第九章數(shù)列全部教案

第九章數(shù)列

數(shù)學(xué)組姚連省

一、知識網(wǎng)絡(luò):

［有窮數(shù)歹u

美［無窮數(shù)歹u

歹u表法

逋項(xiàng)公式法

表示方法解析法

遞推公式法

圖像法

［單調(diào)性

性質(zhì)i周期性

一定義

通項(xiàng)公式----1?生質(zhì)一應(yīng)用

數(shù)列4

中1Xj/j

等差婁攵歹小定義'

等比數(shù)歹U的前九項(xiàng)不口-公式推導(dǎo)>—T生J責(zé)—應(yīng)i用

基本運(yùn)算

‘定義

通項(xiàng)公式----1?生質(zhì)一應(yīng)用

等比中項(xiàng)

等七匕數(shù)歹小定義'

等比數(shù)列1的前〃項(xiàng)不卬公式推導(dǎo)a—T生1頁—脛Z用

基本運(yùn)算

二、課程目標(biāo)：通過數(shù)列的教學(xué)，使學(xué)生認(rèn)識等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，掌握它

們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并能利用它們解決一些實(shí)際問題。

通過揭示數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，加深對函數(shù)的認(rèn)識。

（1）數(shù)列：了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)

列是一種特殊的函數(shù)。理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義。

（2）等差數(shù)列：理解等差數(shù)列的概念；掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，能

運(yùn)用公式解決一些簡單問題。能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知

識解決相應(yīng)的問題。了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

（3）等比數(shù)列：理解等比數(shù)列的概念；掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，能

運(yùn)用公式解決一些簡單問題。能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知

識解決相應(yīng)的問題。了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

三、命題走向：

數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個(gè)客觀性題目和一個(gè)解答

題。對于本章來講，客觀性題目主要考查數(shù)列、等差數(shù)列及等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公

式、前n項(xiàng)和公式等基本知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的計(jì)算技能要求比較高。

等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點(diǎn)。數(shù)列求和和數(shù)

列綜合及實(shí)際問題在高考中也占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多

以數(shù)列為工具，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識，通過運(yùn)用逆推思想、函數(shù)與方程、歸

納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等各種數(shù)學(xué)思想方法，這些題目都考察考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知

識分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。

預(yù)測10年高考對本章的考查為：

（1）題型以等差數(shù)列及等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的廣2道客觀題目；

(2)關(guān)于等差數(shù)列，等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題或知識交匯題的解答題也是重點(diǎn)；

(3)解決問題時(shí)注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價(jià)

轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力；

(4)題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生

活中的實(shí)際問題的解答題；

(5)知識交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題聯(lián)系的綜合題，

以及數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等有機(jī)結(jié)合。還可能涉及部分考察證明的推理題。數(shù)列推理題是將繼

續(xù)成為數(shù)列命題的一個(gè)亮點(diǎn)，這是由于此類題目能突出考察學(xué)生的邏輯思維能力，能區(qū)分學(xué)

生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈敏程度、靈活程度；

第一課時(shí)數(shù)列的概念

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、理解數(shù)列的概念和幾種簡單表示方法；掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法；

2、應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)概念和函數(shù)的性質(zhì).判斷單調(diào)性、求數(shù)列通項(xiàng)的最值等。

二、重難點(diǎn)：正確理解數(shù)列的概念，掌握數(shù)列通項(xiàng)公式的一般求法。

三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，歸納總結(jié)，鞏固強(qiáng)化。

四、教學(xué)過程：

(一)、談最新考綱要求及高考命題考查情況，促使積極參與。

學(xué)生閱讀復(fù)資P94頁，教師講解，增強(qiáng)目標(biāo)與參與意識。

(二)、知識梳理，方法定位

1、學(xué)生完成下列填空題引導(dǎo)梳理總結(jié)：

(1).數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每個(gè)數(shù)稱為該數(shù)列

的項(xiàng).

(2).通項(xiàng)公式：如果數(shù)列L“｝的第〃項(xiàng)與序號之間可以用一個(gè)式子表示，那么這個(gè)公式叫

做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，即=/(〃)。

(3).遞推公式：如果己知數(shù)列｛4｝的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任何一項(xiàng)%與它的前一

項(xiàng)0a(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，即?！?/(6-)或%=/3,1，?！耙?)，

那么這個(gè)式子叫做數(shù)列｛%｝的遞推公式.如數(shù)列｛4"｝中，q=l,a“=2a“+1,其中

an=2an+1是數(shù)列｛%｝的遞推公式.

(4).數(shù)列的前〃項(xiàng)和與通項(xiàng)的公式

⑸(〃=1)

-一—=-----"瓜

(5).數(shù)列的表示方法：解析法、圖像法、列舉法、遞推法.

(6).數(shù)列的分類：有窮數(shù)列，無窮數(shù)列;遞增數(shù)列，遞減數(shù)列,擺動數(shù)列，常數(shù)數(shù)列;

有界數(shù)列，無界數(shù)列.①遞增數(shù)列：對于任何〃eN+，均有>4.②遞減數(shù)列：對于任何

,均有an+l<an.③擺動數(shù)列：例如：一1,1,—1,1,一1,….④常數(shù)數(shù)列：例

如：6,6,6,6,…….⑤有界數(shù)列：存在正數(shù)M使同＜知,〃w乂.⑥無界數(shù)列：對于任何正數(shù)

M，總有項(xiàng)使得同＞M.

2、方法定位：(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法：①觀察發(fā)現(xiàn)法；②轉(zhuǎn)化法，化成等差數(shù)列或等比

數(shù)列；③利用與Q“之間的關(guān)系：④由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，觀察特點(diǎn)，采用疊加、疊乘等

公式獲取通項(xiàng)公式。⑤消常數(shù)項(xiàng)法。

(2)判斷單調(diào)性、求數(shù)列通項(xiàng)的最值的方法：通常應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)概念和函數(shù)的性質(zhì).

(三)、基礎(chǔ)鞏固導(dǎo)練

1.設(shè)數(shù)列]后,五,2行,“1,舊,…，則4行是這個(gè)數(shù)列的()

A.第9項(xiàng)B.第10項(xiàng)C.第11項(xiàng)D.第12項(xiàng)

【解析】C.472=V32=72+3(11-1),.?.選C.

2.數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,且S,=2S”+|=一1，則數(shù)列｛七｝的首項(xiàng)為()

A.1或一2B.±1C.±2D.一1或2

【解析】D.=2S”+]=-1中令〃=1，得q=2(4-1)+a；,q=—1或2

3.已知定義在正整數(shù)集上的函數(shù)/(x)滿足條件：/(1)=2,/(2)=-2,

/(建+2)=/(〃+1)-/(〃)，則/(2009)的值為()

A.-2B.2C.4D.-4

【解析】B.利用數(shù)列的周期性，周期為4,/(2009)=/(5O5x4+l)=/(I)=2.

4.數(shù)列｛-2n2+13〃-1｝中數(shù)值最大的項(xiàng)是第項(xiàng).

【解析】3

5.觀察下式：1=〃，2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=7)則可得出一般結(jié)

論.

【解析】〃+(〃+1)+(〃+2)+?一+(3〃-2)=(2〃—1)2.

6.數(shù)列｛&“｝中，an+2=an+J-an,ax=2,a2=5,則。加?的值是()

A.-2B.2C.-5D.5

【解析】C.利用數(shù)列的周期性，除前4項(xiàng)后，周期為6,.?.。2009=%+33取6+1=%=-5?

7.已知S,是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，S“+S”+|=a,+|(〃eN+),則此數(shù)列是()

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)數(shù)列D.擺動數(shù)列

分析：將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性作出判定.

【解析工；S?+S“+|=an+l,S“_1+s“=an(〃>2)

兩式相減，得a”+an+i=an+l-a,,,an=0(n>2)

當(dāng)〃=1時(shí)，q+(q+a,)=%=%=°，，a“=0(〃eN*),選C.

8、(07北京理10)若數(shù)列｛a'｝的前〃項(xiàng)和S“=〃2-10〃(〃=l,2,3,),則此數(shù)列的通

項(xiàng)公式為；數(shù)列｛因“｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是第

一項(xiàng).2/1-113

9、已知數(shù)列｛凡｝的首項(xiàng)q=g,其前〃項(xiàng)和邑="4(〃21).求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式.

2

【解析】由4=；,Sn=n'an,①S?_]=(n-l)a?_1,②

2

①一②得：an=Sn-Sn_t=tran-(n-1)an_｝,即，-^-=^-4(H>2),

%"+1

..冊%%aan-\n-2212.°1

?一?3?2一~■?——9??a八一?

axa,—an_2a2axn+\n43〃(〃+l)〃("+1)

(四)、小結(jié)：本課要求大家理解數(shù)列的概念和幾種簡單表示方法；掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式的求

法；應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)概念和函數(shù)的性質(zhì).判斷單調(diào)性、求數(shù)列通項(xiàng)的最值等。

(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法：①觀察發(fā)現(xiàn)法；②轉(zhuǎn)化法，化成等差數(shù)列或等比數(shù)列；③利用

c與a之間的關(guān)系；④由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，觀察特點(diǎn)，采用疊加、疊乘等公式獲取通項(xiàng)

公式。⑤消常數(shù)項(xiàng)法。

(2)判斷單調(diào)性、求數(shù)列通項(xiàng)的最值的方法：通常應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)概念和函數(shù)的性質(zhì)。

(五)、作業(yè)布置：1、課本P9頁5、8、112、復(fù)資P94頁中2

課外練習(xí)：復(fù)資P95頁隨堂練習(xí)題2、3、5、6限時(shí)訓(xùn)練39中3、6、9、10

五、教學(xué)反思：

第二課時(shí)數(shù)列的概念

——熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、理解數(shù)列的概念和幾種簡單表示方法；掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法；

2、應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)概念和函數(shù)的性質(zhì).判斷單調(diào)性、求數(shù)列通項(xiàng)的最值等。

二、重難點(diǎn)：正確理解數(shù)列的概念，掌握數(shù)列通項(xiàng)公式的一般求法。

三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納，強(qiáng)化運(yùn)用。

四、教學(xué)過程：

（一）、熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析

考點(diǎn)1數(shù)列的通項(xiàng)公式

題型1已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式

【例1】求下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

（1）3,5,9,17,33,???,

⑵1,0,——,0,—,0,——,0,???,

357

.,.246810

（C）,,,99***5

315356399

（4）1,3,6,10,15,21,---,

【解題思路】寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，應(yīng)注意觀察數(shù)列中?！昂汀ǖ穆?lián)系與變化情況，應(yīng)特別注

意：自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列，（-1）"和相關(guān)數(shù)列，等差、等比數(shù)列，以及由它們組成

的數(shù)列，從中找出規(guī)律性，并分別寫出通項(xiàng)公式.

【解析】⑴聯(lián)想數(shù)列2,4,8,16,32,…，即數(shù)列{2"},可得數(shù)列的通項(xiàng)公式*=2"+1；

⑵將原數(shù)列改寫為?」,2」,2…，分母分別為123,4,5,…，分子分別為

12345678

八兀一1）萬（一1）”—+1

1,0,1,0,1,…，呈周期性變化，可以用sin竺，或cos：-巴,或」-----表示.

222

.njr〃-1

sin^-cosTV/]

a=----—（或?！?---------，或勺=----------）

nnnZn

2n

⑶分子為正偶數(shù)列，分母為1x3,3x5,5x7,7x9,9x11,???，得=

（2〃一1）（2〃+1）

⑷觀察數(shù)列可知：a1—1,=1+2,/=1+2+3,4=1+2+3+4,…，

%=1+2+3+4,%=1+2+3+4+5,.?.%=1+2+3+…+”=:（7）

本題也可以利用關(guān)系式a.=〃求解.

【反思?xì)w納】⑴聯(lián)想和轉(zhuǎn)換是由已知認(rèn)識未知的兩種有效的思維方法.⑵求數(shù)列的通項(xiàng)公

式，應(yīng)運(yùn)用觀察、分析、歸納、驗(yàn)證的方法.易錯(cuò)之處在于每個(gè)數(shù)列由前幾項(xiàng)找規(guī)律不準(zhǔn)確，

以及觀察、分析、歸納、驗(yàn)證這四個(gè)環(huán)節(jié)做的不夠多，應(yīng)注意對每一數(shù)列認(rèn)真找出規(guī)律和驗(yàn)

證.

題型2已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式

【例2】已知下列數(shù)列｛。“｝的前”項(xiàng)和S“，分別求它們的通項(xiàng)公式明.

2

(1)S“=2n+3n；(2)Sn=3"+1.

S[(〃=1)

【解題思路】利用4=1I，這是求數(shù)列通項(xiàng)的一個(gè)重要公式.

[S?-S?_,(n>2)

【解析】⑴當(dāng)〃=1時(shí)，/=S[=2x1?+3x1=5,

當(dāng)“22時(shí)，a,,=S?-S,T=(2n2+3n)-12(〃-I)2+3(〃-1)]=4〃+1.

當(dāng)〃=1時(shí)，4x1+1=5=q,an=4/1+1.

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，a｝=S|=3+1=4,

當(dāng)“之2時(shí)，an=Sn-S,”|=(3"+1)—(3"T+l)=2x3"-'.

當(dāng)〃=1時(shí)，2x3一-2^a.,/.a=<|).

1”[2x3,,-I(n>2)

⑹(〃=D

【反思?xì)w納】任何一個(gè)數(shù)列，它的前w項(xiàng)和S“與通項(xiàng)句都存在關(guān)系：為=11

U-S?_,(n>2)

若為適合明,則把它們統(tǒng)一起來，否則就用分段函數(shù)表示.

題型3已知數(shù)列的遞推式，求通項(xiàng)公式

【例3】數(shù)列｛%｝中，—%("22),求的,。3，。4，。5，并歸納出明.

2+%

【解題思路】已知｛凡｝的遞推公式4“=/(a,I)求前幾項(xiàng)，可逐步計(jì)算.

【解析】；q=l,a?=2""'(〃>2),

2+1

2a,22a-,22?,2la,2

a,=----=—,a-,=-----=—,a.=---:-=一，a.=------=—,

2+q32+/42+cij52+ci^6

由女2：2,上2：2,32,???,可以歸納出2

23456"n+1

【反思?xì)w納】由遞推公式求通項(xiàng)，可以考慮“歸納一猜想一證明”的方法，也可以構(gòu)造新

數(shù)列.

考點(diǎn)2與數(shù)列的通項(xiàng)公式有關(guān)的綜合問題

題型1已知數(shù)列通項(xiàng)公式，求項(xiàng)數(shù)及最大(最小)項(xiàng)

【例4】數(shù)列｛《,｝中，a,,=n2-5n+4.(l)18是數(shù)列中的第幾項(xiàng)？⑵n為何值時(shí)，a?有

最小值？并求最小值.

【解題思路】數(shù)列的通項(xiàng)冊與〃之間構(gòu)成二次函數(shù)，可結(jié)合二次函數(shù)知識去探求.

【解析】⑴由一5〃+4=18=>〃2-5〃—14=0,解得“=7,二18是數(shù)列中的第7

項(xiàng).

252Q

⑵,.?an=n-5n+4=(n--)--,neN+n=2或n=3時(shí),

(5n=22-4x2+5=-2.

【反思?xì)w納】利用二次函數(shù)知識解決數(shù)列問題時(shí)，必須注意其定義域〃為正整數(shù).

題型2已知數(shù)列通項(xiàng)公式，判斷數(shù)列單調(diào)性及有界性

2

【例5】數(shù)列｛4｝中，

n+1

⑴求數(shù)列｛?“｝的最小項(xiàng)；⑵判斷數(shù)列｛?！埃欠裼薪?，并說明理由.

【解題思路】⑴轉(zhuǎn)化為判斷數(shù)列的單調(diào)性，即證凡<。,用，或凡〉。,用；⑵從“數(shù)列的有界

性”定義入手.

(〃+1)2n2

【解析】(Dva-a

n+xn(zi+1)2+1712+1

_(n+1)2(/?2+1)-/?2[(/?+)2+1]_2〃+1>0

[(〃+If+I]/?+])-[(〃++]]>

a?<凡+1，二數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列，數(shù)列｛an｝的最小項(xiàng)為a,

1

⑵\an\=丁石=1一一q<1-數(shù)列｛。“｝有界.

【反思?xì)w納】數(shù)列是特殊的函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性、有界性的方法同樣適用于數(shù)列.

(二”強(qiáng)化鞏固練習(xí)：

1、數(shù)列｛4｝中，4=3〃2-28〃+1,求?！叭∽钚≈禃r(shí)”的值.

【解析】a“=3〃2一28〃+1=3(〃一弓!一半，.??/=5時(shí)，a,取最小值.

2

2、數(shù)列｛a“｝中，an=n-7n+2,求數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).

【解析】+2=—"<1,

a2

nn-yjrr+2/?+1+-J（n+I）+2

又：a“=〃-J/+2<0,an<an+｝,數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列

二數(shù)列｛a“｝的最小項(xiàng)為％=1-6,沒有最大項(xiàng).

3、數(shù)列｛。"｝中，q=l,a“+|=24+1,求生必，4，%，并歸納出明.

（解析】?/4=1,/+|=2an+1

/.a2—2q+1=3,%=2%+1=7,a4—2%+1=15,a5—2a4+1=31

9

由1=21-1,3=2?—1,7=23-1,15=24-l,31=25-l,---,可以歸納出凡=

n+1

4、設(shè)數(shù)列｛%｝的第〃項(xiàng)是二次函數(shù)，q=5,。2=15,q=35,求知.

a+b+c-5

［解析】設(shè)=an2+bn+c,由<4a+2b+c=15=a=5,匕=一5,c=5

9a+3b+c=35

2?

/.an-5/7-5〃+5,a4=5x4-5x4+5=65.

（三）、小結(jié)：本課主要探析了兩個(gè)考點(diǎn)，五種題型，學(xué)生自我反思，教師引導(dǎo)抓住重點(diǎn)題目,

回顧總結(jié)方法，進(jìn)一步深化理解。

（四）作業(yè)布置：限時(shí)訓(xùn)練39中11、12、13

課外練習(xí)：限時(shí)訓(xùn)練39中1、2、4、5、8；復(fù)資P95頁變式訓(xùn)練中1、3

五、教學(xué)反思：

第三課時(shí)等差數(shù)列

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前N項(xiàng)和公式并能解決實(shí)

際問題；

2、理解等差中項(xiàng)的概念,掌握等差數(shù)列的性質(zhì)并能靈活運(yùn)用。

二、重難點(diǎn)：理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式并能解決實(shí)際問

題；理解等差中項(xiàng)的概念，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解題.會求等差數(shù)

列的公差、求項(xiàng)、求值、求和、求S,,最值等通常運(yùn)用等差數(shù)列的有關(guān)公式及其性質(zhì).

三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，歸納總結(jié)，鞏固強(qiáng)化。

四、教學(xué)過程

(一)、談最新考綱要求及高考命題考查情況，促使積極參與。

數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個(gè)客觀性題目和一個(gè)解答

題。對于本節(jié)來講，客觀性題目主要考查數(shù)列、等差數(shù)列及等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公

式、前n項(xiàng)和公式等基本知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的計(jì)算技能要求比較高。

(1)題型以等差數(shù)列及等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的廣2道客觀題目；

(2)關(guān)于等差數(shù)列，等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題或知識交匯題的解答題也是重點(diǎn)；

(二)、知識梳理，方法定位(學(xué)生完成下列填空，教師準(zhǔn)對問題講解)

1.等差數(shù)列的概念：

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)。,這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)

列，常數(shù)d稱為等差數(shù)列的公差.

2.通項(xiàng)公式與前”項(xiàng)和公式

⑴通項(xiàng)公式=q+(〃-l)d,為為首項(xiàng)，d為公差.

⑵前n項(xiàng)和公式S,=或+；〃(〃-1M.

3.等差中項(xiàng)：如果成等差數(shù)列，那么A叫做a與人的等差中項(xiàng).

即：A是a與b的等差中項(xiàng)o2A=a+-oa,A,。成等差數(shù)列.

4.等差數(shù)列的判定方法：

⑴定義法：a“+1-a“=d｛neN+,d是常數(shù))。｛%｝是等差數(shù)歹|」；

⑵中項(xiàng)法：=an+an+2(〃eN*)。｛a“｝是等差數(shù)列.

5.等差數(shù)列的常用性質(zhì)：

⑴數(shù)列｛〃“｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛&+p｝、｛pa,,｝(。是常數(shù))都是等差數(shù)列:

⑵在等差數(shù)列｛4｝中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即%,an+2k,an+3k,???

為等差數(shù)列，公差為㈣.

2

(3)an=am+(n-m)d；anan+h｛a,b是常數(shù))；Sn=an+bn(a,b是常數(shù)，

Q±0）

⑷若加+〃=〃+q（m,n,p,qeN.）,則am+an=ap+ag；

⑸若等差數(shù)列｛a.｝的前〃項(xiàng)和S?,則｛｝｝是等差數(shù)列;

Sim（1

⑹當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2〃（〃eN+）,則S偶一5奇=〃4j=*■；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2〃一l（〃eN+）,則

S奇an

CcS偶〃-1

S奇一S偶=。,，不

s奇〃

6.等差數(shù)列中求S,最值的方法：（1）、不等式組法；（2）、性質(zhì)法；（3）、二次函數(shù)配方法。

（三）、基礎(chǔ)鞏固導(dǎo)練：

1、（07寧夏理4）己知｛?｝是等差數(shù)列，q0=10,其前10項(xiàng)和50=70,則其公差4=（D）

2-1C2

A.一一B.一一C.-D.-

3333

2、（08陜西卷4）已知｛%｝是等差數(shù)列，q+g=4,%+/=28,則該數(shù)列前10項(xiàng)和

等于（B）?A.64B.100C.110D.120

3、（09安徽卷理）已知｛q｝為等差數(shù)列，％+4+%=105,。2+包+。6=99,以S“表示｛凡｝

的前〃項(xiàng)和，則使得S,,達(dá)到最大值的〃是（）o

（A）21（B）20（C）19（D）18

［解析］:由a1+%+%=105得3%=105,即。3=35,由4+%+&=99得3%=99即

［tz>0

a.-33,/.d=-2,。=%+（〃-4）x（-2）=41-2〃，由《得〃=20,選B

［心<0

4、（09全國卷I理）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，若S9=72,則

a2+a4+a9=。

解：也｝是等差數(shù)列，由品=72,得：.S9=9%,%=8

/.出+%+=（〃2+佝）+〃4=（%+〃6）+%=3%-24.

5、（09全國卷II理）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若以=5/則1=9.

解:｛an｝為等差數(shù)列,

6、(09遼寧卷理)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.,且6s5-553=5，則包=

【解析】，S5=5ai+10d,Ss=3ai+3d

2

.,.655—5$3=302|+60€1-(152|+156=15@|+45<3=15位+3心=15如【答案】1

(四)、問題探析

問題1:已知加工八，且,〃,41,。2，。3，〃和加，4，4，83，84，〃都是等差數(shù)列，則2――=_

瓦-4

分析：問題轉(zhuǎn)化為：在加，〃插入若干個(gè)數(shù)，使其成等差，利用等差數(shù)列公差的求法公式

解答.

解析：設(shè)等差數(shù)列〃,2。1,。2，。3，〃和加，4，%，/，,，"的公差分別是4，4

則“3—6=24，〃一加=44，-同理，得“一=巴廣，

a3-ata=d?

.4一4「5

2

b3~b2

⑵求“首末項(xiàng)和為常數(shù)”的數(shù)列的和，一般用倒序相加法.

問題2：已知函數(shù)/(x)=5*.則①/(；)+/(1)=；

?1.2...2008.

②f(-------)+f(-------)H----Hf(-------)—.

200920092009-------------

分析：①可以直接代入計(jì)算，也可以整體處理；②尋找規(guī)律，整體處理.

4r

解析：?.?/?(%)=?。荩?jīng)計(jì)算，得/(x)+/(l—x)=l,

2+4

/(—!—)+f(-^—)+...+1004x1=1004.

200920092009

(五)、小結(jié)：學(xué)生自我反思并回答教師設(shè)問：1、.等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公

式各是什么？2、等差數(shù)列的判定方法是什么？3、等差數(shù)列都有哪些常用性質(zhì)？4、等差數(shù)列

中求S“最值的方法是什么？進(jìn)一步深化理解。

(六)、作業(yè)布置：1、課本P20頁3、6、8；2,復(fù)資P96頁中2

課外練習(xí)：復(fù)資P97頁隨堂練習(xí)中2、4、5、6變式訓(xùn)練中1、2、3

五、教學(xué)反思：

第四課時(shí)等差數(shù)列

——熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式并能解決實(shí)

際問題；

2、理解等差中項(xiàng)的概念,掌握等差數(shù)列的性質(zhì)并能靈活運(yùn)用。

二、重難點(diǎn)：理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式并能解決實(shí)際問

題；理解等差中項(xiàng)的概念，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解題.會求等差數(shù)

列的公差、求項(xiàng)、求值、求和、求S,,最值等通常運(yùn)用等差數(shù)列的有關(guān)公式及其性質(zhì).

三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納，強(qiáng)化運(yùn)用。

四、教學(xué)過程

(一)、熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析

考點(diǎn)1等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和

題型1已知等差數(shù)列的某些項(xiàng)，求某項(xiàng)

【例1】已知｛%｝為等差數(shù)列，％5=8,。60=20,則%5=

【解題思路】可以考慮基本量法，或利用等差數(shù)列的性質(zhì)

a=4+14d-8644

【解析】方法1：<[5=>a,=——

&()=q+59d=201515

644

.??%,+74J=—+74x—=24

7511515

/7—nOf)—R44

方法2：-：d=^~~==—,A?75=?60+(75-60)J=20+15x—=24

60-154515756015

方法3：?.?{”“}為等差數(shù)列，

，65，。30，。45，。60，。75也成等差數(shù)列，設(shè)其公差為4，則為首項(xiàng)，。60為第4項(xiàng).

/.=々is+、

UU1J3dI=>20=8+3d=>41=4/.al/sJ=UV+4I=20+4=24

【反思?xì)w納】給項(xiàng)求項(xiàng)問題，先考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法.

題型2已知前〃項(xiàng)和S,,及其某項(xiàng)，求項(xiàng)數(shù).

【例2】⑴已知S“為等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和，4=9,%=一6,S“=63,求〃；

⑵若一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為36,后4項(xiàng)和為124,且所有項(xiàng)的和為780,求這個(gè)數(shù)列

的項(xiàng)數(shù)〃.

【解題思路】⑴利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式勺=q+(〃-1)4求出%及d,代入S,,可求項(xiàng)數(shù)n；

⑵利用等差數(shù)列的前4項(xiàng)和及后4項(xiàng)和求出q+an，代入S“可求項(xiàng)數(shù)”.

\a,+3d=9

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為外,公差為d,則《?nq=18,"=-3

4+8d=-6

/.Sn=18〃一二n(n-1)=63=>=6,n2=7

(2)?.?%+a2+。3+。4=36,?！?a,—+an_2+an_3=124

aa

/+an=〃2+|=%+n-2=4+n-3?二火卬+?！?=160=>%+=40

Sn="(■+"")=780=20/7=780=〃=39

"2

【反思?xì)w納】解決等差數(shù)列的問題時(shí)，通常考慮兩種方法：⑴基本量法；⑵利用等差數(shù)列

的性質(zhì).

題型3求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【例3】已知S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，S“=12〃—〃2。求同+同+國+…+㈤.

【解題思路】利用S“求出an,把絕對值符號去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.

2

【解析】Sn=Yin-n,an=13-2n.

13,

由?！?13—2〃之0,得〃<w,.,.當(dāng)1<〃<6時(shí)、an>0；當(dāng)九之7時(shí)，％<0.

當(dāng)1W6時(shí)，|+|tz^|+,,,+=q+電+a?+,??+cin=12〃-n~,

當(dāng)〃N7時(shí)，k|++J的|+???+kJ=4+々2+々3+,??+4-(％+08+?,,+0〃)

=2S6-Sn=2(12x6-62)-(12〃-/)=/—12〃+72.

【反思?xì)w納】含絕對值符號的數(shù)列求和問題，要注意分類討論.

考點(diǎn)2證明數(shù)列是等差數(shù)列

q

【例4】已知S“為等差數(shù)列｛為｝的前“項(xiàng)和，勿='(〃eN+)。求證：數(shù)列標(biāo)｝是等差數(shù)

n

列.

【解題思路】利用等差數(shù)列的判定方法⑴定義法；⑵中項(xiàng)法.

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為。，S“=〃6+《”(〃—l)d,

b=^-=a.+-(/?-V)db.-b-a,+—nd-a.-—(n-l)d--(常數(shù))

nn21,1222

數(shù)列也｝是等差數(shù)列.

【反思?xì)w納】判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：⑴定義法：ae一a“=d(〃eN+,

d是常數(shù))=｛%｝是等差數(shù)列；⑵中項(xiàng)法：2%+|=%+%+2(〃€可+)0幻｝是等差數(shù)列；

⑶通項(xiàng)公式法：a“=kn+b是常數(shù))。｛%｝是等差數(shù)列；⑷前〃項(xiàng)和公式法：

2

Sn=An+Bn(A,B是常數(shù)，A00)={4}是等差數(shù)列.

考點(diǎn)3等差數(shù)列的性質(zhì)

【例5】(1)含2〃+1個(gè)項(xiàng)的等差數(shù)列其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為()

.2n+1n+\?n-1n+1

1J?Cx1?1-).

nnn2n

r々力上匚▼O(〃+1)(^1+。2〃+1)

【解析】???s奇=q+a3+a5+---+a2n+i=---------3~

CS奇〃+l

S偶=。2+。4+。6+..?+a2n=----，a\+。2用=%+二~=------------?二選B-

L