1x.由f'x=0，10.已知fx=3x?3x2，A.fb<faC.fc<f解：因為當(dāng)x>0時,f'x=?3x2?因為e2>2>312>111.已知函數(shù)fx=eaxsinx.若fA.(?∞,?1] B.[?1,+∞) C.解：f'由題意，得f'x≥0，即asinx+cosx≥0在(0,π4)上恒成立，所以a≥?1tanx在(0，π4)上恒成立12.討論下列函數(shù)fx（1）fx=sin解：f'令f'x>0?4cos2x?令f'所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,π3)，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）fx[答案]fx的定義域為0,+∞，①當(dāng)a≤0時，令f'x<0，得0<x<1；令f'x②當(dāng)0<a<1時，令f'x<0，得a<x<1；令f'x>0，得0③當(dāng)a=1時,顯然f'x≥0恒成立，此時④當(dāng)a>1時,令f'x<0，得1<x<a；令f'x>0，得0<x【拓廣探索】13.制作芯片的原料是晶圓，晶圓是由硅元素加以純化得到，晶圓越薄，其體積越小且成本越低，但對工藝的要求就越高，即制作晶圓越薄其工藝就越高.某大學(xué)為鼓勵更多的有志青年投入到芯片事業(yè)中，成立甲、乙兩個科研小組，分別用兩種不同的工藝制作晶圓.甲小組制作的晶圓厚度為2sin12mmA.甲小組制作工藝水平更高 B.乙小組制作工藝水平更高C.甲、乙小組制作工藝水平相當(dāng) D.無法判斷哪個小組制作工藝水平更高解：設(shè)fx=sinxx,令gx=xcosx?sinx,x∈(0,π2),g'x=?xsinx<0,所以gx在(0,所以3sin13第2課時函數(shù)的極值與最大（?。┲嫡n程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值，體會導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大（?。┲档年P(guān)系.必備知識溫故知新【教材梳理】1.函數(shù)的極值（1）函數(shù)極值的定義：如圖，函數(shù)y=fx在點x=a的函數(shù)值fa比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，f'a=0；而且在點x=a附近的左側(cè)f'x<0，右側(cè)f'x>0.類似地，函數(shù)y=fx在點x=b的函數(shù)值fb比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，f'b=0；而且在點（2）函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件：一般地，函數(shù)y=fx在某一點的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)y=fx在這點取得極值的①f'x②在x=x0附近的左側(cè)f（3）導(dǎo)數(shù)求極值的方法：解方程f'x=0，當(dāng)f'x0=0時,如果在x0附近的左側(cè)f'x>0，右側(cè)f'2.函數(shù)的最大（小）值（1）函數(shù)最大（?。┲档脑僬J識.①一般地，如果在區(qū)間[a,b②若函數(shù)y=fx在[a,b]上單調(diào)遞增，則fa為函數(shù)在[a,b]上的最小值，fb為函數(shù)在[a,b]（2）導(dǎo)數(shù)求最值的一般步驟.設(shè)函數(shù)y=fx在[a,b]①求函數(shù)y=fx②將函數(shù)y=fx的各極值與端點處的函數(shù)值f自主評價牛刀小試1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）函數(shù)的極大值不一定比極小值大. （√）（2）對于可導(dǎo)函數(shù)fx，f'x0=0是（3）函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值. （√）（4）函數(shù)fx在a,b內(nèi)單調(diào),則函數(shù)fx在a,（5）有極值的函數(shù)一定有最值，有最值的函數(shù)不一定有極值. （×）2.函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x=?xA.最小值f0 B.最小值f?2 C.極大值f解：令f'x=?xx+2>0，令f'x=?xx+2令f'x=?xx+2即函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為?∞,?2，所以函數(shù)fx有極大值f0.故選3.（教材題改編）已知函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)yA.函數(shù)fxB.函數(shù)fxC.函數(shù)fxD.函數(shù)fx解：由y=f'x當(dāng)x<x2時，y=f'x≥0，所以y=fx單調(diào)遞增；當(dāng)x2<x<x3時，y所以y=fx在x=x2處取得極大值，在x4.函數(shù)fx=x3?A.4 B.0 C.2 D.?解：令f'x=3x2?f0=2,f故函數(shù)fx在[?1,1]上的最小值為核心考點精準(zhǔn)突破考點一利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題命題角度1求已知函數(shù)的極值例1已知函數(shù)fx=1解：fx的定義域為0,+∞，且當(dāng)x>1時，f'x>0，所以函數(shù)fx在1,+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1時，f'x<【點撥】求函數(shù)fx極值的步驟：第一步，確定函數(shù)的定義域；第二步，求導(dǎo)函數(shù)f'x；第三步，解方程f'x=0，求出在函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；第四步，列表檢驗f'x在f'x變式1設(shè)函數(shù)fx=mx解：因為fx=mx當(dāng)m≤0時，f'x=m?當(dāng)m>0時，由f'由f'x=所以fx在?∞,lnm上單調(diào)遞增，在lnm,+∞綜上所述，當(dāng)m≤0時，函數(shù)f當(dāng)m>0時，fx命題角度2已知極值情況求參數(shù)例2已知函數(shù)fx=x3+axA.11或18 B.11 C.18 D.17或18解：因為函數(shù)fx在x=1所以f1=10，即1+a+b+a2而當(dāng)a=?3，b=3時，f'x=3x?12≥0，函數(shù)在x【點撥】解含參數(shù)的極值問題要注意f'x0變式2若函數(shù)fx=x2?ax?A.?e B.?2e2 C.5解：由題意，知f'所以f'1=2?2ae=0，解得則fx在?∞,?2和1,+∞上單調(diào)遞增，在?2,1上單調(diào)遞減，所以fx例3若函數(shù)fx=x2?A.(12,+∞) B.(?12,0) C.(?∞,1解：因為fx有兩個不同的極值點所以f'x=2x?2+a所以2x2?2x+a=0所以Δ=4?8a>0,a【點撥】已知極值點個數(shù)求參數(shù)問題，一般化為已知零點求參數(shù)問題.若函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b變式3【多選題】（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）若函數(shù)fx=aA.bc>0 B.ab>0 C.解：函數(shù)fx的定義域為0,+∞，f'x=ax?bx2?2cx3=ax2?bx?2cx3于是Δ=b2+8ac顯然a2bc<0，即bc<0，A錯誤，B故選BCD.考點二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題命題角度1求函數(shù)最值例4已知函數(shù)fx（1）函數(shù)y=解：根據(jù)題意，可得f'x=x2?4=(x當(dāng)x∈?∞,?2，2,+∞時,f'x>0,f故當(dāng)x=?2時，fx有極大值，且fx的極大值為f?2=283.當(dāng)x（2）函數(shù)y=fx[答案]由（1），可知fx在區(qū)間[0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2故fx在[0,3]（3）函數(shù)?x=ln[答案]?x=lnx?x2,?x的定義域為0,+∞，?'x=1x?2x=1?2所以當(dāng)0<a<22時，?x當(dāng)a≥22時，?x在(0,22)綜上所述，當(dāng)0<a<22當(dāng)a≥22時，?【點撥】不含參函數(shù)直接按步驟求最值.含參函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類：一是動極值點定區(qū)間，二是定極值點動區(qū)間.這兩類問題一般根據(jù)區(qū)間與極值點的位置關(guān)系來分類討論.變式4（1）[2022年全國乙卷]函數(shù)fx=cosx+A.?π2，π2 B.?3π2，π2 C.?解：f'x=?sinx+sinx+x+1cosx=x+1cosx,在區(qū)間(0,π2)和(3π2,2π)上，cosx>0,f'x>0,即fx單調(diào)遞增（2）已知函數(shù)fx=mln解：gx=f①當(dāng)m≤0時,g'x<0在?1,+∞②當(dāng)m>0時,若x∈?1,m?1,則g'x>0,g所以gx在x=m?命題角度2已知最值情況求參數(shù)范圍例5若函數(shù)fx=13x3+x解：由題意，得f'x=x2+2x=xx+2，故fx令13x3+x2?23=?23，得x=0【點撥】由于所給區(qū)間是開區(qū)間，故最值點不可能在區(qū)間端點處取得，進而分析極值點與區(qū)間端點的關(guān)系即可.變式5已知函數(shù)fx=ex+x2A.?e,1 B.1?e,1 C.?e,+∞解：由fx=ex+x2+a?2x+1，得f'x=ex+2x+a?2.故選A.考點三利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題例6周長為3cm的矩形，繞一條邊恰好旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為π2解：設(shè)矩形的長為xcm.因為矩形的周長為3cm，所以寬為32?xcm，其中0則圓柱的體積V=π則V'=?當(dāng)V'>0，則0<x<1；即V=πx232?x在0,1上單調(diào)遞增，在(1,32)上單調(diào)遞減.故當(dāng)x【點撥】函數(shù)的優(yōu)化問題即實際問題中的最值問題，其一般解題步驟為：一設(shè)，設(shè)出自變量、因變量；二列，列出函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；三解，解出函數(shù)的最值，一般常用導(dǎo)數(shù)求解；四答，回答實際問題.變式6某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本Cx=1200解：設(shè)產(chǎn)品單價為m.因為產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，所以m2=kx（其中又生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，所以502=k100記生產(chǎn)x件產(chǎn)品時，總利潤為fx則fx=mx?Cx由f'x>0得0<x<故函數(shù)fx在0,225上單調(diào)遞增，在225因此,當(dāng)x=225時，fx取最大值.即產(chǎn)量定為225件時，課時作業(yè)知能提升【鞏固強化】1.若函數(shù)fx,gx的導(dǎo)函數(shù)的圖象分別如圖1,圖2所示，則fx與g圖1圖2A.4，1 B.2，2 C.4，2 D.2，1解：由題圖1，可得函數(shù)fx有4個極值點，其中兩個極大值點和兩個極小值點.由題圖2，可得函數(shù)gx只有一個極值點，且為極大值點.故選2.設(shè)函數(shù)fx=2A.x=12為fx的極大值點 B.C.x=2為fx的極大值點 D.x解：f'x=?2x2+1x=x?2x2.令f'x=0，得x=2.當(dāng)x>2時，故選D.3.函數(shù)fx=1A.最大值為1 B.最小值為1 C.最大值為e D.最小值為e解：f'x=?ex+1?xex=?xex.當(dāng)x<0時，f'x>0，當(dāng)x>0時，f'x<04.函數(shù)fx=2x3A.25,?2 B.50,14 C.50,?2 解：f'x=6x2+18x.當(dāng)x∈[?4,?3)或x∈(0,2]時，f'x>0，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)x∈?3,0時5.函數(shù)fx=x2sinA.π24，?2π B.π24，?π24 解：f'當(dāng)x∈(?π2,π2)時，f'x>0，fx單調(diào)遞增；當(dāng)因為fπ2=π24，f?π2=?π24，6.[2022年全國甲卷]當(dāng)x=1時，函數(shù)fx=alnA.?1 B.?12 C.解：由題意，知f1=b=?2，則fx=alnx?2x.因為f'x=ax+2x2=ax+2x2，f'1=a+2=0，7.已知函數(shù)fx=x3+3mx+A.{m|m≥0} B.{解：因為fx=x3+3mx+1，所以f'x=3x2+m.因為fx在0,18.已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=0時，直線y=kx為函數(shù)解：因為fx=ln設(shè)切點為Px0,由②③,得y0=1，代入①，得x（2）求函數(shù)fx在區(qū)間[1,[答案]f'x=因為x∈[1,2]，所以當(dāng)a≤1時，f'當(dāng)1<a<2時，令所以fx在[1,a]當(dāng)a≥2時，f'x≤0所以ga綜上，g【綜合運用】9.若函數(shù)fx=aA.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.解：f'對于A，當(dāng)a>0,b>0時，f'x>0，則fx在0,+∞上單調(diào)遞增，所以f對于B，當(dāng)a>0,b<0時，由f'x=0，得x=?ab.當(dāng)0<x<?ab時，f'x>0；當(dāng)所以當(dāng)x=?ab時，fx取得極大值.同理，選項C有極小值10.[2023年新課標(biāo)Ⅱ卷]已知函數(shù)fx=aex?lnA.e2 B.e C.e?1解：依題意，可知f'x=aex?1x≥0在1,2上恒成立，顯然a>0，所以xex≥1a.設(shè)gx=xex,x∈1,211.直線x=aa>0分別與曲線y=2x+1，yA.1 B.2 C.2 D.3解：令fx=2x+1?x當(dāng)0<x<1時，f'x<0，函數(shù)fx單調(diào)遞減；當(dāng)x>故fx易知點Aa,2a+1，因此，AB的最小值為2.故選C.12.已知函數(shù)fx（1）若0是函數(shù)fx的極小值點，求實數(shù)a解：由題意，得f'因為0是函數(shù)fx的極小值點，所以f'0當(dāng)a=1時，f'x=令?'x>0，得x>?2，則f'x在?2,+∞上單調(diào)遞增.因為f'所以fx在?2,0上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，故x所以實數(shù)a的值為1.（2）若fx在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a[答案]若fx在R上單調(diào)遞增，則f'x≥0恒成立，即a設(shè)gx=1令g'x>0,得x>?所以gx在?∞,?2上單調(diào)遞減，在?2,+∞上單調(diào)遞增，則所以實數(shù)a的取值范圍為(?∞，?1【拓廣探索】13.【多選題】已知函數(shù)fx=xA.fxB.fxC.fxD.不等式fx+2x解：f'x=2x?2+x2?2xex=x2?2ex.由f'x=0,得x=±2.當(dāng)對于A，fx在x=?2處取得極大值，在x=2處取得極小值，則fx有兩個極值點對于B，f0=f2=0，當(dāng)x∈?∞,0時，fx=x(x?2對于C，由選項A，知fx在x=2取得極小值，且極小值為f2=21?2e2<0.又當(dāng)x∈?∞,0對于D，當(dāng)x<0時，fx+2x=x2?2xex+2x<0，等價于不等式e?x+x2?1>0恒成立.令gx=e?x+階段集訓(xùn)3范圍：3.1導(dǎo)數(shù)的概念、意義及運算～3.2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若函數(shù)fx=sinxA.1 B.0 C.12 D.解：f'x=x+2.已知函數(shù)fx=x3?A.?1 B.1 C.?2解：f'x=3x2?2f'3.已知函數(shù)fx=12xA.?3,1 B.0,1 解：由題設(shè)，知f'x=x?3x+2=x2+2x?3x，定義域為0,+∞.令f4.已知函數(shù)fx，其導(dǎo)函數(shù)f'xA.fx有2個極值點 B.fx在C.fx有極大值，沒有極小值 D.fx在解：由題圖，得fx在?∞,3上單調(diào)遞增，在3,+∞上單調(diào)遞減，所以fx有一個極大值，沒有極小值，A，B，D錯誤，C5.函數(shù)fx=xA.1 B.e?12 C.e?解：f'x=x?1x當(dāng)0<x<1時，f'x<0，fx單調(diào)遞減；當(dāng)故fx的極小值為f1=6.若函數(shù)fx=xlnx?A.?∞,2 B.(?∞,2] C.2解：f'x=1+lnx?a.因為fx在[e,+∞)上單調(diào)遞增，所以f'x≥0在[e,+∞)上恒成立.而x7.過原點的直線與函數(shù)fx=cosx在[0,π]上的圖象切于點A.?2 B.?1 C.3 解：切點為x0,cosx0，f'x=?sinx,則fx0tan8.設(shè)fx為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，fx=A.?∞,1 B.(?∞,13) C.(13解：當(dāng)x>0時，f'x=ex+sin因為函數(shù)fx為奇函數(shù)，所以fx在R由f2x?1+因為fx在R上單調(diào)遞增，所以2x?1>2?二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的有（BC）A.sinB.已知函數(shù)fx在R上可導(dǎo)，且f'C.一質(zhì)點的運動方程為s=t2D.若y=f解：sinπ4'=0limΔ=2=2f'1=s'=2t，所以該質(zhì)點在t=2時的瞬時速度是2y'=f'x故選BC.10.已知函數(shù)fx=x3+A.a2+bC.ab的最大值為2 D.a+解：f'因為函數(shù)fx在x=1處取得極值，所以f'1=3f2=8+ab≤a2+a+b2=a2+b2+2ab≤4,所以a+所以a+b的最大值為2,D正確.故選11.若直線y=3x+m是曲線y=A.m=?2 B.m=?1 C.解：設(shè)直線y=3x+m與曲線y=x3x>0對于函數(shù)y=x3x>0，y'=3x2，則3對于函數(shù)y=?x2則?2b+n=所以?b又b>0，所以b=2，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知fx=sin2x解：f'x=2cos13.曲線y=2lnx+解：y'=2x+2x,x>0，y'14.已知函數(shù)fx=2x3?ax2+b，若存在a，b使得fx在區(qū)間[解：f'x=6x2?2ax=2x3x?a.不妨令a3>1，則f'x<0在區(qū)間[0,1]上恒成立，f專題突破5三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)三次函數(shù)問題，既是高考常考問題，也是研究導(dǎo)數(shù)相關(guān)零點、切線及不等式等問題的基礎(chǔ).設(shè)三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0，則（1）a>性質(zhì)Δ>0Δ≤0圖象單調(diào)性在?∞,x1，在x1在R上單調(diào)遞增極值點個數(shù)20對稱中心(?b3a,（2）a<性質(zhì)Δ>0Δ≤0圖象單調(diào)性在x1,x2上單調(diào)遞增；在在R上單調(diào)遞減極值點個數(shù)20對稱中心(?b3a,核心考點精準(zhǔn)突破考點一三次函數(shù)的圖象問題例1已知函數(shù)fx=ax3A. B. C. D.解：由選項，知當(dāng)a>0時，y=fx的圖象是“N字型”曲線.觀察B，D，由于此時f0當(dāng)a<0時，y=fx的圖象是“反N字型”曲線.觀察A，C，由于此時f0設(shè)gx=ax3+bx，因為fx=gx+c，所以fx的圖象是gx的圖象向上或向下平移得到的【點撥】當(dāng)三次函數(shù)有兩個極值點Δ>0時，若a>0，則三次函數(shù)曲線形狀為“N字型”；若a變式1[2021年全國乙卷]設(shè)a≠0，若x=a為函數(shù)A.a<b B.a>b C.解：若a=b，則fx=ax?a3所以fx有x=a和x=b兩個不同零點，且在x=a附近是不變號，在x=b附近是變號的.依題意，x=當(dāng)a<0時，由x>b時，fx≤0，畫出fx的圖象如圖1所示,圖1當(dāng)a>0時，由x>b時，fx>0，畫出fx的圖象如圖2所示,圖2綜上所述，ab>a2成立考點二三次函數(shù)的對稱性問題例2對于三次函數(shù)fx定義：設(shè)f″x是函數(shù)y=fx的導(dǎo)數(shù)y=f'x已知fx（1）求函數(shù)fx的“拐點”A解：依題意，得f'x=令f″x=0，即又f1=2，所以fx（2）檢驗函數(shù)fx的圖象是否關(guān)于“拐點”A[答案]由（1），知“拐點”A1而f1則fx的圖象關(guān)于“拐點”A一般地，三次函數(shù)fx=ax3+bx2【點撥】三次函數(shù)fx的圖象一定是中心對稱圖形，對稱中心橫坐標(biāo)即其導(dǎo)函數(shù)f'x變式2已知函數(shù)y=x3+3x2+x的圖象C上存在一定點P滿足：若過點P的直線l與曲線C交于不同于P解：當(dāng)點P是圖象C的對稱中心時，y1+y'=設(shè)gx=3x令g'x=6x當(dāng)x=?1時，y=1.所以圖象C的對稱中心是?考點三三次函數(shù)的零點問題例3已知函數(shù)fx=x3?3x2?A.?24,8 B.(?24,1解：f'x=3x2?6x?9當(dāng)x變化時，f'x與fxx[?2?1?13(3f'+0-0+fx↗極大值↘極小值↗故當(dāng)x=3時，函數(shù)fx又f?2=?23?當(dāng)x=?1時，函數(shù)fx又f5=53?作函數(shù)fx在[?由圖象，可知當(dāng)y∈[1,8)因此當(dāng)m∈[1,8)故m的取值范圍為[1,8)【點撥】三次函數(shù)零點問題同樣需要先借助導(dǎo)數(shù)畫出大致圖象再判斷，通?？梢赞D(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題，再借助二次函數(shù)或韋達定理來解決.變式3已知函數(shù)fx=x3?A.2?13 B.213 解：f'當(dāng)x<?a或x>a時，f'x>0；當(dāng)?a<x<a時，f'x<0當(dāng)x=?a時，fx取得極大值f?a=2a3+因為fx恰有兩個零點，所以?2a3故選A.考點四三次函數(shù)的切線問題例4已知函數(shù)fx（1）求曲線y=fx解：f'切線方程為y?ft（2）設(shè)常數(shù)a>0，如果過點Pa,m[答案]由題意，知關(guān)于t的方程m=3t2令gt=?2易知gt在?∞,0上單調(diào)遞減，在0,a則gt的極小值為g0=?a，極大值為即m的取值范圍是?a【點撥】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出切線方程.三次函數(shù)切線條數(shù)問題本質(zhì)上是零點個數(shù)判斷問題.變式4已知函數(shù)fx（1）求曲線y=fx解：f'x=3x2?6x+整理得y=（2）設(shè)m>1，若過點Qm,n證明：構(gòu)造函數(shù)gt=3t2?6t+1mg't=?6t?1t?m，易得函數(shù)gt在?∞,1上單調(diào)遞減，在1所以g1<0,g課時作業(yè)知能提升1.已知曲線C：y=x3?3x2+3xA.0 B.1 C.2 D.3解：y'=3x2?6x+3.令x=1，則y'|x=1=0，所以切線l的方程為y=0，也即x軸.由y'=3x2?2.已知三次函數(shù)圖象的對稱中心的橫坐標(biāo)為其二階導(dǎo)函數(shù)的零點．若fx=x3?A.0 B.4 C.2 D.?解：f'x=3x2?6x+3,f″x=6x?6.令f″x=3.【多選題】在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)fx=x2?A. B. C. D.解：由已知，得fx=x函數(shù)fx的圖象為開口向上的拋物線，與x軸在x=0和xgx的圖象是“N字型”曲線，當(dāng)a≠1時，有x=1當(dāng)a=1時，gx單調(diào)遞增，且gx的圖象與y對于A，由二次函數(shù)圖象，知a>0，但三次函數(shù)的圖象與y軸的交點在x軸上方，故AB項圖中兩條曲線符合當(dāng)a=1C項圖中兩條曲線符合當(dāng)a<0D項圖中兩條曲線符合當(dāng)a=0故選BCD.4.[2023年全國乙卷]函數(shù)fx=x3+A.?∞,?2 B.?∞,?3 C.?4解：由題意，知f'x=3x2+a.若fx存在3個零點令f'x=0，解得x當(dāng)x∈(?∞,??a3)∪(?a3,+∞)時，f'故fx的極大值為f??a若fx存在3個零點，則f??a3>0,f5.[2022年新課標(biāo)Ⅰ卷]【多選題】已知函數(shù)fx=xA.fx有兩個極值點 B.fC.點0,1是曲線y=fx的對稱中心 解：f'x=3x2?1.令f'x>0,得x>33或x<?33；令f'x<0，得?33<x<33.因為f?33=1+239>0，f33=1?239>0，f?2=?5<0，所以函數(shù)fx在(?2,?33)上有一個零點，在[?令?x=x3?x，該函數(shù)的定義域為R，??x=?x3??x=?x3+x=??x，則?x是奇函數(shù)，0,0令f'x=3x2?1=2，可得x=±1.又f1=f?1=1，所以當(dāng)切點為1,16.已知函數(shù)fx=13x3?12ax（1）求切線l的傾斜角α的取值范圍；解：由fx+f解得a=0，所以f'x=顯然α≠π2,所以α∈[0即切線l的傾斜角α的取值范圍是[0，π2)∪[（2）若過點P1,mm≠[答案]設(shè)曲線y=fx與過點P1,m則切線的斜率為k=x0因為點P1,所以m?13由題意，知該方程有三個不同的解.設(shè)gx=?23x3+x2+當(dāng)x<0或x>1時，g'x所以gx在?∞,0和1,+∞上單調(diào)遞減，在故gx的極小值為g0=1，極大值為所以實數(shù)m的取值范圍是(1,4專題突破6函數(shù)中的構(gòu)造問題函數(shù)中的構(gòu)造問題是高考熱點問題，需要考生根據(jù)已知等式（或不等式）結(jié)構(gòu)特征，消除差異抓住共性，構(gòu)造新函數(shù)，解決相關(guān)比較大小、解不等式、最值及恒成立等問題.核心考點精準(zhǔn)突破考點一構(gòu)造函數(shù)比較大小例1設(shè)a=37，b=lnA.b>c>a B.a>c解：令fx=x?sinx，0<x<π2，則f'x=1?cosx>顯然b=ln所以b>故選D.【點撥】利用導(dǎo)數(shù)比較大小,有時需要利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù),把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性比較大小的問題.變式1已知a=ln1.03，b=lnA.a>b>c B.b>a解：ln1.03>ln構(gòu)造函數(shù)gx當(dāng)x>1時，所以gx在1,+∞上單調(diào)遞增，所以g1.02>綜上，a>b>考點二構(gòu)造抽象函數(shù)解不等式例2（1）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f1=1，且f'A.?∞,1 B.C.?∞,?1∪1解：設(shè)gx=fx因為f'x>所以對任意x∈R，都有g(shù)'x>0又g1=f1?12?12=0，故選A.（2）定義在?∞,0∪0,+∞上的函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)記為f'x，若y=fA.?∞,?1∪1C.?∞,?1∪0解：設(shè)gx=xfx,x當(dāng)x>0時，fx+xf'x<0成立，又因為y=fx為奇函數(shù)，所以f?x=?fx.則g?x=?xf?因為f?1=0，所以f1當(dāng)x>0時，由fx<0，可得當(dāng)x<0時，由fx<0，可得gx=綜上所述，不等式fx<0的解集是?【點撥】構(gòu)造函數(shù)解抽象不等式有以下幾種常見類型.①對于不等式f'x>kk≠0,構(gòu)造函數(shù)gx=fx?kx+b.②對于不等式xf'x+fx>0,構(gòu)造函數(shù)變式2（1）已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)fx滿足f1=3，且fx的導(dǎo)數(shù)f'x在R上恒有解：令gx=fx?2x?1，所以g'x=f'x?2<0，所以g（2）設(shè)函數(shù)f'x是奇函數(shù)fxx∈R的導(dǎo)函數(shù)，f?1=0，當(dāng)A.?∞,?1∪0C.?∞,?1∪?解：令Fx=fxx.因為fx為奇函數(shù)，所以Fx為偶函數(shù).由于F'x=xf'x?fxx2，當(dāng)x>0時，xf'x?fx<0，所以Fx=fxx考點三同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)例3已知a，b為正數(shù)，lna?lnA.a>2b B.a<2b C.解：由題意，得lna+3a<ln2b+32b．令fx=lnx+3xx>0【點撥】同構(gòu)式一般指結(jié)構(gòu)相同、變量不同的式子.要善于觀察式子結(jié)構(gòu)，通過移項、變形等變成結(jié)構(gòu)一致，然后構(gòu)造函數(shù)求解.變式3【多選題】若0<x1A.x2exC.ex2?解：構(gòu)造函數(shù)fx=exx0<因為0<x1<x2<1，所以ex2x2構(gòu)造函數(shù)?x=ex?lnx0<x<1而?'1=e?1>0，當(dāng)x>0，且x→0所以?x在0,x0上單調(diào)遞減，在x0,1構(gòu)造函數(shù)gx=ex+lnx0<x<1，易知gx在0,1上單調(diào)遞增.因為課時作業(yè)知能提升1.已知a=ln510，bA.b>c>a B.c>b解：令fx=lnx2x，則f'x=1?lnx2x2.當(dāng)0<x<e時，f'x>0；當(dāng)x>e時，f'x<02.[2020年全國Ⅱ卷]若2x?2A.lny?x+1C.lnx?y>解：由2x?2y<3?x?3?y，得2x?3?x<2y?3?y.令ft=2t?3?t.因為y=2x為R上的增函數(shù)，y=3?x為R上的減函數(shù)，所以ft為3.fx為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f'x>fA.fa<eaf0 B.f解：令gx則g'所以gx在R上為增函數(shù).又因為a所以ga>g0，即fae4.設(shè)a>0，b>0，A.若ea+2a=eb+C.若ea?2a=eb?解：因為a>0，b>0，所以eb+3b=eb+2b+b>eb+ea?2a=eb?3b=eb?2b?b<eb5.已知a=2?ln2,bA.c>a>b B.c>b解：令fx=ex?x，則f'x=ex?1，當(dāng)x>0時，f又12=lne12<ln26.fx,gx分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f'xgA.?3,0C.?∞,?3∪3解：令?x=fxgx.因為fx,gx分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以??因為當(dāng)x<0時，?'x=f'xgx+fxg因為g3=g?3=0，所以?3=f3g3=0，故選D.專題突破7導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用核心考點精準(zhǔn)突破考點一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例1[2023年新課標(biāo)Ⅱ卷節(jié)選]證明：當(dāng)0<x<證明：令Fx=x?sinx,則Fx在0,1即x>sinx令Gx=sin則G'x=令gx=G則g'x=2?sin則gx在0,1所以G'x>0則Gx在0,1所以sinx>綜上,當(dāng)0<x<1【點撥】①證明fx>gx，可以構(gòu)造函數(shù)變式1[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù)fx（1）討論fx解：fx的定義域為R，f當(dāng)a≤0時，由于ex>0，則aex≤0，故當(dāng)a>0時，令f'當(dāng)x<?lna時，f'x<0，則fx在?∞,?lna上單調(diào)遞減；當(dāng)x綜上,當(dāng)a≤0時，fx在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時，fx在（2）證明：當(dāng)a>0時，證明:由（1）得，fx要證fx即證1+即證a2?設(shè)ga則g'令g'a<0，得0<所以ga在(0,22)上單調(diào)遞減，在(22,+∞)所以當(dāng)a>0時，考點二利用導(dǎo)數(shù)研究恒（能）成立問題例2已知函數(shù)fx=x（1）求函數(shù)fx解：fx的定義域為0,+∞,令f'x>0，得x>所以fx在(1e,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,1e)上單調(diào)遞減.所以當(dāng)x（2）若對任意x∈0,+∞，不等式f[答案]對任意x∈0,+∞,fx即?a<3ln令?x=3令?'x<0，得0<則?x在0,1上單調(diào)遞減，在所以?xmin=?1故a的取值范圍為?5【點撥】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立或有解問題的主要策略有以下幾種.①構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，進而求出參數(shù)的取值范圍.②分離變量,構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.有些不易分參的也可采用“同構(gòu)”技巧.③分類討論，分界點主要考慮端點值、極值點、不等式公共取等條件及常見常數(shù)（如0，1，e,e2變式2已知函數(shù)fx=lnx+a1解：若?x0∈0,+∞，使得fx0令gx=2g'設(shè)?x=1x?lnx?1又?1=0，則當(dāng)x∈0,1所以函數(shù)gx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，所以a≤1，即實數(shù)a的取值范圍是考點三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點例3已知函數(shù)fx=x解：f'當(dāng)x<0時，f'x>0所以函數(shù)fx在?∞,0上單調(diào)遞增,在0,+∞上單調(diào)遞減.所以當(dāng)x=0當(dāng)a<1時，f0=當(dāng)a=1時，f0=當(dāng)a>1時，f0令fa=2a所以fa在1,+∞上單調(diào)遞減,所以所以fx在?∞,0和0,+∞上各有一個零點，即函數(shù)綜上，當(dāng)a<1時，函數(shù)fx無零點；當(dāng)a=1時，函數(shù)fx有1個零點；當(dāng)【點撥】由于利用零點存在定理時，一般不使用極限語言，故常常需要“取點”，可借助ex≥x變式3已知gx=2lnx?x2解：g'易知x>0，則當(dāng)g'x當(dāng)1e<x<1時，g'所以，函數(shù)gx在[1e,1)故gx在x=1又g1e=ge?g又gx在[1e所以g1=m?因此，實數(shù)m的取值范圍是(1,2課外閱讀·洛必達法則在高中，涉及到求參數(shù)的取值范圍時，分離參數(shù)后，有時會出現(xiàn)分子與分母之比為兩個無窮小之比、兩個無窮大之比或兩個趨近于零的數(shù)之比.這個比值的極限可能是定值也可能不存在，這時如果我們要計算出它們的比值，就需要運用到洛必達法則.洛必達法則的定義:在一定條件下，通過分子、分母分別求導(dǎo)，再求極限來確定未定式的值的方法，稱為洛必達法則.需要說明的是，洛必達法則在解答題中直接使用一般至少會扣步驟分，屬于考場中時間緊迫時的一種搶分技巧.1.設(shè)函數(shù)fx=ex?1?解：當(dāng)x=0時，當(dāng)x>0時，fx令gx則g'令?x=x令φx=?所以?'x在0,+∞所以?x在0,+∞上單調(diào)遞增，所以g'x>0，由洛必達法則，知limx→0+e綜上，a的取值范圍為(?∞,122.已知函數(shù)fx=xex?1解：當(dāng)x>0時，fx≥0令?x=e令kx=exx?1所以kx>k0=0，所以由洛必達法則，知limx→0所以a≤1.故實數(shù)a的取值范圍是規(guī)范答題——導(dǎo)數(shù)解答題【范例】[2022年新課標(biāo)Ⅰ卷第22題]（12分）已知函數(shù)fx=e（1）求a；解：fx的定義域為R，f若a≤0，則f'x>0當(dāng)x<lna時，f'x<0當(dāng)x>lna時，f'x>0故fxmin=flngx的定義域為0,+∞，當(dāng)0<x<1a時，g'x<當(dāng)x>1a時，g'x>0，故故gxmin=g1a因為fx和gx所以1?ln1a=a設(shè)?a=a?1故?a在0,+∞上單調(diào)遞減，而故?a=0的唯一解為a=1，即綜上，a=1.（6分）（通過最值相等列關(guān)于a的等式，通過構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性求（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=證明：由（1）,知a=函數(shù)fx在?∞,0上單調(diào)遞減，在0函數(shù)gx在0,1上單調(diào)遞減，在設(shè)ux則u'當(dāng)x≥1時，所以函數(shù)ux在1,+∞因為u1=e?2>0，所以當(dāng)即fx?gx>所以x≥1時，fx>gx.（7分）（構(gòu)造函數(shù)u因為f0=g1=1，函數(shù)fx在0,+∞上單調(diào)遞增，函數(shù)gx在0,1上單調(diào)遞減，所以函數(shù)fx與函數(shù)gx由圖象，知當(dāng)直線y=b與兩條曲線y=fx直線y=b必經(jīng)過點Mm因為fm所以em?m=m?lnm，即em?令fx=b=fm,得e由0<m<令gx=b=fm,得x由0<m<所以當(dāng)直線y=b與兩條曲線y=fx從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)依次為lnm，m，em.（11分）因為em?2m所以lnm，m，所以存在直線y=b，其與兩條曲線y=fx和y【拆解】參考賦分難易審題要點考查內(nèi)容第一問6分中上①總體看，題目為指數(shù)型函數(shù)與對數(shù)型函數(shù)的最值及圖象交點問題，實際考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題.②第一問是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值問題，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.③第二問是構(gòu)造新函數(shù)利用零點個數(shù)解決問題.根據(jù)（1）可得當(dāng)b>1時，ex?x=b的解的個數(shù)、x?lnx=b的解的個數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)u在基礎(chǔ)性的層次上考查數(shù)學(xué)運算學(xué)科素養(yǎng)，和運用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性并求最值等必備知識.第二問6分難在綜合性和應(yīng)用性的層次上考查了理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算等學(xué)科素養(yǎng)，轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，運算求解、推理論證等關(guān)鍵能力，以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用及等差數(shù)列等必備知識.【總結(jié)提升】通過上述對題目的拆解及詳答展示可以看出，解第一問的關(guān)鍵在于基礎(chǔ)求最值問題的熟練掌握與準(zhǔn)確計算，解第二問的關(guān)鍵在于仔細審題，分析fx與gx的圖象特征，發(fā)現(xiàn)直線y=b與課時作業(yè)知能提升1.已知函數(shù)fx（1）求函數(shù)fx的圖象在點1解：由題意，f1=e?1，f切線方程為y?e?1（2）求證：fx證明：設(shè)gx=fx?當(dāng)x∈0,1時，g'x<0，即gx在0,1上單調(diào)遞減；當(dāng)所以gx≥g