高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明綜合測試 北師大版選修1-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明綜合測試北師大版選修1-2時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”，結(jié)論顯然是錯誤的，因為()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．不是以上錯誤[答案]C[解析]大小前提都正確，其推理形式錯誤．故應(yīng)選C.2．定義一種運算“*”；對于自然數(shù)n滿足以下運算性質(zhì)：()(i)1*1=1,(ii)(n+1)*1=n*1+1,則n*1等于A．n B．n+1C．n－1 D．n2[答案]A[解析]令an＝n*1，則由(ii)得，an＋1＝an＋1，由(i)得，a1＝1，∴{an}是首項a1＝1，公差為1的等差數(shù)列，∴an＝n，即n*1＝n，故選A.3．定義A*B，B*C，C*D，D*A的運算分別對應(yīng)下面圖中的(1)，(2)，(3)，(4)，則圖中，a，b對應(yīng)的運算是()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D[答案]B[解析]根據(jù)題意可知A對應(yīng)橫線，B對應(yīng)矩形，C對應(yīng)豎線，D對應(yīng)圓．故選B.4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2、a3、a4，猜想an＝()A.eq\f(2,n＋12) B．eq\f(2,nn＋1)C.eq\f(2,2n－1) D．eq\f(2,2n－1)[答案]B[解析]a2＝S2－S1＝22a2－1，∴a2＝eq\f(1,3)，a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×eq\f(1,3)，∴a3＝eq\f(1,6).a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×eq\f(1,6)，∴a4＝eq\f(1,10).由此猜想an＝eq\f(2,nn＋1).5．觀察數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特點，則第100項為()A．10 B．14C．13 D．100[答案]B[解析]設(shè)n∈N*，則數(shù)字n共有n個，所以eq\f(nn＋1,2)≤100即n(n＋1)≤200，又因為n∈N*，所以n＝13，到第13個13時共有eq\f(13×14,2)＝91項，從第92項開始為14，故第100項為14.6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，那么a、b、c的值為()A．a(chǎn)＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4) B．a(chǎn)＝b＝c＝eq\f(1,4)C．a(chǎn)＝0，b＝c＝eq\f(1,4) D．不存在這樣的a、b、c[答案]A[解析]令n＝1,2,3，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－b＋c＝1,92a－b＋c＝7,273a－b＋c＝34))，所以a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4).7．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，則f(x)等于()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx[答案]D[解析]由已知，有f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，可以歸納出：f4n(x)＝sinx，f4n＋1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N*)．所以f(x)＝f3(x)＝－cosx.8．有下列敘述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y(tǒng)”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；④“三角形最多有一個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”，其中正確的敘述有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個[答案]B[解析]①錯，應(yīng)為a≤b；②對；③錯，應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或三角形的邊上；④錯，應(yīng)為三角形可以有2個或2個以上的鈍角．9．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值()A．一定大于零 B．一定等于零C．一定小于零 D．正負(fù)都有可能[答案]A[解析]f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，由a＋b>0得a>－b，所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.10．(·福建文，12)在平面直角坐標(biāo)系中，兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的“L－距離”定義為||P1P2|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，則平面內(nèi)與x軸上兩個不同的定點F1，F(xiàn)2的“L－距離”之和等于定值(大于||F1F2[答案]A[解析]設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x，y)，則|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a當(dāng)y>0時，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋a，x<－c,,a－c，－c≤x≤c,－x＋a，x>c))，當(dāng)y≤0時，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－a，x<－c，,c－a，－c≤x≤c，,x－a，x>c.))∴圖像應(yīng)為A.二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上)11．對于平面幾何中的命題：“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題：“________”，這個類比命題是________命題(填“真”或“假”)．[答案]夾在兩個平行平面間的平行線段相等；真[解析]類比推理要找兩類事物的類似特征，平面幾何中的線，可類比立體幾何中的面．故可類比得出真命題“夾在兩個平行平面間的平行線段相等”．12．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，觀察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，…根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.[答案]eq\f(x,2n－1x＋2n)[解析]由已知可歸納如下：f1(x)＝eq\f(x,21－1x＋21)，f2(x)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝eq\f(x,24－1x＋24)，…，fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).13．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c≠0，a·c＝b·c?a＝b”；④“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑤“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上類比得到的結(jié)論正確的是________．[答案]①②[解析]①②都正確；③⑥錯誤，因為向量不能相除；④可由數(shù)量積定義判斷，所以錯誤；⑤向量中結(jié)合律不成立，所以錯誤．14．(·東北四校聯(lián)考)根據(jù)下面一組等式S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，…可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝________.[答案]n4[解析]根據(jù)所給等式組，不難看出：S1＝1＝14；S1＋S3＝1＋15＝16＝24；S1＋S3＋S5＝1＋15＋65＝81＝34，S1＋S3＋S5＋S7＝1＋15＋65＋175＝256＝44，由此可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.15．若定義在區(qū)間D上函數(shù)f(x)對于D上的幾個值x1，x2，…，xn總滿足eq\f(1,n)[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù)，現(xiàn)已知f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．[答案]eq\f(3\r(3),2)[解析]∵eq\f(1,n)[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，(大前提)∵f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函數(shù)，(小前提)∴f(A)＋f(B)＋f(C)≤3feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B＋C,3)))，(結(jié)論)即sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2)，∴sinA＋sinB＋sinC的最大值是eq\f(3\r(3),2).三、解答題(本大題共6個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本題滿分12分)已知a、b、c是全不相等的正實數(shù)，求證：eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)>3.[解析]解法一：(分析法)要證eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)>3，只需證明eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)－1＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,b)－1＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)－1>3，即證eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)>6.而事實上，由a、b、c是全不相等的正實數(shù)，得eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)>2，eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)>2.從而eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)>6.故eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)>3得證．解法二：(綜合法)∵a、b、c全不相等，∴eq\f(b,a)與eq\f(a,b)，eq\f(c,a)與eq\f(a,c)，eq\f(c,b)與eq\f(b,c)全不相等．∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)>2，eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)>2.三式相加得eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)>6，∴(eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)－1)＋(eq\f(c,b)＋eq\f(a,b)－1)＋(eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)－1)>3，即eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(a＋c－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)>3.17．(本題滿分12分)設(shè)f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明．[答案]證明略[解析]f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,3＋\r(3))＝eq\f(1,1＋\r(3))＋eq\f(1,3＋\r(3))＝eq\f(\r(3)－1,2)＋eq\f(3－\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，同理可得：f(－1)＋f(2)＝eq\f(\r(3),3)，f(－2)＋f(3)＝eq\f(\r(3),3).一般性結(jié)論：若x1＋x2＝1，則f(x1)＋f(x2)＝eq\f(\r(3),3).證明：設(shè)x1＋x2＝1，f(x1)＋f(x2)＝eq\f(1,3x1＋\r(3))＋eq\f(1,3x2＋\r(3))＝eq\f(3x1＋\r(3)＋3x2＋\r(3),3x1＋\r(3)3x2＋\r(3))＝eq\f(3x1＋3x2＋2\r(3),3x1＋x2＋\r(3)3x1＋3x2＋3)＝eq\f(3x1＋3x2＋2\r(3),\r(3)3x1＋3x2＋2×3)＝eq\f(3x1＋3x2＋2\r(3),\r(3)3x1＋3x2＋2\r(3))＝eq\f(\r(3),3).18．(本題滿分12分)在某兩個正數(shù)x、y之間，若插入一個數(shù)a，使x，a，y成等差數(shù)列，若插入兩個數(shù)b、c，使x，b，c，y成等比數(shù)列，求證(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．[解析]由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝x＋y,b2＝cx，消去,c2＝by))x，y得2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，且有a>0>b>0，c>0.要證(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需證a＋1≥eq\r(b＋1c＋1)，只要證a＋1≥eq\f(b＋1＋c＋1,2)，也就是證2a≥b＋c而2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，只需證eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)≥b＋c，即證b3＋c3≥(b＋c)bc，即證b2＋c2－bc≥bc，即證(b－c)2≥0.∵上式顯然成立，∴(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．19．(本題滿分12分)證明下列等式，并從中歸納出一個一般性的結(jié)論．2coseq\f(π,4)＝eq\r(2)，2coseq\f(π,8)＝eq\r(2＋\r(2))，2coseq\f(π,16)＝eq\r(2＋\r(2＋\r(2)))，……[答案]證明略，一般性結(jié)論為2coseq\f(π,2n＋1)＝eq\o(\r(2＋\r(2＋\r(2＋…))),\s\do4(n個根號))[解析]2coseq\f(π,4)＝2·eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，2coseq\f(π,8)＝2eq\r(\f(1＋cos\f(π,4),2))＝2·eq\r(\f(1＋\f(\r(2),2),2))＝eq\r(2＋\r(2))，2coseq\f(π,16)＝2eq\r(\f(1＋cos\f(π,8),2))＝2eq\r(\f(1＋\f(1,2)\r(2＋\r(2)),2))＝eq\r(2＋\r(2＋\r(2)))…歸納得出，2coseq\f(π,2n＋1)＝eq\o(\r(2＋\r(2＋\r(2＋…))),\s\do4(n個根號)).20．(本題滿分13分)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求{an}的通項公式；(2)數(shù)列{an}中是否存在三項，它們按原順序可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由．[答案](1)an＝3·2n－3(2)不存在，證明略[解析](1)a1＝S1＝2a1－3，則a1由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＋1＝2an＋1－3n＋1,Sn＝2an－3n))?an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3?an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}為等比數(shù)列，首項為a1＋3＝6，公比為2.∴an＋3＝6·2n－1，即an＝3·2n－3.(2)假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項ar，as，at(r<s<t)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列，且ar<as<at.∴只能是ar＋at＝2at，即3(2